高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题.doc

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高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题

高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题班级姓名学号得分一、选择题（每小题5分，共计60分。

请把选择答案填在答题卡上。

） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的A.31 B.41 C.91 D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于A.6πB.4πC.3πD.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是A ．32. B. 14 C. 5 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是A ．(]︒︒90,0B (]︒︒270,180C (]︒︒180,90D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为A ．25与2 与23 与4 与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 129. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A.3/2B.33C.34D.2310．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是21S S 、，则必有S 2 B. S 1S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定11.三角形ABC 中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为 A ．π4 B.π)34(3+ π D.π)34(+ 12.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是A ．21 B.31 C.32 D.43 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）. 13. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则题号12345678910 1112答案CBBCDAABBAC CBDBAOEF此球的表面积为 3π.14.已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是2)(2πr b a +. 15. （江西卷）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是137+. 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面对角线与底面所成的角为 450 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共4个大题，共20分）.17.圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值最大值是多少当r=30/7cm 时，S 的最大值是π736018．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面对角线A 1B 与侧面ACC 1A 1成45°角，AB=4，求棱柱的侧面积.棱柱的侧面积为242。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥，则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。

试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。

空间几何体的计算综合练习题

空间几何体的计算综合练习题一、立方体问题1. 一个立方体的边长为5厘米，求其体积和表面积。

解答：立方体的体积公式为：V = a^3，表面积公式为：S = 6a^2，其中a 为边长。

给定边长a = 5厘米，代入公式可得：体积 V = 5^3 = 125立方厘米表面积 S = 6 × 5^2 = 150平方厘米因此，该立方体的体积为125立方厘米，表面积为150平方厘米。

2. 一个立方体的表面积为54平方米，求其边长和体积。

解答：设立方体的边长为a，则根据表面积公式可得：6a^2 = 54化简方程得：a^2 = 9a = 3所以该立方体的边长为3米。

根据体积公式可得：V = a^3 = 3^3 = 27立方米因此，该立方体的边长为3米，体积为27立方米。

二、球体问题1. 一个球体的半径为6厘米，求其体积和表面积。

解答：球体的体积公式为：V = (4/3)πr^3，表面积公式为：S = 4πr^2，其中r为半径。

给定半径r = 6厘米，代入公式可得：体积V = (4/3)π × 6^3 ≈ 904.78立方厘米表面积S = 4π × 6^2 ≈ 452.39平方厘米所以该球体的体积约为904.78立方厘米，表面积约为452.39平方厘米。

2. 一个球体的表面积为100平方米，求其半径和体积。

解答：设球体的半径为r，则根据表面积公式可得：4πr^2 = 100化简方程得：r = 5所以该球体的半径为5米。

根据体积公式可得：V = (4/3)πr^3 = (4/3)π × 5^3 ≈ 523.60立方米因此，该球体的半径为5米，体积约为523.60立方米。

三、圆柱体问题1. 一个圆柱体的底面半径为4厘米，高度为10厘米，求其体积和表面积。

解答：圆柱体的体积公式为：V = πr^2h，表面积公式为：S = 2πr^2 + 2πrh，其中r为底面半径，h为高度。

给定底面半径r = 4厘米，高度h = 10厘米，代入公式可得：体积V = π × 4^2 × 10 ≈ 502.65立方厘米表面积S = 2π × 4^2 + 2π × 4 × 10 ≈ 226.20平方厘米所以该圆柱体的体积约为502.65立方厘米，表面积约为226.20平方厘米。

空间几何体的表面积与体积练习题

空间几何体的表面积与体积练习题.及答案空间几何体的表面积与体积专题1.选择题1.正四面体的棱长为2，其表面积为43.解析：每个面的面积为2×2×sin60°=3，正四面体共有4个面，故表面积为4×3=12，即43.2.将球的表面积扩大到原来的2倍，其体积扩大到原来的22倍。

解析：由题意可知球的半径扩大到原来的2倍，故体积扩大到原来的(2^3)/(2^2)=4倍，即22倍。

3.给定一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，求该多面体的体积。

解析：根据三视图的特点，可画出多面体的形状，如图所示。

该多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，故所求多面体的体积为V=长方体的体积-正三棱锥的体积=4×4×6-1/3×(1/2)×2×2×2=284/3.4.给定某几何体的三视图，求其体积。

解析：由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，故其体积为V=2^3-1/3×π×1^2×2=8-2π/3.5.已知某几何体的三视图，其中正视图中半圆的半径为1，求该几何体的体积。

解析：根据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为2、3、4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积为V=2×3×4-1/3×π×1^2×3=24-π/3.6.给定某品牌香水瓶的三视图，求其表面积。

解析：该空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱。

上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1-1/4×π×1^2=30，中间部分的表面积为2π×1=2π，下面部分的表面积为2×4×4+16×2-1/4×π×1^2=64，故其表面积为94+π。

高考数学空间几何体体积与表面积选择题

高考数学空间几何体体积与表面积选择题1. 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么长方体的体积V 和表面积S分别是：A. V = a * b * c, S = 2(ab + ac + bc)B. V = a * b * c, S = 2ab + 2ac + 2bcC. V = a * b * c, S = ab + ac + bcD. V = ab * c, S = 2(ab + ac + bc)2. 计算球体的体积V和表面积S，已知球的半径为r，那么：A. V = 4/3πr^3, S = 4πr^2B. V = πr^3, S = 4πr^2C. V = πr^3, S = 2πr^2D. V = 4/3πr^3, S = 2πr^23. 计算圆柱体的体积V和表面积S，已知圆柱的高为h，底面半径为r，那么：A. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2B. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrhC. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2D. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrh4. 计算圆锥体的体积V和表面积S，已知圆锥的高为h，底面半径为r，那么：A. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhB. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhC. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhD. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrh5. 计算棱柱的体积V和表面积S，已知棱柱的高为h，底面积为A，那么：A. V = Ah, S = 2A + 2PhB. V = Ah, S = 2A + 2PhC. V = Ah, S = 2A + 2PhD. V = Ah, S = 2A + 2Ph6. 计算圆台的体积V和表面积S，已知圆台的高为h，上底半径为r1，下底半径为r2，那么：A. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hB. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 +πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hC. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hD. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)h7. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^28. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^29. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^210. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^211. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^212. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^213. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^214. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^215. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^216. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^217. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^218. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^219. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^220. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^221. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^222. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^223. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^224. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^225. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^226. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^227. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^228. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^229. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^230. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^231. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^232. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^233. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^234. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^235. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^236. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^237. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^238. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^239. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^240. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^241. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^242. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^243. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^244. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^245. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^246. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^247. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^248. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^249. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^250. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^2。

高一数学暑假作业第六天空间几何体的表面积与体积苏教版

第六天空间几何体的表面积与体积1. 要熟练掌握常见的几何体体积和表面积的求法．2. 球的体积公式：V ＝43πR 3，表面积公式：S ＝4πR 2.3. 在处理体积问题时，要善于应用割补的思想．一个直角梯形上底、下底和高之比为2∶4∶ 5.将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台(如图)，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________(参考时间60分钟满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、选择题(每题5分，共30分)1. (*)一个长方体的长、宽、高的比为4∶2∶1，它的体积为1000cm 3，则该长方体的高为( )A. 5 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 20 cm2. (*)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )A. 12πB. 323πC. 8πD. 4π3. (*)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A. 3π B. 3 3π C. 6πD. 9π4. (**)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. π45. (**)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为( )A. 256B. 258C. 253D. 2546. (***)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点，则四棱锥P －ABCD 的体积为( )A. 16B. 13 C. 12D. 23二、填空题(每题5分，共20分)7. (*)底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．8. (**)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1－ADE的体积为________．9. (**)各棱长都为1的正四棱锥的体积V＝________.10. (**)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_________________________________________________________________．三、解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)如图，三棱锥P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12. (**)已知圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________13. (***)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC；(2) 设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第六天空间几何体的表面积与体积教材例题回顾练2∶8∶9暑期限时检测1. A 解析：设长方体的高为x，则长＝4x，宽＝2x，由题意得4x×2x×x＝1000，解得x＝5.2. A 解析：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为4＋4＋4＝2 3，即为球的直径，所以半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.故选A.3. A 解析：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，设它的边长是a ，所以34a 2＝3，所以a ＝2，圆锥的全面积是π＋12×2π×2＝3π.4. B 解析：因为圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以该圆柱的体积V ＝Sh ＝π×⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 5. D 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13πr 2h ＝13π×L 24π2×h ＝L212πh .令L 212πh ＝175L 2h ，得π＝7512＝254.6. B 解析：因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面A 1B 1C 1D 1内任意一点，所以点P 到平面ABCD 的距离d ＝AA 1＝1，S 正方形ABCD ＝1×1＝1，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13×AA 1×S 正方形ABCD ＝13×1×1＝13.7. 43 8. 112 9. 2610. 5π 11. 解：设D 为BC 的中点，连接AD ，PD ，作PO ⊥平面ABC .因为∠PAB ＝∠PAC 且AB ＝AC ，所以O ∈AD .作PE ⊥AB 于点E ，连接OE ，则OE ⊥AB . 在Rt △PAE 中，PE ＝a sin60°＝32a ，AE ＝a 2. 在Rt △AEO 中，OE ＝a 2tan30°＝36a .所以OP ＝PE 2－OE 2＝63a ，所以V P －ABC ＝13·S △ABC ·OP ＝23a 3.12. 解：如图，设圆台的上底面周长为C ，因为扇形的圆心角是180°，所以C ＝π·SA .又C ＝2π×10＝20π(cm)，所以SA ＝20cm. 同理，SB ＝40cm ，所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)．所以圆台的高h ＝AB 2－r 2－r 12＝10 3(cm)，S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π (cm 2)，V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22)＝13π×10 3(102＋10×20＋202) ＝7000 33π(cm 3)．答：圆台的表面积为1100πcm 2，体积为7000 33πcm 3.13. (1) 证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2) V ＝13×12×PA ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.PB ＝PA 2＋AB 2＝132.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC . 又AH ＝PA ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.。

高考专题练习：空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3常用结论1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球的半径(1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)．(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)考虑不周，忽视分类讨论； (2)锥体的底面及其对应高不清楚； (3)组合体的表面积没注意衔接部分．1．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π2．已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S -ABC 的体积是________．解析：由∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，得AC ＝210.由∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，得SA ＝2 3.由SA 2＋AC 2＝SC 2，得SA ⊥AC ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABC .所以三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SA ＝13×12×2×6×23＝4 3.答案：4 33．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.答案：12π＋16空间几何体的表面积(师生共研)(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．(5＋2)πB．(4＋2)πC．(5＋22)πD．(3＋2)π(2)(2021·吉林梅河口五中模拟)阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马(四棱锥S-ABCD)，余下三棱锥称为鳖臑(三棱锥S-ECD)，若将某长方体沿上述切割方法得到一个阳马和一个鳖臑，且该阳马的正视图和鳖臑的侧视图如图所示，则该阳马和鳖臑的表面积之和为()A．12＋13＋3 5 B．11＋13＋3 5 C．12＋313＋ 5 D．11＋313＋ 5【解析】(1)因为在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A．(2)由三视图可知，在阳马中，AS＝2，AD＝3，CD＝1，SD＝13，SB＝5，所以S阳马＝S△SAD＋S△SCD＋S△SBC＋S△SAB＋S矩形ABCD＝3×22＋1×132＋3×52＋1×2 2＋3＝7＋13＋352.S鳖臑＝S△SCD＋S△CDE＋S△SDE＋S△SCE＝132＋1×22＋2×32＋3×52＝4＋13＋352，所以所求表面积之和＝11＋13＋35，故选B．【答案】(1)A(2)B空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为()A．992B．61C．62 D．73解析：选C．由三视图画出几何体的直观图如图所示，上、下底面分别为边长是1，4的正方形；图中朝里的两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的梯形；图中朝外的两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形，其表面积为S＝1×1＋4×4＋12×(1＋4)×4×2＋12×(1＋4)×5×2＝62.空间几何体的体积(多维探究)角度一求简单几何体的体积(1)(2020·石家庄质量检测)某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是()A ．8B ．6C ．4D ．2(2)如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18【解析】 (1)由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示)，其中底面直角梯形的上、下底分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为（1＋2）×22×2＝6，故选B ．(2)设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1AEF＝VF A 1AE.又VF A 1AE＝13S△A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD A 1B 1C 1D1，所以VABCD A 1B 1C 1D 1＝6VA 1AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A ．【答案】 (1)B (2)A 角度二求组合体的体积(1)(2020·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．73B．143C．3 D．6(2)(2021·贵阳市第一学期监测考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(俯视图中弧线是14圆弧)()A．4－πB．π－2C．1－π2D．1－π4【解析】(1)由三视图可知，该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体，结合图中数据可得该几何体的体积V＝12×2×1×2＋13×12×2×1×1＝73(cm3)，故选A．(2)由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后剩下的部分，直观图如图所示，该几何体的体积V＝1×1×1－14×π×12×1＝1－π4，故选D．【答案】(1)A (2)D(1)处理体积问题的思路(2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()A．4 B．5C．6 D．12解析：选B．如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，可将原几何体切割成三棱柱EHG-FNM，四棱锥EADHG和四棱锥F-MBCN，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B．2．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12)，所以V四棱锥O-EFGH＝13×3×122×6×4＝12(cm＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(多维探究) 角度一外接球(1)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．(2)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)设球的半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝ 3.又易得AN ＝2，由勾股定理可知ON ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)33 (2)36π(1)求解多面体的外接球时，经常用到截面圆．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线．(3)若球面上四点P，A，B，C的连线中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可构造长方体或正方体解决问题．角度二内切球(1)(2021·重庆七校联考)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为()A．18 B．12C．6 3 D．4 3(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【解析】(1)如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2.所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝OP2－OF2＝2 3.因为△OPF∽△DPE，所以OFDE＝PFPE，得DE＝23，AD＝3DE＝63，AB＝23AD＝12.故选B．(2)易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin∠BPE＝ROP ＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，所以内切球的体积V＝43πR3＝23π，即该圆锥内半径最大的球的体积为2 3π.【答案】(1)B(2)2 3π(1)在求四面体内切球的半径时，应重视分割的思想方法，即将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．(2)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题；球与多面体的组合，一般通过多面体的一条侧棱和球心，并结合“切点”或“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题求解．1．已知正四棱锥P-ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P-ABCD 体积的最大值是()A．16R381B．32R381C．64R381D．R3解析：选C．如图，记O为正四棱锥PABCD外接球的球心，O1为底面ABCD 的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO 1＝x ，则O 1A ＝R 2－x 2，AB ＝2·R 2－x 2，PO 1＝R ＋x ，所以正四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13AB 2·PO 1＝13×2(R 2－x 2)(R ＋x )＝23(－x 3－Rx 2＋R 2x ＋R 3)，求导得V ′＝23(－3x 2－2Rx ＋R 2)＝－23(x ＋R )·(3x －R )，当x ＝R3时，体积V 有最大值64R 381，故选C ．2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 的半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R .又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27核心素养系列14 直观想象——确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； (2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A． 2 B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B ．【答案】 B方法三由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝163π.【答案】 163π[A 级基础练]1．(2020·高考全国卷Ⅲ)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋42B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．4＋2 3解析：选C ．由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AP ＝2，故其表面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×3＋12×(22)2×sin 60°＝6＋2 3.2．(2021·贵阳市适应性考试)某几何体的三视图如图所示，已知正视图和侧视图是全等的直角三角形，俯视图是圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是( )A ．2πB ．π2C ．3π2D ．3π解析：选D ．依题意，题中的几何体是一个圆锥的14(其中该圆锥的底面半径为23，高为3)，如图所示，因此该几何体的体积为14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×π×（23）2×3＝3π，选D ．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π解析：选A．如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin 60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO21＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A．4．(2021·东北三校第一次联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则三棱锥A-BEF的体积为()A．13B．23C．1 D．4 3解析：选B．如图，分别取BC，ED，AD的中点G，P，Q，连接FG，FP，PQ，QG，因为ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，所以PD∥＝FC，所以四边形FCDP为平行四边形，所以PF∥DC.又Q，G分别为DA，CB的中点，所以QG ∥DC ，且QG ＝DC ，所以QG ∥PF ，且QG ＝PF ，所以四边形QGFP 为平行四边形，所以PQ ∥FG .又P 为DE 的中点，所以PQ ∥EA ，所以FG ∥EA ，因为EA ⊂平面EAB ，FG ⊄平面EAB ，所以FG ∥平面EAB .连接EG ，AG ，则V 三棱锥A -BEF ＝V 三棱锥F -ABE ＝V 三棱锥G -ABE ＝V 三棱锥E -ABG ＝13·ED ·S △ABG＝23，故选B ．5．(2021·福建省质量检测)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A ．16π9 B ．8π9 C ．16π27D ．8π27解析：选A ．方法一：如图，OC ＝2，OA ＝3，由△AED ∽△AOC 可得EDOC ＝AEAO .设圆柱体的底面半径r ＝ED ＝2x (0<x <1)，可得AE ＝3x ，则圆柱体的高h ＝OE ＝3－3x ，圆柱体的体积V ＝π(2x )2(3－3x )＝12π(x 2－x 3)，令V (x )＝12π(x 2－x 3)，则V ′(x )＝12π(2x －3x 2)，令V ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝0(舍去)，可得V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1上单调递减，故当x ＝23时，V (x )取得最大值，V (x )max ＝16π9，即圆柱体的最大体积是16π9.方法二：同方法一，则圆柱体的体积V ＝12πx 2(1－x )＝6π·x ·x (2－2x )≤6π·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x ＋（2－2x ）33＝16π9，当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时等号成立，故圆柱体的最大体积是16π9.6．已知圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是________．解析：由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是Sπ，故侧面展开图的边长为2π·S π＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS .答案：4πS7．(2020·高考浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．解析：方法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl 2 ＝2π，解得l ＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ，则2πR ＝2π，解得R ＝1.方法二：设该圆锥的底面半径为R ，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR .因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，则πr ＝ 2πR ，即r ＝2R ，所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR ＝2πR 2＝2π，解得R ＝1.答案：18．(2021·长沙市统一模拟考试)在四面体P ABC 中，△ABC 为等边三角形，且边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P ABC 的体积为________．解析：如图，延长CA 到D ，使得AD ＝6，连接DB ，PD .因为AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形，又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°，所以∠ABD ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ABD ＋∠CBA ＝90°，即∠DBC ＝90°，故CB ⊥DB .因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .因为DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以V三棱锥C -PBD＝13×CB ×S △PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝3AD ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，故BP ⊥DP ，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为A 为DC 的中点，所以V 四面体P ABC ＝12V 三棱锥P -CBD ＝12V 三棱锥C -PBD ＝12×13×6×811＝811.答案：8119．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa）2＝a1＋π2，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x 2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-ACD＝13×12·AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.[B级综合练]11．(2021·安徽省部分重点学校联考)已知三棱锥D-ABC的体积为2，△ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为()A．52π3B．24πC．56π3D．20π3解析：选A．设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，因为O是CD的中点，所以点D到平面ABC的距离为2d，则V DABC＝13S△ABC2d＝13×34×22×2d＝2，解得d＝ 3.过点O向平面ABC作垂线，垂足为O′，则O′为等边三角形ABC的外心，连接O′A，则O′A＝2×32×23＝233，R2＝d2＋O′A2＝3＋43＝133，所以球O的表面积S＝4πR2＝52π3.12．(2021·南充市第一次适应性考试)如图，在正三棱锥A-BCD中，AB＝BC，E为棱AD的中点．若△BCE的面积为2，则三棱锥A-BCD的体积为()A．23B．33C．233D．223解析：选D．因为AB＝BC，所以正三棱锥A-BCD为正四面体，因为E为AD 的中点，所以AD ⊥BE ，AD ⊥CE ，又CE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面BCE .设AD ＝a ，则BE ＝CE ＝32a ，所以等腰三角形BCE 的面积S △BCE ＝12×BC × BE 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝12×a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝12×22a 2＝2，所以a ＝2，所以V 三棱锥A -BCD ＝V 三棱锥A -BCE ＋V 三棱锥D -BCE ＝2V 三棱锥A -BCE ＝2×13S △BCE ×AE ＝2×13×2×a 2＝223.13．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中所给的数据，这个几何体的表面积为________，体积为________．解析：如图所示是还原后的几何体的直观图，分别取BC ，AD 的中点E ，F ，连接SE ，EF ，SF ，由图中数据有AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝SE ＝EF ＝2，BE ＝EC ＝1，因为△SBC 是等腰三角形，所以SB ＝SC ＝ 5. 因为△SBA 为直角三角形，所以SA ＝3. 又因为△SAD 是等腰三角形，所以SF ⊥AD . 所以SF ＝2 2.所以S 正方形ABCD ＝4，S △SBC ＝2，S △SAB ＝S △SCD ＝5，S △SAD ＝2 2. 所以S S ABCD ＝6＋2(2＋5)．所以V S ABCD ＝13·S 正方形ABCD ·SE ＝83. 答案：6＋2(2＋5) 8314．(2020·河北九校第二次联考)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，BC 的中点，过点E ，F ，G 的截面将正方体分割成两部分，则较大几何体的体积为________．解析：如图所示，延长GF ，DA 交于点M ，延长FG ，DC 交于点N ，连接EM ，EN 分别与A 1A ，C 1C 交于点P ，Q ，连接PF ，QG ，则五边形EPFGQ 即为过点E ，F ，G 的平面与正方体的截面图形．易得P A ＝QC ＝a6，连接EA ，EC ，截面下面部分可分割成三部分，分别是三棱锥E -P AF 、三棱锥E -CGQ 、五棱锥E -AFGCD ，则截面下面部分的体积V 1＝V E P AF ＋V E CGQ ＋V E AFGCD ＝13×12×a 6×a2×a ＋13×12×a 6×a 2×a ＋13(a 2－12×a 2×a 2)×a 2＝25144a 3，则较大几何体的体积V ＝a 3－25144a 3＝119144a 3.答案：119144a 3[C级提升练]15．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为() A．12 3 B．18 3C．24 3 D．54 3解析：选B．如图，E是AC的中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，且最大值V max＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B．16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的有________．(填序号)①AE∥平面C1BD；②四面体ACEF的体积为定值；③三棱锥A-BEF的体积为定值；④四面体ACDF 的体积为定值．解析：对于①，如图1，AB 1∥DC 1，易证AB 1∥平面C 1BD ，同理AD 1∥平面C 1BD ，且AB 1∩AD 1＝A ，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，又AE ⊂平面AB 1D 1，所以AE ∥平面C 1BD ，①正确；对于②，如图2，S △AEF ＝12EF ·h 1＝12×1×（32）2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝364，点C 到平面AEF 的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 为定值，所以V A CEF ＝V C AEF ＝13×364×d ＝64d 为定值，所以②正确；对于③，如图3，S △BEF ＝12×1×3＝32，点A 到平面BEF 的距离为A 到平面BB 1D 1D 的距离d 为定值，所以V A BEF ＝13×32×d ＝12d 为定值，③正确；对于④，如图4，四面体ACDF 的体积为V A CDF ＝V F ACD ＝13×12×3×3×3＝92为定值，④正确．答案：①②③④。

9空间几何体的表面积和体积.22doc

空间几何体的表面积和体积（9）命题人。

李永侠一、选择题：1．过正三棱柱底面一边的截面是（）A ．三角形B ．三角形或梯形C ．不是梯形的四边形D ．梯形 2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（）A ．21B ．1C ．2D ．34．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A ．26aB ．12a 2C ．18a 2D ．24a 25．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结 A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积（）A ．361a B ．363aC ．3123aD ．3121a6．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）A ．5B ．15C ．25D ．1257．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A ．2π B ．6πC ．4πD ．3π 8如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该集合体的俯视图可以是9 （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) AB．62+ C6 D4r10(2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是A. 2(20cm +B.21 cmC. 2(24cm +D. 24 cm左视图二．填空11（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）12.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是13如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为14已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为_______________，球心到平面ABC 的距离为______.：15球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 16．已知正三棱锥的侧面积为183 cm 2,高为3cm. 求它的体积．三、解答题：17．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r ，求：全面积； ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知：等边圆锥底面半径为r ，求：全面积．18四边形ABCD A B C D ，，，，(,)(,)(,)(,)00102103，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．19如图，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h h h113， ,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h h 22，求.20已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题

高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.2.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【答案】（1）见解析；（2）体积（3）见解析【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析:（1）证明：因为平面，所以。

因为为△中边上的高，所以。

因为，所以平面。

4分（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，所以。

因为平面，所以平面。

则，。

8分（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点，所以。

因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。

因为，所以。

因为平面，所以。

因为，所以平面，所以平面。

13分【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积4.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则（1）直线被球截得的线段长为（2）四面体的体积的最大值是【答案】(1);(2).【解析】（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，，又，，平面，设正方体的棱长为1，，则，当时，最大值为．【考点】组合体6.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.8.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．正方体外接球的体积是，则外接球的半径正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．9.正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定【答案】C【解析】由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【答案】C【解析】观察三视图可知，这是一个四棱柱，底面梯形两底分别为2,4，高为4，几何体的高为4，底面梯形的腰长为，所以，几何体表面积为，48+8，故选C。

空间几何体的表面积和体积测试题

《空间几何体的表面积和体积》测试一、选择题（每小题5分共50分）1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）Ａ16π Ｂ． 20π Ｃ． 24π Ｄ． 32π2、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（） A. 1：3 B. 1:1 C. 2：1 D. 3:13、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π4。

、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为（）（A ）6+（B)24+（C)24+2 (D ）325。

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ）A ．22+B ． 221+C ．222+ D ． 21+ 6。

半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ．3R B ．3R C ．3R D ．3R 7。

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8。

两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是( ）A ．21B ．1 C ．2 D ．39。

如图，一个封闭的长方体,它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明,则字A B 正视图侧视图府视图母A 、B 、C 对面的字母依次分别为（ )（A ） D 、E 、F （B ） F 、D 、E (C ） E 、F 、D (D ） E 、D 、F 10。

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的（）（)①② （）①③ （）①④ (） ②④二、填空题（每小题5分共25分)11.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点,其最短路程是12．已知正三棱锥的侧面积为18 cm,高为3cm. 则它的体积．13。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．【答案】（1）64 （2）40＋24【解析】解：本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V＝×(8×6)×4＝64．(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4．同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝＝5．∴S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24．侧2.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】【解析】设底面半径为，则它们的高，，，，所以.【考点】旋转体的体积．3.如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得，，所以利用线面平行的判定得平面，再利用线面垂直的性质，得；第二问，利用和中的边长和角的关系，得到，由于，所以平面，所以利用线面垂直的性质得，利用线面垂直的判定得平面，由于平面平行平面，所以得到平面，所以是三棱锥的高，最后利用三棱锥的体积公式计算. （1）证明：∵底面和侧面是矩形，∴，又∵∴平面 3分∵平面∴． 6分（2）解法一：，，∴△为等腰直角三角形，∴连结，则，且由（1）平面，∴平面∴∴平面∴平面 9分∴． 12分解法二：∵,且∴在△中，，，得 9分∴三棱锥的体积：． 12分【考点】线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.4.已知三棱锥中，，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下图所示，取的中点，连接、，易证，所以，易证，，且，、平面，平面，过点在平面内作，由于平面，，由于，，、平面，平面因此，为直线与平面所成的角，所以，由于，所以为等边三角形，，，且，由勾股定理得，易知，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以其外接球的表面积为，故选B.【考点】1.直线与平面垂直；2.外接球5.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.【答案】【解析】如图是正四棱锥外接球的球心，是底面中心，，，设球半径为，在中，，解得，所以.【考点】正棱锥的外接球.6.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，平面底面，为的中点，是棱的中点，.（1）求证:平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题意知四边形BCDE为平行四边形，故连结CE交BD于O，知O是EC的中点，又M是PC的中点，根据中位线定理知MO∥PE，根据线面平行判定定理可得PE∥面BDM；（2）三棱锥P-MBD就是三棱锥P-BCD割去一个三棱锥M-BCD，故三棱锥P-MBD体积就是三棱锥P-BCD体积减去一个三棱锥M-BCD的体积，由PA=PD=AD=2及为的中点知，PE垂直AD，由面面垂直的性质定理知PE⊥面ABCD，故PE是三棱锥P-BCD的高，由M是PC的中点知三棱锥M-BCD的高为PE的一半，故三棱锥P-MBD体积为三棱锥P-BCD体积的一半，易求出三棱锥P-BCD即可求出三棱锥P-MBD体积.试题解析：（1）连接，因为，，所以四边形为平行四边形,连接交于，连接，则，又平面，平面，所以平面.（2），由于平面底面，底面所以是三棱锥的高，且由（1）知是三棱锥的高，，，所以，则.【考点】1.线面平行的判定；2.简单几何体体积计算；3.逻辑推理能力；4.空间想象能力.7.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P BDF的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.(2)解:三棱锥P BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =. 由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2.由PF=7FC,得三棱锥F BCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=.8.如图所示,三棱柱ABC A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D、E分别为A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BC1D;(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析 (2) 不存在.理由见解析【解析】(1)证明:取AB的中点M,∵AF=AB,∴F为AM的中点,又∵E为AA1的中点,∴EF∥A1M.在三棱柱ABC A1B1C1中,D、M分别为A1B1、AB的中点,∴A1D∥BM,A1D=BM,∴四边形A1DBM为平行四边形,∴A1M∥BD,∴EF∥BD,∵BD⊆平面BC1D,EF⊄平面BC1D,∴EF∥平面BC1D.(2)解:设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15, 则∶=1∶16,∵==×××=·.∴·=,∴=,∴AG=AC>AC.所以符合要求的点G不存在.9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求四棱锥B－AA1C1D的体积．【答案】（1）见解析（2）3【解析】(1)证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1，∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1 C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1 C.在Rt△ABC中，AC＝，BE＝＝，∴四棱锥B－AA1C1D的体积V＝× (A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B-B1EF的体积为________．【答案】【解析】VB-B1EF＝VE-B1FB＝S△B1BF·EB＝××2×1×1＝.12.已知棱长为的正方体，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合体，如图，一个正四棱锥的高是正方体的高的一半，故所求的多面体的体积为2××××＝.13. 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝4，E 为边DC 的中点，如图1.将△ADE 沿AE 折起到△AEP 位置，连PB 、PC ，点Q 是棱AE 的中点，点M 在棱PC 上，如图2.(1)若PA ∥平面MQB ，求PM ∶MC ；(2)若平面AEP ⊥平面ABCE ，点M 是PC 的中点，求三棱锥A -MQB 的体积．【答案】（1）1∶2（2）【解析】(1)连AC 、BQ ，设AC ∩BQ ＝F ，连MF .则平面PAC ∩平面MQB ＝MF ，因为PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，所以PA ∥MF .(2分) 在等腰梯形ABCD 中，E 为边DC 的中点，所以由题设，AB ＝EC ＝2. 所以四边形ABCE 为平行四边形，则AE ∥BC .(4分) 从而△AFQ ∽△CFB ，AF ∶FC ＝AQ ∶CB ＝1∶2.又PA ∥MF ，所以△FMC ∽△APC ，所以PM ∶MC ＝AF ∶FC ＝1∶2.(7分) (2)由(1)知，△AED 是边长为2的正三角形，从而PQ ⊥AE .因为平面AEP ⊥平面ABCE ，交线为AE ，所以PQ ⊥平面ABCE ，PQ ⊥QB ，且PQ ＝. 因为PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面ABCE ，交线为QC .(9分) 过点M 作MN ⊥QC 于N ，则MN ⊥平面ABCE ，所以MN 是三棱锥M -ABQ 的高．因为PQ ⊥平面ABCE ，MN ⊥平面ABCE ，所以PQ ∥MN . 因为点M 是PC 的中点，所以MN ＝PQ ＝.(11分)由(1)知，△ABE 为正三角形，且边长为2.所以，S △ABQ ＝.三棱锥A -MQB 的体积V A -MQB ＝V M -ABQ ＝××＝.(14分)14. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为，则圆锥的体积是________.【答案】【解析】本题考查圆锥的侧面展开图问题，我们知道圆锥侧面展开图的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面周长，因此有，故，那么圆锥的高为，所以体积为．【考点】圆锥侧面展开图与圆锥体积．15. 如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．A．圆锥的高等于圆柱高的；B．圆锥的高等于圆柱高的；C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点．【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误．【考点】体积公式．16.如图，在三棱锥中，，，D为AC的中点，.（1）求证：平面平面；（2）如果三棱锥的体积为3，求.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取中点，连结，得出，再利用，根据线面垂直的判定证出平面，从而得到垂直平面内的线，再利用为中位线，得出平面，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，根据已知进行等体积转换，利用三棱锥的体积公式列出等式，解出的值.试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以． 3分由已知，，又，所以，因为，所以平面．又平面，所以平面⊥平面． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面．设，因为为的中点，所以， 10分由解得，即． 12分【考点】1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.锥体的体积公式.17.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）体积为3.【解析】（Ⅰ）为了证明//平面,需要在平面内找一条与平行的直线，而要找这条直线一般通过作过且与平面相交的平面来找.在本题中联系到为中点，故连结，这样便得一平面，接下来只需证与平面和平面的交线平行即可.（Ⅱ）底面为一直角梯形，故易得其面积，本题的关键是求出点B到平面的距离.由于平面，所以易得平面平面.平面平面．根据两平面垂直的性质定理知，只需过B作交线AC的垂线即可得点B到平面的距离，从而求出体积.试题解析：（Ⅰ）连接,设与相交于点,连接，∵四边形是平行四边形,∴点为的中点．∵为的中点，∴为△的中位线,∴．∵平面,平面,∴平面． 6分（Ⅱ）∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面．作，垂足为，则平面，∵，，在Rt△中，，，∴四棱锥的体积12分【考点】1、直线与平面的位置关系；2、多面体的体积.18.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.【解析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得到，再利用直线平面平行的判定定理得到平面；（2）先证明平面，利用（1）中的条件得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面，在证明平面的过程中，在等腰三角形中利用三线合一得到，通过证明平面得到，然后利用直线与平面垂直的判定定理即可证明平面；（3）利用题中的条件平面，在计算三棱锥的体积中，选择以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥来计算其体积，则该三棱锥的高为，最后利用锥体的体积计算公式即可. 试题解析：（1）取的中点，连结、，∴为的中位线，，∵四边形为矩形，为的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，，又平面，平面，∴平面；（2）底面，，，又，，平面，又平面，，直角三角形中，，为等腰直角三角形，，是的中点，，又，平面，，平面，又平面，平面平面；（3）三棱锥即为三棱锥，是三棱锥的高，中，，，三棱锥的体积，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.等体积法求三棱锥的体积19.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此. 故选B.【考点】三视图.20.一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点. 又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选A.【考点】球与球的内接几何体中基本量的关系,球表面积公式21.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为__________【答案】【解析】先设梯形的上底、下底和高，然后利用圆柱和圆锥的体积公式求出以这三边旋转得到的几何体的体积，联立得到的式子可解出上底、下底和高，结合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周长可以得到。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体S -ABC的体积为V，则R＝．【答案】．【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为 V四面体A−BCD＝∴．【考点】类比推理.2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．【答案】（1）64 （2）40＋24【解析】解：本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V＝×(8×6)×4＝64．(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4．同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝＝5．∴S侧＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24．3.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.4. (2014·荆州模拟)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12cm,深2cm的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm2.【答案】10 400π【解析】设球的半径为r,如图：由勾股定理可知,r2=(r-2)2+36,解得r=10cm.所以表面积为4πr2=4π×100=400π(cm2).5.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）.【解析】（1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得；在图乙中，可得AB⊥CD．根据DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．（2）首先根据E，F分别为AC，AD的中点，得到EF//CD，根据（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，从而得到在图甲中，根据给定角度及长度，计算“不变量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，利用体积公式计算即得所求．解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一.（1）证明：在图甲中∵且∴，即 1分在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD∩平面BDC＝BD4分又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分（2）解：， 7分又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分所以， 9分在图甲中，由得，， 10分，11分12分【考点】平行关系，垂直关系，几何体的体积.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱∴该几何体的体积是7.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)【答案】【解析】由圆锥的母线长为,侧面积为.则根据.即可求出圆锥的底面周长.从而解出底面半径.再求出圆锥的高.根据体积公式.【考点】1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化.8.已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．【答案】【解析】．【考点】旋转体的体积．9.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.【答案】【解析】如图是正四棱锥外接球的球心，是底面中心，，，设球半径为，在中，，解得，所以.【考点】正棱锥的外接球.10.若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π11.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．【答案】（1）a3（2）a2【解析】(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴V－BCD＝V A－BPC＋V D－BPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··aA≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，∴S＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.表12.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P BDF的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.(2)解:三棱锥P BCD的底面BCD的面积S△BCD由PA⊥底面ABCD,得=·S·PA=××2=2.△BCD由PF=7FC,得三棱锥F BCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=.13.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为() A．B．C．D．8π【答案】A【解析】由题意，球的半径为R＝，故其体积V＝π()3＝，选A.14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【答案】【解析】因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝·S△DED1·h＝××1＝.15.若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为．【答案】【解析】设长方体的边长为，那么长方体的表面积为：，又由于：，而，所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积；基本不等式的变形.16.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．【答案】【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆.【考点】圆锥的侧面积.17.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，,则球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为平面，，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，球的表面积，故选C.【考点】1、空间几何体的位置关系；2、球的表面积.18.如图，一只蚂蚁由棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的点出发沿正方体的表面到达点的最短路程为．【答案】【解析】采用侧面展开法，展开后，在矩形中，，．【考点】立体几何表面距离最短问题．19.如图，平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.【考点】1.球内接多面体；2.球的体积和表面积20.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，由此可得平面平面．(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一个直角三角形，这样可得四边形的面积.又平面平面，所以过D作的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积.思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥和，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，所以,所以,即， 3分又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，又,所以平面, 5分又平面,所以平面平面． 6分(Ⅱ)法一：连结，∵，∴∵平面，所以， 8分所以四边形的面积， 10分取的中点，连结，则，且，又平面平面,平面平面，所以平面，所以四棱锥的体积：． 12分法二: 四棱锥的体积， 8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分所以． 12分【考点】1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.21.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.【答案】【解析】圆锥与球的截面如下图，设球的半径为，则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为，圆锥的侧面面积为，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以其面积比为.【考点】1.圆锥与球的表面积；2.球与其内接几何体的关系.22.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设四棱锥是满足条件的，连结、交于，球心在上，令球的半径为，则，由正四棱锥所有棱长为1，易求得四棱锥的高，在中，，即，解得，故球的体积为. 选D.【考点】正四棱锥的性质，球的体积.23.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）．【答案】①②⑤【解析】根据几何体的特点可知，有12个顶点，24条棱，16个面，所以①、②都对，③错；表面积为故④错；其体积为故⑤成立.【考点】几何体的体积和表面积.24.如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则【答案】【解析】依题意，，三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.25.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，所以该几何体的体积为【考点】本小题主要考查三视图.点评：此类问题，主要考查学生的空间想象能力，解决此类问题的关键是根据三视图正确还原几何体.26.如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．96D．80【答案】A【解析】由三视图知：原几何体为正方体和一个四棱锥的组合体，正方体的棱长为4，正四棱锥的底面边长为4，高为2，所以正四棱锥的斜高为。

高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆,理解为主)。

二．命题走向———-用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; 三．要点精讲l 表示侧棱长。

12 上、下底面半径，R 表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得:⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2)2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3)由（3）－(1)得x 2+y 2+z 2=16即l 2=16所以l =4(cm ）.点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切)与面积、体积之间的关系.例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

（1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; （2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2解析：(1)如图2，连结A 1O ，则A 1O⊥底面ABCD 。

作OM⊥AB 交AB 于M ，作ON⊥AD 交AD 于N,连结A 1M ，A 1N 。

由三垂线定得得A 1M⊥AB，A 1N⊥AD。

∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos 3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223。

又在Rt△AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29，∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。

空间几何体的表面积与体积计算综合练习题

空间几何体的表面积与体积计算综合练习题在几何学中，我们经常需要计算空间几何体的表面积与体积。

下面将给出一些综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 圆柱体假设有一个圆柱体，底面半径为r，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：圆柱体的表面积由两个圆的面积以及一个矩形的面积组成。

圆的面积为πr^2，矩形的面积为2πrh。

因此，圆柱体的表面积为2πr^2 + 2πrh。

圆柱体的体积为底面积乘以高，即πr^2h。

2. 球体给定一个球体，半径为r，请计算其表面积和体积。

解答：球体的表面积由整个球的表面积组成，即4πr^2。

球体的体积为4/3πr^3。

3. 锥体假设有一个锥体，底面半径为r，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：锥体的表面积由底圆的面积和锥侧面积组成。

底圆的面积为πr^2，锥侧面积为πrl，其中l为锥体的斜高。

根据勾股定理，可以得到l = √(r^2 + h^2)。

因此，锥体的表面积为πr^2 + πr√(r^2 + h^2)。

锥体的体积为1/3底面积乘以高，即1/3πr^2h。

4. 正方体给定一个正方体，边长为a，请计算其表面积和体积。

解答：正方体的表面积由六个正方形的面积组成，即6a^2。

正方体的体积为边长的立方，即a^3。

5. 长方体假设有一个长方体，长为l，宽为w，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：长方体的表面积由两个长方形的面积以及两个矩形的面积组成。

两个长方形的面积为2lw，两个矩形的面积为2lh和2wh。

因此，长方体的表面积为2lw + 2lh + 2wh。

长方体的体积为长乘以宽乘以高，即lwh。

通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解和应用表面积与体积的计算方法。

这些概念在日常生活和工作中有着广泛的应用，例如建筑物的设计与施工、物体的包装和运输等。

在实际问题中，我们需要根据给定的几何体形状和尺寸，利用相应的公式进行计算。

掌握了这些计算方法，我们可以更加准确地评估和解决各种与空间几何体相关的问题。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题

高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.已知正三角形的边长为2，沿着上的高将正三角形折起，使得平面平面，则三棱锥的体积是【答案】【解析】∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D,∴AD⊥平面BCD，∵平面ABD⊥平面ACD，且∠BDC是二面角B-AD-C的平面角∴∠BDC=90°，∵AD是边长为2的正三角形的高，可得BD=CD=1，AD=∴△BCD的面积S=×1×1=△BCD因此三棱锥A-BCD的体积V=×S×AD=××=△BCD故答案为：【考点】正三角形的性质；线面垂直的判定与性质；锥体体积求法.2.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．3.如图，在三棱柱中，侧棱底面, 为的中点,.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析；（2）1.【解析】（1）通过证明线线平行，线面平行的判定定理，在面中找到平行于的线，连接,设与相交于点,连接，证即证；（2）通过等体积转化=试题解析：证明:（1）连接,设与相交于点,连接. 1分∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴. 4分∵平面,平面,∴平面. 6分解:（2）∵三棱柱，∴侧棱，又∵底面，∴侧棱，故为三棱锥的高，， 8分10分12分【考点】1.线面平行的判定定理；2.几何题的体积.4.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2,B．1：4,C．1：8,D．1：16【答案】C【解析】球的表面积公式,两个球的表面积之比是，所以半径之比是，球的体积公式是,所以体积之比是.【考点】球的表面积和体积公式5.如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，,求证平面；（2）如果,,求此圆锥的全面积．【答案】(1)详见解析；(2).【解析】(1)要证平面,即证垂直于平面内的两条相交直线，是已知，转化为证平面,利用母线相等，利用底面半径相等，为中点，证得平面，证得，,得证；(2),求出底面半径，以及母线长，根据全面积公式，,求出全面积.试题解析：解：①连接OC，∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB 2分∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，∴OH⊥平面SBQ； 6分②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4 8分∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，因此，圆锥的侧面积为S侧=π×2×2=4π 10分∴此圆锥的全面积为S侧+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分【考点】1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.6.在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵三棱锥为正棱锥，∴⊥，∴⊥．又∵⊥，，∴平面，即⊥平面，∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，解得，∴．【考点】三棱锥的外接球表面积．7.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.8.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为球的直径2R就是球的内接正方体的体对角线的长.即.所以球的表面积为.因为内接正方体的表面积为.所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是.故选B.【考点】1.球的与内接正方体的关系.2.球的表面积公式.3.正方体的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。

数学空间几何体的表面积与体积试题

数学空间几何体的表面积与体积试题1.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是 .【答案】【解析】根据题意可作图如下,其中 ,则在中,, ,在中,由根据勾股定理得:,所以2.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ），求三棱锥体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）如图，取中点，连结,． 2分因为是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，故,,所以平面,所以. 6分（Ⅱ）在中，因为，故，在中，，因为在中，,故，所以， 10分又平面,所以． 12分【命题意图】本题考查直线和平面垂直、四面体的体积等基础知识，意在考察学生空间向量能力、推理论证能力和基本的运算能力．3.如图,三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)若,,求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见详解；(2)3．【解析】(1)取AB的中点,连接、、,因为CA=CB,所以,由于,,故为等边三角形，所以,因为，所以平面.又，故.(2)由题设知都是边长为2的等边三角形，所以4.如图，在三棱锥中，是等边三角形，.（1）证明:：；（2）证明：；（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）因为是等边三角形，，所以，可得；（2）如图，取中点，连结、，则，，所以平面，所以；（3）作，垂足为，连结，因为，所以，，由已知，平面平面，故，因为，所以、、都是等腰直角三角形.由已知，得，的面积，因为平面，所以三棱锥的体积.5.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A．V1=B．V2=C．V1> V2D．V1< V2【答案】D【解析】设大球半径为，小球半径为，根据题意，所以，于是，即，所以。

空间几何体的表面积与体积综合练习题

空间几何体的表面积与体积综合练习题在几何学中，空间几何体的表面积与体积是非常重要的概念。

理解和计算空间几何体的表面积与体积对于解决很多实际问题是至关重要的。

本文将为读者提供一些综合练习题，帮助读者巩固对空间几何体的表面积与体积的理解。

一、长方体1. 一个长方体的长、宽和高分别为12 cm、8 cm和6 cm，求它的表面积和体积。

解析：长方体的表面积公式为S = 2(lw + lh + wh)，其中l、w和h分别代表长方体的长、宽和高。

代入已知数据，可得表面积S = 2(12*8 + 12*6 + 8*6) = 2(96 + 72 + 48) = 2*216 = 432 cm²。

长方体的体积公式为V = lwh，代入已知数据可得体积V = 12 * 8 * 6 = 576 cm³。

2. 一个长方体的表面积为180 cm²，已知它的长和高的比为3:2，求它的长、宽和高。

解析：设长方体的长为3x，宽为x，高为2x。

根据表面积公式S =2(lw + lh + wh)，代入已知数据得到180 = 2(3x*x + 3x*2x + 2x*x) =2(6x² + 6x² + 2x²) = 2*14x² = 28x²。

解得x² = 180/28 = 6.4286，即x≈2.54。

代入x的值可以得到长方体的长约为3*2.54≈7.62 cm，宽约为2.54 cm，高约为2*2.54≈5.08 cm。

二、正方体3. 一个正方体的棱长为10 cm，求它的表面积和体积。

解析：正方体的表面积公式为S = 6a²，其中a代表正方体的棱长。

代入已知数据可得表面积S = 6 * 10² = 600 cm²。

正方体的体积公式为V = a³，代入已知数据可得体积V = 10³ = 1000 cm³。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为．【解析】由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．即，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，【考点】图象的翻折，几何体的体积．2.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．3.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．4.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以.（1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB∵DA⊥面ABP,CB∥DA∴CB⊥面ABP CB⊥AB ,∴AB⊥面PBC又DC∥AB,∴DC∥面PBC∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC(2)如图建立空间直角坐标系则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)设E(x,y,z),= (0<<1)则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则令c=n=(,0,)同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)∵cos<n,m>====∴=或=1(舍去)∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离∴V=××1××=E-PAB6.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.7.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。

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高一数学《空间几何体的表面积和体积》练习题
班级姓名学号得分
一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分。

请把选择答案填在答题卡上。

）1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原
三棱锥表面积的
A. 1
B.
3
1
C.
1
D.
1
4 9 16
2．正六棱锥底面边长为a，体积为 3 a 3，则侧棱与底面所成的角等
2
于
A. B. C. D. 5
12
6 4 3
3．有棱长为 6 的正四面体 S-ABC，A , B ,C分别在棱 SA，SB，SC上，且S A =2，S B =3，S C =4，则截面A B C将此正四面体分成的两部分
体积之比为
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
9 8 4 3
4.长方体的全面积是 11，十二条棱长的和是 24，则它的一条对角线长是
A．2 3 . B.14 C. 5
5. 圆锥的全面积是侧面积的 2 倍，侧面展开图的圆心角为，则角的取值范围是
A．0 ,90B180 ,270C90 ,180 D
6.正四棱台的上、下底面边长分别是方程x 29x 180 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为
A．
5
2 与 2 与
3
与 4 与 3
2
7.已知正四面体 A-BCD的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、
G、H，设四面体 E-FGH的表面积为 T，则T
等于 A ．
1
B. 4 S 9 9
C. 1
D. 1
4 3
8.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点 P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=2 14，则 P 到这三个平面的距离分别是
A．1， 2，3 B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，9
9.把直径分别为 6cm,8cm,10cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁
球的半径是
A ．3cm B. 6cm C.8cm
D.12cm
9.如图，在多面体ABCDEF中，已知 ABCD是边
长为 1 的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
A. 2 / 3
B. 3 3
C. 4 3
D. 3 2
10．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与 BC，DC分别交于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A－与三棱锥－
BEFD A EFC 的表面积分别是 S1、 S2 ，则必有 A
2B. 1 2C. 1= 2 D. S与S 的大小关系不O D F
S S S S S 12
能确定
B E
C
2 3
，BC=4，ABC 120 ，
11. 三角形 ABC中， AB=
现将三角形 ABC绕 BC旋转一周，所得简单组合体的体积为
A．4 B.3(43) D.(43)
12.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台
的原棱锥的高的比是
A．
题号
答案1
2
B. 1
C. 2
D. 3
3 3 4
10 11
12345678912
B
C B B C
D A A B C C B
A
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分） .
13.一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一个球面上，则
此球的表面积为 3 .
14.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大
值为 a ，最小值为b，那么这个圆柱被截后剩下部分的体积是
(a b)r 2
.
2
15.（江西卷）在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形， ACB ＝90 ，AC＝ 6，
BC＝CC1＝2 ，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是37 1 . 16.圆柱的轴截面的对角线长为定值，为使圆柱侧面积最大，轴截面
对角线与底面所成的角为45 0.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共
4 个大题，共 20 分） .
17.圆锥的底面半径为 5cm ，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径
为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值最大值是多少
360
当r=30/7cm 时， S 的最大值是
7
18．如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1的侧面对角线
A1B 与侧面 ACC1A1成 45°角， AB=4，求棱柱的侧面
积.
棱柱的侧面积为24 2。

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