2013高考数学二轮突破性专题训练：坐标系与参数方程 Word版含答案

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专题13：2012-2020年高考数学真题分类汇编《坐标系与参数方程》(学生版)

《坐标系与参数方程》1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos {1sin x a ty a t==+（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国3卷））在直角坐标系xOy中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形ABCD 的顶点都在上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.。

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案解析

【高中数学】《坐标系与参数方程》考试知识点一、131．已知曲线C：2{2x y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（） A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.2．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心【答案】D 【解析】【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1 BC ．2D．【答案】B 【解析】【分析】由题意可知曲线1C 与2C 交于原点和另外一点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出AB ρ=，即可得出AB 的值. 【详解】易知，曲线1C 与2C 均过原点，设点A 为原点，点B 的极坐标为()(),0,02ρθρθπ>≤<，联立曲线1C 与2C的坐标方程2sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3πθρ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，AB ρ== 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.4．若实数x ，y 满足()()22512196x y ++-=，则22x y +的最大值为( )A ．1B ．14C ．729D ．27【答案】C 【解析】【分析】设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.【详解】由222(5)(12)19614x y ++-==，2251211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5cos 14x t +=， 12sin 14y t -=，则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，因此22xy +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++140cos 336sin 365t t =-++1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=,12cos 13α=）又1sin()1t α-≤-≤Q221729x y ∴≤+≤因此最大值为729，故选C. 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.5．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A B 、两点，则AB 为（）A B ．C D ．【答案】B 【解析】【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

(13)坐标系与参数方程 Word版含答案

（13）坐标系与参数方程1、平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ-(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;(2)设点()0,2P ,直线l 和曲线C 交于,A B 两点,求PA PB +. 2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩θθ（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是5sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线()03=>πθρ与曲线1C 交于点A ，点B 在曲线2C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．3、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2sin ()2cos x tt y t =⎧⎨=⎩为参数，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4⎛⎫ρθ+= ⎪⎝⎭()2,0A ．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）AP 是圆C 上动弦，求AP 中点M 到l 距离的最小值．4、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（α 为参数）.(1).求C 和l 的直角坐标方程；(2).若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求直线l 的斜率.5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x acos y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >)，直线l 的参数方程为13x ty t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)若2a =，求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若曲线C 上存在点P ，使得点P 到直线l为，求a 的取值范围.6、已知过点(,0)P a 的直线l的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1).求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2).若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试问是否存在实数a，使得AB =求出实数a 的值；若不存在，说明理由.7、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩(t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长.8、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0π)α≤<，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围． 9、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线l的参数方程为12x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程P 为22312cos =+ρθ.10、在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：(1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α,得2219x y +=,即曲线C 的普通方程为2219x y +=.由πsin()4ρθ-=得sin cos 2,ρθρθ-= ①将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①,化简得2y x =+,所以直线l 的倾斜角为π4(2)由1知,点()0,2P 在直线l 上,可得直线l 的参数方程为πcos 4π2sin4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入2219x y +=并化简,得25270,45271080t ++=∆=-⨯⨯=>,设,A B 两点对应的参数分别为12,,t t则1212270,055t t t t +=<⋅=>,所以120,0t t <<, 所以()1211PA PB t t t t +=+=-+= 解析：2答案及解析：答案：（1）曲线1C 的参数方程化为普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程为22cos =ρρθ即2cos =ρθ.（2）由32cos ⎧=⎪⎨⎪=⎩πθρθ得点A 的极坐标为1,3⎛⎫⎪⎝⎭π，∴1OA =，射线OB 的极坐标方程为()06=->πθρ，由65sin 36⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩πθπρθ得点B 的极坐标为2,6⎛⎫- ⎪⎝⎭π，∴2OB =，∵OA OB ⊥，∴225AB OA OB =+=.解析：3答案及解析：答案：(1)圆C 的普通方程为：224x y +=2(sin cos )22ρθρθ+= 直线l 的直角坐标方程: 04=-+y x(2) M 的参数方程为：2sin 22,()2cos 02t x t t y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩为参数即sin 1,()cos x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数所以设M （sin 1t +，cos t ）则M 点到l 距离: 2|3)4sin(2|2|4cos 1sin |-+=-++=πt t t d当4t π=时， 1223223min -=-=d 解析：4答案及解析：答案：(1).曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=当cos 0α=时, l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+- 当cos 0α=时, l 的直角坐标方程为1x =(2).将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为12,t t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==- 解析：5答案及解析：答案：(1)当2a =时，曲线C 的普通方程为2214y y +=.直线l 的普通方程为20x y +-=.(2)设点cos i (s n )P a θθ,，则点P 到直线l 的距离为d=(其中tan βα=).2，即a ≥时，0d ≤≤；2，即0a <<d ≤≤>=，所以当a ≥. 当0a <，解得aa综上所述，a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 解析：6答案及解析：答案：(1).消t 由2x y a =+∴直线l 的普通方程为0x a -=由6cos ρθ=，26cos ρρθ∴=∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=(2).由于曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，则圆心(3,0),3r =，所以圆心到直线l 的距离32a d -=，根据垂径定理可得222()2ABd r +=，即()223792a ⎛-⎫+= ⎪⎝⎭，可求得322a =±∴实数322a =±. 解析：7答案及解析：答案：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为普通方程为240x y ＋＋＝.将圆C 的极坐标方程=42cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程为22440x y x y ＋－＋＝，即22()(22)8x y －＋＋＝，其圆心(22),-，半径为22，所以圆心C 到直线l 的距离55d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为 ()2221252225⎛⎫-= ⎪⎝⎭解析：8答案及解析：答案：1.因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线的普通方程为:sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=. 2.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程：24(sin cos )40t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ，则12124(sin cos ),4t t t t αα+=+=.并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=> 注意到0πα<<，解得π02α<<. 因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有222222121212()216(sin cos )8PA PB t t t t t t αα+=+=+-=+-16sin28α=+，因为π02α<<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈. 因此22PA PB +的取值范围是(8,24]. 解析：9答案及解析：答案：1.求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程; 2.当1a =时, P 为曲线C 上动点,求点P 到直线l 距离的最大值.1.直线l 的普通方程为)y x a =-,曲线 C 的极坐标方程可化为2222cos 3+=ρρθ,化简可得2213y x +=.2.当 1a =时,直线l 0y -.点在曲线2213y x +=上，可设点P 的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为π|cos sin 1|)1|4d ==--=+-θθθ当πcos()14+=-θ时, d .解析：10答案及解析：答案：(1).曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.(2).将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=. 点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数) 代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =. 因为点M对应的参数为122t t +，所以12122t t PM AB t t +⋅=⋅-=32=解析：。

高考数学压轴专题新备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案解析

数学《坐标系与参数方程》复习知识点一、131．已知曲线C：2{2x y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（） A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有1≤,解得a ≤≤故选C.2．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠【答案】A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离d =由题意得：1d <，即1d =<，解之得：34k <-．故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A B ．CD ．【答案】D 【解析】【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()6πρθ+=M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．13【答案】C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．5．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（） A ．0 B ．14C ．2 D．【答案】D 【解析】分析：先由椭圆221441x nyn +=+得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．详解：把椭圆221441x ny n +=+得，椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， ∴x+y=2cos θ，∴（x+y ）max =2124n ++=18n+． ∴nlim →∞M n =18n lim n→∞+=22．故选D ．点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．6．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<…，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 【答案】D 【解析】【分析】根据参数的几何意义求解即可。

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劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017 高考试题选编1. （全国卷Ⅰ）在直角坐标系x3cos为参数），直线l 的参xOy 中，曲线 C 的参数方程为（y sinx a4t 数方程为1（ t 为参数）.y t（ 1）若a1，求 C 与 l 的交点坐标；（ 2）若C上的点到l距离的最大值为17 ，求 a .2. （全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4 .（ 1）M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足| OM | | OP |16 ，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（ 2）设点A的极坐标为(2 ,) ，点B在曲线 C2上，求△ OAB 面积的最大值.33. （全国卷Ⅲ）在直角坐标系x2tl2的参数xOy 中，直线 l1的参数方程为k t（ t 为参数），直线yx2m方程为m（ m 为参数）.设 l1与 l2的交点为P，当 k 变化时，P的轨迹为曲线 C .yk（ 1）写出C的普通方程；（ 2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )20 ，M为l 3与 C 的交点，求M的极径.4. （天津卷理）在极坐标系中，直线 4 cos() 1 0 与圆 2 sin的公共点个数为____.6x8t5. （江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为t（ t 为参数），曲线Cy2x 2s2的参数方程为（ s 为参数）.设P为曲线 C 上的动点，求点P 到直线l的距离的最小值.y 2 2 s6.（北京卷）在极坐标系中，点A在圆2 2 cos 4 sin40 上，点P的坐标为 (1, 0)，则 | AP |的最小值为 _________.三、 2016 高考试题选编1. （全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x a cost0 ）.在y（ t 为参数， a1 a sin t以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : 4 cos .（Ⅰ）说明 C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3的极坐标方程为0 ，其中0 满足tan0 2 ，若曲线 C1和 C2的公共点都在C3上，求a .2. （全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 x 6 2y 2 25 .（ 1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（ 2）直线l的参数方程是x t cos10 ，求 l 的y，（ t 为参数）， l 与 C 交于 A ，B两点， | AB |t sin斜率 .3. （全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x 3 cos（为参数）.以坐标原y sin点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin 2 2 .4（ 1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（ 2）设点P在C1上，点Q在C2上，求| PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.x 11 t 24. （江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数），椭圆 C3y t2x cos的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.y 2sin5. （北京卷）在极坐标系中，直线cos 3 sin 10 与圆2cos交于A ，两点，则 | AB | B____________.四、 2015高考试题选编6. （ 2015广东文）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos sin 2 ，曲线 C2x t 2（ t 为参数），则 C1的参数方程为y 2 2 t与 C2交点的直角坐标为______________ .7. （ 2015 广东理）已知直线l的极坐标方程为 2 sin 2 ，点 A 的极坐标为 A 2 2 ,7，44则点 A 到直线 l 的距离为______________ .8. （ 2015安徽理）在极坐标系中，圆8 sin上的点到直线R距离的最大值为3__________ .9. （ 2015 北京理）在极坐标系中，点 2 ,到直线cos 3 sin6 的距离为______ .310. （ 2015湖南文）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为___________ .11. （ 2015 重庆理）已知直线l 的参数方程为x1t（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的y1t正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos2 4 （0 ,35），则直44线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_________________ .12. （ 2015 湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，x1 t直线 l 的极坐标方程为sin 3 cos0，曲线 C 的参数方程为t（ t 为参数）， l 与 C 相y1tt交于 A , B 两点，则 | AB |___________ .13. （ 2015新课标全国Ⅰ， 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1: x 2 ，圆C2 : x 1 2y 2 21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求 C1， C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3的极坐标方程为（R ），设 C2与 C3的交点为 M , N ，求C2MN 的面积.414. （较难）（ 201510 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1x t cos新课标全国Ⅱ，:（ t 为y t sin参数， t 0 ），其中 0，在以 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 :2 sin , C3 : 2 3cos.（Ⅰ）求 C2与 C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C1与C2相交于点 A ， C1与C3相交于点 B ，求| AB | 的最大值.15. （ 2015 江苏理）已知圆 C 的极坐标方程为22 2 sin4 0 ，求圆 C 的半径 .416. （ 2015 福建理）在平面直角坐标系x 1 3cost, xOy 中，圆 C 的参数方程为2 （ t 为参数） . 在y3sin t极坐标系（与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 2 sinm m R .4（Ⅰ）求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心 C 到直线 l 的距离等于2，求 m 的值 .x53t17. （ 2015 湖南理）已知直线 l :2 （ t 为参数） . 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极1 t y32轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos .（Ⅰ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点 M 的直角坐标为5, 3 ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B ，求 | MA | | MB | 的值 .x 3 1 t18. （ 2015 陕西）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），以原点y3 t2 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2 3 sin .（Ⅰ）写出圆 C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 .五、 2014 高考试题选编19. （ 2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位x t 1. 已知直线 l 的参数方程是t（ t 为参数），圆 C 的极坐标方程是y 34 cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为（）A.14B.2 14C.2D.2 2x 1 cos 为参数）的对称中心（）20. （ 2014 北京理）曲线2 （ysinA.在直线 y 2x 上 B. 在直线 y 2x 上 C.在直线 yx 1 上D.在直线 y x1 上21. （ 2011 安徽理）在极坐标系中，点2 ,到圆 2cos的圆心的距离为（）322A.2B.4C.1D.39922. （ 2011 北京理）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是（）A. 1 ,B. 1 ,C. 1, 0D. 1 ,22六、其他高考试题选编x 4 5 cost（ t 为参数），以坐标原23. （2013 新课标全国Ⅰ， 10 分）已知曲线 C 1 的参数方程为 5 5sin ty点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为2sin .（Ⅰ）把 C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1与 C 2 交点的极坐标（0 , 02） .x t1 24. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t （ t 为参数）.在以原点O为极点，x轴的y2正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为3.1 2cos2（Ⅰ）直接写出直线l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C 上的点到直线l 的距离为 d ，求 d 的取值范围.25. （ 2012 新课标全国， 10 分）已知曲线C的参数方程是x 2 cos（为参数），以坐标原点1y3sin为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A,B,C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 2 ,.3（Ⅰ）求点 A, B, C, D 的直角坐标；（Ⅱ）设 P 为 C1上任意一点，求 | PA |2| PB |2| PC |2| PD |2的取值范围.26. （ 2012 福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线l上两点M , N的极坐标分别为 2 , 0， 2 3 ,2，圆 C 的参数方程为2x 22cos y （为参数） .3 2sin（Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系.x2t x 5 cos 27. （ 2014 皖南八校联考）若直线l :（ t 为参数）与曲线 C :y （为参数）y 1 4t m 5 sin 相切，则实数m 为 __________.28. （ 2015江西联考）在极坐标系中，曲线cos2 4 sin的焦点的极坐标为 __________. （规定：0 , 0 2 ）29. （ 2013x cos（为参数），以原点为极点，x 轴的广州调研）已知圆 C 的参数方程为siny2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 1 ，则直线 l 截圆 C 所得的弦长为 __________.30. （ 2015 长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x22t（ t 为参数），y12t以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2.1 3sin2（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与 C2是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由 .31. （ 2014 大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆 C1x 4 4cos的参数方程为（为参数），y4sin圆 C2x 2 cos为参数），以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐的参数方程为（y 2 2sin标系 .（Ⅰ）求C1和C2的极坐标方程；（Ⅱ）C1和 C2交于O , P 两点，求P 点的一个极坐标.32. （ 2014广州综合测试）在极坐标系中，直线sin cos a 与曲线2cos 4 sin相交于A ,B 两点，若 | AB | 2 3 ，则实数 a 的值为 ___________.33.（2013 惠州调研）在极坐标系中，已知两点 A , B 的极坐标分别为 3 ,、 4 , ，则 AOB （其36中 O 为极点）的面积为 ______________.（附：海伦公式 Sp p a p b p c ，其中 p1 a b c ）2x 2 t C 的极坐标方程为2sin0 ，若34. 已知直线 l 的参数方程为1（ t 为参数），圆y3t在圆 C 上存在一点 P ，使得点 P 到直线 l 的距离最小，则点P 的直角坐标为 __________.35. 已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x 3 3 cos （为参数），以原点O 为极y1 3sin点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos0 .6（Ⅰ）写出直线 l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；（Ⅱ）求圆 C 截直线 l 所得的弦长 .36. 在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为x 4cos （为参数），直线 l 经过点 P 1 , 2 ，y 4sin倾斜角.6（Ⅰ）写出圆 C 的标准方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，求 | PA | | PB | 的值 .37. 在极坐标系中，曲线C 的方程为23，点 R 22 ,. 1 2sin 24（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线C上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.38. 以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的参数方程为x 2 cost（ t 为参数）.y 2 sin t（Ⅰ）若曲线 C 在点 1 ,1 处的切线为 l ，求 l 的极坐标方程；（Ⅱ）若点 A 的极坐标为 2 2 ,，且当参数t[0 , ] 时，过点A的直线 m 与曲线 C 有两个不同4的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.x2cosA 0 , 3 ， F1、 F2是此圆锥曲线的左、右39. 已知圆锥曲线C：（为参数）和定点y 3 sin焦点 .（Ⅰ）求直线AF2的普通方程；（Ⅱ）经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l 交此圆锥曲线于M 、N两点，求| | MF1|| NF1 | | 的值.40. 已知曲线C1的极坐标方程为cos1，曲线 C2的极坐标方程为 2 2 cos.34（Ⅰ）将曲线C1、 C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点A是曲线C1上的一点，点 B 是曲线C2上的一点，求 A 、 B 两点间的最短距离.41. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x t3m（ t 为参数），若以坐标原点O y3t 2m为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为1 cos28cos .（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线 C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.第21 页，共 16 页第22 页，共 16 页。

2013年高考第二轮复习数学安徽理科专题升级训练19坐标系与参数方程专题升级训练卷(附答案).pdf

专题升级训练19 坐标系与参数方程 (时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 1．极坐标方程ρ＝1表示( )． A．直线 B．射线 C．圆 D．椭圆 2．点P(x，y)是曲线3x2＋4y2－6x－8y－5＝0上的点，则z＝x＋2y的最大值和最小值分别是( )． A．7，－1 B．5,1 C．7,1 D．4，－1 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 3．(2012·安徽江南十校联考，理11)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为__________． 4．在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l与极轴相交于点M，则以OM为直径的圆的极坐标方程是__________． 5．(2012·湖北华中师大一附中5月模拟，16)若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为__________． 6．(创新题)已知圆C，直线l的极坐标方程分别为ρ＝6cos θ，ρsin ＝，则点C到直线l的距离为__________．三、解答题(本大题共6小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 7．(本小题满分10分)(创新题)若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，试求k的值． 8．(本小题满分10分)在极坐标系中，求点M关于直线θ＝的对称点的坐标． 9．(本小题满分11分)(2012·河北唐山三模，23)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)． (1)求C的直角坐标方程； (2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|. 10.(本小题满分11分)(2012·安徽芜湖一中六模，理13)设曲线C的参数方程为(θ是参数，a>0)，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋4ρsin θ＝5，若曲线C与直线l只有一个公共点，求实数a的值． 11．(本小题满分11分)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长． 12．(本小题满分11分)在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．一、选择题 1．C 解析：根据极坐标与直角坐标互化公式，ρ2＝x2＋y2知x2＋y2＝1，故表示圆． 2．A 解析：将原方程配方，得＋＝1. 令则x＋2y＝3＋4sin. ∴当sin＝1时，(x＋2y)max＝7；当sin＝－1时，(x＋2y)min＝－1，故选A. 二、填空题 3．4 4.ρ＝2cos θ 5.3＋1 6. 解析：圆C的直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3,0)，直线l的直角坐标方程是x＋y－2＝0，故点C到直线l的距离为＝. 三、解答题 7．解：将l1化为普通方程为：kx＋2y－k－4＝0，将l2化为普通方程为：2x＋y－1＝0. 由(－2)×＝－1，得k＝－1. 8．解：设点M关于直线θ＝的对称点为M′(ρ，θ)，线段MM′交直线θ＝于点A，则∠M′OA＝∠MOA＝－＝， ∴点M′的极角θ＝－＝. 又点M，M′的极半径相等，∴ρ＝4. ∴点M′的极坐标为. 9．解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2－t－1＝0，点E对应的参数t＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝1，t1t2＝－1， |EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝. 10．解：由已知可知曲线C的参数方程为(x－a)2＋(y－1)2＝16(a>0)，直线l的方程为3x＋4y＝5. 由曲线C与直线l只有一个公共点，所以点(a,1)到l的距离为4，即d＝＝4，解得a＝7或a＝－(舍去)．故实数a的值为7. 11．解：直线的参数方程为(s为参数) 曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4. 将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0. 设A，B对应的参数分别为s1，s2， ∴s1＋s2＝6，s1s2＝10. 则|AB|＝|s1－s2|＝＝2. 12．解：椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π，因此，S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2·＝2sin.所以当φ＝时，S取得最大值2.。

(完整word版)高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线 l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程．（Ⅱ）过曲线 C 上随意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的一般方程；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式获得P 到直线 l 的距离，除以sin30°进一步获得 |PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线 C：+=1 ，可令 x=2cos θ、 y=3sin θ，故曲线 C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由① 得： t=x ﹣ 2，代入②并整理得： 2x+y ﹣ 6=0；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．P 到直线 l 的距离为．则，此中α为锐角．当 sin（θ+α）=﹣ 1 时， |PA|获得最大值，最大值为．当 sin（θ+α）=1 时， |PA|获得最小值，最小值为．评论：本题考察一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表现了数学转变思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）第一，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）第一，化简曲线 C 的参数方程，而后，依据直线与圆的地点关系进行转变求解．解答：解：（ 1）∵直线 l 的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ） =，∴，∴ x ﹣ y+1=0 ．（2）依据曲线 C 的参数方程为：（ α为参数）．得（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 ，它表示一个以（ 2， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为： d= ，∴曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值= ．评论：本题要点考察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线 C 1：（ t 为参数），C 2：（ θ为参数）．（ 1）化 C 1，C 2 的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t=， Q 为 C 2 上的动点，求 P Q 中点 M 到直线 C 3：（ t 为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转变思想．剖析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数获得两曲线的一般方程，即可获得曲线C 1 表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C 1 的参数方程得点 P 的坐标，而后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线 C 2 的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可获得距离的最小值．解答：（t 为参数）化为一般方程得：（x+4 ） 2+（ y ﹣ 3） 2=1，解：（ 1）把曲线 C 1：所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4， 3），半径 1 的圆；把 C 2：（ θ为参数）化为一般方程得： + =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线 C 1 的参数方程得： P （﹣ 4， 4），把直线 C 3：（t 为参数）化为一般方程得： x ﹣ 2y ﹣ 7=0，设 Q 的坐标为 Q （ 8cos θ， 3sin θ），故 M （﹣ 2+4cos θ， 2+ sin θ）所以 M 到直线的距离d= =，（此中 sin α= ， cos α= ）进而当 cos θ= ， sin θ=﹣时， d 获得最小值．评论：本题考察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学识题，灵巧运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆 C上不一样于 A ， B 的随意一点．（Ⅰ ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△ PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为2，把，化为ρ=代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：C 的极坐标方程为2，解：（Ⅰ ）由圆，化为ρ=把代入可得：圆 C 的一般方程为x 2+y2﹣ 2x+2y=0 ，即（ x﹣ 1）2+（ y+1 ）2=2．∴圆心坐标为（ 1，﹣ 1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ ）由直线l 的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t 可得直线l 的一般方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点 P 直线 AB 距离的最大值为，．评论：本题考察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．剖析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，而后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为一般方程为（ 4 分）点到直线的距离（ 6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（ 10 分）评论：本题考察参数方程、极坐标方程与一般方程的差别和联系，二者要会相互转变，依据实质状况选择不一样的方程进行求解，这也是每年高考必考的热门问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M （ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．剖析：（1）将曲线 C 化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长知足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可获得最大值．解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（t为参数），消去t，可得， 3x+4y+1=0 ；因为ρ= cos（θ+ ） = （），2 2 2﹣x+y=0 ，其圆心为（，﹣），半径为 r= ，即有ρ=ρcosθ﹣ρsinθ，则有 x +y圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则 x+y=因为θ∈R，则x+y 的最大值为=sin （1．），评论：本题考察参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考察参数的几何意义及运用，考察学生的计算能力，属于中档题．7．选修 4﹣ 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的一般方程；（Ⅱ）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（t为参数）距离的最小值．考参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．点：专坐标系和参数方程．题：分（ 1）利用 x= ρcosθ， y= ρsinθ即可得出；析：（ 2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单一性即可得出，解解（ 1）∵ P 点的极坐标为，答：∴=3，= ．∴点 P 的直角坐标2 2 2把ρ=x +y， y= ρsinθ代入可得，即∴曲线 C 的直角坐标方程为．（ 2）曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的一般方程为 x﹣ 2y﹣ 7=0设，则线段 PQ 的中点．那么点 M 到直线 l 的距离. ，∴点 M 到直线 l 的最小距离为．点本题考察了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评：单一性等基础知识与基本技术方法，考察了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O， P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：（I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣ 1）2+y2=1．把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入化简即可获得此圆的极坐标方程．（II ）由直线 l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ）=3 ，射线 OM ：θ= ．可得一般方程：直线 l ，射线 OM ．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（ I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣1）2+y2=1．把 x= ρcosθ，y= ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如下图，由直线l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ） =3 ，射线OM ：θ= ．可得一般方程：直线l ，射线OM ．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|= =2．评论：本题考察了极坐标化为一般方程、曲线交点与方程联立获得的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（α为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ） =4 ．（ 1）求曲线 C1的一般方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、 y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的α的值，进而求得点P的坐标．解答：解：（ 1）由曲线 C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1 的一般方程为：．由曲线 C2 ：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以 x+y ﹣ 8=0，即曲线 C2 的直角坐标方程为：x+y ﹣ 8=0 ．（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点到直线 x+y ﹣ 8=0 的距离为，∴当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为．评论：本题主要考察把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心 C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（I）先利用三角函数的和角公式睁开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用2 2 2C 的直角坐标．ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，进而获得圆心（II ）欲求切线长的最小值，转变为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（ I）∵，∴，∴圆 C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（ 5 分）（II ）∵ 直线 l 的一般方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（ 10 分）评论：本题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的参数方程为，（ t 为参数），曲线 C 1 的方程为 ρ（ ρ﹣ 4sin θ） =12 ，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C 1 上的动点， Q 为 AP 的中点．（ 1）求点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C 2 交于 A ，B 两点，若 |AB| ≥2 ，务实数 a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）第一，将曲线 C 1 化为直角坐标方程，而后，依据中点坐标公式，成立关系，进而确立点Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（2）第一，将直线方程化为一般方程，而后，依据距离关系，确立取值范围．解答：解：（ 1）依据题意，得22﹣ 4y=12 ，曲线 C 1 的直角坐标方程为： x +y 设点 P （ x ′， y ′）， Q （ x ， y ），依据中点坐标公式，得，代入 x 2+y 2﹣ 4y=12 ，得点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程为：（ x ﹣3） 2+（ y ﹣ 1） 2=4，（ 2）直线 l 的一般方程为： y=ax ，依据题意，得，解得实数 a 的取值范围为： [0， ] ．评论：本题要点考察了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的地点关系等知识，考察比较综合，属于中档题，解题要点是正确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系 xoy中以O 为极点，x轴正半轴为极轴成立坐标系．圆 C 1，直线C 2 的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos（） =2．（ Ⅰ ）求C 1 与 C 2 交点的极坐标；（ Ⅱ ）设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（ t ∈R 为参数），求 a ，b 的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的地点关系；参数方程化成一般方程．专题：压轴题；直线与圆．剖析：（I ）先将圆 C 1，直线 C 2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），进而直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣+1，进而结构对于 a ， b 的方程组，解得 a ， b 的值．解答：解：（ I ）圆 C 1，直线 C 2 的直角坐标方程分别为x 2+（ y ﹣2） 2=4， x+y ﹣ 4=0 ，解得或，∴C 与 C 交点的极坐标为（ 4，）．（ 2，）．12（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣ y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣ +1，∴，解得 a=﹣ 1，b=2 ．评论：本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P （ 4， 2）且倾斜角为 α的直线；在极坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取同样单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ（ Ⅰ ）写出直线 l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（ Ⅱ ）若曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，求 |PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）．2曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cos θ可化为 ρ=4 ρcos θ．把 x= ρcos θ，y= ρsin θ代入曲线 C 的极坐标方程可得 x 2+y 2=4x ，即（ x ﹣ 2） 2+y 2=4．（II ）把直线 l 的参数方程为（ t 为参数）代入圆的方程可得： t 2+4（ sin α+cos α） t+4=0 ． ∵曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，∴△ =16 （ sin α+cos α）2﹣ 16＞ 0， ∴sin αcos α＞0，又 α∈[0，π），∴．又 t 1+t 2=﹣ 4（ sin α+cos α）， t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵ ， ∴，∴．∴|PM|+|PN| 的取值范围是．评论：本题考察了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆订交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．剖析：2，把代入即可得出；．（I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．化为ρ=2（II ）设 P ，又 C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|= ，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sin θ．2 2 2，∴ρ=2 ，化为 x +y =配方为=3．（II ）设 P ，又 C ．∴|PC|= = ≥2 ，所以当 t=0 时， |PC|获得最小值 2 ．此时 P（ 3，0）．评论：本题考察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2订交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线 C1， C2的极坐标方程转变为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦 AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（Ⅰ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1的直角坐标方程．（Ⅱ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（长度．解答：解：（Ⅰ）曲线 C2 ：（ p∈R）表示直线 y=x，2ρcosθ曲线 C1：ρ=6cosθ，即ρ=62 2 2 2所以 x +y =6x 即（ x﹣3） +y =92 2 2C2及曲线ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得曲线3，0）到直线的距离，最后联合点到直线的距离公式弦AB 的（Ⅱ ）∵圆心（ 3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB==．∴弦 AB 的长度．评论：本小题主要考察圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆 C 的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心 C 的极坐标；（Ⅱ）当 r 为什么值时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：计算题．剖析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的一般方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线 C 的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线 l 的距离的最大值，最后列出对于 r 的方程即可求出r 值．解答：解：（ 1）由ρsin（θ+ ） = ，得ρ（ cosθ+sin θ） =1，∴直线 l： x+y ﹣ 1=0 ．由得 C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心 C 的极坐标（ 1，）．（2）在圆 C：的圆心到直线l 的距离为：∵圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当 r=2 ﹣时，圆C上的点到直线l 的最大距离为3．评论：本小题主要考察坐标系与参数方程的有关知识，详细波及到极坐标方程、参数方程与一般方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C 1： x 2+y 2=4，圆 C 2：（x ﹣ 2） 2+y 2=4．（ Ⅰ ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1， C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1， C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（ Ⅱ ）求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．剖析：（I ）利用，以及 x 2 2 2C 1， C 2 的极坐标方程，求出圆 C 1， C 2 的交点极坐标，+y =ρ，直接写出圆而后求出直角坐标（用坐标表示）；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，而后求出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解答：解：（ I ）由 222， x +y =ρ，可知圆，的极坐标方程为 ρ=2，圆，即的极坐标方程为 ρ=4cos θ，解得： ρ=2，，故圆 C 1， C 2 的交点坐标（ 2，），（ 2，）．（II ）解法一：由得圆 C 1， C 2 的交点的直角坐标（ 1，），（1，）．故圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为（或圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为）（解法二）将 x=1 代入得 ρcos θ=1进而于是圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为．评论：本题考察简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考察计算能力．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 A解析化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．2．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析由已知得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5中含x 2的项为：(C 25＋C 15a )x 2，即C 25＋C 15a ＝5，a ＝－ 1.6．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次．所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！.7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为()答案 A解析在空间直角坐标系中，先画出四面体O －ABC 的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图，所以选A.8．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c 答案 D解析设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c.（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0 )单调递减是错误的，D 正确．选C.11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.12．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎭⎫1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 答案 B二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________. 答案 8解析由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n＝n (n －1)2＝2÷114＝28，∴n ＝8.15．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案－105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即{ 3sin θ＝－cos θ，2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．答案－49解析由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ，∴d ＝23，a 1＝－3.∴nS n ＝n ·⎝⎛⎭⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝13n (3n －20)．由函数的单调性知f (6)＝－48，f (7)＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.三、解答题17．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．(1)证明连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则{n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即{ x 1＋y 1＝0，x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则{m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝{ 800X －39 000，100≤X <130，，130≤X ≤150. (2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×20．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33，所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，令1)1()(-+=x e x g x ，则0)2()(>+='x e x g x ，又0)0(=g显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明令g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ，当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减；当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.22．[选修4－1]几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．(1)证明因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.23．[选修4－4]坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C ：{ x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．[选修4－5]不等式选讲设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.。

2013届3年高考2年模拟(13)坐标系与全参数方程

【3年高考2年模拟】第十二章系列4第三节4-4坐标系与参数方程第一部分三年高考荟萃2012年高考数学坐标系与参数方程一、填空题1 ．（2012文）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________。

2 ．（2012文）在极坐标系中,曲线1C:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.3 ．（2012文）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.4 ．（2012理）如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf _________ .5．（2012理）(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________.6．（2012理）在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.7．（2012理）(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.8．（2012理）(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数)和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.9．（2012理）直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩(α为参数)的交点个数为____________.10．（2012理）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____二、解答题11．（2012文理）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.12．（2012新课标文理）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π).(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值围.13．（2012）[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点()4Pπ，,圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.14．（2012理）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点,M N 的极坐标分别为(2,0),()32π,圆C 的参数方程22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数). (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系.参考答案一、填空题1. 解析:将极坐标方程化为普通方程为12x与222x y x ,联立方程组成方程组求出两交点的坐标1(2和13(,)2,.2. 【答案】2【解析】曲线1C 1y +=,曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=,因为曲线C 1:sin )1ρθθ+=与曲线C 2:a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等,由0,y x ==,知a . 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与x 轴交点,即得.3. 解析:()2,1.法1:曲线1C 的普通方程是225x y +=(0x ≥,0y ≥),曲线2C 的普通方程是10x y --=,联立解得21x y =⎧⎨=⎩(舍去12x y =-⎧⎨=-⎩),所以交点坐标为()2,1. 法2:联立12θθ=⎨=,消去参数θ可得2215⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1t =舍去),2t =于是21x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()2,1.4. [解析])0,2(M 的直角坐标也是(2,0),斜率31=k ,所以其直角坐标方程为23=-y x ,化为极坐标方程为:2sin 3cos =-θρθρ,1)sin cos (2321=-θθρ,1)sin(6=-θρπ,)sin(16θπρ-=,即=)(θf )sin(16θπ-.(或=)(θf )cos(13πθ+)5.解析:将极坐标方程化为普通方程为12x与222x y x ,联立方程组成方程组求出两交点的坐标1(2和13(,)2, 6. 【答案】32【解析】曲线1C :1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-,与x 轴交点为3(,0)2;曲线2C :sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=,其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -, 由0a >,曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上,知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与x 轴交点,即可求得.7.考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.解析:π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=,将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线,联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ,设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、,则有韦达定理2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上,因此AB 的中点)25,25(P .8.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是222x y +=,联立解得11x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()1,1.法2:联立t θθ⎧=⎪=,可得22sin θθ=,即22cos 20θθ-=,解得cos2θ=或cos θ=(舍去),所以11t =⎧⎪,交点坐标为()1,1.9. 【答案】2【解析】直线转化为1x y +=,曲线转化为圆229x y +=,将题目所给的直线和圆图形作出,易知有两个交点.【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系,而且直线和圆是以参数方程的形式给出的,学生平时对消参并不陌生的话,此题应该是比较容易的.10.圆224sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C直线:()06l R x πθρ=∈↔=;点C 到直线l=二、解答题11. 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。

高考数学(理)总复习教师用书选修4—4 坐标系与参数方程 Word版含答案

选修4—4 ⎪⎪⎪坐标系与参数方程第1课坐标系[课前回扣教材][过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·yμ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x4．常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)． (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2.(5)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a (0<θ<π)．[小题速通]1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos 2θ2－2，则其直角坐标方程为________________．解析：由ρ＝4cos 2θ2－2，得ρ＝2cos θ，即x 2＋y 2＝2x ，得(x －1)2＋y 2＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 4．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________．解析：点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)，圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16，点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5，所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标．1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3(答案不唯一)2．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3) [课堂研究高考]平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 极坐标与直角坐标的互化[典例] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由错误!得错误!故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为错误!. [方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] (2017·长春摸拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练](2017·云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有错误!解得错误!设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有错误!解得错误!由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.3．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.4．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离．解：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为()1，3，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1. [高考达标检测]1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcosθ＋23ρsin θ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求： (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sinπ3＝32，即极点到该直线的距离等于32. 6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.7．(2017·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或错误!解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.作图如图所示． (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[课前回扣教材][过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：错误!并且对于t 的每一个允许值，由函数式错误!所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程错误!叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程错误!(t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．解析：将参数方程错误!消去参数t 得2x －y －5＝0，所以对应图形为直线．由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，对应图形为圆．答案：直线、圆 2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得错误!∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：24．参数方程错误!(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t21＋t 2＝＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得错误!∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)，故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线错误!(t 为参数)与圆错误!(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3[课堂研究高考]参数方程和普通方程的互化[典例] (2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] (1)由错误!得错误!①的平方加②的平方得曲线C 的普通方程为：x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t 得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得 y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1. [方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程． (1)错误!(k 为参数)； (2)错误!(θ为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y 2x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．直线的参数方程[典例] C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：错误!(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如错误!(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [方法技巧] [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即错误!(t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2，由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.[典例] 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练](2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组错误!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即直线l 的斜率为±153. 2．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：错误!(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. [高考达标检测]1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：错误!(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．已知曲线C 1：错误!(t 为参数)，曲线C 2：错误!(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855. 3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4， ∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上，由直线标准参数方程下t 的几何意义知|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|PA |·|PB |＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B ()1，3，C ()3，－3，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3. 6．(2017·唐山模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，点A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1， l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t 代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－()|AD |－|AB |＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，即(x －2)2＋(y －23)2＝16，其表示一个圆．(2)将C 1的参数方程代入C 2的方程可得， t 2－23sin α·t －13＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23sin α，t 1t 2＝－13.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2 ＝()23sin α2－－＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最大值为8，最小值为213.8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0.曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 23＝1， ∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)．∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22， d 的最大值为52＝522. ∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。

高三理科数学一轮复习试题选编坐标系与参数方程含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编25：坐标系与参数方程一、填空题1 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）（坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x —4y +4=0的距离的最大值为______________【答案】3;2 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学（理科）试题（word 版） )设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______13 ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学(理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C：ρ=和曲线2C：cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距离等于的点的个数为__________。

【答案】3；将方程ρ=与cos()4πρθ+=222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点，半径为的圆,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=的距离为2,故满足条件的点的个数3n =。

4 ．（广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中,圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为__________。

【答案】222+5 ．( 2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知曲线1C 的参数方程为（0≤θ<π)，直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈,则它们的交点的直角坐标为_______。

【答案】3030)66在直角坐标系中:曲线()221:105x C y y +=≥,直线:l y x =6 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学(理）试题）已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___ 【答案】222-7 ．（广东省湛江一中等“十校"2013届高三下学期联考数学（理)试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切，则半径r =________.【答案】28 ．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理)试题）(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫⎪⎝⎭答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z )。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程Word版含答案

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程一、选择题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在极坐标系中, 圆p=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．=0(R)和cos=2B．C．= (R)和 cos=1D．2【答案】 B二、填空题= (R)和 cos=2 2=0(R)和cos=12．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知圆的极坐标方程为4cos, 圆心为C, 点P的极坐标为4,, 则 | CP| = ______.3【答案】 233．（ 2013 年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1与cos1的公共点到极点的距离为 __________【答案】15 . 24．（ 2013年高考北京卷（理））在极坐标系中, 点(2,) 到直线ρ sin θ =2 的距离等于_________.6【答案】 15．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））在直角坐标系xOy 中,以原点 O 为极点,x轴的正半轴为极轴成立极坐标系. 若极坐标方程为cos 4 的直x t2______线与曲线( t为参数 ) 订交于A, B两点 , 则ABy t3【答案】 166．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））(坐标系与参数方x 2 cost程选讲选做题 ) 已知曲线C的参数方程为y 2 sin t( t为参数 ), C在点1,1处的切线为l, 以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴成立极坐标系, 则l的极坐标方程为_____________.sin4 2【答案】7 ．（ 2013 年高考陕西卷（理）） C. ( 坐标系与参数方程选做题 ) 如图 , 以过原点的直线的倾斜角为参数 ,则圆 x 2 y 2x 0 的参数方程为 ______ .yPOθx【答案】x cos 2 y ,Rcos sin8 ．（ 2013 年高考江西卷（理））( 坐标系与参数方程选做题 ) 设曲线 C 的参数方程为x ty ( tt 2为参数 ), 若以直角坐标系的原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系, 则曲线 c的极坐标方程为 __________【答案】 cos 2sin09 ．（ 2013 年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系 xoy 中 , 若x t , x 3cos , l :t a(t 为参数 )过椭圆 C:2siny y( 为参数 )的右极点 , 则常数 a 的值为 ________.【答案】 310 ．（ 2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系 xOy 中 , 椭圆 C 的参数方程为x a cosy为参数， a b 0 . 在极坐标系 ( 与直角坐标系 xOy 取同样的长度单bsin位 , 且以原点 O 为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴 ) 中 , 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为sin2m m 为非零常数与b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点 , 且与42圆 O 相切 , 则椭圆 C 的离心率为 ___________.【答案】三、解答题6 311．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—4;坐标系与参数方程x2cos( 为参数) 上,对应参数分别为已知动点 P,Q 都在曲线C:2sin 与y2 (0 2 ),M为PQ的中点.(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程 ;(Ⅱ)将M到坐标原点的距离 d 表示为的函数 , 并判断M的轨迹能否过坐标原点 .【答案】12．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以 O 为极点,x轴正半轴为极轴成立坐标系. 圆C1, 直线C2的极坐标方程分别为4sin ,cos2 2. .4(I)求 C1与 C2交点的极坐标;(II)设 P 为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x t 3ab t R为参数,求a, b的值.yt3 12【答案】13．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））坐标系与参数方程 : 在平面直角坐标系中 , 以坐标原点为极点 , x 轴的非负半轴为极轴成立坐标系. 已知点 A 的极坐标为 ( 2,) , 直线的极坐标方程为cos( ) a , 且点 A 在直线上 .4 4(1) 求 a 的值及直线的直角坐标方程 ;x 1 cos为参数 ), 试判断直线与圆的地点关系 .(2) 圆 c 的参数方程为y ,(sin【答案】解:( Ⅰ) 由点 A(2, ) 在直线cos() a 上 , 可得 a244因此直线的方程可化为cossin2进而直线的直角坐标方程为x y 2( Ⅱ) 由已知得圆C 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y 2 1因此圆心为 (1,0) , 半径 r12 1 , 因此直线与圆订交认为圆心到直线的距离 d214．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD 版含附带题））C.[ 选修 4-4: 坐标系与参数方程] 本小题满分 10 分.在平面直角坐标系x t 1 xoy 中, 直线 l 的参数方程为( t 为参数 ), 曲线 C 的参数方y2t程为x2 tan 2(为参数 ), 试求直线 l 与曲线 C 的一般方程 , 并求出它们的公共点y 2 tan的坐标 .x t 1【答案】 C 解: ∵直线l 的参数方程为∴消去参数 t 后得直线的一般方程为y2t2x y 2 0①同理得曲线 C 的一般方程为 y 22x②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2) , (1, 1)215．（ 2013 年高考新课标 1（理））选修 4—4: 坐标系与参数方程1的参数方程为已知曲线 C x 4 5cost( t 为参数 ), 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系, 曲y 5 5sin t线 C 2 的极坐标方程为2sin .( Ⅰ ) 把 C 的参数方程化为极坐标方程;1( Ⅱ ) 求 C 1 与 C 2 交点的极坐标 ( ρ≥0,0 ≤ θ <2π ).x 4 5cost4)2( y 5)225 ,【答案】将5 消去参数 t , 化为一般方程 ( xy 5sin t即 C :x 2 y28x 10y 160 , x cos y28x 10 y 16 0将代入 x 21ysin得 ,28 cos10 sin16 0 ,28 cos 10 sin 160 ;∴ C 1 的极坐标方程为 ( Ⅱ ) C 2 的一般方程为 x 2y 2 2 y0 ,x 2 y 2 8x 10y 16 0 x 1 x 0 由y 2 2y解得y或y, ∴ C 1 与 C 2 的交点的极坐标分x 212别为(2,), (2,). 42。

2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，文1)已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )．A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．．{－3，－2，－1} 2．(2013课标全国Ⅱ，文2)21i+＝( )． A． B ．2 CD ．．13．(2013课标全国Ⅱ，文3)设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝2x －3y 的最小值是( )．A ．－7B ．－6C ．－5D ．－34．(2013课标全国Ⅱ，文4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC 的面积为( )．A． BC．2 D15．(2013课标全国Ⅱ，文5)设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．A． B ．13 C ．12 D．6．(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )． A ．16 B ．13 C ．12 D ．237．(2013课标全国Ⅱ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )．A ．1111+234++B ．1111+232432++⨯⨯⨯C ．11111+2345+++D ．11111+2324325432+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．(2013课标全国Ⅱ，文8)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 9．(2013课标全国Ⅱ，文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．10．(2013课标全国Ⅱ，文10)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y＝(1)3x -或y＝1)x -C．y＝(1)3x-或y＝(1)3x--D．y＝(1)2x-或y＝(1)2x--11．(2013课标全国Ⅱ，文11)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝012．(2013课标全国Ⅱ，文12)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )．A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅱ，文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．14．(2013课标全国Ⅱ，文14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅＝__________.15．(2013课标全国Ⅱ，文15)已知正四棱锥O－ABCD的体积为2，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为__________．16．(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝πsin23x⎛⎫+⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅱ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．(2013课标全国Ⅱ，文18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．19．(2013课标全国Ⅱ，文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．20．(2013课标全国Ⅱ，文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为y轴上截得线段长为(1)求圆心P的轨迹方程；，求圆P的方程．(2)若P点到直线y＝x的距离为221．(2013课标全国Ⅱ，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．22．(2013课标全国Ⅱ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．23．(2013课标全国Ⅱ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(2013课标全国Ⅱ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)222a b cb c a++≥1.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷II 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C. 2．答案：C 解析：∵21i+＝1－i ，∴21i +＝|1－i|.3．答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zy x =-，先画出l 0：y ＝23x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点C ，由3,10,x x y =⎧⎨-+=⎩可得C (3,4)，代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－6.4．答案：B解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6412⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin a bA B=，则7π2sinsin 12πsin sin 6b A a B === ∴S △ABC＝11sin 21222ab C =⨯⨯⨯=. 5．答案：D解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由tan 30°＝212||||23PF x F F c ==，得3x =.而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，∴32a x ==，∴c e a ===6．答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===. 7．答案：B解析：由程序框图依次可得，输入N ＝4， T ＝1，S ＝1，k ＝2；12T =，11+2S =，k ＝3； 132T =⨯，S ＝111+232+⨯，k ＝4； 1432T =⨯⨯，1111232432S =+++⨯⨯⨯，k ＝5；输出1111232432S =+++⨯⨯⨯. 8．答案：D解析：∵log 25＞log 23＞1，∴log 23＞1＞21log 3＞21log 5＞0，即log 23＞1＞log 32＞log 52＞0，∴c ＞a ＞b .9．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A. 10．答案：C解析：由题意可得抛物线焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线，垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |.设|AM |＝|AF |＝3t (t ＞0)，|BN |＝|BF |＝t ，|BK |＝x ，而|GF |＝2，在△AMK 中，由||||||||NB BK AM AK =，得34t xt x t=+，解得x ＝2t ，则cos ∠NBK ＝||1||2NB t BK x ==， ∴∠NBK ＝60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率ky1)x －．当直线l 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y＝1)x －，故选C.11．答案：C解析：若x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．12．答案：D解析：由题意可得，12xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭(x ＞0)．令f (x )＝12xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年理科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)

2013年全国各省市理科数学—坐标系与参数方程 1、2013重庆理T15.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于,A B 两点，则______AB =2、2013天津理T11.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .3、2013广东理14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.4、2013陕西理T15.C. (坐标系与参数方程选做题)如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .x5、2013湖南理T9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .6、2013湖北理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。

在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。

若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为。

7、2013新课标I 理T23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程式⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ,π20<≤θ）8、2013新课标Ⅱ理T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编19：坐标系与参数方程一、解答题．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知在极坐标系下,圆C:p= 2cos(2πθ+)与直线l :ρsin(4πθ+)=2,点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆221164x y +=的右顶点为A,上顶点为B ,点P是第一象限内在椭圆上的一个动点,求PAB ∆面积S 的最大值.【答案】．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知直线的参数方程213x ty t=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数),圆C的极坐标方程:2sin0ρθ+=.(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在圆C上求一点P,使得点P到直线的距离最小.【答案】．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数,t ∈R).试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大. 【答案】解:曲线C 的普通方程是2213x y +=直线l的普通方程是0x +-=设点M的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是d因为)4≤+≤πθ所以当πsin()14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z),即3π2π(4k k θ=-∈Z)时,d 取得最大值.==θθ.综上,点M的极坐标为7π)6时,该点到直线l 的距离最大注凡给出点M的直角坐标为(,不扣分.．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—4 :坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.【答案】因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(θ为参数,0r >),消去参数得, ()2220x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎭⎝⎭,所以圆心C ⎛ ⎝⎭,半径为r , 因为直线l 的极坐标方程为sin()1ρθπ+=,化为普通方程为x y +=圆心C 到直线x y +=2d ==,又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,即3d r +=,所以321r =-=．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π6),点M 的极坐标为(6,π6),直线l 过点M ,且与圆C 相切,求l 的极坐标方程.【答案】选修4—4:坐标系与参数方程解以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系, 则圆C 的直角坐标方程为(x -3)2+(y -1)2=4, 点M 的直角坐标为(33,3) 当直线l 的斜率不存在时,不合题意. 设直线l 的方程为y -3=k (x -33),由圆心C (3,1)到直线l 的距离等于半径2. 故|23k －2|k 2＋1=2 解得k =0或k =3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y =3或3x -y -6=0 所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ=3或ρsin(π3-θ)=3．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】C.解:曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0, 即(x -2)2+y 2=4直线l 的普通方程方程为y =x -m , 则圆心到直线l 的距离d =4－(142)2=22,所以|2－0－m |2=22,即|m -2|=1,解得m =1,或m =3．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程2cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),直线l 的极坐标方程:sin()14πρθ-=.直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,求MN 的长.【答案】．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-4:坐标系与参数方程) 已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x (θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ,求直线l 截圆C 所得的弦长.【答案】圆C 的方程为 1)2(22=-+y x ;直线l 的方程为 1=+y x . 故所求弦长为22120=-+=d [来源:学科网]．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,A为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点, B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点, 求AB 的最小值.【答案】解:圆的方程可化为()2214x y ++=,所以圆心为()1,0-,半径为2又直线方程可化为70x y +-=所以圆心到直线的距离17422d --==故min()AB =422．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程已知椭圆C :221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.【答案】C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程解:依题意(4,0)A ,(0,3)B ,5AB =,直线AB :143x y +=,即34120x y +-=设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ,则点P 到直线AB 的距离是|34cos 43sin 12|12|2sin()1|554d θθπθ⋅+⋅-==+-,当sin()14πθ+=-时,max 12(21)5d +=,所以PAB ∆面积的最大值是max 16(21)2S AB d =⋅=+．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,曲线2C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,判断两曲线的位置关系. 【答案】选修4—4:坐标系与参数方程解:将曲线12,C C 化为直角坐标方程得: 1:320C x y ++=, 222:220C x y x y +--= 即()()222:112C x y -+-=, 圆心到直线的距离()22132332213d +++==>+,∴曲线12C C 与相离. ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程[来源:学科网ZXXK]在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++,圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ , 因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2)413-=[来源:学科网ZXXK] 235a =+,因为0a >,所以152a =．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—4:坐标系与参数方程)求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t=+⎧⎨=+⎩(是参数截得的弦长.【答案】解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:3cos ρθ=即:223x y x +=,即2239()24x y -+=;22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即:23x y -= , 223203202(1)d ⨯--==+-,即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆12,C C 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.[来源:Z*xx*]【答案】【解】(1)圆1C 的极坐标方程为=2ρ, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=, 由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得π=23ρθ=±，,故圆12C C ，交点坐标为圆()()ππ2233-，，，(2)由(1)得,圆12C C ，交点直角坐标为(13)(13)，，，,故圆12C C 与的公共弦的参数方程为1(33)x y t t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，≤≤．注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣2分.。

2013年文科全国各省市高考真题——坐标系与参数方程(解答题带答案)

2013年全国各省市文科数学—坐标系与参数方程 1、2013广东文T14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．2、2013陕西文C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .3、2013新课标1文T23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。

4、2013辽宁文T23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标；（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33,,.12x t a t R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值5、2013新课标Ⅱ文T23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P Q 、都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

参考答案：1、【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 2、【解析】)0,1(4.222F x y ty t x 抛物线的焦点⇒=⇒⎩⎨⎧==3、4、[解析] （I）圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,解得,,所以交点的极坐标为，注不唯一（II）P,Q的直角坐标为 PQ的直角方程为，由参数方程可得所以解得。

高三数学2轮复习精选试题汇编：坐标系与参数方程 Word版含答案

坐标系与参数方程一、选择题1. 直线0323=-+y x与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x (θ为参数 )的位置关系是 ( )A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心2. 在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 ( ) A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 3. 极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为 ( )A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线4. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为 ( )A ．125 B C D 5. 曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是 ( )A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 6. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是 ( )A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7. 极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为 ( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆8. 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 ( )A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =二、填空题9. 假设直线sin()42πρθ+=,与直线31x ky +=垂直 ,那么常数k = ．10. 假设直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数 )没有公共点 ,那么实数m的取值范围是； 11. 直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :x y C θθ=+=+ ,那么C 上各点到l 的距离的最|小值为_______．12. 极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________ .三、解答题 13. 曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数 ) , C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数 ) .(1 )化C 1 ,C 2的方程为普通方程 ,并说明它们分别表示什么曲线； (2 )假设C 1上的点P 对应的参数为2t π=,Q 为C 2上的动点 ,求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数 )距离的最|小值 .14. 过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ⋅的值及相应的α的值 .15. 直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα= ,(1 )写出直线l 的参数方程 .(2 )设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积 .16. 在椭圆2211612x y +=上找一点 ,使这一点到直线2120x y --=的距离的最|小值 . 答案一、选择题 1. C2. A 详细分析：4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-= ,cos 2ρθ=的普通方程为2x =圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切3. D 详细分析：cos 20,cos 20,4k πρθθθπ===± ,为两条相交直线4. B 详细分析：11221x x t y t y ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩,把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=12125t t -=== ,12t -=5. B 详细分析：当0x =时 ,25t = ,而12y t =- ,即15y = ,得与y 轴的交点为1(0,)5；当0y =时 ,12t = ,而25x t =-+ ,即12x = ,得与x 轴的交点为1(,0)26. D 详细分析：1xy = ,x 取非零实数 ,而A ,B ,C 中的x 的范围有各自的限制7. C 详细分析：2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即那么,2k πθπ=+或224x y y +=8. C详细分析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或二、填空题9.详细分析：sin()4πρθ+=,sin cos cos sin 44ππρθρθ+=1x y += ,与直线31x ky +=垂直 , 30,3k k +==-10. 详细分析：问题等价于圆1x =22(-1)+(y+2)与直线340x y m ++=无公共点 ,那么圆心(1,2)-到直线340x y m ++=的距离1,d r =>=解得010m m <>或11. 212. 2详细分析：圆心分别为1(,0)2和1(0,)2三、解答题13. 详细分析：(Ⅰ )222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是(4,3)- ,半径是1的圆 .2C 为中|心是坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,长半轴长是8 ,短半轴长是3的椭圆 .(Ⅱ )当2t π=时 ,(4,4).(8cos ,3sin )P Q θθ- ,故3(24cos ,2sin )2M θθ-++ 3C 为直线270x y --= ,M 到3C的距离|4cos 3sin 13|5d θθ=-- 从而当43cos ,sin 55θθ==-时 ,d 取得最|小值514. 详细分析：设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数 ,代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++= 那么122321sin PM PN t t α⋅==+ 所以当2sin 1α=时 ,即2πα= ,PM PN ⋅的最|小值为34 ,此时2πα= .15. 详细分析： (1 )直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,即1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2 )把直线1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得2221(1)(1)4,1)2022t t t +++=+-= 122t t =- ,那么点P 到,A B 两点的距离之积为216. 详细分析：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,d =3)33θθθθ=-=+- 当cos()13πθ+=时,min d =,此时所求点为(2,3)- .。