2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题

合集下载

全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及参考答案

全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1.已知集合{|(2)(6)3,,07}A x x x x Z x =--≥∈≤≤，则A 的非空子集的个数为.2. 若()()sin2f g x x =，()tan (0)2xg x x π=<<，则2f ⎛= ⎝⎭.3. 若底边长为2的正四棱锥恰内切一半径为12的球，则此正四棱锥的体积是 . 4. 在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A 和(4,1)B . 圆2225x y +=上的动点(,)P x y 与,A B 形成三角形，则三角形ABP 的面积的最大值为 .5.将正整数1,2,3,4,5,6,7任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是．6. 数列满足410=a ，及对于自然数n ，n n n a a a +=+21，则∑=+2011011n na 的整数部分是．7. 四次多项式)(x f 的四个实根构成公差为2的等差数列，则()f x '的所有根中最大根与最小根之差是 .8.设][x 表示不超过实数的最大整数，则在平面上，由满足50][][22=+y x 的点所形成的图形的面积是．二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9. 已知正项数列{}n a 满足：（1）12012a =；（2）23,a a 是整数；（3）数列2{}n na n -是公比不大于10的等比数列. 求数列{}n a 的通项公式.10. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，若12PF F ∆的面积是，求12F PF ∠.11. 设1a ,2a ,…, n a 为正数，且121n a a a +++=，求证：()2222212121111()()()n nn a a a a a a n+++++++≥．12.设11n ≥是一正整数，由不大于n 的连续10个正整数的和组成集合A ，由不大于n 的连续11个正整数的和组成集合B 。

2011年全国新课标(甘肃省卷)高考文科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．3D ．25．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24 C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

1高斯函数

第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。

甘肃省全国高中数学联合竞赛预赛试题(甘肃卷)

二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120 分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)1. 空间四点 A ，B ，C ，D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点 P 与点Q 间的最小距离为____________；2.向量()()1,0,1,1,OA OB O ==为坐标原点，动点(),P x y 满足01,02OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点(),Q x y y +构成的图形的面积为3. 设有非空集合{}1,2,3,4,5,6,7A ⊆且当a A ∈时，必有8a A -∈，这样的集合A 的个数是_____________；4.设()[](),0,1,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若()()0f x kx k k =+>有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是5. 11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4 个数字只能是1、3 、5 且都至少出现1 次, 这样的手机号码有___________个；6.若122012tan tan tan 1,x x x ⋅⋅⋅=则122012sin sin sin x x x ⋅⋅⋅的最大值是；7.设函数:f R R →，满足()01f =且对任意,x y R ∈都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x = ；8.实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值为；二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题14 分，第11、12 题每题18 分)9.已知数列{}n a 满足()*1111n n n n a a n n N a a +++-=∈-+，且26a =。

全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准

下面证明 PF 与 x 轴不垂直时， PFA 2PAF 恒成立，
设 P
x1, y1
，由于 kPA

y1 x1
1
,
kPF

y1 x1 2
tan
2PAF

2kPA
1 kPA
2

2 x1 1 y1 x1 12 y12
，又 y12 3
x12 1
…………………….. 6 分
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得 AM 2＝b2＋(a2)2－2b·a2·cos C＝b2＋b42＋b22＝( 7)2，解得 b＝2，
故 S△ABC＝12absin C＝12×2×2× 23＝ 3.
…………….…………………….. 13 分
12.（本题满分 13 分）在一次全省科普知识竞赛中，某市 3000 名参赛选手的初赛成绩统计如下图所示.
………………….. 4 分
（2）要选取 1500 人入围决赛，就是要求该组数据的中位数：
70 0.5 0.1 0.15 77 1 77.14
0.035
7
所以，进入决赛选手的分数应该制定为 77.14 分.
……………...…………………….. 7 分
（3）依题意，
B(4,
2) ，所以 5
ξ
的分布列为
P(

k)

C4k
(
2 5
)
k
(
3 5
)
4k
， (k

0,1, 2,3, 4)
；
或 ξ 的分布列：
ξ0
1
2
3
4
故 E( ) 4 2 8 . 55

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。

则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。

则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。

则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2011年全国高中数学联赛预赛试题

2011年全国高中数学联赛预赛试题文昌中学数学组：何立果一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为_________．2. 设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则2011a = .3. 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 .4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；(2) 6(3)f =.则(2011)f = .5. 方程1220112011x ---=一共有个解. 6. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 .7. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线2y x =()22≤≤-x 绕y 轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 .8. 计算：111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)3-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．11．（本小题满分20分）数列01,,...,,...n a a a 满足0120,1,0a a a ===，当3n ≥时有0122(...)1n n a a a a n -=+++-. 证明：对所有整数3n ≥，有10n n a >.。

2011年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛

＝
故一） × ｓ（一１（）Ｓ＝× ＋
＝
÷（＋湎）７５．
’
而ｇ（）０的根为 ± ３０．ｆ（的ｔ＝４，，ｌ￣）Ｊ
根为 Ⅱ± ，．口
５４
故２．１
所有可能的情形有２２＝１６种．一２
（）３数列｛，／／是公比不大于１＇一凡｝／ｔ，０的
等比数列．
１已知集合．
Ａ＝｛一）６Ｉ３ ∈Ｚ０７ｌ（２（）Ｉ，Ｉ一＞，≤ ≤
求数列｛的通项公式．ａ｝
１．１０（４分）已知、为双曲线Ｃ：，
贝＿）＝（０（厂ｋ一０— ）一３（０—１・）
（ｎ＋１（口＋）ｋ） — ）一３（ ≠０．
因为点Ａ、都在圆内，以，ＡＰ的所 △ Ｂ以ＡＢ为底的高的最大值为＝＋．５
令一口＝ｔ贝．０
）＝（一３（一１（＋１（＋）ｋｔ）ｔ）ｔ）ｔ３ｋｔ一１ｔ＋）（）（０９＝ｇｔ．故ｇ（）＝（ｔ一２ｔ４（。ｓ）ｆｋ４０）＝ｋｔ一ｔ．
故当两组数的和相等时，和的值为其
１．时，一组数中至少要含有５６７三个４此第、、当第一组数中含有５时，四种情形：有
）．
因为 Ⅱ。：・＞１所以，，
分是３．
的整数部
可
其与原点的躏为
＝

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

5 5 3 3
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析：不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)．故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析：设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ，则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
2011 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）第 2 页共 11 页
2
ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析：设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ，由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ，则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）第 4 页共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]．从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ，又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去）故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3

2011年全国高中数学联赛试题及标准答案

2０11年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案

（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有
．
3.（50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．
证明：．
4.（50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．
2． .提示：设，且，则
．
设，则，且，所以．
3．-1.提示：由，得．又
，
即
．
于是
．
再由不等式中等号成立的条件，得．与联立解得或
故．
4． .提示：不等式
等价于
.
又是上的增函数，所以，故
当时， C ，在C 中，同样可求得中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为，故不是整数．
因此，整数项的个数为．
9．因为，所以
，
所以或，又因为，所以，所以．
又由有意义知，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故．解得或（舍去）．
把代入解得．
8．15.提示： C ．
要使为整数，必有均为整数，从而．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．
当时， C ，在C 中，中因数2的个数为

甘肃省部分普通高中2011届高三数学第一次联合考试理

2011年甘肃省部分普通高中高三第一次联合考试数学试题（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．）1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2,}B x x a a A ==∈，则（） A ．A B A = B ．A B ⊆A C ．A B B = D ．A B ⊂A2．已知函数()y f x =的反函数1()f x -=(2)f 等于A ．1B ．3C ．5D ．103．设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且354a a +=，则7S 等于 A ．13B ．14C ．15D ．164．函数tan()5y x π=+的单调递增区间是A ．(,),22k k k Z ππππ-++∈B ．73(,),1010k k k Z ππππ-++∈C ．37(,),1010k k k Z ππππ-++∈D ．(,),55k k k Z ππππ-++∈5．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥7．已知向量(2,1),10,||||a a b a b b =⋅=+=则=A B C ．5D ．258．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是A ．15-B ．15C D ．259．设01x <<，则491x x+-的最小值为A ．24B ．26C ．25D ．110．F 1、F 2分别是椭圆2221x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点为M ，且11211()2F M F F F P =+，则点M 到坐标原点O 的距离是A ．14B ．12C ．1D ．211．下列四个命题① 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线．② 一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行．③ 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角相等或互补．④ 过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中正确命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．412．有下列数组排成一排：121321432154321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123412345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345则此数列中的第2011项是 A ．757B ．658 C ．559 D ．460二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上）13．已知实数,x y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是．14．在ABC ∆中，90,2,A AB BC ∠=︒⋅=-且则边AB 的长为15．对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为((),()).a x bf xg x ≤≤∆则322311(, 2)32x x x x -≤≤+=∆．16．已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆41)2(22=+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，向量12(1sin , ), (cos 2, 2sin )7p A q A A =-=，且//p q ．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB//DC ，AC=BC=EB=2DC=2，90ACB ∠=︒，P 、Q 分别为DE 、AB 的中点。

全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合．2．函数()f x =的值域为．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

2011全国高中数学联赛

2011全国高中数学联赛
全国高中数学联赛是中国举行的一项面向高中生的数学竞赛活动。

该竞赛旨在提高学生的数学素养和解决问题的能力，强化学生的数学思维和创新能力。

根据所提供的信息，2011年全国高中数学联赛具体的情况如下：
1. 时间：该比赛通常在每年的4月份举行，比赛的具体日期可以根据地区的不同而有所差异。

2. 参赛范围：全国高中数学联赛面向全国各地高中学生，参与的学生通常来自普通高中、重点高中以及其他类似学校。

3. 考试内容：数学联赛的考试内容包括数学知识的应用、问题解决以及数学推理等方面，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个数学领域。

4. 考试形式：通常该竞赛分为预赛和决赛两个阶段。

预赛采用笔试形式，考试时间一般为2-3小时。

决赛则通过组织面对面的竞技方式，让优秀选手进行实时竞争。

5. 奖项设置：根据参赛者的成绩，该竞赛设有单项奖和团体奖两个层面的奖项。

单项奖包括个人一、二、三等奖，团体奖则根据学校的成绩综合评定。

需要注意的是，以上信息仅为一般性的描述，具体的参赛规则和要求可能因地区和年份不同而有所差异。

参与该竞赛的学生可以向所就读学校的老师或有关部门了解更详细的信息。

2011年高中数学联赛甘肃省预赛评分参考

- 1 -二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1. 63.2.9. 3. 169. 4. 1(72+.5 463．6. 3．7.52. 8. 12．二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分) 9. 已知正项数列{}n a 满足：（1）12012a =；（2）23,a a 是整数；（3）数列2{}n na n -是公比不大于10的等比数列. 求数列{}n a 的通项公式. 解由条件（3）知21n n na n c q--=⋅，其中,0c q >，于是1n n c q a n n-⋅=+，1,2,n = . 由条件（1）可得2011c =，由此12011n n q a n n -=+，1,2,n = . ………………4分因为2201122q a =+是整数，故20112q 是整数，于是q 只能是分数，不妨设kq m=，其中k 与m 互素. 注意到2011是素数，故m 的取值只能是1和2011,k 只能为偶数.……………8分同理,由232011()33k m a =+是整数，得知2220113k m ⋅是整数，于是m 的取值只能是1且k 是3的倍数,从而q k =是6的倍数. q 不大于10, 所以6q =，故数列{}n a 的通项公式为120116n n a n n-⋅=+，1,2,n = . ………………14分10. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，若12PF F ∆的面积12F PF ∠.- 2 -解不妨设点P 00(,)x y在双曲线的右支，由题设易得12FF =………………2分注意到1212001122PF F S F F y y ∆=⋅=⨯=0||y =，……………4分又由221x y -= 有 22001x y -=，解得2200651+=1+=42x y =. ………………6分由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+及22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-. 再由余弦定理有22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=， ………………9分于是()()()()222200122012218cos 22152218251826812.5251822212x F PF x +--+-∠=-⎛⎫⨯+- ⎪⨯+-⨯-⎝⎭====⨯-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭由此得012=60F PF ∠． ………………14分11. 设1a ,2a ,…, n a 为正数，且121n a a a +++= ，求证：()2222212121111()()()n n n a a a a a a n+++++++≥ ．证明因1a ,2a ,…, n a 为正数，由Cauchy 不等式得222112121)111()111)((nn n n a a a a a a a a a a a a ⨯++⨯+⨯≥++++++即22121)111)((n a a a a a a nn ≥++++++ ． ………………6分- 3 -又121=+++n a a a ，所以221111n a a a n≥+++ ． ………………9分对111a a +,221a a +,…,nn a a 1+和实数1,1,,1n，由Cauchy 不等式得222222212121212111111[)()]111[111]n n nn n a a a a a a a a a a a a ++++++++≥+⨯++⨯+++⨯ （）（（）（）（）（）即222212121212111111[)()]()n n n na a a n a a a a a a a a a ++++++≥++++++ （）（, ………………12分即222221212111[)()](1)n na a a n n a a a ++++++≥+ （）（，………………15分所以()2222212121111()()()n n n a a a a a a n+++++++≥ ． ………………18分12.设11n ≥是一正整数，由不大于n 的连续10个正整数的和组成集合A ，由不大于n的连续11个正整数的和组成集合B 。