相关性与最小二乘估计_北师大版_必修三

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探究下面变量间的关系:是函数关系还是相 关关系？为什么？
1.球的体积与该球的半径; 2.粮食的产量与施肥量; 3.小麦的亩产量与光照; 4.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; 5.角α 与它的正切值
关键在于判断变量间的这种关系是 “确定性”还是“随机性”。
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为了了解人的身高和体重的关系，我 们随机地抽取了9名15岁的男生，测 得他们的身高、体重如表1-14：
但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度的相关 关系，海平面以上，海拔高度越高， 含氧量越少。 作出散点图发现，它们散布在从 左上角到右下角的区域内。又如汽车 的载重和汽车每消耗1升汽油所行使 的平均路程，称它们成负相关.
O
注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状 , 则这两个变量之间不具有相关关系.
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31
设这条直线的方程是：y=kx+b， 18.2 21.3 31 其中k = 161 .3 179 .2 179 代入点(170.3,19.9)的坐标求出
0.173
，
，
8586 b = 895
9.593
进而直线y = 0.173x-9.593即为所求的直线。 根据我的想法，一个身高188 cm的学生，他的右手一拃大 概有23.0 cm.
?
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我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地
断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、
教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这
两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定
性的关系.
类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理
论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进
行合理估计，将有着非常重要的现实意义.
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（四）、 理论迁移
例1 在下列两个变量的关系中，哪 些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关 系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间 的关系.
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例2. 5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62
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函数关系的特点：
（1）变量之间存在着数量上的依存关系； （2）变量之间数量上的依存关系的具体关系 值是固定的，可以用数学公式表示。
相关关系的特点：
（1）变量之间确实存在着数量上的依存关系。
（2）变量之间数量上的依存关系的具体关 系值难以固定，难以用数学公式表示。
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相关关系与函数关系的异同点 （1）相同点：两者均是指两个变量的关系;
画出散点图，并判断它们是否有相关关系. 物理
具有相关关系.
数学
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例3. 下表给出了某校12名高一学生的身高(单位：cm) 和体重(单位：kg)：
身 高 体 重 151 40 152 41 153 41 154 41.5 156 42 157 42.5 158 43 160 44 160 45 162 45 163 46 164 45.5
·
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散点图的定义
在考虑两个不同的变量关系时， 为了对变量之间的关系有一个大致 的了解，人们通常将变量所对应的 点描出来，这些点就组成了变量之 间的一个图，通常称这种图叫作变 量之间的散点图。
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正相关、负相关及不具有相关关系
从刚才的散点图发现：身高越高，体重越重，点的位置散布 在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。
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思考交流
根据上表中的数据，制成的散点图如下。
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从散点图上可以发现，身高与右手一拃长 之间的总体趋势是成一直线，也就是说， 它们之间是线性相关的。那么，怎样确定 这条直线呢？你是怎么想的？与同学进行 交流。
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分析理解
同学甲说：我从左端点开始，取两条直线，如下图。再取 这两条直线的“中间位置”作一条直线。根据我的想法， 一个身高188 cm的学生，他的右手一拃大概为21 cm.
表1-14
编号 1 身高 165 2 157 3 155 4 5 6 157 7 178 8 160 9 163
175 168
体重 52
44
45
55
54
47
62
50
53
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从表1-14中可以看出，同一身高157cm对应不同的 体重（44kg和47kg），根据函数的定义知道，体重不 是身高的函数. 但是，如果把身高看作横坐标、体重看做纵坐标， 在坐标系中画出对应的点，就会发现，随着身高的增长， 体重基本上是呈直线增加的趋势。
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同学甲和同学乙的思考方法是比较形象的，同学 甲最直观，但比较粗略，同学乙“使得在直线两侧 的点数尽可能一样多”是理性和精细的．
同学丙和同学丁的思考方法是比较理性的，也是 相对粗略的，但比较直观，也便于理解和操作．这 两种方法比较程序化，同学丁的方法更精细一点．
同学丙和同学丁的思考方法本身是值得研究和探 讨的，我们可以提出这样的问题――如果按照同学 丙和同学丁的方法，那么你是否能将他们的思考方 法更精细化．
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比如，我们可以将所有的点分成四个部分， 每个部分取一个平均点，这样就得出了四个 点的坐标， 然后，再分别求出这四个点中的前三个点 和后三个点的平均点，最后将这两个点连成 一条直线． 这条直线在一定程度上要比同学丙和同学 丁的方法精细一些． 如此做下去，一定会得到越来越精细的拟 合．
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从上面的讨论看，这些学生的处理方法差别 很大，那么我们应当选取一个什么样的方法 来处理更好些呢？ 这将是我们下面一节中要讨论的。 在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之 间没有函数关系。 我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的 一个近似描述。 对一个给定身高的人，人们可以用这个方程 来估计这个人的右手一拃长。这是十分有意 义的。
设这条直线的方程是：y=kx+b， 21 19 2 其中k= 177 167 = ≈ 0.154， 13 代入一点的坐标求出b=-6.231， 进而直线y=0.154x-6.231即为所求的直线。 根据我的想法，一个身高188 cm的学生，他的右手 一拃大概有22.7 cm左右。
§7 相关性
1
函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形 式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另 一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间的关系
就是一个函数关系.
正方形的面积y与正方形的边长x之间的关系y = x2 是函数关系，
是确定性关系
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思考1:
在学校里,老师经常对学生说”如 果你的数学成绩好,那么你的物理成绩 就没有什么大问题.”按照这种说法, 似乎学生的物理成绩与数学成绩之间 存在着一定的相关关系. 这种说法有根据吗
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一来定性分析有时会给我们以误导; 二来定性分析无法确定变量之间相互影响的程 度有多大。 因些，我们还需要进行定量分析。 如何进行定量分析呢？ 由于变量间的相关关系是一种随机关系，因此， 我们只能借助统计这一工具来解决问题，也就 是通过收集大量数据，在对数据进行统计分析 的基础上，发现其中的规律，并对它们之间的 关系作出推断。
1.函数关系—是指变量之间存在着严格的数
量依存关系，即当一个或几个变量取一定的 值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应， 是一种确定关系。
2.相关关系—是指变量之间存在着不严格的
数量依存关系，即当一个或几个相互联系的 变量取一定数值时，与之相对应的另一个变 量的取值是随机的，但它一般按某种规律在 一定范围内变化，是一种非确定性关系。
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教学内容 最小二乘法
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关性
2.根据散点图对线性相关关系进行直
线拟合，从而对整体进行估计
教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图 3、用最小二乘法求回归直线方程 教学器材：多媒体电脑
复习：
1、相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y

O


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分析理解
同学乙说：这样做不准确。我先求出相同身高同学右手一 拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线， 使得在直线两侧的点数尽可能一样多。根据我的想法，一 个身高188 cm的学生，他的右手一拃大概为22 cm.
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同学丙说：我先将所有的点分成两部分，一部分是身 高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的； 然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均 值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均条直线。
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同学丁说：我先将所有的点按从小到大的顺序进 行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点 按照同学丙的方法求一个“平均点”， 最小的点为（161.3，18.2）， 中间的点为（170.5，20.1）， 最大的点为（179.2，21.3）。 求出这三个点的“平均点”为（170.3，19.9）。 我再用直尺连接最大点与最小点， 然后平行地推，画出过点(170.3，19.9)的直线。
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思考2： “名师出高徒”可以解释为教师的水平 越高，学生的水平就越高，那么学生的学 业成绩与教师的教学水平之间的关系是函 数关系吗？你能举出类似的描述生活中两 个变量之间的这种关系的成语吗？
不是函数关系.
生活中还有很多类似的描述这种相关关系的成语， 如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”等.
5
变量之间的关系
画出散点图，并观察它们是否有相关关系. 体 重
具有相关关系.
身高
例4. 某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数 据如下：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
33 34 36 40 44 45 45 水稻产量y 0 5 5 5 5 0 5