三角函数应用1
三角函数的应用(一)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
根据已知数据作出散点图，如下图所示．
y
由数据表和散点图可 22
知，振子振动时位移的最 20
18
大值为20mm，因此A＝20；16
14
振子振动的周期为0.6s，
即 = 0.6 解得ω＝ ；
再由初始状态(t＝0)振子
的位移为-20，可得sinφ
=－1，因此φ ＝- ．
所以振子位移关于时间
的函数解析式为
y=20sin( t
-
),
12
10
8
6
4
2
–2 O
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
t∈[０，＋∞）．
x
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这
些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正
然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最
后利用这个函数模型来解决相应的实际问
题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往
往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归
6
7
8
9
10
11
水
5.00 6.21 7.12 7.49 7.24 6.42 5.25 4.01 3.02 2.52 2.65 3.37
应用三角函数解决实际问题
应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。
一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。
我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。
然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。
例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。
我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。
因此，高楼的高度约为57.74米。
二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。
此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。
我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。
然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。
例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。
我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。
因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。
三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。
这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。
例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
三角变换中“1”的妙用
三角变换中“1”的妙用作者：陈秀娟来源：《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。
5.7.1三角函数的应用教学设计(第1课时)(高硕)-高中数学新教材必修第一册小单元教学专家指导(视
5.7 三角函数的应用第一课时教学设计一、内容和及其解析 （一）教学内容本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A 版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。
（二）教学内容解析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养，从而培养学生的创新精神和实践能力. 二、教学目标及解析 （一）教学目标1．会通过建立三角模型，解决实际问题。
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．掌握对函数sin()y A x ωϕ=+图像的应用，培养直观想象和逻辑推理核心素养能力。
3．通过学习三角函数模型的实际应用，能使学生学会把实际问题抽象为数学问题，培养数学建模素养。
（二）教学目标解析①要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，根据相等关系或不等关系列式. ②在建立三角函数模型这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想来打开思路，解决问题. ③在应用研究数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.④实际问题通常涉及复杂的数据，因此可能需要用到计算机或计算器. 三、教学问题诊断分析问题1 如何理解函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中，A ω ϕ，，的物理意义． 突破：通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数A ω ϕ，，从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解A ω ，，的物理意义． 问题2 三角函数模型的作用突破：三角函数作为描述现实世界中（周期现象）的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用． 三角函数模型的应用体现在两个方面： ①已知函数模型求解数学问题；②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三 角函数的有关知识解决问题． 问题3 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 突破：教学难点：重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题； 难点：实际问题抽象为三角函数模型.四、教学支持条件PPT 课件，视频五、教学过程设计（主体内容） （一）情景导入现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？【学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充】 【预设的答案】：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面： （1）匀速圆周运动。
三角变换中“1”的妙用
： －
—０的两个实根 ， 是的值． 求
３ ４
ｔ
］ｔ号 －ｎ ａ
中学教学参考 （ 中旬 ）２ １ ． ０ ０ ７总第 ５ ６期
解 题方 法与技 巧 Ｈ ＮＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ Ａ ＫＯ ＺＯＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
一ａ叶号 ・ ｔ（ ） ｎ
第三 ， 含有 根 号 的三 角 函数 等 式 的变形 中， ± 在 １
系式可以求得 ｓ ａ和 ＣＳ ， ｉ ｎ Ｏｏ 进而求 出关 系式 的值 ， 实 ￣ 但
际操作 中 ， 往往借助题 目条件 的特殊性来整 体考虑使用
条件．
【 ３ 化简 ：＋ ｃ＋ｔｒ 例 １ 再 ｓ ａｏ １ ｅＯ
．
解：
解 析 ：ｉ。 ＋ｓｎ ｃ ｓ ＋２ ｓｎａ ｉａ ｏａ
ＣＯＳ ａ．
又 ’ １ ｓ ＋ Ｃ Ｓ 一 （ ｉＯ ｃ ｓ ） 一 ２ ｉＯ ｏ Ｏ ． 一 ｉ ０ Ｏ ‘ ｎ ｓｎ ＋ ｏ Ｏ 。 ｓｎ ｃ ｓ
（ ２ ， 一 × 警
． ．
ｑｂ —Ｒ易— ｎ— ｎ ． Ｚ— —
解 志一 或一（ ） 得一 萼 ２ 去， 舍
中学教 学 参 考
解题 方法 与技巧
■ 角 三 Ｊ ■ ● ■ 一 ０ ■ ● 一 Ｉ ０ Ｊ ● 变 换
中 “ １ ’ 的 妙 用 ’
广 西玉林 市福 绵 高级 中学（ ３ ０ ３ 陈秀娟 ５７２ ）
三角 式 的变形 问题 ， 包括 三角式 的简化 、 三角式 求 的值 、 明恒等式 、 证 条件 等式 和三角不等式 内容． 特别是 三角式 的求 值 、 化简 是三角 函数 的重要 内容． 三角 函 在
一
—
—
±
ｃ ｓ ｏＯ
三角函数中“1”的妙用
三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1． 已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos sin 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcos sin 的值解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例 例3：求值0015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕsin 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x cos sin 3+，就意味着将原式化成)sin(ϕ+x a 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos sin 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ， 当2242πππ+=+k x ， 即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22max +=y 理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。
三角函数的应用习题课 课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
变式训练
3.已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度 (单位:米)可看作是时间
0 ⩽ ⩽ 24, 单位: 时 的函数，记作 = ，经过长期观测 = 的曲线可近
似地看成是函数 = cos + ( > 0, > 0) 的图象, 下表是某日各时的浪高数据,
曲线 , 该曲线段为函数 = sin ( > 0, > 0), ∈ [0,4]的图象,且图象的最高
点 为 (3,2 3) ; 赛 道 的 后 一 部 分 为 折 线 段 , 为 保 证 参 赛 运 动 员 的 安 全 , 限 定
∠ = 120∘ . 求 的值和 , 两点间的距离.
典例讲解
思路解析
由图得到 及函数的周期,利用三角函数的周期公式求得 , 将 的横坐标代入求
出 的纵坐标,再利用两点间距离公式, 即可求解 , 两点间的距离.
解析
依题意,有 = 2
6
3,
4
= 3, 又 =
2
,∴
=
∴ = 2 3sin ,当 = 4 时, ∴ = 2 3sin
,
30
∴ ℎ = 4.8sin
−
+ 5.6, ∈ [0, +∞)
30
2
2
60
=
30
，
变式训练
5.如图所示, 某幼儿园有一个矩形游乐场, 其中 = 50米， = 40米，由于
幼儿园招生规模增大,需将该游乐场扩大成矩形区域, 要求 、、、 四个
点分别在矩形 的四条边(不含顶点) 上.设∠ = (弧度), 的长为 米
初中数学：三角函数
初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。
本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。
一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。
在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。
在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。
设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。
设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。
（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。
三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。
锐角三角函数的简单应用(1)视角在解直角三角形中的应用
C北
30
60
A
B 60km
问题2：如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海 里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西 向东航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度 的方向, 继续行偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
.
A
B
C
2.如图（2），B为一建筑物的最高点，它与地面的接触 点为C，从地面A点用测角仪测得B点的仰角为
，仪器高AD＝b，若AC＝ a
，则建筑物CB的高用代数式表示为
.
3.某学校的教学楼和行政大楼相对而立，如图（3）所示： 两楼之间的距离AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得 行政大楼顶B处的仰角为 45
，随后他又到行政大楼C处测得教学楼顶D处的仰角为
，那么教学楼比行政大楼高
m.
60
•如图（4），河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的 •仰角为 30
，向塔前进15m到达D，在D处测得A的仰角为 45
，求铁塔AB的高.
例1．如图，甲、乙两高楼的水平距离BD为90米， 从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角
30
45
，在B地测得C地的仰角为 60
，已知C地比A地高200米，则电缆BC至少为多少米？
（精确到 米） 0.1
问题1：A、B两镇相距60km，小山C在A镇的 北偏东60°方向，在B镇的北偏西30°方向．经 探测，发现小山C周围20km的圆形区域内储有 大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房 修路．现计划修筑连接A、B两镇的一条笔直的 公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
应用举例（1） ——视角在解直角三角形中的应用
仰角、俯角的概念
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方 的角叫做俯角．
5.7 三角函数的应用(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.7三角函数的应用（精讲）一.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)表示，其中A >0，ω>0.(1)A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T ＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f ＝1T ＝ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx ＋φ称为相位；x ＝0时的相位φ称为初相.2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.3.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.考点一三角函数在物理中的应用【例1-1】（2023云南）(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是（）A ．该质点的振动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cm-C ．该质点在0.1s 和0.5s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3s 和0.7s 时的加速度为零【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式π2sin(3h t =+确定，下列结论正确的是（）A ．小球的最高点和最低点相距2cmB ．小球在0=t 时的高度1cm h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出的下列说法中正确的是（）．A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处C ．经过2π s 小球重复振动一次D ．小球振动的频率为12π2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cmC ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零3．（2023秋·安徽阜阳）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s3B ．2s3C ．1sD ．4s34．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（）A ．2ππ2sin 34y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22cos π4π3y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2ππ2sin 34y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos 34y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭考点二三角函数在生活中的应用【例2】（2023秋·四川绵阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：m)(P 在水下则d 为负数)、d 与时间t (单位：s)之间的关系是π33sin 3062d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．筒车的半径为3m ，旋转一周用时60sB ．筒车的轴心O 距离水面的高度为1mC ．盛水筒P 出水后至少经过20s 才可以达到最高点D ．()40,50t ∈时，盛水筒P 处于向上运动状态【一隅三反】1．（2023·北京）如图，某港口某天从6h 到18h 的水深y （单位：m ）与时间x （单位：h ）之间的关系可用函数()()()πcos 50,0,2f x A x A ωϕωϕ=++>><近似刻画，据此可估计当天12h 的水深为（）A ．7m2B ．4mC ．5m ⎛-⎝⎭D ．5m⎛ ⎝⎭2．（2023秋·辽宁沈阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（P 在水下则d 为负数）、d 与时间t （单位：s ）之间的关系是33sin 3062d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．筒车的半径为3m ，旋转一周用时30sB ．筒车的轴心O 距离水面的高度为3m2C ．()40,50t ∈时，盛水筒P 处于向上运动状态D ．盛水筒P 出水后至少经过20s 才可以达到最高点3．（2023秋·湖南株洲）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h （单位：m ）表示在时间t （单位：s ）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P 距离地平面50m.最低点Q 距离地平面10m.入口处M 距离地平面20m.当4s t =时，过山车到达最高点P ，10s t =时，过山车到达最低点Q .设()()πsin 0,0,2h t A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A ．函数()h t 的最小正周期为12B ．π6ϕ=C ．14s t =时，过山车距离地平面40mD ．一个周期内过山车距离地平面低于20m 的时间是4s考点三三角函数模型的拟合【例3】（2023春·贵州遵义）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t 与位移s 之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（）t 0123456789101112s20.0-17.8-10.1-0.110.31.720.017.710.30.110.1-17.8-20.0-A ．π20sin 6ts =，[)0,t ∈+∞B ．π20cos6t s =C ．π20cos6ts =-D ．ππ20sin 62t s ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作：()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：t （时）03691215182124y （米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+的图象.(1)根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深y （米)是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时）03691215182124y （米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+()0,0,0A b ω>>>的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）3．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型ππsin()0,0,,R 22y A x h A h ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<<∈ ⎪⎝⎭，根据以上数据写出水深y 与时间x的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．。
三角函数在生活中的运用
三角函数在生活中的运用三角函数是数学中的一种重要分支，它是关于角度和三角形的函数。
三角函数在生活中广泛应用于各个领域，如建筑工程、图形设计、物理学、天文学等。
以下将详细介绍三角函数在生活中的运用。
首先，三角函数在建筑工程中起到了重要的作用。
在建筑设计过程中，经常需要计算各种角度以及长度等。
例如，在设计房屋的屋顶坡度时，需要根据房屋的长度和宽度来计算屋顶的倾斜角度。
这个过程就需要用到三角函数中的正切函数。
另外，在设计桥梁、塔楼等高大建筑物时，也需要运用到三角函数来计算高度与倾斜角度之间的关系。
其次，三角函数在图形设计中也有很多应用。
例如，在计算机图形学中，经常需要绘制各种形状的曲线和曲面。
而这些曲线和曲面的绘制过程，往往需要用到三角函数的周期性和平滑性。
此外，在艺术设计中，常常需要运用到三角函数的特性来设计各种美观的图形和造型。
三角函数在物理学中也具有广泛的应用。
在物理学中，常常需要研究物体的运动以及力学等问题。
而这些问题往往需要用到三角函数来描述和计算。
例如，通过三角函数可以描述物体的运动轨迹、速度和加速度等。
另外，在声音和光线的传播中，也常常需要运用到三角函数的特性来解决问题。
此外，三角函数在天文学中也有很多应用。
例如，在天文学中常常需要计算天体的位置和运动轨迹。
通过运用三角函数可以计算出天体的视差、视角和角直径等。
这些数据对于天文追踪和星体观测具有重要意义。
同时，通过观测测量，可以计算出星体的距离和质量等重要参数，进一步加深对宇宙的认识。
还有很多其他的应用领域，如电子工程、音乐学、航空航天等。
在电子工程中，常常需要利用正弦函数来描述电路中的交流电信号。
音乐学中，音高的变化也可以用三角函数来解释和表达。
而在航空航天领域，利用三角函数可以计算出飞行器的速度、方向和位置等。
总之，三角函数在生活中具有广泛的应用。
它在建筑工程、图形设计、物理学、天文学等各个领域都起到了重要的作用。
通过运用三角函数，可以解决各种实际问题，帮助人们更好地理解和应用数学知识。
三角公式及应用中职
三角公式及应用中职三角公式及应用一、三角公式1、余弦定理：在△ABC中，若a、b、c分别表示三边的长度，则有：a²=b²+c²-2bc·cosA。
2、正弦定理：在△ABC中, a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
3、正切定理：在△ABC中，a·cotA=b·cotB=c·cotC。
4、勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和，即：c²=a²+b²。
二、三角函数1、余弦函数：它是由复变函数和三角函数组合而成，用cosθ表示，记为cosx或y=cosx（x为弧度）。
2、正弦函数：它是三角函数之一，用sinθ表示，记为sinx或y=sinx（x为弧度）。
3、正切函数：它是由复变函数和三角函数组合而成，用tanθ表示，记为tanx或y=tanx（x为弧度）。
4、反余弦函数：它是一种特殊的反函数，用arccos x表示，记为y=arccos x（x为弧度）。
5、反正弦函数：它是一种特殊的反函数，用arcsin x表示，记为y=arcsin x（x为弧度）。
6、反正切函数：它是一种特殊的反函数，用arctan x表示，记为y=arctan x（x为弧度）。
三、三角公式的应用1、物理：可用来求出反射角、折射角、夹角等相关角度，并设计各类专用仪器；2、几何：我们可以用三角公式推导一些三角形的各种属性；3、天文：可以用来确定地球与太阳之间的日周期，以及其他天体的运行；4、测绘：可以用来解决道路、河流的测量和绘制；5、工程：可以应用来解决建筑计算和设计中遇到的各种三角形问题。
1.5 三角函数的应用 (1)
（A，B，C，D，E 均在同一个平面内）．若 DE＝6 米，且此时太阳光与水平面所夹锐角
为 24°（∠AED＝24°），则大楼 AB 的高约为（ ）（参考数据：sin24°≈0.41．cos24°
≈0.91，tan24°≈0.45）
第 5页（共 16页）
A．10.25
B．20.25
C．22.25
D．32.25
的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（ ）
A．3.55m
B．3.75m
C．3.95m
D．4.15m
22．（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 L1＝L•cosα，阻力臂 L2＝l•cosβ，
如果动力 F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变
3 B．5
3 C．4
2 D．5
20．（2020 春•沙坪坝区校级月考）如图，AB 是垂直于水平面的一栋大楼．离大楼 30 米（BC
＝30 米）远的地方有一段斜坡 CD（坡度为 1：0.75），且坡长 CD＝15 米，某时刻，在
太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面 BC，斜坡 CD，以及坡顶上的水平面 DE 处
A．4 3米
B．6 5米C．12Fra bibliotek5米D．24 米
14．（2020 秋•太湖县期末）某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°，
继续航行 7 海里后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60°，则此时轮船与小岛 P 的距
离 BP＝（ ）
第 3页（共 16页）
A．7 海里
21．（2020 春•沙坪坝区校级期末）为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型
九年级数学上册教学课件-2.5 三角函数的应用(1)-鲁教版(五四制)
C
给你尺子，量角器，在你忽略不计人的身高的情况下，设 计方案测量下面两幢楼的高度，写出需要的数据并画出示 意图（你能设计出多种来吗？）
问题：小玲家对面新建了一栋图书大厦，小玲心想：“站在地
面上可以通过解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解 直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线
a
=
b b a
问题二：什么是解直角三角形？ 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素
的过程。
问题三：直角三角形可解的条件是什么？ １、已知两条边
２、已知一条边和一个锐角
问题：小玲家对面新建了一栋图书大厦，小玲心想：“站在地
面上可以通过解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解 直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线 和水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）
∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？
B
m
?
45°
C
30° A
D 32m
解疑一
仰角和俯角： 铅 在进行测量时，垂 从下向上看，视线与水线平线 的夹角叫做仰角； 从下向上看，视线与水平仰线角 的夹角叫做俯角。 俯角
视线
视线
∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？
B
m
?
45°
C
30° A
D 32m
实践1
三角函数的应用（1）
教学目标
知识与技能： 1、了解仰角，俯角的概念。 2、能根据解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际
问题。 过程与方法： 能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的 思想方法。 情感态度与价值观： 感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意
三角函数在音乐问题中的应用归纳
三角函数在音乐问题中的应用归纳三角函数是数学中一类重要的函数，其在各个领域中都有广泛的应用，其中之一就是在音乐问题中的应用。
本文将探讨三角函数在音乐问题中的具体应用，包括调音、音高和和弦等方面。
一、调音问题的三角函数应用1.1 正弦函数在乐器调音中的应用在乐器调音中，我们希望能准确地调整乐器的音高，使其与所需的音高相符。
这时，可以利用正弦函数的周期性特点。
正弦函数的图像呈现周期性波动，通过观察波峰和波谷的位置，可以确定音高是否准确。
例如，当调整钢琴的A键时，我们希望其音高为440赫兹。
我们可以以A键的声音作为基准音，然后用调音器检测其频率。
如果频率与440赫兹相差较大，我们可以通过适当调整琴弦的张力，使得琴弦振动的频率逐渐逼近440赫兹。
当波形图上的峰值和谷值与理想的正弦曲线相吻合时，就可以判定调音完成。
1.2 三角函数在合唱调音中的应用在合唱中，调音也是一个重要的环节。
合唱的成员通常根据指挥家的要求，根据指定的音高进行调音。
而这里的指定音高可以通过设定一个基准音高，例如中央C的音高，然后其他乐音按比例调整。
根据泛音理论，我们知道乐音是由一系列泛音组成的，而这些泛音之间存在着一定的比例关系。
通过利用三角函数的正弦关系，可以计算出乐音之间的频率比例关系，进而实现调音。
二、音高问题的三角函数应用2.1 正弦函数在音乐音高的计算中的应用在音乐中，我们常常希望能够精确地计算出音高的数值。
以钢琴为例，我们可以通过观察琴键的位置，利用三角函数的周期性特点来计算音高。
当我们按下一个钢琴键时，琴弦开始振动，同时发出声音。
琴弦振动的频率决定了音高的高低。
通过对琴弦的长度、张力等参数的测量，我们可以计算出对应的频率，进而得到音高的数值。
2.2 三角函数在音高变化中的应用在音乐创作中，常常需要通过变换音高来创造不同的音乐效果。
此时，可以利用三角函数的特性来实现音高的变化。
例如，在音乐中使用的音高变化效果中，常常出现的音阶规律是以半音（即频率之比为1.0594）为单位的。
锐角三角函数应用题专项习题一
锐角三角函数应用题专项习题一1、数学活动小组来到校园内一盏路灯下测量路灯高度，测角仪AB高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N距离BN为10米，求路灯高度MN是多少米？（=1.414，=1.732，结果保留两位小数）2、某中学九年级学生开展测量物体高度活动，他们要测量学校教学楼高度．如图他们先在点C测得教学楼AB顶点A仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A仰角为45度．求出这幢教学楼高度．3、东方山主峰海拔约为600米，主峰AB上建有一座电信信号发射架BC，现在山脚P处测得峰顶仰角为α，发射架顶端仰角为β，其中tanα=tanβ=求发射架高BC．4、如图，小芸在自家楼房窗户A处，测量楼前一棵树CD的高．现测得树顶C处俯角为45°，树底D处俯角为60°，楼底到大树距离BD为20米．请计算树高度（精确到0.1米）．5、数学活动小组去测量太子灵踪塔高度，小华先在塔前平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点距离为18.6m，自身高度为1.6m．请计算出塔高度？（tan35°≈0.7，结果保留整数）6、同学们去测量一座古塔CD高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C仰角∠CFE=21°，然后往塔方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD高度．（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin21°≈ ，tan21°≈ ）7、某旅游区有一个望天洞，D点是洞入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下B处．在同一平面内，若测得斜坡BD长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A仰角∠ABC=40°，在D处测得A仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE垂线，垂足为C．（1）求∠ADB度数；（2）求索道AB长．（结果保留根号）8、如图斜坡AC坡度（坡比）为1：3，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC高度．9、如图∠MON=25°，矩形ABCD对角线AC⊥ON，边BC在OM上，当AC=3时，AD长是多少？（结果精确到0.01）10、同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．。
5.7三角函数的应用(一)导学案-高一上学期数学人教A版)
5.7 三角函数的应用（一）【学习目标】1.会用三角函数模型解决简单的实际问题；2.体会可以利用三角函数构建刻画周期变化的数学模型.【重、难点】三角函数模型的应用【学习过程】导入：三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用，你能举几个例子吗？思：阅读课本242243页内容，思考一下问题：(1)问题1中位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？(2)由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？(3)简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=A sin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.简谐运动中涉及到的物理量：①简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；②简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；③简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；④相位；初相．（4）问题2中如何确定电流i 随时间t 变化的函数解析式的？典型例题类型（一）三角函数在物理中的应用例1. （1）某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：①这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？②写出这个简谐运动的函数解析式. （2）一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．类型（二）三角函数在生活中的应用例2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.类型（三）三角函数在几何中的应用例3.如图，已知直线12l l∥，A是1l，2l之间的一定点并且点A到1l，2l的距离分别为1h，2h，其中12h=，26h=，B是直线2l上一动点，作AC AB⊥，且使AC与直线1l交于点C.设π2ABDαα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则ABC面积S关于角α的函数解析式为()Sα=；()Sα的最小值为 .类型（四）数据拟合模型的应用例4 .海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．（提示：先画出散点图，再选择模型）(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（参照课本247页）(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？（参照课本248页）议：思中问题；例1、例2、例3、例4展：例1、例2、例3评：例3、例4检：1.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是π3cos3gs tl⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，[)0,t∈+∞取210m/sg=，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A．12.7B．25.3C．101.3D．50.72.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过0.5周期后，乙点的位置将移至何处？小结：1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律．2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．。
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滨海县第一初级中学初三数学学科导学案 编号（63）
课题：7.6 锐角三角函数的简单应用(1) 主备人：薛莲 审核人签名： 姓名 班级 学号 日期 学习目标
1、能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。
2、构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。
学习重、难点：
1、找准已知量与未知量
2、掌握构造直角三角形的常用方法
课 前 导 学
1、自学7.6 锐角三角函数的简单应用(1)，思考：在例题描述的实际问题
中联系学过的知识，用基本图形来构建这个实物“摩天轮”，画出简易图形。
2、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知
她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的
距离），那么这棵树高是（ ）
A ．
2）m B ．
（32
）m C ．
．4m 3、如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与
AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）
(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D)
αtan m 米
课 堂 活 动
一、情景创设
锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在解决实际问
题中有着广泛的应用。
二次备课
A B C m α
二、探索活动：
例1.“五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩. 游乐场的大型摩天轮的半径为20m,
旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,经过2min后,小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?
拓展与延伸：
(1).摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到10.5m?
(2).小明将有多长时间连续保持在离地面
10.5 m以上的空中?
练习： 1. 如图，单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到1cm)（，，）二次备课
sin110.191
︒≈
cos110.982
︒≈
tan110.194
︒≈
A
2、 某大型超市为方便顾客购物，准备在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行。
要使身高2米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B 处不碰到头部。
请你帮该超市设计，电梯与一楼地面的夹角α最小为多少度？
例2 如图，某一时刻，在与地面成30度角的太阳光线的照射下，一棵树AB （与地面垂直）的影子一部分落在地面上，另一部分落在墙上（图中CD ）。
经测量AB=4m,CD=0.8m 。
试计算大树的高度。
练习：某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°．
(1)求点D 与点C 的高度差DH ；
(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC)．
(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，ta n66.5°≈2.30)
三、课堂小结
二次备课
D A
C
C
课堂反馈
1．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°
角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，求旗杆AB的高度．（结
果保留3个有效数字，3≈1.732）
2．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为︒
20，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭头所示)，则木桩上升了( )
A、︒
20
tan
8 B、
︒
20
tan
8
C、︒
20
sin
8 D、︒
20
cos
8
3．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度(如CD)均为
30cm，高度(如BE)均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个
门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请
计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．
(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)
教学反思：
二次备课。