6.3特殊平行四边形-矩形的性质
《6.3特殊的平行四边形》作业设计方案-初中数学青岛版12八年级下册
《特殊的平行四边形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对特殊平行四边形概念的理解，掌握特殊平行四边形的性质及其在实际生活中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、作业内容本次作业包括以下内容：1. 概念复习：学生需复习特殊平行四边形的定义及其类型（如矩形、菱形等），理解各类特殊平行四边形的性质特点。
2. 题目练习：通过典型例题和练习题，巩固对特殊平行四边形性质的运用。
例如，让学生通过图形的拼接、翻折或旋转等方式，找出特殊的平行四边形并证明其性质。
3. 思考探究：要求学生分析并尝试解答日常生活中遇到的特殊平行四边形问题，如建筑物的窗户设计、桥梁的构造等。
三、作业要求1. 作业量适中：本课时作业量不宜过大，以避免学生因疲劳而影响学习效果。
同时，也要保证学生有足够的思考时间。
2. 内容清晰：作业中涉及的知识点要明确，每一题的目标和解题步骤要清晰，以便学生能够明确解题思路。
3. 难度递进：题目设置应遵循由易到难的原则，先让学生掌握基础知识点，再逐步提高难度，引导学生深入思考。
4. 格式规范：要求学生按照规范的格式完成作业，如题目编号、解题步骤、答案等，以方便教师批改。
四、作业评价教师将根据以下标准对作业进行评价：1. 正确性：答案是否准确无误，是否完全符合题目要求。
2. 解题思路：学生的解题思路是否清晰，是否有创新性。
3. 书写规范：学生书写是否工整，格式是否规范。
4. 独立思考能力：学生在解决问题过程中是否能够独立思考，并运用所学知识解决实际问题。
五、作业反馈1. 及时批改：教师将及时批改作业，并对学生的答题情况进行统计和分析。
2. 反馈形式：教师将通过课堂讲解、小组讨论等形式，对学生在作业中出现的错误进行纠正，对优秀答案进行表扬和分享。
3. 个性化指导：针对学生在作业中表现出的不同特点和问题，教师将给予个性化的指导和建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。
4. 家长沟通：教师将与家长保持沟通，及时反馈学生的学习情况，以便家长更好地配合学校的教育工作。
第一章《特殊的平行四边形》-矩形的性质(教案)
c)四个角都是直角：探讨矩形四个角都是直角的特点，及其在几何图形中的应用。
3.矩形的应用：运用矩形的性质解决实际问题，如求矩形的面积、周长等。结合实际案例，让学生感受矩形在生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过探究矩形的性质，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提高空间想象力和几何直观。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是因为他们对矩形性质的理解还不够深入。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些互动性更强的小组活动，让学生在实践中更好地掌握矩形的相关性质。
此外，在难点解析部分，我发现用简洁明了的语言和图示来学中，尽量采用直观、易懂的方式呈现知识点，帮助学生克服难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.发展学生的逻辑推理能力：在证明矩形性质的过程中，训练学生运用严密的逻辑推理，形成完整的证明思路，增强数学逻辑思维。
3.培养学生的数据分析能力：通过解决矩形相关实际问题，让学生掌握数据处理和分析的方法，培养在实际情境中运用数学知识的能力。
4.提高学生的数学建模素养：鼓励学生将矩形性质应用于实际问题，构建数学模型，提高运用数学知识解决现实问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，其对角线相等，对边平行且相等，四个角都是直角。矩形在建筑、设计等领域有着广泛的应用。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理5 两组那边分别平行的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.。
6.3矩形的性质
C
请同学们任意画一个矩形，作出它们的对角 性质 命题 2：矩形的对角线相等． 线，并比较它们的长，你有什么发现？
已知：如图:四边形ABCD是矩形，求证： AC = BD 分析:根据矩形的性质性质,可转 证明：在矩形 ABCD 中 . A D 化为全等三角形 (SAS) 来证明 BC = AD
一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四、矩形的邻角互补
五、矩形 两条对角线互相平分
A
O E 。
D C
B
想一想
探索矩形的对称性:
矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条?
矩形是轴对称图形有一个角是直角，你发现
其他三个角有什么性质？
A
D
B
C
性质 命题１：矩形的四个角都是直角
5．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°， 那么对角线与矩形短边的长度之比为（ B ） A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．1∶1
2)填空
（1）矩形的定义中有两个条件：是 ， 二是 . （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的 度数分为 、 、 、 ． （3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对 角线的一 个交角 为120°，则矩形的边长分别 为 cm， cm， cm， cm．
• 2、快乐练习： • 1)在矩形中，对角线具有的性质是（ B ） • A．相等且互相垂直 • B．相等且互相平分 • C．互相垂直且互相平分 • D．互相垂直且平分内角
2）下列说法错误的是（ C ）． （A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等 （C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等 三角形一共有（ D ） （A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对 4)矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长 15cm，较短边的长为（C ）． (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
平行四边形和矩形的比较
平行四边形和矩形的比较平行四边形和矩形是我们在数学和几何学中常见的两种图形，它们具有一些相似之处，但也存在着一些显著的差异。
本文将从各个方面对平行四边形和矩形进行比较。
1. 定义和性质平行四边形是由四个边两两平行的四边形，它的对边相等，相邻角互补。
矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边相等且相邻角为直角。
因此，可以认为矩形是一种具有特殊性质的平行四边形。
2. 边和角度对于平行四边形而言，虽然它的对边是平行的，但是边长并没有限制，可以是不同的长度。
而矩形的边长是相等的，因此它的四个角度也是相等的，都是直角。
这是矩形与平行四边形的一个重要区别。
3. 对角线和面积平行四边形和矩形都可以通过对角线来划分成两个三角形。
对于平行四边形，对角线的长度可能不相等，而矩形的对角线是相等的。
根据平行四边形和矩形的性质，我们可以快速计算出它们的面积。
对于平行四边形，可以通过底边长与高的乘积来计算面积。
矩形的面积可以通过长和宽的乘积来计算。
4. 性质推导和应用基于平行四边形和矩形的特点，可以推导出其他相关性质。
例如，可以证明矩形的对角线相等，通过平行四边形的性质，我们可以得到相应的结论。
这些推导与性质在几何学和实际应用中具有重要的价值和意义。
5. 应用领域平行四边形和矩形在几何学中广泛应用，并在日常生活中有一些实际的运用。
例如，建筑设计中常使用矩形作为房间的基本形状，平行四边形常用于制作各种家具和装饰。
此外，平行四边形和矩形的性质也与计算机图形学、工程测量等领域相关。
综上所述，平行四边形和矩形虽然有一些相似之处，但也存在明显的差异。
通过对比它们的定义、性质、边和角度、对角线和面积、性质推导以及应用领域等方面的差异，我们可以更好地理解和应用这两种图形。
平行四边形与矩形的性质
平行四边形与矩形的性质平行四边形与矩形是两种常见的四边形，它们在几何学中有着各自独特的性质和特点。
本文将对平行四边形和矩形的性质进行详细的论述。
平行四边形是指四边形的对边是平行的特殊情况。
平行四边形有以下几个重要的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即两组相对边互相平行，这是平行四边形的基本定义。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。
3. 顶角性质：平行四边形的相邻内角互补，即相邻内角的和等于180度。
4. 边长性质：平行四边形的对边长度相等，即两组对边之间的长度相等。
矩形是一种特殊的平行四边形，它具有以下独特的性质：1. 全角性质：矩形的所有角都是直角，即每个内角都等于90度。
这也是矩形与其他平行四边形最明显的不同之处。
2. 边长性质：矩形的相邻边长度相等，即矩形的对边长度相等。
此外，矩形的对角线长度也相等。
3. 装包性质：矩形是四边形中面积最大的形状，对于给定的周长，矩形的面积最大。
除了上述基本性质，平行四边形和矩形还具有许多其他重要的性质。
例如，平行四边形的对边平行，因此可以相互平移而仍然保持相似；矩形的对角线相等，且相互垂直交于中点，这些特性使得平行四边形和矩形在实际生活中应用广泛。
平行四边形和矩形的性质也可以通过数学证明进行验证。
例如，可以通过证明平行四边形的对边平行关系，矩形的对角线相等关系，以及矩形的全角性质等。
这些证明过程可以进一步加深对平行四边形和矩形性质的理解。
总结而言，平行四边形和矩形是几何学中重要的四边形形状，它们具有独特的性质和特点。
通过对这些性质的认识和理解，我们可以更好地应用它们于实际问题中，并深入探究它们的数学背后。
无论是在日常生活中还是学术研究中，平行四边形和矩形都扮演着重要的角色。
§6.3特殊的平行四边形(2)
D
C
巩固练习：课本四边形是矩形
几何语言： ∵AC=BD 四边形ABCD是平行四边形 ∴ 平行四边形ABCD是矩形 巩固练习：课本P29 T17
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矩形的判定定理：对角线相等且平分的四边形是矩形
巩固练习：课本P28 T3
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1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（C）． A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B=∠D=90° C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90° 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（B） A.梯形 B.矩形 C. 正方形 D. 不是平行四边形
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3.下列说法错误的是（D ） A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形 B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有两个角是直角的四边形是矩形 4.已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形 ABEC是平行四边形． 求证：四边形ABCD是矩形．
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作
业
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上节课的主要内容： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 1、矩形的定义： 2、矩形的性质： 矩形的对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角. 矩形的两条对角线相等 且互相平分.
矩形是轴对称图形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
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矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形 已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝ A90° 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B＝90° ∴∠A＋∠B＝180° ∴AD∥BC 同理：AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵∠A＝90° ∴四边形ABCD是矩形 B
6.3 特殊的平行四边形-矩形(第1课时)教学设计
6.3 特殊的平行四边形-矩形（第1课时）教学设计学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重难点：重点：矩形的性质定理及应用。
难点：直角三角形斜边上中线的性质与应用。
课前预习学案1、平行四边形的性质：（1）边：_____________________；（2）角：_______________；（3）对角线：____________；（4）对称性：_____________________。
2.矩形的定义：有一个角是________的平行四边形叫做矩形。
3.矩形的面积：设矩形的两邻边长为a、b,则矩形的面积为。
4、直角三角形的性质：（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是。
（2）直角三角形中，斜边上的________等于斜边的_________。
课内探究学案自主学习自学教材P17——19内容完成以下题目：1、叫做矩形。
2、从矩形的定义可以探究矩形具有的性质：（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。
（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:特殊在“角”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 有效训练：总结：矩形的性质：（1）边：矩形的对边_____________________；（2）角：矩形的四个角都是_______________；（3）对角线：矩形的对角线；_____________________；（4）对称性：矩形既是________图形，也是__________对称图形；合作探究探究一：证明：矩形的对角线相等。
已知：如图，四边形ABCD是矩形。
求证：AC＝BD。
证明：OAB CD探究二：已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O 。
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 矩形的性质
在 Rt△BCD 中，
E
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
点 O，下列说法错误的是
（C ）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB A
D
O
B
C
2 直角三角形斜边上的中线的性质
活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E.
A
D
E
B
C
A E
B
C
问题 BE 是一条怎样的线段？
由此你能得到
它的长度与斜边AC有什么关系？ 怎样的结论?
A
DOB来自C在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，
∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
对角线相交的锐角是
( C)
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm， BC = 8 cm，则 EF =__2_._5__cm．
第4题图
第5题图
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为
D
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
O B
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
中考数学一轮复习 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。
6.3特殊的平行四边形(1)
6.3特殊的平行四边形（1）——矩形的性质一、教学目标：1.知识与技能：使学生掌握矩形的概念、性质；掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质；并能应用矩形的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质进行有关证明和计算。
2．过程与方法：经历矩形的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的探索和证明过程，进一步培养学生的探索精神；发展学生的合情推理和演绎推理能力。
3．情感态度价值观：通过本节的探究学习，加深学生对矩形的认识，使学生体验成功的快感，激发学生的探索精神。
二、教学重点难点：重点：矩形及直角三角形斜边上中线的性质定理难点：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的证明及矩形的性质、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的灵活应用。
三、教学方法：合作探究，交流展示。
四、教具准备：1、平行四边形框架（可变形），2、矩形纸片，3、课件，4、直角三角板，5、电脑。
五教学活动过程：（一） 情景导入1. 教师展示一个活动的平行四边形教具：让平行四边形的一个内角任意变化，变化后得到的四边形还是一个平行四边形吗？为什么？2. 当平行四边形的一个内角变化为直角时停止，让学生观察这时的平行四边形是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．（二）、实验探究活动一、探究矩形的对称性对折你手中的矩形纸片，你发现矩形是轴对称图形吗？矩形有几条对称轴？矩形的对称轴是经过哪两点的直线？（师生一道边折叠边得性质） 活动二、探究“矩形四个角都是直角”性质沿矩形纸片的对称轴对折矩形纸片，你发现矩形的四个角有什么性质？证明你发现的结论。
（学生交流后，一学生口述其证明过程，师生订正后，教师，投影显示证明结果供学生参考）。
活动三、探究“矩形的两条对角线相等”性质画出你手中的矩形纸片的对角线，度量并比较它们的长度，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？（学生交流后，一学生板演，然后让学生们评判纠错） 活动四、再认识矩形（为引入并证明直角三角形的性质定理2和后继的练习做铺垫）1、 结合已经学习的平行四边形的对角线性质、“矩形两条对角线相等”的特性，对矩形的对角线你又有什么新认识？（OA=OB=OC=OD= AC= BD ） 2、 矩形的对角线把矩形分成了几个等腰三角形？2121活动五、探究直角三角形的性质定理21在矩形ABCD 中，若将AD 、CD 、OD 边隐藏，其余条件不变，则有在直角三角形ABC 中，BO 是斜边AC 上的中线，你发现BO 与AC 之间有怎样的数量关系？由此你发现了什么结论？3、 怎样证明你发现的结论呢？（注意保留上图，让上图和将AD 、CD 、OD 边隐藏后得到的直角三角形并排显示。
矩形的性质与判定
矩形的性质及判定（修改）1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是 。
（2）对角线： 且 。
(3)矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
(4)直角三角形斜边上的中线性质根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的 。
（2）对角线 的平行四边形。
（3）有三个角是 的四边形。
4.矩形与平行四边形的区别与联系？ 说理题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )【经典例题:】1如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、125B 、135C 、52D 、2例2、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC=________.3、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2845、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。
北师大版初中九年级上册数学课件-《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)精选全文
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形
讲授新课
矩形的性质与判定综合运用
典例精析
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交 于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E， BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三 角形，继而求得∠BAE的度数，由 △OAB是等边三角形，求出∠ADE的度 数，又由AD=6，即可求得AE的长.
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC
的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等
于( ) A．B8cm
B．10cm
C．16cm
D．24cm
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交 BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝_7_5__度．
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的MN值．
特殊平行四边形矩形的性质和判定解析
证明后的结论,以后可以直接运用.
等腰梯形的性质
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定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.
平行四边形的性质
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定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
特殊的平行四边形之间呢？
还记得它们与平行四边形的关系吗?
能用一张图来表示它们之间的关系吗?
四边形之间的关系
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定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
平行四边形与矩形的性质
平行四边形与矩形的性质平行四边形和矩形是几何学中常见的两个概念，它们具有一些共同的性质和特点。
本文将就平行四边形和矩形的性质展开论述，深入探讨它们在几何学中的应用。
一、平行四边形的性质平行四边形是由四条平行的边所围成的四边形。
它具有以下性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分且相等，即AC=BD。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。
4. 钝角性质：平行四边形中的两个相邻内角是钝角。
二、矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它具有以下性质：1. 对边平行性质：矩形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。
2. 内角性质：矩形的内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
3. 对角线性质：矩形的对角线相等，即AC=BD。
4. 對边相等性质：矩形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。
5. 对角线垂直性质：矩形的对角线互相垂直，即AC ⊥ BD。
三、平行四边形和矩形的关系矩形是一种特殊的平行四边形，因此矩形具有平行四边形的所有性质，另外还有一些独特的性质。
1. 矩形是菱形：由于矩形的对边相等，所以矩形也可以看作是一个菱形。
2. 矩形是正方形的一种情况：当矩形的四个内角都等于90°时，它就是一个正方形。
3. 矩形的对角线相等且垂直：矩形的对角线相等且垂直，即AC=BD，AC ⊥ BD。
4. 矩形的面积计算公式：矩形的面积可以通过长乘以宽来计算，即S = length × width。
五、平行四边形与矩形的应用1. 建筑设计：平行四边形和矩形在建筑设计中经常被使用，如房屋的平行四边形窗户和矩形门等。
2. 包装设计：平行四边形和矩形的规则形状可以使得包装更加整齐美观，利于储存和运输。
3. 数学几何应用：平行四边形和矩形的性质在数学几何中有广泛的应用，可以用于证明和推导其他几何问题。
特殊平行四边形的性质和判定总结
判定：
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一．平行四边形的性质及判定：
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
二．面积公式
1．平行四边形=底✖️高
2．矩形=长✖️宽
3．菱形=对角线✖️对角线➗2
=底✖️高
4．正方形=边长✖️边长
=对角线✖️对角线➗2
平行四边形___________________菱形
性质：
判定
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
平行四边形____________________________________正方形
特殊的平行四边形：
1.矩形：
平行四边形___________________矩形
性质：
判定
矩形具有平行四的平行四边形是矩形
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2.菱形（重点）：
性质：
判定：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
矩形及其性质
(3)你认为矩形还具有哪些特殊
的性质？与同伴交流.
感悟新知
方法
矩形的性质： (1)矩形的四个角都是直角． (2)矩形具有平行四边形的所有性质． (3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
知1－讲
感悟新知
知识点 3 矩形的对角线性质
知3－导
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的
认知基础练
1 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 ( C) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
认知基础练
5 【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋ a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( A )
A ． － 4 ， 21
B ． － 4 ， 11
复习提问 引出问题
感悟新知
知识点 1 矩形的定义
知1－讲
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别提醒: (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可.
感悟新知
例例11：如图1-2-1，在ABCD 中，点E，F 分别为
知1－练
感悟新知
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，∠ B+∠C = 180° . ∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 又∵ AF=DE， ∴△ ABF ≌△ DCE. ∴∠ B= ∠ C=90° . ∴ ABCD 是矩形.
知1－练
感悟新知
方法
知1－讲
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明 四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个 角是直角.
矩形的性质及判定知识点及典型例题
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质 及判定【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
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一个角是 直角
矩形
想一想： 根据矩形的定义，你能确定矩形是平行四边形 吗？那你知道它有哪些性质吗？
边
矩形的两组对边分别相等; 矩形的两组对边分别平行;
A O B
D
矩 形
角
矩形的对角相等;
C
对角线
矩形的 两条对角线互相平分．
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形 的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？说出你的猜想．
小组活动 先将矩形沿对角线对折，得到一个直角三角形ACD （如下图），由矩形对角线的性质，可得点O是AC的中 点，得DO是Rt△ADC斜边AC上的中线． 讨论：
(1)Rt△ADC的中线DO的长度与对角线BD的长度的关系 1 是 DO= ． BD 2 B A （2）BD与AC的关系是 BD=AC ． O 1 D C （3）DO与AC的关系是 DO= 2 AC ． 结论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边一半 ．
龙山中学仪阳校区 八年级备课组
1、如图1，矩形ABCD中，已知BD=8cm，AD=6cm，则 4 cm，若已知∠CAD=40°，则 ∠ODA=____ 40° OB=____ ； ∠AOB=____ ． 80° 2、直角三角形斜边上的中线与高的长度分别是6cm、5cm， 30cm2 则面积是__________ ． A O B 如图1 C D
学习目标
• 1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边 形的区别与联系. • 2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进 行有关的计算与证明. • 3、发展几何推理能力.
仔细观察老师的演示，思考一下：
1、平行四边形是否具有稳定性？易变形吗？
2、在运动过程中，平行四边形的内角有怎么 的变化规律？
平行 四边形
猜想 1： 矩形的四个角都是直角． 定理
猜想 2： 矩形的对角线相等． 定理 符号语言 ∵四边形ABCD是矩形， B A O C
D
∴∠ =∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∴ ACDAB ＝BD 小组交流： 如何证明你的猜想呢？组长把组员的
想法汇总一下，然后与同学们分享一 下你们的论证过程．
已知四边形ABCD是矩形，你能得到哪些相等的线段？相 等的角？等腰三角形？直角三角形？全等三角形？ 相等的线段： AB=CD AD=BC OA=OC=OB=OD 相等的角： AC=BD A 1 2 D 6 7 O 5 8 4 3 C
B ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°； ∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC；∠1=∠2=∠3=∠4 ；∠5=∠6=∠7=∠8． 等腰三角形有： △OAB △OBC △OCD △OAD 直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB； △OAB≌△OCD；△OAD≌△OCB
命题 定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A B O C D
已知：如图，在Rt△ABC中，
1 求证：BO= AC 2
∠B＝90°，O是AC的中点．
2、直角三角形斜边上的中线与高的长度分别是6cm、5cm， 30cm2 则面积是__________ ． A D O B 如图1 C
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的 上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木 杆AB的中点P也随之下落．你能在 图上画出点P下落的路线吗？
例1: 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°, AB=6㎝,求AC的长． 解：∵ 四边形ABCD是矩形 A
1 ∴ AC=BD，OA=OC= AC ， 2 1 OB=OD＝ BD 2
O
D
B
C
∴OA=OB． ∵ ∠BOC=120°，
∴ △AOB是等边三角形． ∴ AC=2OA=2AB=2×6=12(㎝)． ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 促智归纳
N
A
P
O
B
M
木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的 上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木 杆AB的中点P也随之下落．你能在 图上画出点P下落的路线吗？
N
A
P
O
B
M
积智归纳
解决有关这种动点移动的问题，关键 是利用相关知识，化动为静，确定常 量．
对自己说，我有哪些收获？ 对同学说，我有哪些温馨提示？ 对老师说，我有什么困惑？
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ） A、内角和是360° B、对角相等 C、对边平行且相等 D、对角线相等 2、下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A、对角线相等 B、四个角相等 C、是轴对称图形 D、对角线垂直 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两 条对角线所夹锐角的度数为 （ D） A．50° B．60° C．70° D．80° A 4.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若 BE=OE=1，则AC=______, 4 AB＝________ 2
如果矩形两对角 线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形.
D
C
O
• 四边形ABCD是矩形
1.若已知AC=8cm，AD=3cm，
A
B
4 则OC＝_______ cm;
8 cm BD=_______
28 cm 2.若已知AB＝8㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____
48 cm2． 矩形的面积＝_______ 12 cm． 3. 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6cm，则AC= _____
E
B C O
D
应用与拓展： 已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2， 矩形的周长为16，求AE的长．