概率5

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概率论5-2016答案

种灯管，则在 500 小时内，三只灯管中至多有两只损坏的概率为（ A ）
（A） 1 (1 e1)3
（B） 3e2 (1 e1) （C） 1 e3 （D）3e1(1 e2 )
三．计算题
1. 设随机变量的密度函数是
p(x)

1 2
cos
x 2
,
0 x
0,
4. 设在时间 t (单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与 t 成正比的泊松分布。已知在 1 分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内至少有 2
辆车通过的概率。（提示：设t =“ t 时间内汽车数”,则t P(t) ）
解:
设t =“ t 时间内汽车数”,则t P(t) ,
20
20
(0.5) (1.5) (0.5) (1.5) 1 0.6915 0.9332 1 0.6247
所求概率为 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p) 3 1 (1 0.6274) 3 0.9471.
（2）确定最小的 x ，使 P(X x) 0.05
解：设女青年的血压为，则 ~ N (110,121) ， 110 ~ N (0,1) 11
（1） P(X
100)

P(
X
110 11

100 110) 11

(0.091)
1 (0.091) 1 0.5359 0.4641
P({
1} { P( 1)
1})
P( P(
1) 1)
2 p(1 p) 2 p 1 p2 1 p
，
根据题意， 2 p 1 ，解出， p 1 。

《概率论》第5章§1大数定律

第五章大数定律与中心极限定理
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定机变量列且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第次试验 A发生该定理通常称为表的著作《猜测术》提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =

概率论习题解答（第5章）

概率论习题解答（第5章）第5章习题答案三、解答题1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独⽴同分布，且X ～P (λ)，∑==ni i X n X 11，试利⽤契⽐谢夫不等式估计}2|{|λλ<-X P 的下界。

解：因为X ～P (λ)，∑∑===?===n i i n i i n nX E n X n E X E 111)(1)1()(λλλλn n nX D n X n D X D n i i n i i 11)(1)1()(2121====∑∑==由契⽐谢夫不等式可得nn X P 4114/1}2|{|-=-≥<-λλλλ 2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契⽐谢夫不等式估计P {|X + Y | ≥ 3}的上界。

解：由题知()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ??ρ=()915.0??-= -1.5()()()()()75.1291,2=-?++=++=+Y X Cov Y D X D Y X D所以{}{}97303≤≥-+P =≥+)(Y X Y X P 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100⼩时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独⽴的．求这16只元件的寿命的总和⼤于1920⼩时的概率．解：设i 个元件寿命为X i ⼩时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独⽴同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，4161161106.1)(,1600)(?==∑∑==i i i i D E X X ，由独⽴同分布的中⼼极限定理可知：∑=16i iX近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以>∑=1920161i i X P =≤-∑=19201161i i X P ???-≤?--=∑=16000016001920100006.116001161i i X P()8.01Φ-==1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000⼈商品，某种商品在⼀段时间内每⼈需要⽤⼀件的概率为0.6，假定在这⼀时间段各⼈购买与否彼此⽆关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某⼀时间段内每⼈最多可以买⼀件）．解：设商店应预备n 件这种商品，这⼀时间段内同时间购买此商品的⼈数为X ，则X ~ B （1000，0.6），则E (X ) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最⼩的n ，使P {X ≤n }= 99.7%成⽴. 则P {X ≤n })75.2(997.0)240600(240600240600ΦΦP ==-≈-≤-=n n X 所以6.64260024075.2=+?=n ，取n =643。

高考数学一轮复习第11章概率 5 二项分布与超几何分布课件新人教版

例4 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满500元的顾客,
可以获得一次抽奖机会,有两种方案.方案一:在抽奖的盒子中有除颜色外
完全相同的2个黑球,3个白球,顾客一次性摸出2个球,规定摸到2个黑球奖
励50元,1个黑球奖励20元,没有摸到黑球奖励15元.方案二:在抽奖的盒子中
有除颜色外完全相同的2个黑球,3个白球,顾客不放回地每次摸出一个球,
②依题意,该顾客参加了12次答题返现.
设答对题目的次数为Y,则Y~B(12,0.4).
设该顾客答对k次题目的概率最大,
-1

C12
0.4 (1-0.4)12- ≥ C12 0.4-1 (1-0.4)13- ,
则
12-
11-

+1

+1
C12 0.4 (1-0.4)
≥ C12 0.4 (1-0.4)
1
口遇到红灯的概率均为 3 ,用X表示他遇到红灯的次数,则E(X)=
由题意可知这 2 次红灯的不同的分布情形共有C52 =10(种).
1
因为他在每个路口遇到红灯的概率均为 ,
3
1
1
5
所以 X~B 5, ,所以 E(X)=5× = .
3
3
3
5
3
.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
n重伯努利试验与二项分布
1 4
的概率分别为 2 和 5.
(1)求该装置正常工作超过10 000小时的概率;
(2)某城市5G基站建设需购进1 200台该装置,估计该批装置能正常工作
超过10 000小时的台数.
解 (1)依题意,元件 A 至少有一个正常工作超过 10 000 小时的概率为

概率论第5、6、7、8章真题练习

概率论第5、6、7、8章真题练习(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2013年4月2012年10月6.设X 1，X 2，…，X n …为相互独立同分布的随机变量序列，且E (X 1)=0，D (X 1)=1，则1lim 0n i n i P X →∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑7.设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是 A.1ni i x μ=-∑B.211nii x σ=∑C. 211()ni i x n μ=-∑ D. 211n i i x n =∑ 8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是 A.置信度越大，置信区间越长 B.置信度越大，置信区间越短 C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关9.在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是 A. H 1成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 0 成立，拒绝H 1成立，拒绝H 110．设一元线性回归模型：201(1,2,),~(0,)i i i i y x i n N ββεεσ=++=…,且各i ε相互独立.依据样本(,)(1,2,,)i i x y i n =…得到一元线性回归方程01ˆˆˆy x ββ=+，由此得i x 对应的回归值为ˆi y，i y 的平均值11(0)ni i y y y n ==≠∑，则回归平方和S 回为 A ．21(-)ni i y y =∑B ．21ˆ(-)ni i i y y=∑C ．21ˆ(-)ni i yy =∑ D ．21ˆni i y=∑ 21.设m 为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 为事件A 的概率，则对任意正数ε，有lim n m P p n ε→∞⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭=____________.22.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体P (λ)的样本，x 是样本均值，则D (x )=___________.23.设x 1，x 2，…，x n 是来自总体B (20，p )的样本，则p 的矩估计ˆp=__________. 24.设总体服从正态分布N (μ，1)，从中抽取容量为16的样本，u α是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为的置信区间长度是_________.25.设总体X ～N (μ，σ2)，且σ2未知，x 1，x 2，…，x n 为来自总体的样本，x 和S 2分别是样本均值和样本方差，则检验假设H 0:μ =μ0;H 1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N (75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.五、应用题(10分)30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N(500，22)(单位：g)，生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值x=502g. 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常(α=(附：=2012年4月9．设总体2~(2,3),X N x 1,x 2,…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是( ) A.23x - B.29x -10．设样本x 1,x 2,…，x n 来自正态总体2(,)N μσ，且2σ未知．x 为样本均值，s 2为样本方差．假设检验问题为01:1,:1H H μμ=≠，则采用的检验统计量为( )xx21．设随机变量X ~N (1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率{}P ()2X E X -≥≤______.22．设总体X 服从二项分布B (2，，x 为样本均值，则()E x =______． 23．设总体X ~N (0，1)，123x x x ，，为来自总体X 的一个样本，且2222123~()x x x n χ++，则n =______．24．设总体~(1)X N μ，，12x x ，为来自总体X 的一个样本，估计量1121122x x μ=+，2121233x x μ=+，则方差较小的估计量是______． 25．在假设检验中，犯第一类错误的概率为，则在原假设H 0成立的条件下，接受H 0的概率为______．四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)29．设总体X 的概率密度(1),01,(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩ 其他，其中未知参数>1,θ-12,,,n x x x ⋯是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计．2012年1月10. 从一个正态总体中随机抽取n= 20 的一个随机样本，样本均值为17. 25，样本标准差为,则总体均值μ的95％的置信区间为（）。

5概率论

小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
定义设 Y1 , Y2 ,, Yn , 是一系列随机变量，
a 是一常数，若 0 有
n
lim P Yn a 0
(或
lim P Yn a 1 )
定理的意义：
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的
算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.
注1： X 1 , X 2 ,, X n , 不一定有相同的数学
期望与方差，可设
E ( X k ) k , D( X k ) k2 2 , k 1,2, 1 n 1 n 有 lim P X k k 0 n n k 1 n k 1
n
n
2 k
若
0, 1 Bn2
n E (| X k k |2 ) 0 k 1 n
则对于任意实数 x ,
n n X k k k 1 lim P k 1 x n Bn

1 2

t2 x 2 e dt
实际精确计算：
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6

1059
k 941
C
k 6000
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson 分布近似计算：
取 = 1000
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6 k 1000 1059 1000 e 0.937934 k! k 941

概率统计(5)大数定律与中心极限定理

i=1
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定理2: 定理
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贝努利大数定律) (贝努利大数定律)设nA是n次独立重复试次独立重复试定理3: 定理验中事件A出现的次数是事件出现的次数. 是事件A在每次试验中发生的验中事件出现的次数 p是事件在每次试验中发生的概率 (0<p<1),则对任意的ε >0有: 则对任意的有或证明:设Xi表示第 i 次试验中事件出现的次数, 次试验中事件A出现的次数出现的次数, 证明: i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为的相互独立且均服从参数为p的则 (0-1)分布,故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n 分布, 分布由契比雪夫大数定律知, 且 ,由契比雪夫大数定律知,对于任意的 ,有
定理1: 定理
相互独立, 证因X1,X2,…相互独立,所以相互独立
1 n 1 n 1 l D ∑ X i = 2 ∑ D( X i ) < 2 nl = n n n i =1 n i =1
又因
1 n 1 n E ∑ X i = ∑ E ( X i ), n i =1 n i =1
ε
ε2
可见契比雪夫不等式成立. 可见契比雪夫不等式成立
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设电站供电网有10000盏电灯夜晚每一盏灯开灯的盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的例2 设电站供电网有盏电灯概率都是0.7,而假定开,关时间彼此独立估计夜晚同时而假定开, 概率都是而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率之间的概率. 开着的灯数在与之间的概率表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为解设X表示在夜晚同时开着的灯的数目它服从参数为表示在夜晚同时开着的灯的数目 n=10000,p=0.7的二项分布的二项分布. 的二项分布若要准确计算,应该用贝努利公式应该用贝努利公式: 若要准确计算应该用贝努利公式:

概率论与数理统计第五节条件概率5(最新版)

05 条件概率在回归分析中作用
回归模型建立过程中条件概率思想体现
确定自变量和因变量
在回归分析中，首先需要确定自变量和因变量，这一过程需要考虑条件概率的思想，即因变量在自变量的条件下发生变化。
建立回归方程
根据自变量和因变量的关系，可以建立回归方程，该方程描述了自变量对因变量的影响，即因变量在自变量的条件下的期望值。
02 条件概率在实际问题中应用
抽奖问题中条件概率计算
01
02
03
设定事件与条件
明确参与抽奖的人数、奖项设置以及每个奖项的中奖概率，将中奖作为条件事件。
计算条件概率
根据条件概率公式，计算在已知有人中奖的条件下，某个人中奖的概率。
比较不同方案
通过比较不同抽奖方案下的条件概率，选择最公平、合理的方案。
首先根据题意列出联合概率密度函数；然后计算边缘概率密度函数；接着根据条件概率密度函数的公式求解；最后根据条件概率密度函数进行相关的概率计算。
应用场景
连续型随机变量条件密度函数在实际问题中也有着广泛的应用，如天气预报、金融风险评估等。
多维随机变量边缘分布和条件分布关系
边缘分布
条件分布
关系
P(AB)=P(A)P(B)。
02 03
全概率公式
如果事件B1、B2、B3…Bn 是一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。
贝叶斯公式
在全概率公式的基础上，当已知事件A发生时，求某个Bi发生的概率，即P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(A|Bi)P(Bi)/∑[P(A|Bj)P(Bj)]，其中j=1,2,...,n。

概率论5

n
lim P Yn Y 0,
特别地，当Y c为一常数时，称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质： X n a, Yn b,当n 时. 若
函数（x,y）在点(a,b)连续，则 g g ( X n , Yn） g (a, b)，当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布， X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 （） X k，（2） X k ，（3） X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？
1 n P 因为，E( X1 ) 0, 故， X k 0， n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理，E ( X 1 ) x dx , X k ， 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式，要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95， n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。
n
n
即，条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.

考研概率论公式5

考研概率论公式5概率论是数学中的一门重要学科，研究的是不确定性事件的规律性。

在考研数学中，概率论也是一个重要的考点。

本文将介绍考研概率论中的第五个公式，并对其应用进行讨论。

概率论公式5的表达形式如下：\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]其中，\( A \) 和 \( B \) 为两个不相交事件。

公式的意义是，两个不相交事件的并的概率等于它们各自概率之和减去它们的交的概率。

下面将通过具体例子来解释这个公式的含义，并进行应用。

假设考研中有两个概率相关的事件，事件 \( A \) 表示某个考生报考了高数课程，事件 \( B \) 表示该考生报考了概率论课程。

我们希望求解一个问题：考生至少报考了高数课程或概率论课程的概率。

根据题目给出的公式，我们可以得出：\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]首先，我们需要知道事件 \( A \) 和事件 \( B \) 的概率分别是多少。

假设事件 \( A \) 的概率为 \( P(A) = 0.6 \)，事件 \( B \) 的概率为 \( P(B)= 0.5 \)。

同时，我们还需要知道事件 \( A \) 和事件 \( B \) 的交的概率是多少，即 \( P(A \cap B) \)。

假设经过统计，我们得到事件 \( A \) 和事件 \( B \) 的交的概率为\( P(A \cap B) = 0.3 \)。

将以上数据代入概率论公式5，我们可以计算得到：\[ P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 \]所以，考生至少报考了高数课程或概率论课程的概率为 0.8，即80%。

以上就是概率论公式5的一个具体应用实例。

通过这个例子，我们可以看到，使用概率论公式5可以较为简洁地求解概率相关的问题。

在考研中，概率论的相关知识点还包括概率的基本概念、条件概率、独立性、随机变量以及概率分布等内容。

概率计数5

[课堂练通考点]1．(2013·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )A.115 B.25 C.35D.1415解析：选C 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C. 2．(2014·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.3．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( )A.710B.15C.14D.12解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个基本事件，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个基本事件，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个基本事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.4．(2014·昆明质检)从某学习小组的10名同学中选出3名同学参加一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是________．解析：从10名同学中选出3名同学有C 310＝10×9×83×2×1＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C 18＝8种选法，因此甲、乙两名同学都被选中的概率是8120＝115. 答案：1155．(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA ·5OA，共1种；数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA，共4种；数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 从{1,2,3,4,5}中选取一个数a 有5种取法，从{1,2,3}中选取一个数b 有3种取法．所以选取两个数a ，b 共有5×3＝15个基本事件．满足b >a 的基本事件共有3个．因此b >a 的概率P ＝315＝15.2．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 设这4个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．3．(2013·合肥模拟)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选A 不妨设取出的三个数为x ，y ，z (x ＜y ＜z )，要满足x ＋y ＝z ，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C 310种结果，故所求概率为20C 310＝16. 4．(2014·郑州模拟)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16 B.14 C.13D.512解析：选D 注意到二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12·4x r＝C r n ·2－r ·x 234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·2－r·x 34-4r，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512，选D.5．(2014·浙江联考)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：5186．(2014·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x 轴上，则m ＞n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.答案：5127．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)在抽取的20(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45.由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”．则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种．故所求概率为P(A)＝410＝0.4.8．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋b i.(1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9；当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P＝1124.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2) 在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29.2．已知集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}，Q ＝{y |y ＝2n －1，1≤n ≤2，n ∈N *}，M ＝P ∪Q .在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，试计算：(1)点A 正好在第三象限的概率； (2)点A 不在y 轴上的概率；(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的概率．解：由集合P ＝{x |x (x 2＋10x ＋24)＝0}可得P ＝{－6，－4,0}，由Q ＝{y |y ＝2n －1,1≤n ≤2，n ∈N *}可得Q ＝{1,3}，则M ＝P ∪Q ＝{－6，－4,0,1,3}，因为点A 的坐标为(x ′，y ′)，且x ′∈M ，y ′∈M ，所以满足条件的点A 的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6,0)，(－6,1)，(－6,3)，…，(3,3)，共25种．(1)点A 正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A 正好在第三象限的概率P 1＝425.(2)点A 在y 轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0,0)，(0,1)，(0,3)，共5种，故点A 不在y 轴上的概率P 2＝1－525＝45.(3)点A 正好落在区域x 2＋y 2≤10上的可能情况为(0,0)，(1,0)，(0,1)，(3,1)，(1,3)，(3,0)，(0,3)，(1,1)．共8种，故点A 落在区域x 2＋y 2≤10上的概率P 3＝825.3．(2014·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x ＋y ＜17，其中x ＜y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x ＜y ≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.。

吴赣昌-概率统计(5版)-

于是样本空间 S {e00 ,e11,e01}.
(2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
eij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
样本空间
(2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
eij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
样本空间
(2) 若观察取出的两个球的号码，则样本点为：
eij (取出第 i 号与第 j 号球), 1 i j 5,
于是样本空间共有
C
2 5

10
个样本点，样本空间
S {eij | 1 i j 5}.
注：这个例子表明，同一个随机试验，试验的
样本点与样本空间是根据观察的内容而确定的.
者在试验中是必然发生的，即是必然事件，后者
在试验中是不可能发生的，即是不可能事件.
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件. 显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件. 为讨论方便，今后将它们看作是两个特殊的随
是 S 的一个子集. 于是，
事件的集合表示
一个事件是由具有该事件所要求的特征的那
些可能结果所构成，故一个事件是对应于 S 中
具有相应特征的样本点(元素)构成的集合，它
是 S 的一个子集. 于是，
事件的集合表示
一个事件是由具有该事件所要求的特征的那
些可能结果所构成，故一个事件是对应于 S 中
具有相应特征的样本点(元素)构成的集合，它
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一个事件，它分三类： 1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：

概率论(5)

0.9987 (1 0.8413 ) 0.84
P{ X 2} 2(2) 1 0.9544
3、一般正态分布的概率计算
方法:转化为标准正态分布查表计算当 X ~ N ( , 2 ) ，
令 Y
X
先标准化，再计算

标准化代换
转化为标准正态分布 Y ~ N (0,1)
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样的正态分布称为标准正态分布 , 记为 N (0, 1).其概率密度为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
x
其分布函数为 ( x )
1 e 2π
t2 2
d t , x .
第一节
正态分布
一、复习正态分布的定义二、正态分布的特征三、正态分布的概率计算四、正态分布的线性函数
一、复习正态分布的定义
正态分布就是正常状态下服从的两端小、中间大的分布，又称为高斯分布，它是最重要、最常见的一种连续型分布，它的应用很广泛，如零件的尺寸，农作物的产量，测量的误差，考试成绩等，都服从或近似服从正态分布. 在前面的常用连续型分布中，我们已经见过正态分布.来复习一下.
分析：
( x) P{X x}
令
x
y t

x

1 2
e dt
t2
2
x1 2e Nhomakorabeadt1 2
t2
2

1 2
e
y2 2
dy

1 2
e
y2 2
dy
x

e

概率论5章

F ( x, y) A[ B arctanx][C arctany]
求常数A，B，C.
解: F ( , ) A[ B
F ( , y ) A[ B

2
][C

2
]1

2
][ C arctan y ] 0
F ( x, ) A[ B arctan x ][ C
x y
f ( x, y)dxdy
dx 8e
x 0 ( 2 x 4 y ) x dy 2e 2 x (e 4 y ) |0 dx 0
= 0 =

0
2e
2 x
(1 e
4 y
)dx 2e
0

2 x
dx 2e6 x dx
0

F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
x
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ⑤ 随机点(X,Y)落在矩形区域
{( x, y) | x1 X x2 , y1 Y y2}
的概率
y y2
y1 0 x1 x2 x
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F (x2 , y1 ) F (x1, y2 ) F (x1, y1 )
y0 0 y0 0
x
§5.4 边缘分布
一、边缘分布函数 1．边缘分布设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称
P(X≤x)=P(X≤x,Y<+≦)
x , y
其中 -≦<μ1<+≦, -≦<μ2<+≦,σ1>0,σ2>0 ,|ρ|<1,

概率论5分布函数连续型

2. 指数分布 Exp( )
f (x)
若r.v.X的p.d.f.为
f ( x)＝e x , x 0
0
x
0, x 0
则称X服从参数为>0的指数分布. 其分布函数:
易F验(证x):f (Px{)X 0,
x}=f( x0)0xd,x
e
exdx 01
0
xdx, x 0
F ( x)=
0, x 1 e x , x
(2) p{X 3.5 | X 1.5} p{X 3.5, X 1.5}
{ X 1.5}
13.－5 3Fe(33 x.5d)x 11.－5 3Fe(13 x.5d)x
e e－3(63.51.5)
非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件是:无记忆性
例6.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设
注3.当 Δx 很小时,
P{x X x x}＝F(x x) F(x) f (x)x
★密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.
1 证明f ( x) 1/ 2e x 为概率分布密度函数.
c
c ba ba
说明r.v.X落在(a,b)区间上任一点的可能性都相同.
注2 均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是
(1) X 落在(a, b)概率为1, 落在区间外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比.
注3 均匀分布的分布函数：
当x≤a时,F(x)=
[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊
松分布，求T的概率密度。

高考数学(理)一轮复习课件：统计与概率-5排列与组合(人教A版)

排法有A
2 2
A
3 3
种，最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙
之间即可，共有A35×A22×A33＝720种．
[规律总结] 求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排捆绑法
列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排插空法列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表． [思路点拨] “先选后排”，注意“选”和“不选” 应优先考虑．
[解析] (1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是
0≤5－n≤n 0≤9－n≤n＋1
4≤n≤5，
∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C41＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C50＋C64＝16.
，解之得
[答案] (1)5 (2)5或16
[规律总结]
必须熟练掌握A
m n
(C
m n
)的乘积与阶乘两
种形式，前者主要用于计算，后者适用于化简、证明、
第十章统计与概率
第5课时排列与组合
考纲下载 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题．
请注意！ 1．排列、组合问题每年必考． 2．以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力． 3．以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查．

概率统计5 多个事件的独立性

n 个事件的独立性
定义2 设有n事件A1，A2，...，An，若对其中任意 m(2≤m≤n)个事件 Ai1，Ai2，...，Aim，都有
P(Ai1 Ai2 ... Aim) = P(Ai1 ) P( Ai2 ) ... P( Aim) 则称事件A1，A2，...，An相互独立。
性质设有n事件A1，A2，...，An，相互独立，则其中任意m个事件也相互独立；将其中任意m个事件换成对立事件后仍相互独立(2≤m≤n).
引例系统的可靠性问题
设一个元件能正常工作的概率为r，均由
2n(n＞1)个元件元件组成的两个系统，如下图所示，系统Ⅰ与系统Ⅱ哪个更可靠？
A1
A2
An
A1
A2
An
B1
B2
Bn
B1
B2
Bn
系统Ⅰ
系统Ⅱ
分析：整个系统能够正常工作的概率
三个事件的独立性
定义1：如果事件A、B、C 满足下列条件：
（1） P(ABC)=P(A)P(B)P(C) （2） P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C).
则称事件A、B、C是相互独立的。如果仅有（2）式成立，则称事件A、B、C是两两独立的。
问题：两两独立能否推出相互独立？
三个事件的独立性
例1 袋中装有四个大小相同的球，其中红球﹑蓝球﹑黄球各一个，另一个是涂有红﹑蓝﹑黄三种颜色的球.
设 A =“任取一球其上涂有红色”; B =“任取一球其上涂有蓝色”; C =“任取一球其上涂有黄色”;
应用机床工作问题
例2 一个人看管三台机床，设在任一时刻这三台机床正常工作(即不需人照看)的概率分别为0.9﹑0.8﹑0.85. 求在任一时刻：（1）三台机床都正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台正常工作的概率.

中职数学基础模块下册--概率与统计初步练习题及答案..

概率与统计初步例1、某商场有4个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出去，不同的走法共有多少种？解：4×3=12例2.指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件？ ①某乒乓球运动员在某运动会上获得冠军。

②掷一颗骰子出现8点。

③如果0=-b a ，则b a =。

④某人买某一期的体育彩票中奖。

解：①④为随机事件，②是不可能事件，③是必然事件。

例3.某活动小组有20名同学，其中男生15人，女生5人，现从中任选3人组成代表队参加比赛， A 表示“至少有1名女生代表”，求)(A P 。

解：)(A P =15×14×13/20×19×18=273/584例4.在50件产品中，有5件次品，现从中任取2件。

以下四对事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？哪些不是互斥事件？①恰有1件次品和恰有2件次品互斥事件 ②至少有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件 ③最多有1件次品和至少有1件正品不是互斥事件④至少有1件次品和全是正品对立事件例5.从1,2,3,4,5,6六个数字中任取两个数，计算它们都是偶数的概率。

解：P(A)=3×2/6×5=1/5例6.抛掷两颗骰子，求：①总点数出现5点的概率；②出现两个相同点数的概率。

解：容易看出基本事件的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36.(1)记“点数之和出现5点”的事件为A,事件A 包含的基本事件共6个：(1,4)、(2,3)、(3,2)、 (4,1)、,所以P(A)=.4/36=1/9(2)记“出现两个相同的点”的事件为B,则事件B 包含的基本事件有6个：（1，1）、（2，2）、（3，3）、(4,4)、（5，5）、（6，6）.所以P(B)=6/36=1/6例7.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算：①两人都未击中目标的概率； ②两人都击中目标的概率；③其中恰有1人击中目标的概率； ④至少有1人击中目标的概率。