6.3特殊平行四边形-矩形的性质

一个角是 直角
矩形
想一想： 根据矩形的定义，你能确定矩形是平行四边形 吗？那你知道它有哪些性质吗？
边
矩形的两组对边分别相等; 矩形的两组对边分别平行;
A O B
D
矩 形
角
矩形的对角相等;
C
对角线
矩形的 两条对角线互相平分．
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形 的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？说出你的猜想．
小组活动 先将矩形沿对角线对折，得到一个直角三角形ACD （如下图），由矩形对角线的性质，可得点O是AC的中 点，得DO是Rt△ADC斜边AC上的中线． 讨论：
(1)Rt△ADC的中线DO的长度与对角线BD的长度的关系 1 是 DO= ． BD 2 B A （2）BD与AC的关系是 BD=AC ． O 1 D C （3）DO与AC的关系是 DO= 2 AC ． 结论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边一半 ．
龙山中学仪阳校区 八年级备课组
1、如图1，矩形ABCD中，已知BD=8cm，AD=6cm，则 4 cm，若已知∠CAD=40°，则 ∠ODA=____ 40° OB=____ ； ∠AOB=____ ． 80° 2、直角三角形斜边上的中线与高的长度分别是6cm、5cm， 30cm2 则面积是__________ ． A O B 如图1 C D

学习目标
• 1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边 形的区别与联系. • 2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进 行有关的计算与证明. • 3、发展几何推理能力.
仔细观察老师的演示，思考一下：
1、平行四边形是否具有稳定性？易变形吗？
2、在运动过程中，平行四边形的内角有怎么 的变化规律？
平行 四边形
猜想 1： 矩形的四个角都是直角． 定理
猜想 2： 矩形的对角线相等． 定理 符号语言 ∵四边形ABCD是矩形， B A O C
D
∴∠ =∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴ ACDAB ＝BD 小组交流： 如何证明你的猜想呢？组长把组员的
想法汇总一下，然后与同学们分享一 下你们的论证过程．
已知四边形ABCD是矩形，你能得到哪些相等的线段？相 等的角？等腰三角形？直角三角形？全等三角形？ 相等的线段： AB=CD AD=BC OA=OC=OB=OD 相等的角： AC=BD A 1 2 D 6 7 O 5 8 4 3 C
B ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°； ∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC；∠1=∠2=∠3=∠4 ；∠5=∠6=∠7=∠8． 等腰三角形有： △OAB △OBC △OCD △OAD 直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB； △OAB≌△OCD；△OAD≌△OCB
命题 定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A B O C D
已知：如图，在Rt△ABC中，
1 求证：BO= AC 2
∠B＝90°，O是AC的中点．
2、直角三角形斜边上的中线与高的长度分别是6cm、5cm， 30cm2 则面积是__________ ． A D O B 如图1 C
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的 上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木 杆AB的中点P也随之下落．你能在 图上画出点P下落的路线吗？
例1: 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°, AB=6㎝,求AC的长． 解：∵ 四边形ABCD是矩形 A
1 ∴ AC=BD，OA=OC= AC ， 2 1 OB=OD＝ BD 2
O
D
B
C
∴OA=OB． ∵ ∠BOC=120°，
∴ △AOB是等边三角形． ∴ AC=2OA=2AB=2×6=12(㎝)． ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 促智归纳
N
A
P
O
B
M
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的 上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木 杆AB的中点P也随之下落．你能在 图上画出点P下落的路线吗？
N
A
P
O
B
M
积智归纳
解决有关这种动点移动的问题，关键 是利用相关知识，化动为静，确定常 量．
对自己说，我有哪些收获？ 对同学说，我有哪些温馨提示？ 对老师说，我有什么困惑？
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ） A、内角和是360° B、对角相等 C、对边平行且相等 D、对角线相等 2、下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A、对角线相等 B、四个角相等 C、是轴对称图形 D、对角线垂直 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两 条对角线所夹锐角的度数为 （ D） A．50° B．60° C．70° D．80° A 4.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若 BE=OE=1，则AC=______, 4 AB＝________ 2
如果矩形两对角 线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形.
D
C
O
• 四边形ABCD是矩形
1.若已知AC=8cm，AD=3cm，
A
B
4 则OC＝_______ cm;
8 cm BD=_______
28 cm 2.若已知AB＝8㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____
48 cm2． 矩形的面积＝_______ 12 cm． 3. 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6cm，则AC= _____
E
B C O
D
应用与拓展： 已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2， 矩形的周长为16，求AE的长．