第3讲-第二章 平面弹性问题基本变量及方程2_907404293
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弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
平面弹性问题基本变量及方程
· 变形程度的描述：几何方程(strain-displacement relationship)
· 材料的描述：物理方程(或本构方程)(stress-strain relationship or constitutive equation)
12:14
9
2.1变形体的描述与指标记法 (4) 研究的基本技巧
✓数学分析过程相对较为简单； ✓理论模型建立的需要； ✓发展历史的一个过程（阶段）； ✓与实际工程问题之间的联系。
12:14
2
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.1变形体的描述与指标记法
2.2 弹性体的基本假设
2.3 基本方程之一：平衡方程
2.4 基本方程之二: 几何方程
2.5 基本方程之三：物理方程
面积力（简称面力）：分布在物体表面上的力，或者说两 个物体通过表面的相互作用而产生的力。例如：桌面所受 到书的压力、桌腿对地面施加的压力。
12:14
6
2.1变形体的描述与指标记法
内力
应力描述了变形体内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行 相互作用的强度。 如果我们把连续介质用一张假想的光滑面把它一分为二，那么被分开的这 两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 显然，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不 依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。对于连 续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。
2.6 边界条件
2.7 基本方程汇总
12:14
3
2.1变形体的描述与指标记法
(1) 变形体 物体内任意两点之间可发生相对移动；这必然涉及到
材料的性质。 从几何形状的复杂程度考虑，变形体又可分为简单变
· 材料的描述：物理方程(或本构方程)(stress-strain relationship or constitutive equation)
12:14
9
2.1变形体的描述与指标记法 (4) 研究的基本技巧
✓数学分析过程相对较为简单； ✓理论模型建立的需要； ✓发展历史的一个过程（阶段）； ✓与实际工程问题之间的联系。
12:14
2
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.1变形体的描述与指标记法
2.2 弹性体的基本假设
2.3 基本方程之一：平衡方程
2.4 基本方程之二: 几何方程
2.5 基本方程之三：物理方程
面积力（简称面力）：分布在物体表面上的力，或者说两 个物体通过表面的相互作用而产生的力。例如：桌面所受 到书的压力、桌腿对地面施加的压力。
12:14
6
2.1变形体的描述与指标记法
内力
应力描述了变形体内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行 相互作用的强度。 如果我们把连续介质用一张假想的光滑面把它一分为二，那么被分开的这 两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 显然，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不 依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。对于连 续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。
2.6 边界条件
2.7 基本方程汇总
12:14
3
2.1变形体的描述与指标记法
(1) 变形体 物体内任意两点之间可发生相对移动；这必然涉及到
材料的性质。 从几何形状的复杂程度考虑，变形体又可分为简单变
弹性力学 第二章平面问题的基本理论
体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4
弹性力学 第3讲 平面问题基本理论(2) PPT课件
或)(写X 为 ：Y
x y
)
2( x y ) 0 ( 2 Laplace 算子)
(与E, μ无关，适合于平面应力和平面应变问题)
应力法方程： 2( x y ) 0
相容方程
x
m cos(90 ) sin
代入应力边界条件:
l(x cxo)ss m (yxyxs)ins X 0 m (ysiyn)s l(xyxyc)oss Y 0
x N
B
6
2. 圣维南原理
端部：只知合力而不知其分布，应力边界条 件难以给出。
21
22
思考：
若应变分量满足相容方程：
2 x
y2
2 y
x 2
2 xy
xy
那么由物理方程导出的应力分量是否一定满足 以应力表示的相容方程(不计体力)：
(
2 x 2
2 y2
)(
x
y
)
0
23
24
•应力函数：（多数情况体积力为常量）
((xx2222yy2222))((xxyy))0(1
3
• 应力边界条件
ox y
X YN
X ,Y —已知面力
yx y
xy X
x
YN
l( x )s m( yx )s X m( y )s l( xy )s Y 内力和外力的平衡。
4
• 混合边界条件
vs v 0
o
x
( yx )s X 0
y
例：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 。
P A
第3讲-第二章 平面弹性问题基本变量及方程2_907404293
14:57 21
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (1) 变形体的构形 所谓构形(configuration) ( fi i )，是指由坐标系所描述的变形体的几 是指由坐标系所描述的变形体的几 何形貌，变形前的几何形貌叫做初始构形(initial configuration)， 而变形后的几何形貌叫做当前构形(present configuration)
《弹塑性力学》课堂教学系统
系统制作：雷丽萍 曾攀 (清华大学机械工程系)
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.1变形体的描述与指标记法 2.2 弹性体的基本假设 2 3 基本方程之一：平衡方程 2.3 基本方程之 平衡方程 2.4 基本方程之二: 几何方程 2.5 基本方程之三：物理方程 2.6 边界条件 2.7 基本方程汇总 2 8 讨论1：平面应力问题 2.8 平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
(b) 用“特征建模”(characterized modeling) 的简化方法来推导
的三大方程 其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 描述。
14:57 13
2.10 讨论3：平面弯曲问题
如图所示问题的特征为： 梁为细长型，因此可只用x坐标来刻画 主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度(deflection)来描述位移场。 针对这两个特征，可以做出以下假定 p(x) 平截面假定 (剪切刚度无穷大）； 小变形 x
考虑梁的纯弯变形(pure bending deformation)。 由变形后的几何关系，如图所示，可得到位于
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (1) 变形体的构形 所谓构形(configuration) ( fi i )，是指由坐标系所描述的变形体的几 是指由坐标系所描述的变形体的几 何形貌，变形前的几何形貌叫做初始构形(initial configuration)， 而变形后的几何形貌叫做当前构形(present configuration)
《弹塑性力学》课堂教学系统
系统制作：雷丽萍 曾攀 (清华大学机械工程系)
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.1变形体的描述与指标记法 2.2 弹性体的基本假设 2 3 基本方程之一：平衡方程 2.3 基本方程之 平衡方程 2.4 基本方程之二: 几何方程 2.5 基本方程之三：物理方程 2.6 边界条件 2.7 基本方程汇总 2 8 讨论1：平面应力问题 2.8 平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
(b) 用“特征建模”(characterized modeling) 的简化方法来推导
的三大方程 其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 描述。
14:57 13
2.10 讨论3：平面弯曲问题
如图所示问题的特征为： 梁为细长型，因此可只用x坐标来刻画 主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度(deflection)来描述位移场。 针对这两个特征，可以做出以下假定 p(x) 平截面假定 (剪切刚度无穷大）； 小变形 x
考虑梁的纯弯变形(pure bending deformation)。 由变形后的几何关系，如图所示，可得到位于
弹性力学第二章平面问题的基本理论
圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论
02《弹性力学》教案：第二章：平面问题的基本理论
二、弹性力学平面问题
弹性力学平面问题的特点有两个： （ 1） 、从几何尺寸的角度看，物体一个方向的尺寸，较之其它两个方向的尺 寸要大得多，或小得多。 （ 2） 、从受力分析的角度看，物体所受的体力分量和面力分量，以及由此产 生的应力分量、应变分量和位移分量，都与某一个坐标轴（例如 z 轴）无关。 有 两 种 典 型 情 况 ， 分 别 是 平 面 应 力 问 题 （ pla ne s tre ss pr obl e m ） 和 平 面 应 变 问 题 （ pla ne stra i n pr obl e m ） 。分别讨论。 1、 平 面 应 力 问 题 几 何 尺 寸 ： 物 体 是 很 薄 的 等 厚 度 平 板 ， 沿 z 方 向 的 厚 度 为 t； 沿 x 方 向 和 y 方 向的尺寸，远大于厚度 t。 坐 标 系 ： 以 薄 板 的 中 面 为 xoy 面 ， z 轴 垂 直 于 xoy 面 。 受力特点：体力作用于板内，平行于板面且不沿厚度变化， （ X、Y） ，沿厚 度均匀分布。 面力作用于板边，平行于板面且不沿厚度变化， （ X 、Y ） ，沿厚 度均匀分布。
σ x = σ x ( x, y ) ， 则 在 c d 面 上 ， 由 于 长 度 增 加 了 dx ， 则 c d 面 上 的 正 应 力 分 量 应 随
之 变 化 。应 力 分 量 的 这 种 变 化 可 用 泰 勒 级 数 展 开 求 得 。实 际 上 ，在 c d 面 上 ，我 们 有
σ x ( x + dx, y ) = σ x ( x, y ) +
１１
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弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件对于确定物体在受力作用下的变形和位移非常 重要，特别是在解决工程实际问题时，这些条件对于预测结 构的响应和稳定性至关重要。
位移边界条件
位移边界条件描述了物体边界上的位 移情况，即位移函数。这些条件规定 了物体在某些特定方向上的位移限制 ，例如固定、自由或受限制的位移。
位移边界条件对于确定物体的变形和 应力分布具有重要意义，特别是在解 决结构分析问题时，这些条件有助于 确定结构的刚度和稳定性。
平衡方程的数学表达式为
div F = 0，其中 F 是应力向量，div 是散度算子。
几何方程
它由两个部分组成
一部分是位移引起的形变，另一部分是应力引起的形变。
几何方程的数学表达式为
grad u = 0，其中 u 是位移向量，grad 是梯度算子。
物理方程
它由两个部分组成
一部分是线性弹性关系，另一部分是材料常数。
物理方程的数学表达式为
sigma = D*epsilon，其中 sigma 是应力矩阵，D 是弹性矩阵，epsilon 是应变矩阵。
03
平面问题的边界条件
应力边界条件
应力边界条件描述了物体边界上的应力分布情况，即应力函 数。在弹性力学中，应力边界条件通常由应力分量来表示， 这些分量与物体表面的外力有关。
近似法
近似法是通过近似的方式来 求解弹性力学平面问题的一
种方法。
1
它通常适用于无法通过解析 法和数于弹性力学的基本 方程和边界条件，通过物理 模型、经验公式等方式进行 近似求解。
近似法的优点是简便易行， 能够快速得到近似解，但缺 点是精度难以保证，可能存 在误差较大的情况。
地震工程
在地震工程中，弹性力学用于研究地震波在结构 中的传播和响应，为抗震设计和减震措施提供依 据。
位移边界条件
位移边界条件描述了物体边界上的位 移情况，即位移函数。这些条件规定 了物体在某些特定方向上的位移限制 ，例如固定、自由或受限制的位移。
位移边界条件对于确定物体的变形和 应力分布具有重要意义，特别是在解 决结构分析问题时，这些条件有助于 确定结构的刚度和稳定性。
平衡方程的数学表达式为
div F = 0，其中 F 是应力向量，div 是散度算子。
几何方程
它由两个部分组成
一部分是位移引起的形变，另一部分是应力引起的形变。
几何方程的数学表达式为
grad u = 0，其中 u 是位移向量，grad 是梯度算子。
物理方程
它由两个部分组成
一部分是线性弹性关系，另一部分是材料常数。
物理方程的数学表达式为
sigma = D*epsilon，其中 sigma 是应力矩阵，D 是弹性矩阵，epsilon 是应变矩阵。
03
平面问题的边界条件
应力边界条件
应力边界条件描述了物体边界上的应力分布情况，即应力函 数。在弹性力学中，应力边界条件通常由应力分量来表示， 这些分量与物体表面的外力有关。
近似法
近似法是通过近似的方式来 求解弹性力学平面问题的一
种方法。
1
它通常适用于无法通过解析 法和数于弹性力学的基本 方程和边界条件，通过物理 模型、经验公式等方式进行 近似求解。
近似法的优点是简便易行， 能够快速得到近似解，但缺 点是精度难以保证，可能存 在误差较大的情况。
地震工程
在地震工程中，弹性力学用于研究地震波在结构 中的传播和响应，为抗震设计和减震措施提供依 据。
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答
弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。
弹性力学讲义-第2章(b)
v dy y
dy B
B
u u dy y
A
y
和PB的正应变
v y y
问题 试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA的 伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy ,用位移分
量来表示。
v v dx v v x dx x u y
xy
Q 2 3Q 2 2 2 h 4y h 4y 3 8I 2bh
§2-4 几何方程 刚体位移
考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量 与位移分量之间的关系式, 也就是平面问题中 的几何方程。
§2-4 几何方程 刚体位移
一点的变形
0
u
v
u
P
取任意一点 P
x方向线段PA=dx
求位移
u 0 x
u f1 ( y )
v u x y 0
v 0 y
v f 2 ( x)
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
§2-4 几何方程 刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：
,
df1 ( y ) df2 ( x ) dy dx
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x
h
bh 3 I 12
b
解：
弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为
x yx 0 x y
x xy dy f ( x) x M z y dy f ( x) x I
弹性力学讲义
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
2 第二章 弹性力学平面问题的基本理论
v w y ; z y z
a点的剪应变：
xy
xy
v u x y
u u dy u dd u y y tan 1 2 a1d 2 v v dy dy v 1 v y y y u
化简除以dxdydz得0yf??0zf??首先以连接六面体前后两面中心的直线为矩轴列出力矩的平衡方程ee0eem??整理并略去微量后得yzzy???同样可以得出xyyxzxxz??????剪应力互等定理y?oxydyyyy?????x?dxxxx?????xy?dxxxyxy?????dyyyxyx?????pabcxydyxxx???xdx设作用在单元体左侧面上的正应力是右侧面上坐标得到增量该面上的正应力为将上式展开为泰勒级数
令 dx 0, dy 0 ，即略去微量不计，得：
xy
xy yx
第三节 几何方程—应变与位移的关系
在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化。 力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来度量一点位 置的改变. 如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位置和形状均 可确定.即位移与应变之间存在一定的关系.
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
厚壁圆 筒
因为任一横截面均可视为对称面，则有 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题 水坝 —— 平面应变问题
w0
注：
(1)平面应变问题中
z 0 但是， z 0 z ( x y )
平面应变问题
非平面问题
第二节 平衡方程—应力与外力的关系
连续性假设：
在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的
长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。
弹性力学平面问题教学课件
弹性力学平面问题教学课件
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
在此添加您的文本16字
2. 根据迭代公式计算新的近似值。
在此添加您的文本16字
3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
在此添加您的文本16字
特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
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2. 根据迭代公式计算新的近似值。
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3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
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特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
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这样就可以根据物体的初始构形和位移状态来确定出物体变形后的几何 位置，即当前构形 构
14:57 22
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (2) 平面问题的刚体位移 以平面问题为例，刚体位移(rigid displacement)意味着在 物体内不会产生任何应变，则令
u xx 0 x v yy 0 y v u 0 xy x y
2 A
ˆ 2 dA梁截面的惯性矩(moment of inertia) I y
A
d 2M p0 dx 2
d 2v M ( x) EI 2 dx
d 4v EI 4 p ( x) 0 dx
几何方程
d 2v ˆ 2 x ( x) y dx
物理方程
14:57
d 2v ˆ 2 x ( x ) Ey dx
(b) 用“特征建模”(characterized modeling) 的简化方法来推导
的三大方程 其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 描述。
14:57 13
2.10 讨论3：平面弯曲问题
如图所示问题的特征为： 梁为细长型，因此可只用x坐标来刻画 主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度(deflection)来描述位移场。 针对这两个特征，可以做出以下假定 p(x) 平截面假定 (剪切刚度无穷大）； 小变形 x
就图中所示的情形，应有
2 ˆ y d v ˆ) x(y ˆ 2 y R dx
③ 物理方程 由Hooke定律
14:57
x E x
梁的纯弯变形图
18
2.10 讨论3：平面弯曲问题 对以上方程进行整理, 有描述平面梁弯曲问题的基本方程 x方向的平衡 y方向的平衡：
ˆ EvdA ˆ dA A y M ( x) x y
E ( xx yy )
14:57
6
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
14:57 7
19
2.10 讨论3：平面弯曲问题 ④ 边界条件 图中所示简支梁的边界为梁的两端 由于在建立平衡方程 图中所示简支梁的边界为梁的两端，由于在建立平衡方程 时已考虑了分布外载 ，因此不能再作为力的边界条件。 两端的位移边界BC(u)： v x 0 0 两端的力(弯矩)边界BC(p)： M
x 0
1 [ zz ( xx yy )] E 因而 zz ( xx yy )
zz
变为
E
zz 0
14:57
5
2.8 讨论1：平面应力问题 平面应力问题的三大方程和边界条件与之前推导三大 方程完全相同，但注意z方向的特征为
zz 0 zz
14:57
1
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
14:57 2
2.8 讨论1：平面应力问题
设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在 (xoy) 平面，且不随 z 变化， 这种状 叫做平面应力(plane stress) 这种状况叫做平面应力 在薄板的内外表面上，所有应力为零，即
14:57
8
2.9 讨论2：平面应变问题
由于所有力学变量都是x、y的函数，不随 z 变化，则对原3D问题 进行简化，有基本变量
位移： u，v 应力： xx, yy, xy 应变： xx, yy, xy
由于
w=0 0
则
zz
相应的3D问题物理方程中的 问题物理方程中的一个方程变为 个方程变为
w 0 z
1 zz [ zz ( xx yy )] 0 E
进一步，有
zz ( xx yy )
14:57 9
2.9 讨论2：平面应变问题 将该关系代入原3D问题物理方程中，并进行简化，有
xx yy xy
1 2 [ xx ( ) yy ] E 1 1 2 [ yy ( ) xx ] 1 E 1 xy G
有解的形式
u ( x, y ) f1 ( y ) v ( x, y ) f 2 ( x ) df1 ( y ) df 2 ( x) 0 dy dx
M 为截面上的弯矩。
Q
Q+dQ
M
梁问题的dx“微段 微段”及受力平衡 及受力平衡
14:57 15
2.10 讨论3：平面弯曲问题
然后由y方向的合力平衡 Y = 0 ，有
dQ p ( x ) dx 0
即：
dQ p0 dx
平衡方程
ˆ dA M x y
dQ p0 dx
h
该问题的三类基本变量：
l
b
ˆ 0)（中性层的挠度） 位移： v ( x , y
应力： (采用 x，其它应力分量很小，不 考虑)，该变量对应于梁截面上的弯矩M 应变： (采用 x ，满足直线假定)
ˆ y
取具有全高度梁的dx_h_b 取具有全高度梁的d h b “微段” 来推导三大方程
zz
z
t 2
0
xz
z
t 2
0
yz
z
t 2
0
由于板很薄，可近似认为在整个板内 处处有
zz 0
xz 0
yz 0
14:57
3
2.8 讨论1：平面应力问题 3D物理方程为(将2D物理方程扩充)
xx yy zz xy y
由两种平面问题(平面应力和平面应变)的比较可知，除物理方 程外，其它方程完全相同，若将平面应力问题的物理方程中的 E E 换成 1 2 ，换成 1 ，则可得到平面应变问题的 物理方程
14:57 10
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
2.9 讨论2：平面应变问题 设有一个无限长的等截面柱形体，所承受的外载不随z 变化， 这种状况叫做平面应变(plane strain)；由于任意一个横截面 都为对称面，则有沿z方向的位移和应变为零，即
w0
zx 0
zy 0
有物理方程可知，所对应的
zx 0
zy 0
( zz 0)
zx
则对应的
xz 0
yz 0
( zz 0)
14:57
4
2.8 讨论1：平面应力问题 由于所有力学变量都是x、y的函数，不随 z 变化，则 对原3D问题进行简化，有基本变量 问题进行简化 有基本变量 位移： u(x,y ,y)，v(x,y ,y) 应力： xx(x,y), yy(x,y), xy(x,y) 应变 xx(x,y), 应变： ) yy(x,y), ) xy(x,y) 由于 zz =0，则相应的3D问题物理方程中的一个方程
A
Q
dM dx
d 2M p0 dx 2
其中Q为截面上的剪力 由弯矩平衡 M = 0 ，有
p(x) p( )
M M +dM dM
dM Qdx 0
即
Q
dM dx
Q
Q+dQ
M
梁问题的dx“微段 微段”及受力平衡 及受力平衡
14:57 16
2.10 讨论3：平面弯曲问题 ② 几何方程
14:57 21
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (1) 变形体的构形 所谓构形(configuration) ( fi i )，是指由坐标系所描述的变形体的几 是指由坐标系所描述的变形体的几 何形貌，变形前的几何形貌叫做初始构形(initial configuration)， 而变形后的几何形貌叫做当前构形(present configuration)
xx ( yy zz ) , E yy ( xx zz ) , E
1 E 1 G 1 1
, zz ( xx yy )
xy yz y, y
1 G
yz zx y ,
1 G
14:57 12
2.10 讨论3：平面弯曲问题 (1) 基本方程
有以下两种方法来建立基本方程。
(a) 采用一般的建模及分析方法，即从对象取出dxdy微单元体
进行分析，建立最一般的基于( ui ，ijj ，ijj )描述的方程，即关 于2D问题的基本变量及方程，这样，所用的变量较多，方程复 杂，未考虑到这 具体问题的特征。 杂，未考虑到这一具体问题的特征。
考虑梁的纯弯变形(pure bending deformation)。 由变形后的几何关系，如图所示，可得到位于
ˆ 处纤维层的应变(即相对伸长量)为 y
ˆ) x ( x, y ˆ ) d R d (R y ˆ y R d R
其中 R 为曲率半径，而曲率(curvature)与曲 率半径R的关系为
就2D问题，设描述物体初始构形的 几何坐标为 (X0, Y0)，描述物体变形 后当前构形的几何坐标为(x, y) ；显 然 初始构形 当前构形与变形体 然，初始构形、当前构形与变形体 位移的关系为