扭转
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材料力学第3章 扭转
m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
工程力学 第6章扭转
max
M n max Wn
式中：
max — —横截面圆周处的最大 剪应力。
M n max — —横截面上的最大扭矩 。 Wn — —抗扭截面系数 (m m3 ),只与截面形状和大小有 关的几何量。
抗扭截面系数计算公式： Wn
对于直径为D的实心圆截面： Wn
I R
0.2 D 3
A
2 dA
2 4 令： dA I — —极惯性矩（ mm ） A
得：
Mn I
剪 应 力 分 布 图
结论：（1）圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。 （2）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到 圆心的距离成正比，与半径垂直。
三.圆轴扭转强度计算
3.圆轴扭转的强度条件:
D 3
16
D D 3 对于内外径比为 的空心圆截面： Wn 1 4 0.2 D 3 1 4 d 16
三.圆轴扭转强度计算
4.强度条件的应用
（1）校核轴的扭转强度。
（2）确定圆轴的直径。 （3）确定轴所能传递的功率或转速。
解：（1）求A、B、C点的剪应力
截面上的扭矩： M n M e 4 106 N mm
一.扭转的概念
1.扭转变形 受力特点——两外力偶作用面与杆件轴线垂直。 变形特点——杆件相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
2.在工程中，作用在圆轴上的外力偶矩通常根据轴所传递的 功率和轴来的转速来计算。 外力偶矩的计算公式：
N (kW ) m 9549 n(r / min)
式中： m——外力偶矩（牛米） N——轴传递的功率（千瓦） n——轴的转速为（转/分）
材料力学3-扭转详解
a
'
d
b
'
c
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
§3-3 关于切应力的若干重要性质
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
2
T 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l
为扭转角
r0 l
r0 l
即
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
3
C
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第三章——扭转
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：τs 扭转强度极限：τb 扭转强度极限：τb 扭转屈服应力：τs 和扭转强度极限：τb ，统称为 材料的扭转极限应力τu。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
[τ ] =
τ
u
n
n为安ห้องสมุดไป่ตู้系数。
强度条件为：
τ
max
13
第三章 扭转
3.4 圆轴扭转时的应力
14
15
正应力为零，切应力垂直于半径。
16
dφ dx
=
T GI P
圆轴扭转变 形基本公式
τ ρ=
其中
Tρ IP
τ
max
=
IP R
T WP
17
Wp =
τ ρ=
其中
Tρ IP
τ
IP R
max
=
T WP
Wp =
IP和WP分别称为极惯性矩 抗扭截面模量 极惯性矩和抗扭截面模量 极惯性矩
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP =
π d4
32
WP =
π d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
π D4
32
IP = WP =
(1 − α )
4
π D3
16
(1 − α )
4
α =d/D
20
例3-2：如图所示轴，左段AB为实心圆截面，直径d＝20mm， 右段BC为空心截面轴，内、外径分别为d1＝15mm和d2＝25mm。 轴承受扭力矩MA、MB与MC作用，且MA ＝ MB ＝100N⋅m， MC ＝200 N⋅m。试计算轴内的最大扭转切应力。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
扭转
§8-3 薄壁圆筒扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
扭转实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 Me。
实验现象：
Me
Me
1.各圆周线绕轴线有相对转动，但形状、大小及相邻 两圆周线之间的距离均不变 。
这说明横截面上没有正应力 2.在小变形下，各纵向线倾斜了同一角度，但仍为 直线，表面的小矩形变形成平行四边形。
Me
9549
P n
作用在轴上的扭转 外力偶矩，单位为
牛顿米（N ·m）
轴所传递的功率， 单位为千瓦(kW)
轴的转速，单位 为转／分(r/min)
例8-1 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW， 从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴 的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
律。
G
其中，比例常数G 称为切变模量,常用单位GPa G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa
对各向同性材料可以证明，弹性常数E、 G、μ存在关系
G E
2(1 )
三个弹性常数中，知道任意两个，可求第三个。
§8-4 圆轴扭转时的应力
引言:圆轴扭转时的应力不象薄壁圆筒那样简单, 其应力问题是一个超静定问题,所以要从以下三方 面入手进行研究:
1、变形几何方面 2、物理方面 3、静力学方面 下面首先观察实验：
Me
Me
一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
1、变形协调关系
m
Me
C
max A
材料力学 第3章扭转
d 90 ×10 −3 m − 2 × 2.5 × 103 m α= = D 90 × 10 −3 m = 0.944
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
第三章 扭转
三、剪切胡克定律
d a
p
d c a b
q
Me
c d’ b
Me
q q
γ
a’ d’ c’
p p
c’ b’
Me
a’ b’
Me
p
q
:直角的改变量 切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
p
d’ c’ a’ b’
q
γ
r ϕ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ
≤τ p 时,有
d’
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 二、切应力互等定理 三、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
1、变形观察 2、横截面上扭转应力分布规律的分析 3、扭转应力的大小
1、变形观察
p q
a b
（1）圆周线不变 大小、 （大小、间距都 Me 不变）。 不变）。 纵向线倾斜， （2）纵向线倾斜， 倾斜角相同。 倾斜角相同。 （3）表面矩形变 成平行四边形。 成平行四边形。 Me
T =−M −M +M 3 2 3 1 = 6.37kN⋅ m
4.78
6.37
9.56
M =15.9 kN⋅m 1
M =4.78 kN⋅m 2
M1 2
B
1
2 M 3
M 1
A
3
M 4
D
M =4.78 kN⋅m 3
C
2 2
3 3
M4 =6.37 kN⋅m
M 2
B
1
M 3
C
M 4
A
M 1
D
3
1
2
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换， 和从动轮 调换， 求轴的扭矩图。 求轴的扭矩图。
工程力学 第9章 扭转
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之 比等于横截面面积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空 心轴的重量仅为实心轴的31% 。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
扭转变形的标志是两个横截面之间绕轴线的
相对转角（扭转角 ）。
§9.4 圆轴扭转横截面上的应力
Me
p q
Me
_扭转角（rad）
p p
d
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离：
q q
aa ' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R
a
d
O
c p
a
'
b b′ q
aa' Rd ad dx
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
相对扭转角
抗扭刚度
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件
当各段内的扭矩不同时，要分段计算，然后按代
数值相加
Ti li i 1 GI Pi
n
§9.7
圆轴扭转变形与刚度条件 Tl GI P
单位长度扭转角 rad/m
d T dx GI p
'
rad/m
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
§9.6 圆轴扭转破坏与强度条件 例 由无缝钢管制成的汽车
传动轴，外径D=89mm，内径 d=85mm，工作时的最大扭矩
T=1.5KN·m，[]=60MPa。校
材料力学-第四章 扭转_1
该轴满足强度条件的要求。
§5-5圆轴的扭转变形与刚度条件
d T d x GI p
T d dx GI p
T dx GI p l
d
Tl 若T const，则 GIp
比较拉压变形：
Nl l EA
公式适用条件：
1）当p（剪切比例极限）公式才成立
2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
外表面dx rd d r dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
d
dx d d
dx
(a)
2. 物理关系
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪 应力不超过材料的剪切比例极限时 d G G (b) dx
（5-6） （5-7）
max
Wt
T max T Wt Ip
Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
4.圆与圆环的极惯性矩 I p和抗扭截面模量 Wt
Ip
d /2
0
Байду номын сангаас
第三章扭转(1)
6
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的 功率为
{P}kw
{M
e
}Nm
{a }rad
{t}s
103
{Me }Nm
rad s
103
{M e }Nm
2π
{n}r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮
所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
20
2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律
a
b
T
O1
E
A
T
G O2
dj
D G'
D'
ρ
tan
ρ
GG EG
dj
dx
即
a
d/2
O1 E
A
21
dx
b
dx
O2
G
D
dj
G'
D'
ρ
dj
dx
a
b
T
O1
E
A
a
T
G O2
dj
D G'
D'
dx
b
ρ
dj
dx
j 式中 d——相对扭转角j 沿杆长的
变化率，常d用xj' 来表示，对于给定的横
截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 均相同； 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的 功率为
{P}kw
{M
e
}Nm
{a }rad
{t}s
103
{Me }Nm
rad s
103
{M e }Nm
2π
{n}r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮
所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
20
2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律
a
b
T
O1
E
A
T
G O2
dj
D G'
D'
ρ
tan
ρ
GG EG
dj
dx
即
a
d/2
O1 E
A
21
dx
b
dx
O2
G
D
dj
G'
D'
ρ
dj
dx
a
b
T
O1
E
A
a
T
G O2
dj
D G'
D'
dx
b
ρ
dj
dx
j 式中 d——相对扭转角j 沿杆长的
变化率，常d用xj' 来表示，对于给定的横
截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 均相同； 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
w_第三章_扭转
P 若功率P的单位为马力，则： M e 7024 ( N m) n
扭转内力：扭矩 扭转内力：扭矩T T ＝ Me 扭矩的正负号符号规则 : 按右手螺旋法则，扭矩的 矢量方向与横截面外法线方向 一致时为正。反之为负。
Me
Me
Me
T（+） n Me
（ +） T n T（-） n （ -） T n
Me
强度安全。
D 53mm
（2） W p
D3
16 max Q A D 2 （3） 2 3.2 2 Q A D d
T
空心优于实心
3-4 圆轴扭转变形与刚度条件 一 扭转变形
Tl GI p
单位：(弧度)
G I p : 截面抗扭刚度
单位长度扭转角
180 T ( ) m l G Ip
T
圆轴扭转的强度条件
max
T D T I p 2 Wp
Wp
2I p D
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
max
T Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Me Me
Me
已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW， n = 955 rpm 求:作图示传动轴的扭矩图。 解：1、外力偶计算
M e A 9549
M eB
M eC
P 400 Nm n P Nm 9549 1000 n P 9549 600 Nm n
《工程力学》12 扭转
20
C
D
A
T (kN ⋅ m)
C
D
T (kN ⋅ m)
B 20
C
10
D
图示主动轮B输入的功率P 例2 图示主动轮B输入的功率 K=10.5 kW，额定转速 ， n=680 r/min，从动轮A和C输出的功率均为 K/2，不计 输出的功率均为P ， ，从动轮A 摩擦，画出车轴的扭矩图. 摩擦，画出车轴的扭矩图.
γ
结论： 结论：1）刚性平截面假定：圆轴扭转变形后，横 刚性平截面假定：圆轴扭转变形后， 截面仍然保持为平面， 截面仍然保持为平面，且其形状和大小及相邻两横 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（ 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截 面刚性地绕轴线作相对转动） 面刚性地绕轴线作相对转动） 2）各横截面上没有正应力，只有剪应力 各横截面上没有正应力， 3）剪应力如何分布？ 剪应力如何分布？
n T（+） M n
正
3、扭矩图： 、扭矩图： 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩， 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线， 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线，用一 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律， 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称 为扭矩图
解：（1）计算扭矩 ）
d
D D
Pk m = 9550 = n 7 .5 9550 = 199 N ⋅ m 360
m A C m 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： B
T = m = 199 N ⋅ m
（2）计算极惯性矩
I ρ AC = I ρ BC =
C
D
A
T (kN ⋅ m)
C
D
T (kN ⋅ m)
B 20
C
10
D
图示主动轮B输入的功率P 例2 图示主动轮B输入的功率 K=10.5 kW，额定转速 ， n=680 r/min，从动轮A和C输出的功率均为 K/2，不计 输出的功率均为P ， ，从动轮A 摩擦，画出车轴的扭矩图. 摩擦，画出车轴的扭矩图.
γ
结论： 结论：1）刚性平截面假定：圆轴扭转变形后，横 刚性平截面假定：圆轴扭转变形后， 截面仍然保持为平面， 截面仍然保持为平面，且其形状和大小及相邻两横 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（ 截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截 面刚性地绕轴线作相对转动） 面刚性地绕轴线作相对转动） 2）各横截面上没有正应力，只有剪应力 各横截面上没有正应力， 3）剪应力如何分布？ 剪应力如何分布？
n T（+） M n
正
3、扭矩图： 、扭矩图： 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩， 利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线， 反映出扭矩的分布情况，以杆件的轴线为基线，用一 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律， 个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称 为扭矩图
解：（1）计算扭矩 ）
d
D D
Pk m = 9550 = n 7 .5 9550 = 199 N ⋅ m 360
m A C m 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： 由截面法，根据平衡条件，求得各截面上得扭矩： B
T = m = 199 N ⋅ m
（2）计算极惯性矩
I ρ AC = I ρ BC =
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(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
180 10 3 T 62.2MPa 4 3 3 D 0.29 4 230 (1 ) 1 16 16 290
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶 矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍， 内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？ （按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一 倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
材料力学
第三章
扭
转
材料力学
第三章
扭
转
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的， 所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学
1．外力偶矩
直接计算
第三章
扭
转
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
材料力学
第三章
扭
转
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
按输入功率和转速计算
材料力学
③绘制扭矩图
第三章
扭
转
T max 9.56 kN m BC段为危险截面。
m2
m3
m1
m4
n
A T
– 4.78 –
B
C
6.37
D
x
9.56
材料力学
第三章
扭
转
§3-3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
1 薄壁圆筒：壁厚 r （r：为平均半径） 10 1．实验： 实验前：
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D T1 T 由 [ ] 3 3 D D1 4 (1 4 ) (1 ) 16 16 3 T1 D1 得 23 / 2 2.828 T D
2 2
D12
D 2
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm， 传递扭矩T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
D 4 Ip (1 4 ) 77.110 4 mm 4 32 解：计算截面参数： W I p 20.3 10 3 mm 3 p D/2 Tmax 97.5MPa [ ] 由强度条件： max WP
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
材料力学
第三章
扭
转
⑤ 确定最大剪应力：
T d 由 知：当 R , m ax Ip 2 d T 2 T T (令 W I d ) max p 2 Ip d Wt Ip 2 T Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， max Wt
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
材料力学
2 ．实验后： ①圆周线不变；
第三章
扭
转
②纵向线变成斜直线。
3 ．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
材料力学
①无正应力
MB MC MA MD
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9550 1592 N m n PB M B M C 9550 477 .5N m n PD M D 9550 637 N m n
材料力学
第三章
扭
转
2．扭矩与扭矩图
由 M x 0, T M e 0 得T＝M e Me T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋 法则，T矢量背离截面为正，指 向截面为负（或矢量与截面外法 Me 线方向一致为正，反之为负）
D
材料力学
第三章
扭
转
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m T2 m2 m3 0 , T2 m2 m3 (4.78 4.78 ) 9.56kN m T3 m4 0 , T3 m4 6.37kN m
材料力学
第三章
扭
转
例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承
受扭矩T=180 kN· 。试求管中的最大剪应力，使用： m
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
max
T 180 10 3 56.5MPa 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
r AdA r 2 r T Me T T 2 2 r 2 A 2 A
A：平均半径所作圆的面积。
材料力学
mz 0
第三章
扭
转
a
二、切应力互等定理：
´
c
´
b
t dxdy t dxdy 故
材料力学
T Ip
第三章
扭
转
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截
面直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学
第三章
扭
扭
转
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[] 与许用正应力[]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [l] 式中， [l]代表许用拉应力。 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切 状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
材料力学
第三章
扭
转
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 平面假设： 变形前为平面的横截面 变形后仍为平面，它像刚 性平面一样绕轴线旋转了 一个角度。
第三章
扭
转
d
对于空心圆截面：
2 d
2
D 2 d 2
d O D
32
(D4 d 4) (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) (
D 4
32
d ) D
材料力学
④ 应力分布
第三章
扭
转
（实心截面）
结构轻便，应用广泛。
（空心截面）
转
I p A 2dA
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA 2 2 d
D 2 0
O
D
D 4
32
0.1D 4
材料力学
I p A 2dA
材料力学
例3-2-3
第三章
扭
转
已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘
制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
1
m3
2
m1
3
m4
P 500 1 3 9.55 1 2 n n 300 A B C 15.9(kN m) P4 P2 m4 9.55 9.55 m2 m3 9.55 n n 200 150 6.37 (kN m) 9.55 4.78 (kN m) 300 300 m1 9.55
上式称为剪应力互等定理。
dy
d t
z
dx
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
第三章
扭
转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应
力状态称为纯剪切应力状态。
三、切应变 剪切胡克定律
几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面：Wt I p R D3 16 0.2D3 对于空心圆截面： t I p R D3(1 4 ) 16 0.2D3(1 - 4 ) W
材料力学
三、强度条件
强度条件： ma x
第三章
Tmax [ ]， Wp
d G dx
材料力学
3. 静力学关系：
第三章
扭
转
dA
T A dA d A G dA dx
2ຫໍສະໝຸດ Od G A 2dA dx d T GI p dx
代入物理关系式
令
I p A dA
2
d T dx GI p T d 得： G Ip dx
材料力学
第三章
扭
转
§3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3-3 纯剪切
§3-4 圆轴扭转时的应力
§3-5 圆轴扭转时的变形
材料力学
第三章
扭