基尼系数计算方法新思考

-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best LiteratureＣ２００７年第７期（总第２４１期）一、基尼系数及其计算方法（一）基尼系数基尼系数是意大利经济学家科拉多·基尼（Ｃｏｒｒａｄｏ·Ｇｉｎｉ）１９１２年在洛伦茨曲线（Ｌｏｒｒｅｎｚ）的基础上提出的，１９０５年统计学家马克斯·洛伦茨（Ｍａｘ·Ｌｏｒｒｅｎｚ）利用累计百分数曲线，作为检定社会收入或财富分配不均等程度的方法，后人就称这种曲线为洛伦茨曲线。

其原理是将调查的所有的对象（个人或家庭）收入水平从低往高排列并编制组距变量数列，首先计算出每个收入组的对象数量占所有被调查对象数量的比重Ｘｉ；再计算每个收入组对象收入的总金额占所有调查对象收入总金额的比重Ｙｉ；然后，分别计算这两个比重的向上累计比重记为Ｃｉ（调查对象比重向上累计）、Ｖｉ（收入比重向上累计）；最后，以Ｃｉ为横坐标轴，Ｖｉ为纵坐标轴建立直角坐标系，依据每个组数据可以确定一个坐标为（Ｃｉ，Ｖｉ）的点，用描点法画出洛伦茨曲线。

因为洛伦茨曲线是利用两组对应的累计百分比资料的关系构成的坐标系，因此在图中构成一个边长为１００％的正方形，此正方形过原点的对角线称为绝对公平分配直线，通过比较洛伦茨曲线与绝对公平分配直线的距离远近，可以判断分配公平还是不公平，显然，洛伦茨曲线离绝对公平线越近收入分配就越公平。

这个方法虽然直观易懂，但在统计学中提倡用数据来说明问题，统计学家基尼根据洛伦茨曲线提出了基尼系数的计算原理，其公式如下：Ｇ＝ＳＡＳＡ＋ＳＢ（１）其中，ＳＡ代表绝对公平直线与洛伦茨曲线围成的弓形面积，ＳＡ＋ＳＢ表示绝对公平直线右下方整个直角三角形的面积（等于１／２），所以Ｇ＝２ＳＡ＝２（１／２－ＳＢ）＝１－２ＳＢ。

依照此方法计算出来的基尼系数是介于０和１之间的数（在０和１取值问题在文章后面将专门讨论），而且当今统计学界一般认为，基尼系数在０．２以下表示高度平均；０．２－０．３之间表示相对平均；０．３－０．４之间表示较为合理；０．４－０．５之间表示差距偏大；０．５以上为差距悬殊。

（二）基尼系数的计算方法目前，计算基尼系数的方法主要有以下几种：几何法（Ｇｅｏｍｅｇｒｉｃａｐ－ｐｒｏａｃｈ）、基尼平均差法（Ｇｉｎｉ＇ｓｍｅａｎｄｉｆ－ｆｅｒｅｎｃｅａｐｐｒｏａｃｈ）、协方差法（Ｃｏｖａｒｉａｎｃｅａｐｐｒｏａｃｈ）和矩阵法（Ｍａｔｒｉｘｆｏｒｍａｐ－ｐｒｏａｃｈ）。

这几种计算方法有各自的优缺点，其中，基尼平均差法是Ｋｅｎｄａｌｌ和Ｓｔｕａｒｔ（１９５８年）在他们的《ＡｄｖａｎｃｅｄＴｈｅｏｒｙｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ》一书中提出的，其特点是不仅可以用于反映收入不平等分配问题，还可以用于描述财产、资本、资源、产品、市场等资源分配的均衡程度，大大拓展了基尼系数本身的内涵，但是其计算过程比较繁琐；协方差法是Ａｎａｎｄ和Ｙｉｔｚｈａｋ分别在１９８３、１９８４年研究得出的结论，当前统计软件中常用这种方法来计算基尼系数；矩阵法是Ｐｙａｔｔ（１９７６年）提出的，矩阵法为基尼系数的分解提供了便利，在计算出基尼系数数值之后，为了进一步研究收入分配差距的构成和成因，可以将基尼系数进一步分解。

在本文中，作者重点探讨几何方法的原理及据此推导出的公式，所以以上三种方法在这里不详细介绍。

二、几何法的原理及几何算法高精度公式的提出（一）几何法的原理几何法通常有拟合曲线法和计算弓形面积法两种，其中，弓形面积法的原理是根据基尼系数公式Ｇ＝１－２ＳＢ，计算基尼系数。

通过公式可知，只要求出ＳＢ的值，也就是洛伦茨曲线和横坐标轴围成的面积，洛伦茨曲线是通过描点法描绘出的曲线，现通过曲线上的点分别向横坐标轴引垂直线，这样就将ＳＢ区域和洛伦茨曲线分割成了若干部分（分成的部分数量等于分组的组数），再把被分割得洛伦茨曲线近视的看成直线，这样ＳＢ区域的面积就可以通过先计算ｎ（ｎ等于分组的组数）个分割部分的面积，再将其累加就可以得出ＳＢ。

用此方法可以推导出如下基尼公式：Ｇ＝１－（ｎｉ＝１!ＸｉＹｉ＋２ｎｉ＝２!ＸｉＶｉ－１）（２）Ｘｉ代表属于第ｉ组的调查对象数量占所有调查对象数量的比重；Ｙｉ代表第ｉ组调查对象收入总额占所有调查对象收入总额的比重；Ｖｉ代表Ｙｉ的向上累计。

此方法的最大特点就是简单明了，具有很强的直观性，但精度和分组的组数直接相关，分组越多计算出的基尼系数精度越高，分组组数越少，误差越大。

（二）几何算法高精度公式通过以上分析，可知在计算基尼系数的方法中几何法中的弓形面积法是最为简明易懂、可操作性强的方法，其缺点就是计算结果的精度受数据的分组组数的影响。

所以要提高几何法求基尼系数的精度，唯一的方法就是增加原始数据的分组的组数，显然，一组原始数据可以分组的最多组数，就是每个原始数据按从小到大排序，每个数据为一组，对应的次数（频数）为１，这样分组的组数为ｎ（ｎ为原始数据的个数）组。

现假设调查了ｎ个人（家庭）的收入情况，每个人（家庭）收入数据从小到大排好顺序后分别为：ａ１，ａ２，…，ａｉ，…，ａｎ，那么根据使用弓形面积推导出的计算公式（２）可知，要计算基尼系数首先要推算出数据Ｘｉ、Ｙｉ、Ｃｉ、Ｖｉ，依据假设相关数据可以归纳为表１。

因此，将表１中的相关数据代入公式（２）可得如下公式：Ｇ＝１－ｎｉ＝１!１ｎ×ａｉｎｉ＝１!ａｉ"#＋２ｎｉ＝２!１ｎ×ｆｉ－１ｎｉ＝１!ａｉ"$%&＝１－１ｎ１＋２ｎｉ＝２!ｆｉ－１"$ｎｉ＝１!ａｉ"$%&＝１－１ｎ１＋２ｎ－１ｉ＝１!ｆｉ"$ｎｉ＝１!ａｉ"$%&（３）■饶卫振基尼系数计算方法思考新ＬＩＬＵＮＸＩＮＴＡＮ２８Ｃ２００７年第７期（总第２４１期）这就是本文提出的几何算法高精度公式，其中，ｆｉ＝ｉｋ＝１!ａｋ（ｉ＝１，２，…，ｎ），利用此公式就能够计算出非常确切的基尼系数，在文章中作者称此公式为几何算法高精度公式。

例如：设调查了４个（家庭）人的收入分别为１００、２００、５００、１２００，计算其基尼系数，易知ｎ＝４；ａ１＝１００，ａ２＝２００，ａ３＝５００，ａ４＝１２００；ｎｉ＝１!ａｉ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝２０００；ｆ１＝ａ１＝１００，ｆ２＝ａ１＋ａ２＝３００，ｆ３＝ａ１＋ａ２＋ａ３＝８００，ｆ４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝２０００。

根据公式（３）可得Ｇ＝１－１／４［１＋２（ｆ１＋ｆ２＋ｆ３）／２０００］＝１－１／４（１＋１２００／１０００）＝０．４５（三）据几何算法高精度公式讨论基尼系数取值范围笔者通过查阅著多文献发现，在许多资料中都认为基尼系数的理论取值范围是最小值取０，最大值取１，即０≤Ｇ≤１。

基尼系数代表的是财富分配的不均匀程度，当基尼系数等于零的现实意义就是财富分配完全平等，即每个人（家庭）收入均相等；基尼系数为１时表示社会收入完全不平等，这种极端的现实意义就是全部的财富被某一个（家庭）人占有。

显然，在现实中这两种极端的方式都是不可能发生的，也就是基尼系数在实际生活中不可能等于０或者１。

而在理论上，是不是能够取到极端值０或１呢？按照基尼系数取零的现实意义，可以通过几何计算法高精度公式可以来验证，当分配绝对公平时基尼系数的取值，即ａ１＝ａ２＝…＝ａｉ＝…＝ａｎ＝ａ，所以易知：ｎｉ＝１!ａｉ＝ｎａ；ｆ１＝ａ，ｆ２＝２ａ，ｆ３＝３ａ，…，ｆｉ＝ｉａ，…，ｆｎ－１＝（ｎ－１）ａ；故基尼系数可得：Ｇ＝１－１／ｎ;１＋２［（１＋２＋３＋…＋ｉ＋…＋ｎ－１）=ａ］／ｎａ>＝１－１／ｎ［１＋ｎ（ｎ－１）ａ／ｎａ］＝１－（１／ｎ）=ｎ＝０因此，在理论假设财富分配绝对公平的条件下，基尼系数可以取到零值。

那么在理论假设财富分配绝对不公平的条件下，基尼系数能否取到１呢？分配绝对不公平也就是：ａ１＝ａ２＝…＝ａｉ＝…＝ａｎ－１＝０，ａｎ＝ａ。

即，ｎｉ＝１!ａｉ＝ａ；ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝…＝ｆｉ＝…ｆｎ－１＝０；将数据代入公式（３）可得：Ｇ＝１－１／ｎ（１＋２=０／ａ）＝１－１／ｎ＝（ｎ－１）／ｎ。

所以，在理论上基尼系数也不可能等于１，基尼系数的理论取值范围应该是［０，１），即０≤Ｇ＜１。

三、几何算法高精度公式的适用条件及改进效果通过上面的分析，我们可以看出用几何算法高精度公式计算基尼系数，对数据的要求比较苛刻，要求掌握全部的原始资料。

因此，这个公式对于能够取得一手资料的统计部门具有更广泛的适用性，其计算过程可以在计算机中实现，利用ＭｉｃｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ中的公式编制功能和填充柄功能可以比较便捷地计算出最终结果。

用几何算法高精度公式计算基尼系数与一般几何方法相比，其精度提高效果如何呢？我们可以通过实际例题来看，比如：２０位工人的工资情况（１００，２６０，３６０，４８０，５００，５５０，６００，７５０，８５０，１０００，１２００，１２５０，１４００，１５００，１７００，２４００，２８００，２９００，３０００，３６００）通过公式（３），计算Ｇ＝０．４１０９１９。

分组后可得如表２的数据。

根据表格数据应用公式（２）计算Ｇ＝０．３９０８８２。

比较两计算结果发现，分组后的基尼系数计算结果比原始数据偏小０．０２００３７，这误差相差近５％。

笔者通过诸多实验表明，当调查对象相对较大时，这两者相差的误差会更大，所以应用几何算法高精度公式计算基尼系数，其精确度能够明显的提高。

四、结论基尼系数是反映一个国家或地区居民收入分配是否公平的指标，也是一个国家或地区制定相关收入分配政策的重要依据之一，所以，在计算基尼系数要力保精确，以便提高基尼系数的参考价值。

我国目前一般计算三种基尼系数：农村居民基尼系数、城镇居民基尼系数及全部居民基尼系数。

经查找相关资料发现，因为当前计算基尼系数方法的多样性和掌握的数据资料的差异性，很多有关相同地区相同时间下的基尼系数差别很大，大大削弱了基尼系数的参考价值，因此，在计算基尼系数时，有必要选择精度相对高的方法来计算。

（作者单位／山东英才职业技术学院商学院）（责任编辑／浩天）表２收入分组（元）４００以下４００－８００８００－１６００１６００－３０００３０００以上合计人数（人）３５６４２２０比重（％）Ｘｉ１５２５３０２０１０１００收入比重（％）Ｙｉ２．６５１０．５９２６．４７３６．０３２４．２６１００人数比重累计（％）Ｃｉ１５４０７０９０１００－收入比重累计（％）Ｖｉ２．６５１３．２４３９．７１７５．７４１００－表１序号分组数据值人（家庭）数比重Ｘｉ占总收入的比重Ｙｉ人（家庭）数向上累计比重Ｃｉ占总收入的向上累计比重Ｖｉ１２…ｉ…ｎａ１ａ２…ａｉ…ａｎ１／ｎ１／ｎ…１／ｎ…１／ｎａ１／ｎｉ＝１!ａｉａ２／ｎｉ＝１!ａｉ…ａｉ／ｎｉ＝１!ａｉ…ａｎ／ｎｉ＝１!ａｉ１／ｎ２／ｎ…ｉ／ｎ…ｎ／ｎｆ１／ｎｉ＝１!ａｉｆ２／ｎｉ＝１!ａｉ…ｆｉ／ｎｉ＝１!ａｉ…ｆｎ／ｎｉ＝１!ａｉＬＩＬＵＮＸＩＮＴＡＮ２９。