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第3 章 小波变换（Wavelet Transform ）3．1 几点数学笔记[1]3．1．1 数学符号备注∀：”for all” or “for everyone”, 对于每个∃： “there is a” or “there exists”, 存在: is a member of x X x X ∈a R +∈：属于实数域a R+的元A B ⊂ or A B ⊆：Se , A 包含于B 中，A为B 的子集，即A 中的每个元包含于B 集中.t A is contained in set B A B ∪＝{}: x x A or x B ∈∈ ：一切属于A 或B （包括同时属于A和B 的情形）的元构成的集，称为A 和B 的并。

f: X →R : 设X 是一个非空集，f 是一个法则或对应规律，它使X中的每个元素x 对应一个实数f(x),则称f 是定义在X 上的实值函数 ，也称f 是X 到R 中的一个映射。

X 为定义域，{}():f x x X R ∈⊂称为值域，记为()f X 。

如果X R ⊂，则f 就是一元实函数或单元实函数，如果n （n 维实向量空间），则f 就是n 元实函数，当时，称为多元实函数。

X R ⊂2n ≥{}{}:()|()x P x or x P x ：满足性质P 的一切元x 构成的集；如{}2:2x xx +−=0表示满足220x x +−=的一切元x构成的集。

函数的支集是函数定义域的闭子集：即这样一个最小的闭子集或区间[，使得在)(t f ]b a ,[]b a ,之外，函数为零。

)(t f 函数是紧支集：意味着的支撑区)(t f )(t f {})(sup t f p 是紧支集，即，表示支撑区{}[b a t f p ,)(sup ⊂]{})(sup t f p 是有界闭区域的真子集，[为有界闭区域。

[]b a ,]b a ,3．1．2 函数空间[2]这里引进泛函分析中的一些基本概念。

泛函： 函数的变量是另外一个函数。

泛函分析是研究函数空间的数学分支，它源自于变换研究（例如傅里叶变换）及微分积分方程式。

g 线性空间设X 为一非空集合，若在X 中定义了加法和数乘，并满足加法和数乘的结合律和分配律，则称X 为一线性空间。

例 平方可积函数空间。

在()()()22RL R f x f x dx ⎧⎫⎪⎪=<∞⎨⎪⎪⎩⎭∫⎬上做如下定义： 对于任何()f x ，，定义 ()()2g x L R ∈()()()122,,R f g f x g x dx ρ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦∫这时()2L R 称为平方可积函数空间，而且是对实数的加法和数乘构成了线性空间。

g 线性赋范空间定义了元素范数的线性空间。

♥ 范数（norm ）We can always define a norm from an inner product by the formula12,defx x x =。

Or ，更详尽地说，对在上[b a ,]p 次可积的函数空间[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<∫b a ppdt t f L )(， 上，定义范数(norm)为pba ppdt t f t f 1)()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∫； Or ，对次可积的数列空间p ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<∑+∞=1n pnpx l ， 定义范数为pn p n x x 11⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∞+=。

由范数可以导出距离：(),x y y x ρ=−，故，线性赋范空间就是距离空间。

g 巴拿赫空间（Banach Space ）设X 为一线性赋范空间，X 中的任何柯西序列（Cauchy存在一个序号，从这个极序号开始的序列中的任意两点之间的距离都小于这个正实数值。

根据上确界公理，柯西序列存在极限点。

无理数，或者说无限不循环小数，是可以用有理数的柯西序列的极限来定义的。

柯西序列（在度量空间中的柯西序列，或者收敛的序列）：对于任意正实数值，都存在一个序号，从这个序号开始的序列中的任意两点之间的距离都小于这个正实数值。

根据上确界公理，柯西序列存在极限点。

无理数，或者说无限不循环小数，是可以用有理数的柯西序列的极限来定义的。

sequence ）{}i x 都有极限，且极限都在X 内，则称X 为Banach Space 。

Banach Space 实际上是实数或复数域上的完备线性赋范矢量空间。

在现代数学中,泛函分析等于研究巴那赫空间。

最重要的例子是希尔伯特空间,由点积提升为范数。

这是对量子力学数学模型很重要的。

其中重要的研究是巴那赫空间及希尔伯特空间所定义的连续线性算子。

g 度量空间(Metric Space)Metric ：A geometric function defined for a coordinate system such that the distance between any two points in that system may be determined from their coordinates.在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

我们对于现实直观理解的三维欧氏空间是度量空间，其中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。

定义 度量空间M 是一个点集及一个相关距离函数（这里为实数集合）。

对于任意的，该函数必须满足以下条件：♥;♥d(x,y) = 0 当且仅当 x = y;♥d(x,y) = d(y,x) ;♥.g欧几里德空间(Euclidean Space)是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化，即把欧几里德对于距离以及相关的长度和角度等概念，转换成任意维的坐标系。

欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以研究。

内积空间是对欧氏空间的一般化。

g希尔伯特空间(Hilbert space)是一个完备的内积空间，即定义了元素内积的空间。

它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广，也是巴拿赫空间(Banach space)的例子。

描写一个系统的态函数ψ的总体张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。

集合{ψ}不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的、由复函数构成的线性空间。

在数学上，再加上一些严格规定(如对称性和非负性等)的这样的线性空间，叫做希尔伯特空间。

希尔伯特空间中的每个元素都称为矢量，内积就是矢量的点乘。

3.1.3 基底 （basis ）和框架（Frame ）研究一个函数空间中的无穷多个元素之间的关系或求其表达式，往往要引入基底和框架的概念。

g基底 basis设是函数空间X 中的一个线性无关的函数序列，若对于任何，都有{()n e x }()g x X ∈()()n n ng x a e x =∑且系数是唯一的，这样称为空间X 的一个基底。

{()n e x }♥ 标准正交基底（an orthonormal basis ）若该基底满足()()1, ,,0, n m m n e x e x m n =⎧=⎨≠⎩则称为标准正交基底（an orthonormal basis ）。

此时有()()()(),n n ng x g x e x e =∑x 。

这时存在Parseval 等式：n说明标准基底所刻画的信息能量恰好等于2()g x 。

用一个正交基底展开一个函数是数学分析和工程技术应用中的传统做法，但是，正交基底对误差十分敏感，使数值计算不稳定。

引入框架将使基函数中有部分冗余，使基函数之间存在一定的相关性，但可以增加计算的稳定性。

g框架(Frame)设{}n ϕ为希耳伯特空间H 中一个函数序列，对于任何，存在，使得()g x H ∈0A B <≤<∞222,nnA gg B g ϕ≤≤∑则称{}n ϕ为一个框架，,A B 分别为该框架的上界和下界。

If A=B, the frame is said to be tight .可见，这是，由框架所刻画的信息能量并不恰好等于2()g x 。

但是，当A B =并且接近1时，他们是近似相等的。

所以框架可以提供对H 空间的另一种表达方式。

事实上，当A B =时，对于任何，有()g x H ∈22,nng A gϕ=∑由此可以推出n说明： 紧框架一般不是标准正交基，但它可以提供函数一个冗余表示，给出由(),n g x ϕ重构()g x 的一个方法。

例 取H 空间为二维向量空间，现有如下的向量：()1230,1,1,,221,22e e e =⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠对于任何向量，有()211,v v v R =∈)23222221213,2n n v e v v v v ==+++=∑说明{}123,,e e e 构成二维向量空间2R 的一个紧框架，这时的框架界32A B ==。

故{}123,,e e e 并不是2R 的正交基。

12001e 2e3e♥ 标准正交基（或规范正交基）若1A B ==时，{}n ϕ就构成H 空间的正交系，再若()1x ϕ=，则{}n ϕ就构成H 的一个标准正交基（或规范正交基）。

事实上，任取{}j n ϕϕ∈，有2222,,jj njj nn jϕϕϕϕϕ≠==+∑∑nϕ显然只能 2,0j n n jϕϕ≠=∑故有,0,j n n ϕϕj =≠。

另外，对于任何，若设()g x H ∈(),0, for any n g x n ϕ=。

这时显然()0g x =。

说明由()()1,n n ng x A g x ϕϕ−=∑表示的系数是唯一的。

故框架{}n ϕ是H 的一个标准正交基。

3.1.4 线性空间与子空间如果线性空间（或称矢量空间）V 有一个有限基底，就称它是一个有限维的空间。

有限维空间的基底的矢量个数称为V 的维数，记做dimV 。

g 线性子空间设S 是域F 上线性空间V 的一个非空子集，若S 对于V 的线性运算也构成线性空间，则称S 为V 的一个线性子空间。

g 子空间的交设S,T 是域F 上线性空间V 的子空间，属于S 又属于T 的V 中的一切矢量所构成的子集成为S 与T 的交（通集），记作。

S T ∩g 子空间的和设S,T 是域F 上线性空间V 的子空间，由能表示成的一切矢量构成的子集称为S 与T 的和（和集），记作( , S αβαβ+∈∈)T () S T S T +∪。

g 子空间的直和设是线性空间V 的子空间，若和k S 12,,...,k S S S 12...S S +++中每个矢量α的分解式()12... 1,2,...,k i i S i k ααααα=+++∈=是唯一的，这个和就称为直和，记作12...k S S S ⊕⊕⊕子空间的直和有以下性质：♥ 和是直和的必要充分条件：12...k S S S +++()12...=0 1,2,...,k i i S i k αααα+++∈=仅当i α全为零矢量时才成立。