新授课1.3.1单调性与最大(小)值(1)教案

1.3.1单调性与最大（小）值（１）
教材分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．在教材中起着承上启下的作用。

一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。

另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。

课时分配 本节需1 课时，主要学习函数单调性概念，简单的函数单调性判断方法及应用.
教学目标
重点:函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性.
难点:引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 知识点:函数单调性概念，简单的函数单调性判断方法及应用.
能力点:培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生数形结合，辩证思维的能力。

教育点：发现形和数的统一和谐美，体会自己发现、解决问题的乐趣。

自主探究点:简单函数的单调性.
考试点:函数单调性的判断;含参问题的求解.
易错易混点:求单调性忽视定义域，单调区间的的不能合并，作差变形是否充分 拓展点:利用单调性比较大小，求参数取值范围。

教具准备 教学案、三角板
一、引入新课
1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
【师生活动】师：引导学生观察图像的升降变化
生：看图说出自己的看法 【设计意图】启发学生由图像获取函数性质的直观认识，引出新课
二、探究新知
分别作出函数22,2,y x y x y
x =+
=-+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有
什么变化规律？
【设计意图】引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
思考： 2y x =的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
【师生活动】师：指导学生完成2y x =的对应值表1.3.并观察表格中，自变量x 的值从0到5变化时，函数值y 如何变化.
生:观察表格回答(自变量x 的值增大,函数值y y 增大).
师:在(0,+∞)上,任意改变1x ，2x 的值,当12x x <时,都有2212
x x <.吗? 生:验证是否都有2212x x <
（可以借助计算器）。

师：引导学生观察、思考、讨论，归纳得出：
函数2
y x =在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）
上的任意的1x ，2x ，当12x x <时，都有2212x x <. 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

【设计意图】指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到数学符号表述．
4：如何定义增函数？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量1x ，2x ，当12x x <时，都有
1()f x )<2()f x ，那么就说()f x 在区间D 上是增函数（increasing function ）
． 【设计意图】从具体到一般引出增函数的定义
5:类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
【设计意图】培养学生的类比能力
三理解新知
分析增（减）函数定义的要点
（1）变量属于定义域
（2）注意自变量1x ，2x 2取值的任意性，而不是某些特殊值．
（3）都有1()f x >2()f x 或1()f x <2()f x )成立(无一例外)
（4）函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调
【设计意图】加深认识 ，体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。

同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识．
四．运用新知
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=()f x ，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=()f x )的单调区间有[)[)[)[]5,2,2,1,1,3,3,5---．其中y=()f x )在区间[)[)5,2,1,3--上是减函数，在区间[)[]2,1,3,5-上是增函数
练习1：习题1.3.4
【设计意图】巩固概念，培养学生的自学能力
例2 物理学中的玻意耳定律P=V
k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强P 将增大。

试用函数的单调性证明之。

分析：按题意，只要证明函数P=V
k 在区间（0，+∞）上是减函数即可。

证明：根据单调性的定义，设是12,v v 定义域()0,+∞上的任意两个实数，且12v v <，则21121212
()()v v k k p v p v k v v v v --=-=． 由122,(0,),0v v v v ∈+∞1得＞；
由1221,0.v v v v <->
又k>0,12()()0,p v p v ->即12()().p v p v > 所以，函数,(0,)k p v v
=∈+∞是减函数。

也就是说，当体积v 减小时，压强将增大． 3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
① 任取12,x x D ∈，且12x x <; ② 作差1()f x －2()f x ；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差1()f x －2()f x 的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
练习2：
○
1 课本P 39练习第1、2、3题； ○
2 证明函数x
x y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.引导学生分析讨论通过学生的交流，实现师生互动；通过教师针对性点评，有利于深刻理解概念突破难
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤，使学生内化所学的概念，建构新的知识体系。

③定义在R 的增函数()x f 满足()()a f a f 21<+，试求a 的取值范围．
【设计意图】加深对函数单调性的理解 探究：画出反比例函数x
y 1=的图象．
○1 这个函数的定义域是什么？ ○
2 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论． 【设计意图】让学生进一步认识到函数的单调性是离不开区间的。

练习：讨论下列函数的单调性
①(0)y kx b k =+≠②2(0)y ax bx c a =++≠
五 课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
【设计意图】在知识层面上，引导学生回顾函数单调性定义的探究过程，使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义.在方法层面上，首先引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果；同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.
六布置作业
p
1、书面作业：课本P39习题1.3题（A组）第1-3题．学习丛书
24
2当堂检测
①. 函数的单调增区间是（）
A. B. C. R D.不存在
②.如果函数在R上单调递减，则（）
A. B. C. D.
③. 在区间上为增函数的是（）
A．B．C．D．
④. 函数的单调性是 .
⑤. 函数的单调递增区间是，单调递减区间是 .
⑥如果函数2
-上是减函数，那么a的取值范
a
x
f在区间(]4,∞
=x
x
(2
)1
+
)
-
(2+
围是
【设计意图】作业进一步反馈知识的掌握情况．
七教后反思本课是让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出
函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点。

这
篇教学设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象
概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合
新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．练习的设计有新意，有深度，为学
生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
八、板书设计
定义例１
１增函数例２
２减函数判断函数单调性的方法步骤。