高三数学一轮(人教A版)阶段性测试题1(集合与常用逻辑用语)

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·江西省三县联考)已知集合A ＝{x ∈R |2x －3≥0}，集合B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2<0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ≥32}B ．{x |32≤x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |32<x <2}[答案] B[解析] A ＝{x |x ≥32}，B ＝{x |1<x <2}，∴A ∩B ＝{x |32≤x <2}．2．(2015·湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是( ) (1)若命题p ，q 中有一个是假命题，则¬(p ∧q )是真命题．(2)在△ABC 中，“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的必要不充分条件． (3)若C 表示复数集，则有∀x ∈C ，x 2＋1≥1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] (1)∵p 、q 中有一个假命题，∴p ∧q 为假命题，∴¬(p ∧q )为真命题，∴(1)正确；(2)若C ＝90°，则cos A ＝cos(90°－B )＝sin B ，cos B ＝cos(90°－A )＝sin A ，∴cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ，但cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B 时，2sin(A ＋45°)＝2sin(B ＋45°)，∴满足A ＝B ，或A ＋B ＝90°，得不出C ＝90°，故(2)正确；(3)当x ＝i 时，有x 2＋1＝0，故(3)错误，选C ．3．(文)(2014·文登市期中)已知集合A ＝{x |log 4x <1}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2) C ．(－∞，2] D ．[2,4)[答案] B[解析] ∵A ＝{x |log 4x <1}＝{x |0<x <4}，B ＝{x |x ≥2}，∴∁R B ＝{x |x <2}，所以A ∩(∁R B )＝(0,2)，故选B ．(理)(2015·河南开封22校联考)已知集合A ＝{x |2x >12}，B ＝{x |log 2x <1}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(－1,1)[答案] C[解析] 由2x >12得x >－1，∴A ＝{x |x >－1}；由log 2x <1得0<x <2，∴B ＝{x |0<x <2}，∴A ∩B ＝{x |0<x <2}，选C ．4．(2015·豫南九校联考)已知实数集R 为全集，集合A ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，B ＝{y |y ＝4x －x 2}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(1,2][答案] C[解析] A ＝{x |x >1}，B ＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ≤1}，(∁R A )∩B ＝{x |0≤x ≤1}，故选C ． 5．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C ．6．(2015·娄底市名校联考)“p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵“p ∧q ”是真命题，∴p 与q 都是真命题，∴¬p 为假命题；由¬p 为假命题可知p 为真命题，但q 的真假性不知道，∴p ∧q 的真假无法判断，故选A ．7．(2015·濉溪县月考)已知向量a ，b 都是非零向量，“a |a |＝－b |b |”是“a ＋b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ∵a ，b 都是非零向量，a ＋b ＝0，∴a 与b 的方向相反，从而a |a |＝－b |b |；但a|a |＝－b|b |时，显然a 与b 方向相反，但|a |与|b |不一定相等，从而a ＋b ＝0不一定成立． 8．(文)(2015·山东滕州一中单元检测)设全集U ＝R ，A ＝{x |－x 2－3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0}B ．{x |－3<x <－1}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－1}[答案] B[解析] 由－x 2－3x >0得－3<x <0，阴影部分表示A ∩B ＝{x |－3<x <－1}，故选B ． (理)(2014·江西都昌一中月考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则下图中的阴影部分表示( )A ．{2,4}B ．{1,3}C ．{5}D ．{2,3,4,5}[答案] C[解析] 阴影部分在集合B 中，不在集合A 中，故阴影部分为B ∩(∁U A )＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故选C ．9．(2015·安徽示范高中联考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“l 1：直线ax ＋y －1＝0与直线l 2：x －ay －3＝0垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝0时，l 1⊥l 2，当a ＝1时，l 1⊥l 2，∴选A ．10．(文)(2015·韶关市十校联考)命题“∀x ∈R ，e x －x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，e x －x ＋1<0 B ．∃x ∈R ，e x －x ＋1≥0 C ．∀x ∈R ，e x －x ＋1>0 D ．∃x ∈R ，e x －x ＋1<0[答案] D[解析] 全称命题的否定为特称命题，“≥”的否定为“<”，故选D ． (理)(2015·庐江二中、巢湖四中联考)下列说法错误的是( ) A ．若p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 B ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件C ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”D ．已知p ：∃x ∈R ，cos x ＝1，q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则“p ∧(¬q )”为假命题 [答案] B[解析] 特称命题的否定为全称命题，“＝”的否定为“≠”，∴A 正确；sin θ＝12时，θ不一定为30°，例如θ＝150°，但θ＝30°时，sin θ＝12，∴B 应是必要不充分条件，故B 错；C显然正确；当x ＝0时，cos x ＝1，∴p 真；对任意x ∈R ，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，∴q 真，∴p ∧(¬q )为假，故D 正确．11．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)}[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1x ，图象上点A (1,1)，图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π2]的图象上找到点B ，使OA ⊥OB ，故选B ． 12．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x[答案] B[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x＝32成立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对∀x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x＝22＝cos x ，∴D 错误，故选B ． (理)(2015·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( )A ．命题：∃x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0.B ．命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1C ．己知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1D ．函数y ＝log 2x ＋m3－x 的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1[答案] C[解析] A ：命题：∃x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2＜0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2≥0，故A 错误；B ：命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1，故B 错误；C ：因为幂函数y ＝x 3n－7在x ∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n －7＜0，解得n ＜73，又n ∈N ，所以，n ＝0,1或2；又y ＝x 3n－7为偶函数，所以，n ＝1，即幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1，C 正确；D ：令y ＝f (x )＝log 2x ＋m3－x ，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f (x )＋f (2－x )＝0，即log 2x ＋m 3－x ＋log 2(2－x )＋m 3－(2－x )＝log 2(x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )＝0，(x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )＝1，整理得：m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3， 当m ＝－3时，x ＋m 3－x ＝－1＜0，y ＝log 2x ＋m 3－x 无意义，故m ＝1.所以，函数y ＝log 2x ＋m3－x图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，D 错误．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.14．(2015·庐江二中、巢湖四中联考)已知集合A ＝{0,2,4}，则A 的子集中含有元素2的子集共有________个．[答案] 4[解析] 含有元素2的子集有{2}，{2,0}，{2,4}，{2,0,4}，共4个． 15．(文)(2014·银川九中一模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>a b，则a <b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)<f (2)一定成立； ③命题“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>ab ，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a <b ，∴①正确；②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)<f (2)，∴②正确；③“∃x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，∴③正确；④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，∴④错误．(理)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．[答案] ①②③④[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4，故①正确；∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．16．(文)(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)[答案] ①②③[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x －72(x ∈A )；对于③，A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ，可取f (x )＝tan(x －12)π(x ∈A )．(理)(2015·安徽省示范高中联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对任意P 1(x 1，y 1)∈M ，均不存在P 2(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“好集合”，给出下列五个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝14x 2＋1}；④M ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＝1}； ⑤M ＝{(x ，y )|x 2－2y 2＝1}．其中所有“好集合”的序号是________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①④⑤[解析] x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒OP 1→·OP 2→＝0⇒OP 1→⊥OP 2→(O 为坐标原点)，即OP 1⊥OP 2.若集合M 里存在两个元素P 1，P 2，使得OP 1⊥OP 2，则集合M 不是“好集合”，否则是． ①曲线y ＝1x 上任意两点与原点连线夹角小于90°(同一支上)或大于90°(两支上)，集合M里不存在两个元素P 1，P 2，使得OP 1⊥OP 2，则集合M 是“好集合”；②如图，函数y ＝ln x 的图象上存在两点A ，B ，使得OA ⊥OB ．所以M 不是“好集合”；③过原点的切线方程为y ＝±12x ，两条切线的夹角大于90°，集合M 里存在两个元素P 1，P 2，使得OP 1⊥OP 2，则集合M 不是“好集合”；④切线方程为y ＝±33x ，夹角为60°，集合M 里不存在两个元素P 1，P 2，使得OP 1⊥OP 2，则集合M 是“好集合”；⑤双曲线x 2－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，两条渐近线的夹角小于90°，集合M 里不存在两个元素P 1，P 2，使得OP 1⊥OP 2，则集合M 是“好集合”．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·重庆南开中学月考)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，集合B ＝{x |2x 2－9x ＋k ≤0}．(1)求集合A ．(2)若B ⊆A ，求实数k 的取值范围．[解析] (1)∵x 2－5x ＋4≤0，∴1≤x ≤4，∴A ＝[1,4]． (2)当B ＝∅时，Δ＝81－8k ＜0，求得k ＞818.∴当B ≠∅时，2x 2－9x ＋k ＝0的两根均在[1,4]内， 设f (x )＝2x 2－9x ＋k ，则⎩⎪⎨⎪⎧81－8k ≥0，f (1)≥0，f (4)≥0，解得7≤k ≤818.综上，k 的取值范围为[7，＋∞)．18．(本小题满分12分)(文)(2015·重庆南开中学月考)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]有解；命题q ：f (x )＝log 2(x 2－2mx ＋12)在x ∈[1，＋∞)单调递增；若¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2－mx －2，∵关于x 的方程x 2－mx －2＝0在x ∈[0,1]有解，f (0)＝－2<0，∴f (1)≥0，解得m ≤－1，由命题q 得x 2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，且函数y ＝x 2－2mx ＋12，在区间[1，＋∞)上单调递增，根据x 2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，得m ＜34，由函数y ＝x 2－2mx ＋12＞0，在区间[1，＋∞)上单调递增，得m ≤1，∴由命题q 得：m ＜34， ∵¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，得到p 假q 真， ∴m ∈(－1，34)．∴实数m 的取值范围是(－1，34)．(理)(2015·山东滕州一中检测)设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[0，a ]的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．[解析] 命题p 真⇔0<a －32<1⇔32<a <52，命题q 真⇔2≤a ≤4，“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，得32<a <2，若p 假q 真，得52≤a ≤4.综上所述，a 的取值范围为{a |32<a <2或52≤a ≤4}．19．(本小题满分12分)(2015·沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．[解析] (1)依题意得：(m －1)2＝1，∴m ＝0或m ＝2， 当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x 2，当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，∴0≤k ≤1.20．(本小题满分12分)(文)(2015·东北育才中学一模)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，设命题p ：“f (x )的定义域为R ”；命题q ：“f (x )的值域为R ”．(1)分别求命题p 、q 为真时实数a 的取值范围；(2)¬p 是q 的什么条件？请说明理由．[解析] (1)命题p 为真，即f (x )的定义域是R ，等价于(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立，等价于a ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0. 解得a ≤－1或a >53，∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪(53，＋∞)．命题q 为真，即f (x )的值域是R ，等价于u ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1的值域⊇(0，＋∞)，等价于a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)≥0. 解得1≤a ≤53.∴实数a 的取值范围为[1，53]．(2)由(1)知，¬p ：a ∈(－1，53]；q ：a ∈[1，53]．而(－1，53] [1，53]，∴¬p 是q 的必要而不充分条件．(理)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2(x ＋1)·1x ＋1－1＝－3.∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)∵∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，由(ax －1a)(x ＋4)≤0，知a ≠0， 当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1a 2]，不满足C ⊆∁R A ； 当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1a 2，＋∞)，欲使C ⊆∁R A ，则1a 2≥2， 解得：－22≤a <0或0<a ≤22， 又a <0，所以－22≤a <0， 综上所述，所求a 的取值范围是[－22，0)． 22．(本小题满分14分)(文)(2015·湖北教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x－3)<0}，函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x的定义域为集合B ． (1)若a ＝12，求集合A ∩(∁U B )； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] (1)集合A ＝{x |2<x <3}，因为a ＝12. 所以函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x ＝lg x －9412－x ，由x －9412－x >0， 可得集合B ＝{x |12<x <94}． ∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}， 故A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ，由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 应满足x －(a 2＋2)a －x>0， 因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x |a <x <a 2＋2}，依题意就有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3， 即a ≤－1或1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2].(理)(2015·湖北省百所重点中学联考)已知函数f (x )＝mx ＋n x 2＋2(m ≠0)是定义在R 上的奇函数． (1)若m >0，求f (x )在(－m ，m )上递增的充要条件；(2)若f (x )≤sin θcos θ＋cos 2θ＋2－12对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵函数f (x )＝mx ＋n x 2＋2(m ≠0)是定义在R 上的奇函数．∴f (0)＝0，即n 2＝0， ∴n ＝0，∴f (x )＝mx x 2＋2. ∴f ′(x )＝m (x 2＋2)－mx ·2x (x 2＋2)2＝－m (x 2－2)(x 2＋2)2， ∵m ＞0，∴－m ＜0，由f ′(x )＞0可得x 2－2＜0，解得－2＜x ＜2，即f (x )的递增区间是(－2，2)，由题意只需(－m ，m )⊆(－2，2)，∴0＜m ≤2，∴f (x )在(－m ，m )上递增的充要条件是0＜m ≤ 2.(2)设g (x )＝sin θcos θ＋cos 2θ＋2－12，∵f (x )≤sin θcos θ＋cos 2θ＋2－12对任意的实数θ和正实数x 恒成立，∴f (x )≤g (x )min 恒成立，∵g (x )＝sin θcos θ＋cos 2θ＋2－12＝12sin2θ＋1＋cos2θ2＋2－12＝12sin2θ＋12cos2θ＋2＝22sin(2θ＋π4)＋2，∴g (x )min ＝－22＋2＝22，∴只需f (x )≤22，即mx x 2＋2≤22， ∵x ＞0，∴只需m x ＋2x ≤22，即m ≤22(x ＋2x )恒成立，而22(x ＋2x )≥22×22＝2，当且仅当x ＝2时取得最小值2，∴m ≤2，又m ≠0，∴实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]．。