数形结合思想

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数形结合

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。

它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。

在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。

适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

一、渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念，运用图形，建立表象，理解本质在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。

一年级的小学生学习数学，是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。

数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。

而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。

在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

例如：如，教学“体积”概念。

教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。

首先观察物体，初步感知。

让学生观察一块橡皮和铅笔盒，提问：哪个大，哪个小？又出示一个魔方和一个骰子，提问：那个大，那个小？通过观察物体，让学生对物体的大小有个感性认识。

接着在一个盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一块石头，学生可以观察到，随着石头的投入，杯中的水位不断上升。

问：玻璃杯里的水位为什么会上升？学生从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。

数形结合数学思想方法

数形结合数学思想方法小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。

为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。

下面小编给大家整理了关于数形结合数学思想方法，希望对你有帮助!1数形结合数学思想方法“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辨证关系。

数形结合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。

它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。

它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，觖决数学问题能起到促进和深化的作用。

2数形结合数学思想方法用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。

“数形结合”可以借助简单的图形(如统计图)、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。

以数解形：有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。

而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系(如算式等)，以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。

它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。

助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力。

儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。

表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。

数形结合思想在小学数学教学中的实践应用

数形结合思想在小学数学教学中的实践应用一、数形结合思想的基本概念数形结合思想是指通过数学的抽象思维和几何的形象思维相互贯通、相互补充、相互渗透，以求达到更好的教学效果。

这种教学思想不仅能够增加数学的趣味性和实用性，同时也有助于培养学生的综合思维能力和创造力。

数形结合思想在小学数学教学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 利用图形帮助理解数学概念。

通过绘制图形可以帮助学生更好地理解几何图形的性质和关系，有利于强化学生对几何概念的理解和记忆。

2. 利用数学知识解释图形现象。

通过数学知识可以对图形的属性进行量化分析，从而更深入地理解图形的性质和规律。

3. 通过数学模型对实际问题进行分析和求解。

通过建立数学模型对实际问题进行抽象和计算，从而更好地理解和解决实际问题。

1. 利用几何图形教学数学概念在小学数学的教学中，教师可以通过绘制几何图形的方式，来帮助学生更好地理解和掌握数学概念。

在教学加减法时，可以通过绘制几何图形，让学生直观地理解加减法的意义和运算规律。

在教学分数时，可以通过绘制图形让学生形象化地理解分数的大小和大小比较。

也可以通过观察图形的对称性来帮助学生理解和掌握对称性的概念。

2. 利用数学知识解释图形现象在小学数学教学中，教师可以通过数学知识来解释一些图形现象，从而帮助学生更深入地理解图形的性质和规律。

在教学三角形的面积时，可以通过数学知识来解释三角形面积与底和高的关系，从而让学生更好地理解三角形的面积计算方法。

3. 通过数学模型对实际问题进行分析和求解在小学数学的教学中，教师可以引导学生通过建立数学模型对实际问题进行分析和求解。

在教学解决实际问题时，可以通过建立代数方程或几何图形来对实际问题进行抽象和计算，从而更好地理解和解决实际问题。

也可以通过绘制图形来帮助学生形象化地理解和解决实际问题。

三、数形结合思想在小学数学教学中的效果评价数形结合思想在小学数学教学中的实践应用，可以有效地提高小学生的数学学习兴趣，激发他们的学习动力，增强他们的数学综合素养。

初中数学思想方法有哪些

初中数学思想方法有哪些1、数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又显示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、分类讨论的思想：在数学中，我们经常必须要依据研究对象性质的差异，分各种不同状况予以考查;这种分类思索的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

3、联系与转化的思想：事物之间是互相联系、互相制约的，是可以互相转化的。

数学学科的各部分之间也是互相联系，可以互相转化的。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

2方法一1.对应的思想和方法在初一代数入门教学中，有代数式求值的计算题，通过计算发现：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的，字母的不同取值可得不同的计算结果。

这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，再如实数与数轴上的点，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系在进行此类教学〔制定〕时，应注意渗透对应的思想，这样既有助于培养同学用变化的观点看问题，又助于培养同学的函数观念。

2.整体的思想和方法整体思想就是合计数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上熟悉问题的实质，把一些彼此独立但实质上又互相紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

3.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

著名数学家华罗庚先生说："数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

'这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

4.分类的思想和方法教材中进行分类的实例比较多，如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使同学明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深入、更具体，并且还能使同学掌握分数的要点方法：3方法二1、数形结合的思想和方法在同学刚接触初中数学不久，教材中设置利用"数轴'这一图形，巩固"具有相反意义的量'的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。

数形结合思想

汽车 P站步行 A 汽车工厂
汽车提前10分钟到达工厂，其少走的路程为；两倍的车站到A的距离。即从车站到A汽车用时5分钟。张工程师用时 50分钟。汽车速度是步行速度的10倍。
二、关系图关系的图示法很多，研究对象可以用点（或方框或圆圈）表示，对象间的关系户则用连接两者的线段表示，线段可以添加箭头或标注。例3 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小强已经赛了多少盘？乙甲分析：丙将五个人看成五个 “点”，两人比赛过，丁小强就用线条连接相应的两点。
三、树形图例5 已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K 代表十个互不相同的大于0的数，要使下列等式都成产，A最小是什么数？
B+C=A ； G+H=D ；
D+E=B ； E+F=C ； H+I=E ； I+K=F 。
分析：将这十个数字的关系用树形图表示。
四、矩形图
如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘积（速度、时间和路程），则可用矩形的长和宽表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的积。因此，能借助几个矩形的长、宽和面积之间的关系进行推理或计算。
第十四章数形结合思想
数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系, 在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点之间的关系.

渗透“数形结合”的思想让学生体会数学之美

渗透“数形结合”的思想让学生体会数学之美数形结合的思想能够帮助学生更加直观地理解数学概念。

数学不仅是一门纯粹的抽象学科，它还与我们生活息息相关。

通过数形结合，可以将抽象的数学概念与具体的图形或实物联系起来，让学生更容易理解和接受。

在教授关于面积和周长的知识时，可以通过绘制图形并计算各个边的长度来让学生直观地感受到面积和周长的意义。

这样一来，学生不仅能理解这些概念，还能在实际生活中运用它们，增强对数学的兴趣和认识。

数形结合的思想能够帮助学生发现数学之美。

数学之美在于它的简洁、优美和规律性。

通过将数学与形象相结合，可以让学生更好地感受到这种美。

在教授几何知识时，可以通过展示各种各样的几何图形以及它们的性质和特点，让学生感受到几何之美。

数学中的众多定理和公式也都蕴含着深刻的美感，通过数形结合的方式，可以帮助学生更直观地理解和感受这种美。

数形结合的思想还可以帮助学生培养数学思维和解决问题的能力。

数学思维是一种通过逻辑和推理来解决问题的思维方式，而数形结合可以帮助学生培养这种思维方式。

通过观察图形、分析图形的特点以及运用数学知识来解决相关问题，可以让学生逐渐形成数学思维的习惯。

数形结合也可以帮助学生建立起更加完整和丰富的数学知识网络，提高他们解决问题的能力。

渗透“数形结合”的思想让学生体会数学之美是非常重要的。

通过数形结合，可以帮助学生更直观地理解数学概念，发现数学之美，培养数学思维和解决问题的能力。

教师应该在教学中充分运用这种思想，引导学生深入理解数学，感受数学之美。

只有这样，学生才能真正对数学产生兴趣，并在将来的学习和生活中受益匪浅。

小学数学教学中数形结合思想的渗透

小学数学教学中数形结合思想的渗透数形结合思想是指在数学教学中将具体的数学概念与生活中的形象联系起来，以图形、图像、实物等形式来辅助数学概念的教学和学习。

这种教学理念在小学数学教学中尤为重要，因为小学生的认知能力较弱，他们需要通过具体的事物来理解抽象的概念。

数形结合思想的渗透可以让学生在学习数学的过程中更加直观地理解概念，提高学习效果。

数形结合思想的渗透可以帮助学生跨越认知的障碍，提高数学学习的有效性。

在数学教学中，很多抽象的概念对于小学生来说很难直接理解。

但是如果教师能够通过形象生动的图形或实物来展示与说明，学生就会产生强烈的兴趣和求知欲，从而更容易吸收和理解知识。

在教学中引入各种形状的图形来讲解几何知识，或者通过实物来体现实际问题中的数学逻辑等，都可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

数形结合思想的渗透可以激发学生的学习兴趣，提高他们对数学的喜爱度。

很多学生对数学的反感往往源于对数学知识的难以理解和把握。

而数形结合思想的渗透可以让学生在数学学习中感受到快乐和成就感，从而激发他们的学习动力。

当学生发现自己能够通过看、摸、做等方式掌握和运用数学知识时，他们就会对数学产生浓厚的兴趣，喜欢上数学，乐于学习数学。

数形结合思想的渗透可以培养学生的数学思维能力，提高他们的解决实际问题的能力。

数学并不仅仅是一种工具性的学科，更是一种思维方式和方法。

通过数形结合思想的渗透，学生可以从图形的变化、数学模型的建立等方面培养自己的逻辑思维、空间想象和分析问题的能力。

这对于培养学生的创新精神和实际问题解决能力具有重要的意义。

数形结合思想的渗透需要教师不断提升自己的教学能力和创新意识。

在教学实践中，教师应该不断探索和尝试各种教学方法，灵活运用各种形式的素材和教学资源，使得数形结合的思想能够贯穿于整个教学过程中。

教师还需要关注学生的学习情况，根据学生的实际情况调整教学方法，帮助学生更好地掌握数学知识。

数形结合思想的渗透对于小学数学教学具有非常重要的意义。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

数形结合思想

数形结合思想1. 数形结合思想的概念。

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。

数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。

这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。

在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。

数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。

2. 数形结合思想的重要意义。

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”“数无形时少直觉，形少数时难入微。

”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。

众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂学习都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的学习方法和解决方案。

如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。

小学数学思想

小学数学思想1.数形结合思想数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。

“数形结合”能够借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促动学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。

我们又能够通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都表达了数形结合的思想。

2.集合思想把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定水准抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所表达。

在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。

让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，能够看作一个整体，这个整体就是一个集合。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

3.对应思想对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。

小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，实行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

4.函数思想我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。

函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。

学生对函数概念的理解有一个过程。

在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用

浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用概述数学教学中除了纯粹的运算之外，数形结合思想也是非常关键的一个部分。

它可以帮助学生更好地理解数学概念，加深学生的数学记忆，同时也可以促进学生的思维发展。

本文将从数形结合思想的定义、特点以及在小学数学课堂中的应用等方面进行探讨。

数形结合思想的定义数形结合思想是指将数学符号与几何形状相结合，以帮助学生更好地理解数学的概念。

在这种思想中，数学符号不只是一个抽象的符号，还有着具体的形状和含义，有着更加生动形象的表现方式。

数形结合思想的特点•生动形象数形结合思想注重把抽象符号转化为具体的表现形式，这使得学生对于数学概念会有更加生动形象的理解。

•真实可感数形结合思想使数学概念可以具体地映射到我们生活中的事物上，这使得学生能够较为真实地感受到数学的存在和应用。

•离散结合连续在数学中，有许多连续的变化与单位的离散值变化有着密切的联系。

在数形结合思想中，通过把离散的单位结合到连续的图形中，可以提高学生对于连续变化的理解能力。

数形结合思想在小学数学课堂中的应用在小学数学教学中，数形结合思想可以较好地应用于以下几个方面：整数和分数之间的转化在小学数学教学中，整数和分数之间的转化是一个比较重要的概念，但对于一些学生来说这是一个比较抽象的概念。

可以通过把这个概念与长方形的面积及宽度相结合，让学生更好地理解这种转化的含义。

面积与周长的计算在小学数学教学中，面积与周长的计算也是一个重要的内容。

可以通过构建相应的图形让学生对于面积和周长的计算有直观的理解。

三角形、矩形和圆的面积在小学数学教学中，三角形、矩形和圆的面积也是一个重要的概念。

可以通过把这些图形与具体的生活实例相结合，让学生更加深入地理解这些几何图形的意义。

结论数形结合思想使得数学教学变得生动、真实可感，同时也提高了学生的记忆力和思维发展能力。

在小学数学课堂中，它的应用可以帮助学生更好地理解数学概念，加深学生对于数学的兴趣和认识。

初中数学思想方法篇——数形结合

解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。

在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。

数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。

【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。

3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。

已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。

给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。

则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。

专题48 中考数学数形结合思想(解析版)

专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

谈谈数形结合思想在数学教学中的重要性

谈谈数形结合思想在数学教学中的重要性
数形结合思想是指将数学中的抽象概念与图形直观地结合在一起，通过图形的形状、大小、位置等来帮助理解和解决数学问题的思考方式。

它在数学教学中具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：
1. 直观性强：数学中的抽象概念往往难以被学生直接理解，而图形具有直观性，能够帮助学生形象地把握数学概念。

通过图形的形状、大小、位置等，学生能够更容易地理解抽象的数学概念，从而从感性层面上建立起对数学知识的认识。

2. 帮助发现规律：数形结合思想能够帮助学生在观察和探索中发现数学问题的规律，培养学生的发现和探索能力。

通过绘制图形、观察图形特征和数学意义的联系，学生可以主动参与问题的解决过程，从而提高解决问题的思维能力。

3. 增强记忆和理解：图形形象生动地展示了数学概念和定理的几何意义，能够帮助学生记忆和理解数学知识。

通过观察、分析和绘制图形，学生能够更加深入地理解数学概念和定理，并将其应用于解决问题中，提高数学知识的应用能力。

4. 拓宽思维空间：数形结合思想可以拓宽学生的思维空间，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

通过将数学问题转化为图形问题，学生可以从不同的角度思考问题，寻找更多的解决方法和途径，培养出灵活、独立思考的能力。

因此，在数学教学中，数形结合思想的运用对于学生的数学学习起着重要的作用。

它不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养和综合应用能力。

数形结合思想的总结

数形结合思想的总结数形结合思想是指在数学问题的解决过程中，结合几何图形进行分析和思考，以便更好地理解和解决问题。

数形结合思想是数学思维的重要组成部分，也是培养学生综合素质的有效方法之一。

在学习和应用数形结合思想的过程中，我们可以提高数学问题的理解和解决能力，培养逻辑思维和观察力，同时也能够增强几何直观和空间想象能力。

下面将对数形结合思想进行总结和分析。

首先，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解释数学问题。

数学问题通常以文字的形式呈现，有时候难以理解和把握。

而将问题转化为几何图形，可以帮助我们更加形象地理解问题的含义和要求。

通过观察和分析图形的特点，可以找到问题的关键信息，从而更好地解决问题。

例如，在解决平面几何问题时，我们可以通过画图来表示已知条件和所求要素的关系，从而更好地找到解答的方法和途径。

其次，数形结合思想有助于培养学生的逻辑思维和观察力。

在数学学习过程中，逻辑思维和观察力是至关重要的能力。

运用数形结合思想，可以培养学生的逻辑思维能力。

通过观察和分析图形的形状、大小、位置等特点，进行逻辑推理和推断，有助于学生锻炼逻辑思维能力，提高解题的准确性和效率。

同时，数形结合思想也要求学生具备良好的观察力，能够准确地观察和把握图形的特点和变化。

通过观察和比较图形，可以帮助学生发现问题的规律和规则，从而更好地解决问题。

此外，数形结合思想还能够增强学生的几何直观和空间想象能力。

几何学是研究空间内点、直线、面及其相互关系的数学分支，几何直观和空间想象是几何学习的基本要素。

数形结合思想要求学生通过画图和观察图形，从而增强对几何图形的直观感受和空间想象能力。

通过观察和分析图形的形状、结构和变化，可以培养学生对几何图形的认识和理解能力，提高空间想象和几何直观的能力。

这对于解决几何学问题和应用直观思维进行数学推理是非常重要的。

最后，数形结合思想在培养学生综合素质方面具有积极的作用。

数形结合思想是一种综合性的思维方式，要求学生综合运用数学知识、几何图形和逻辑推理等技能进行分析和解决问题。

浅谈数形结合思想

浅谈数形结合思想数形结合的思想方法一、数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

二、应用数形结合思想的途径1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。