全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(七)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷(120分钟 150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+,则A B =I ( ) A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-,则z 在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242, 16a S ==,则5a =( ) A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法: ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30; ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ,且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„,所表示平面区域内的任意一点,则||AB 的最小值为( )A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为( )A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中,第三项的系数为1,则11a dx x =⎰( )A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图,若输出的120S =,则判断框内可以填入的条件是( ) A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的观察而画出的“八卦”,而龙马身上的图案就叫做“河图”,把一到十分为五组,如图所示,其口诀:一六共宗,为水居北;二七同道,为火居南;三八为朋,为木居东;四九为友,为金居西;五十同途,为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数,则能成为两组的概率是( )A.13 B .110C.121D.125210.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( ) A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5,直线l 经过C 的焦点,M 为C 上的一个动点,设点N 的坐标为()4,0,则MN 的最小值为( ) A.C.12.已知数列{}n a 满足:()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ,若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立,则k 的最小整数值为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ,,为圆O 上三点,且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ,则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =,5||2MN =,则点M 的坐标为_____________.15.如图,点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点,右焦点为()2,0F ,点P 为双曲线上一点,作PB x ⊥轴,垂足为B ,若A 为线段OB 的中点,且以A 为圆心,AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点,则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,4BC CD BC CD AB AD ⊥====,,,则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,sin ()sin sin a A a b B c C ++=,ABC △的面积S abc =. (1)求角C 的大小;(2)求ABC △周长的取值范围.18.如图,在多面体ABCGDEF 中,AB AC AD ,,两两垂直,四边形ABED 是边长为2的正方形,AC DG EF ∥∥,且12AC EF DG ===,.(1)证明:CF ⊥平面BDG . (2)求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次,每次收取维修费2000元; 方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次,每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器,现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,如下表:以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. (1)求X 的分布列;(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更划算?20.已知O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ,,过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点,点M 为线段AB 的中点.(1)当l 的倾斜角为45︒时,求直线OM 的方程;(2)试探究在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. (1)判断函数()f x 的单调性; (2)已知数列{}n a ,()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ,求证:[]ln (2)12n nn T +<-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. (1)写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)若P Q ,分别为曲线12C C ,上的动点,求PQ 的最大值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. (1)解不等式()34f x x ≥-+;(2)若函数()f x 的最小值为a ,且2(0,0)m n a m n +=>>,求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-,等价于()()210x x +-≤且10x -≠,解得21x -≤<,即集合{}|21A x x =-<„ ,函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>,解得12x -<<,即集合{|12}B x x =-<<,所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--,知对应点的坐标为()1,1-,所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩,则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①,当4x π=时,一定有tan 1x =但是当tan 1x =时,,4x k k ππ=+∈Z ,所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件,所以①不正确;对于②,因为()f x 为偶函数,所以5a =-.因为定义域为[],a b ,所以5b =, 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==,所以②正确; 对于③,命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”,所以③是错误的; 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式,绘制可行域,如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩,即()2,2C ,点A 的位置如图所示,计算A 点到该区域的最小值,即计算点A 到直线260x y +-=的距离,所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性,函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数,排除选项B ;2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-,设()sin g x x x =-, 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立,所以()g x 单调递增,所以当0x >时,()()00g x g >=, 所以当0x >时,()()0f x xg x =>,且()f x 单调递增,故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1,1,44aa ∴=∴=,则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下:1,1k S ==; 2,4k S ==; 3,11k S ==; 4,26k S ==; 5,57k S ==;6,120k S ==,此时满足条件5k >,输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =,能成为两组包含的基本事件个数52m C =,则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图,线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,易知平面PAD ⊥平面ABCD ,作PO AD ⊥于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO CD ⊥,又AD CD ⊥,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,同理可证平面PAB ⊥平面PAD ,由三视图可知PO AO OD ==,所以AP PD ⊥,又AP CD ⊥,所以AP ⊥平面PCD ,所以平面PAB ⊥平面PCD ,所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩, 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,又直线l 经过C 的焦点,则22b p-=,b p ∴=-. 由此解得2p =,所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ,则204y x =, ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+,故当02x =时,||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时,有条件可得()211n n n nS S S S +--=-,从而111n n nS S S +--=,故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----,又1111121S ==--,11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列, 11n n S ∴=-,1n n S n +=,由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L , 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭, 依题意知(1)()f n k f n +>, min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,∴圆心O 为线段AC 的中点,因而90ABC ∠=︒,故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ,56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=,即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,结合图象得5362x πππ+=,解得1x =-,故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ,又A 为线段OB 的中点,所以(2,0)B a ,令2x a =,代入双曲线的方程可得y =,可设()2,3P a b -,由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -,即||2AP a =,即2a =a b =,又c =222a b c +=,得1a b ==,故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ,连接AE CE ,,则AE BD CE BD ⊥⊥,. Q 平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD I 平面BCD BD =,AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ,AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ,半径为r .AB AD ∴=, ∴圆心O 在AE 所在的直线上,22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中,BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中,2AE ,()2282r r ∴=+-,解得,3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中,3OC ==,3OA OB OC OD ∴====,∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心,且球的半径3R =,∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析(1)由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=,又由余弦定理得1cos 2C =-,23C π∴=. (2)由1sin 2S abc ab C ==,可知2sin c C =,2sin ,2sin a A b B ∴==,ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析(1)证明:因为AB AC AD ,,两两垂直,AC DG AB DE ∥,∥, 所以DG AD DG DE ⊥⊥,,所以DG ⊥平面ABED ,因为AE ⊂平面ABED ,所以DG AE ⊥,因为四边形ABED 为正方形,所以AE BD ⊥,因为BD DG D =I ,所以AE ⊥平面BDG ,因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形,所以AE CF ∥,所以CF ⊥平面BDG .(2)由(1)知DE DG DA ,,互相垂直,故以D 为坐标原点,以DE DG DA ,,所在直线分别为x y z ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F , 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量,则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r , 令1a =,则21b c ==,,所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ,所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量,所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角,所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6111(0)1010100P X ==⨯=,111(1)210525P X ==⨯⨯=,11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=, 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=,22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=, 236(5)251025P X ==⨯⨯=,339(6)1010100P X ==⨯=,X ∴的分布列为(2)所选延保方案一,所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元) 选择延保方案二,所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=(元)()()12E Y E Y >Q ,∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===,解得a =222a b c =+,得1b =,故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ,易知直线l 的方程为1x y =+,由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得23210y y +-=, 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩, 从而1212423x x y y +=++=,故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 所以直线OM 的方程为12y x =-. (2)①当直线l 的斜率不为0时,设()0,0Q x ,直线l 的方程为1x my =+,由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得()222210m y my ++-=,所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩, 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++, 由023112x --=,得054x =, 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ; ②当直线l 的斜率为0时,2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上,在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 (1)()f x 的定义域为()1,-+∞,()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+,∴当()1,0x ∈-时,()0g x '>;当,()0x ∈+∞时,()0g x '<, ∴()g x 在()1,0-上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =,∴对任意的1,()x ∈-+∞,()()00g x g ≤=恒成立,即对任意的1,()x ∈-+∞,都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立,故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.(2)由()f x 是减函数,且()00f =可得,当0x >时,()0f x <,∴()0f n <,即22(1)ln(1)2n n n n ++<+,两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++,即12211n n n a n n +<⋅⋅++, 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L , 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-,[1,)x ∈+∞, ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减,而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<, ∴当[2,)x ∈+∞时,()0h x '<恒成立,∴()h x 在[2,)+∞上单调递减,即[2,)x ∈+∞,()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„,∴当2n …时,()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-, ∴当*n ∈N 时,()0h n <,即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得,[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 (1)曲线1C 的普通方程为22149x y +=, 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+,即22(2)9x y +-=.(2)设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„,当sin 1θ=-时,max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 (1)44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时,4434x x -≥-+,即8x ≤-;当22x -≤≤时,2834x x +≥-+,即45x ≥-,可得425x -≤≤; 当2x >时,4434x x +≥-+,即0x ≥,可得2x >, ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . (2)根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时,函数取得最小值(2)4f -=,可知4a =, 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =,即4m n ==时,取“=”,∴11m n +的最小值为12.。
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页(共4页)】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项:L 本卷满分150分,考试时间120分钟.答题前,先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答:每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬:先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后,请将本试四卷和答题于一并上交,一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女,长女五日一归,中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家,小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会?:三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列{。
【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(包括答案、教师评分标准)
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(五)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤,则A B = ( ) A .{|12}x x -≤≤ B .{|22}x x -<≤C .{|21}x x -<≤D .{|22}x x -≤≤2.i 是虚数单位,2i1iz =-,则z =( )A .1B .2CD .3.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随机投放一根这样的针到白纸上,则落地后与直线相交的概率为( ) A .12πB .3πC .2πD .1π4.函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B .1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .[1,)+∞D .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.下列命题中是真命题的是( )①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ;②命题“0x ∀>,都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>,使得0sin 1x >”;③数据128,,,x x x 的平均数为6,则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6;④当3a =-时,方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A .①②④B .③④C .②③D .①③④6.已知15455,log log 2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .c b a >>7.在ABC △中,sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为( )A .2B .32C .4D8.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升.如图是一个这种商鞅铜方升的三视图,若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根,则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的( ) A .1.5倍 B .2倍 C .2.5倍D .3.5倍9.设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点, 则ω的取值范围为 ( ) A .1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B .1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C .1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D .1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10.已知曲线24x y =,动点P 在直线3y =-上,过点P 作曲线的两条切线12,l l ,切点分别为,A B ,则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为( ) AB .2C .4D.11.对于函数()f x ,若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+,则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” .若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”,则c 的最大值为( ) A .3log 4B .3log 41+C .43D .3log 41-12.在正方体1111ABCD A B C D -中,如图,,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心.平面1D MN 将正方体分割为两个多面体,则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是( )A .23B .12 C .25D .13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .14.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,1),1a b =-= ,则2a b -=.15.已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点,函数()()f x g x x=的最小值为m ,则 2m a += .16.设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ,若12F PF △是等腰三角形,则C 的离心率e = .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)新高考取消文理科,实行“3+3”模式,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人,并把调查结果制成下表: 年龄(岁) [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521(1)把年龄在[15, 45)称为中青年,年龄在[45, 75)称为中老年,请根据上表完成2×2列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828(2)若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为X ,求X 的分布列以及E (X ) . 18.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.(本小题满分12分) 如图,在菱形ABCD 中,,32BAD EDC ππ∠=∠=,平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点,112DE EF BD ===. (1)证明://DM 平面CEF .(2)求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值.AE20.(本小题满分12分)已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R . (1)讨论函数()f x 的极值;(2)是否存在实数m ,使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立?若存在,求出m 的最小值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为,离心率12e =,其右焦点为F .(1)求椭圆C 的方程; (2)过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ,求PQ MN的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.22.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)设点P 在曲线1C 上,点Q 在曲线2C 上,求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.【选修4—5:不等式选讲】(本小题满分10分)已知()211f x x x =++-. (1)求不等式()9f x ≤的解集;(2)设()9124g x x x =-+--,在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象,并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集.2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(五)参考答案1.答案:B解析:2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤,{|21}B x x=-<≤,所以{|22}A B x x=-<≤.2.答案:C 解析:2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---,公式:11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=.3.答案:D 解析:因为70412212π≈,故选D.4.答案:B 解析:当0a≤时,1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减,当0a>时,1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎭2,即14a≥.5.答案:A 解析:①正确;②正确;③由()6E X =,可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=,故错误.当3a =-时,26a x y a -=即为963x y -=-,即3210x y -+=,所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解,④正确.6.答案:A解析:105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=,故a b c >>.7.答案:A解析:234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=;1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=,31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,5b =,114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△. 8.答案:C 解析:由 1.3522.35x x -=-,设 1.35t x =-,得21t t =-,作出函数2t y =和1y t =-的图象,可知0t =,即 1.35x =.俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=,正视图面积为5.4,所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍. 9.答案:A 解析:因为当[0,2]x ∈π时,2555x πππω+ωπ+≤≤,由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点.则265x ππω+<π5≤,解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,. 10.答案:C解析:设221122(2,),(2,)A t t B t t ,12t t ≠,由24x y =,得2xy '=,所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =,22k t =, 所以21111:(2)l y t t x t -=-,即211y t x t =-,同理2222:l y t x t =-,联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩,得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩,22121212222ABt t t tk t t -+==-,21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-,即12122t t y x t t +=-,即1232t t y x +=+,即直线AB 恒过定点(0,3),即直线AB 过圆心(0,3),则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 解法二:不妨设(0,3)P -,设切线方程为3y kx =-,将其代入24x y =,得24120x kx -+=, 则216480k ∆=-=,解得k =,当k =2120x -+=,解得x =故A ,同理可得(B -,所以直线AB 的方程为3y =,直线AB 过圆心(0,3), 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 11.答案:D解析:a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”,所以333a ba b +=+=≥,故34a b +≥(当且仅当a b =时取等号).又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”,所以3333abca b c++++=,所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤,从而c 的最大值为334log log 413=-.12.答案:B 解析:设正方体的棱长为1,延长1D N ,与AB 的延长线交于点F ,则1BF =,连接FM并延长,交BC 于点P ,交AD 于点Q ,取AB 中点G ,连接MG ,则23BP BF GM FG ==, 12,233BP AQ BP ∴===,连接PN ,并延长交11B C 于点H ,连接1D H ,则113HC =,平面1HD QP 即为截面,取PC 中点E ,连接1,C E QE ,则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=.13.答案:160- 解析:612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭. 14 解析:2,1a b == ,cos 13a b a bπ⋅=⋅=,所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ,所以2a b -=15.答案:0解析:()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-,切线1l 的方程:21y a x +=-,又1l 过原点,所以21a =-,221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=,当(0,1)x ∈时,()0,()g x g x '<单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0,()g x g x '>单调递增,故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =,所以1,20m m a =+=. 16.答案:2或43 解析:设直线倾斜角为α,则7tan cos 8αα==.P 在第一象限, 12F PF △是等腰三角形,所以112F P F F =或212F P F F =.若112F P F F =,则11212,22F P F F c F P c a ===-,由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=,整理得23840e e -+=,解得2e =或23e =(舍去).250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关联.…………………………………………………………………………………………………6分(2)年龄在[55, 65)的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0,1,2,则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========.………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………………12分18.解析:(1)由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ,即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩,…………………………3分 又因为0d ≠,所以12,1a d ==,所以1n a n =+.……………………………………………………6分 (2)因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++,………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .…………………………12分 19.解析:(1)设AC 与BD 的交点为O ,连接MO .因为//OD EF ,OD ⊄平面CEF ,EF ⊂平面CEF ,所以//OD 平面CEF .……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线,所以//OM CE ,又OM ⊄平面CEF ,CE ⊂平面CEF ,所以//OM 平面CEF .……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ,所以平面//OMD 平面CEF .又MD ⊂平面OMD ,故//MD 平面CEF .…5分 (2)因为DE DC ⊥,平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ,所以ED ⊥平面ABCD .连接OF ,则EF OD ,故四边形ODEF 是平行四边形,故//ED OF , 从而OF ⊥平面ABCD .……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点,,,OA OB OF 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -,则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =,则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取n = ,…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ,所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20.解析:(1)由题知,2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=,…………………………………………1分 ①当0≤m 时,21()0mx f x x -'=<,所以()f x 在(0,)+∞上单调递减,没有极值;………………3分②当0m >时,令21()0mx f x x -'==,得x =,当x⎛∈ ⎝时,()0,()f x f x '<单调递减,当x ⎫∈+∞⎪⎭时,()0,()f x f x '>单调递增,故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-,无极大值.…………………………5分 (2)不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=,不难证明10≥x e x --,当且仅当1x =时取等号, 所以当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,由(1)知,当0,1≤m x >时,()f x 在(1,)+∞上单调递减,()(1)0f x f <=恒成立; 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立,只能0m >. 当01m <<1>,由(1)知,()f x 在⎛ ⎝上单调递减, 所以(1)0f f<=,不满足题意.……………………………………………………………………8分 当1≥m 时,设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+, 因为1,1≥m x >,所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<,32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>, 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增,又(1)0F =,所以当(1,)x ∈+∞时,()0F x >恒成立,即()()0f x h x ->恒成立,故存在1≥m ,使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立.此时m 的最小值是1.…………12分21.解析:(1)由2b =b =,又由22222214c a b e a a -===,得2234a b =, 则224,3a b ==,故椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………………………………………4分(2)由(1)知(1,0)F ,①当直线12,l l 的斜率都存在时,由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-,1k ≠±, 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩,……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++,…………6分则2212(1)34k PQ k +==+,由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-, 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭,……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++, 令87t k =+,则78t k -=,当0t =时,78k =-,78PQ MN =, 当0t ≠时,22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+, 若0t >,则1977722t t +--,若0t <,则1977722≤t t+-2872432≤k k ++,即2872432k k ++,≤PQ MN ,且87PQ MN ≠.………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时,由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-,则2242,37b PQ MN a ===,此时87PQ MN =∈⎣⎦.若设2l 的方程为1y x =-,则78PQMN =∈⎣⎦, 综上可知,PQ MN的取值范围是⎣⎦.……………………………………………12分22.解析:(1)由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=;由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=,又由cos ,sin x y ρθρθ==,得曲线220C y -+=.…………………………………………5分 (2)由题意,可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值,即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时,()d α1-, 此时P的直角坐标为(2.…………………………………………………………………………10分23.解析:(1)3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩,…………………………………………1分当1≥x 时,39≤x ,得13≤≤x ;………………………………………………………………………2分当112x -<<时,29≤x +,解得7≤x ,故112x -<<;…………………………………………3分 当12≤x -时,39≤x -,解得3≥x -,故132≤≤x --.……………………………………………4分综上,原不等式的解集为{|33}≤≤x x -.………………………………………………………………5分(2)36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪,在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象,10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(五)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤,则A B = ( ) A .{|12}x x -≤≤ B .{|22}x x -<≤C .{|21}x x -<≤D .{|22}x x -≤≤1.答案:B解析:2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤, 所以{|22}A B x x =-< ≤. 2.i 是虚数单位,2i1iz =-,则z =( )A .1B .2CD .2.答案:C解析:2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ,公式:11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=. 3.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随机投放一根这样的针到白纸上,则落地后与直线相交的概率为( ) A .12πB .3πC .2πD .1π3.答案:D解析:因为70412212π≈,故选D . 4.函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .[1,)+∞D .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4.答案:B解析:当0a ≤时,1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减,当0a >时,1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎭2,即14a ≥.5.下列命题中是真命题的是( )①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ;②命题“0x ∀>,都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>,使得0sin 1x >”;③数据128,,,x x x 的平均数为6,则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6;④当3a =-时,方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解.A .①②④B .③④C .②③D .①③④5.答案:A解析:①正确;②正确;③由()6E X =,可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=,故错误. 当3a =-时,26a x y a -=即为963x y -=-,即3210x y -+=,所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解,④正确.6.已知15455,log log 2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .c b a >>6.答案:A解析:105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=,故a b c >>.7.在ABC △中,sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为( )A .2B .32C .4D7.答案:A解析:234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=;1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=,31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,5b =,114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△. 8.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升.如图是一个这种商鞅铜方升的三视图,若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根,则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的( ) A .1.5倍B .2倍C .2.5倍D .3.5倍8.答案:C 解析:由 1.3522.35x x -=-,设 1.35t x =-,得21t t =-,作出函数2t y =和1y t =-的图象,可知0t =,即 1.35x =.俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=,正视图面积为5.4,所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍. 9.设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点,则ω的取值范围为 ( ) A .1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C .1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D .1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.答案:A解析:因为当[0,2]x ∈π时,2555x πππω+ωπ+≤≤,由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点. 则265x ππω+<π5≤,解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,. 10.已知曲线24x y =,动点P 在直线3y =-上,过点P 作曲线的两条切线12,l l ,切点分别为,A B ,则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为( ) AB .2C .4D.10.答案:C解析:设221122(2,),(2,)A t t B t t ,12t t ≠,由24x y =,得2xy '=,所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =,22k t =, 所以21111:(2)l y t t x t -=-,即211y t x t =-,同理2222:l y t x t =-,联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩,得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩,22121212222ABt t t tk t t -+==-,21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-,即12122t t y x t t +=-,即1232t t y x +=+,即直线AB 恒过定点(0,3),即直线AB 过圆心(0,3),则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 解法二:不妨设(0,3)P -,设切线方程为3y kx =-,将其代入24x y =,得24120x kx -+=, 则216480k ∆=-=,解得k =,当k =2120x -+=,解得x =故A ,同理可得(B -,所以直线AB 的方程为3y =,直线AB 过圆心(0,3), 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4.11.对于函数()f x ,若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+,则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” .若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”,则c 的最大值为( ) A .3log 4 B .3log 41+C .43D .3log 41-11.答案:D解析:a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”,所以333a ba b +=+=≥,故34a b +≥(当且仅当a b =时取等号).又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”,所以3333abca b c++++=,所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤,从而c 的最大值为334log log 413=-.12.在正方体1111ABCD A B C D -中,如图,,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心.平面1D MN 将正方体分割为两个多面体,则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是( ) A .23B .12C .25D .1312.答案:B解析:设正方体的棱长为1,延长1D N ,与AB 的延长线交于点F ,则1BF =,连接FM 并延长,交BC于点P ,交AD 于点Q ,取AB 中点G ,连接MG ,则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===, 连接PN ,并延长交11B C 于点H ,连接1D H ,则113HC =,平面1HD QP 即为截面,取PC 中点E ,连接1,C E QE ,则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .13.答案:160-解析:612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.14.已知平面向量a 与b的夹角为3π,1),1a b =-= ,则2a b -= .14解析:2,1a b == ,cos 13a b a bπ⋅=⋅=,所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ,所以2a b -=.15.已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点,函数()()f x g x x=的最小值为m ,则 2m a += .15.答案:0解析:()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-,切线1l 的方程:21y a x +=-,又1l 过原点,所以21a =-,221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=,当(0,1)x ∈时,()0,()g x g x '<单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0,()g x g x '>单调递增, 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =,所以1,20m m a =+=. 16.设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ,若12F PF △是等腰三角形,则C 的离心率e = . 16.答案:2或43解析:设直线倾斜角为α,则7tan cos 8αα==.P 在第一象限, 12F PF △是等腰三角形,所以112F P F F =或212F P F F =.若112F P F F =,则11212,22F P F F c F P c a ===-,222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521(1)把年龄在[15, 45)称为中青年,年龄在[45, 75)称为中老年,请根据上表完成2×2列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828(2)若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为X ,求X 的分布列以及E (X ) . 17.解析:(1)2×2列联表如图所示,了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关联.…………………………………………………………………………………………………6分 (2)年龄在[55, 65)的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0,1,2,则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========.………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………………12分 18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.解析:(1)由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ,即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩,…………………………3分 又因为0d ≠,所以12,1a d ==,所以1n a n =+.……………………………………………………6分 (2)因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++,………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .…………………………12分 19.(本小题满分12分) 如图,在菱形ABCD 中,,32BAD EDC ππ∠=∠=,平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点,112DE EF BD ===. (1)证明://DM 平面CEF .(2)求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值.AE19.解析:(1)设AC 与BD 的交点为O ,连接MO .因为//OD EF ,OD ⊄平面CEF ,EF ⊂平面CEF , 所以//OD 平面CEF .……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线,所以//OM CE ,又OM ⊄平面CEF ,CE ⊂平面CEF ,所以//OM 平面CEF .……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ,所以平面//OMD 平面CEF .又MD ⊂平面OMD ,故//MD 平面CEF .…5分 (2)因为DE DC ⊥,平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ,所以ED ⊥平面ABCD .连接OF ,则EF OD ,故四边形ODEF 是平行四边形,故//ED OF , 从而OF ⊥平面ABCD .……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点,,,OA OB OF 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -,则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =,则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取n = ,…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20.(本小题满分12分)已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R . (1)讨论函数()f x 的极值;(2)是否存在实数m ,使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立?若存在,求出m 的最小值;若不存在,请说明理由. 20.解析:(1)由题知,2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=,…………………………………………1分 ①当0≤m 时,21()0mx f x x-'=<,所以()f x 在(0,)+∞上单调递减,没有极值;………………3分 ②当0m >时,令21()0mx f x x -'==,得x =, 当x ⎛∈ ⎝时,()0,()f x f x '<单调递减,当x ⎫∈+∞⎪⎭时,()0,()f x fx '>单调递增, 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-,无极大值.…………………………5分 (2)不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=,不难证明10≥x e x --,当且仅当1x =时取等号, 所以当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,由(1)知,当0,1≤m x >时,()f x 在(1,)+∞上单调递减,()(1)0f x f <=恒成立;所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立,只能0m >. 当01m <<1>,由(1)知,()f x 在⎛ ⎝上单调递减, 所以(1)0f f<=,不满足题意.……………………………………………………………………8分 当1≥m 时,设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+, 因为1,1≥m x >,所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<, 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>, 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增,又(1)0F =,所以当(1,)x ∈+∞时,()0F x >恒成立,即()()0f x h x ->恒成立,故存在1≥m ,使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立.此时m 的最小值是1.…………12分 21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为,离心率12e =,其右焦点为F . (1)求椭圆C 的方程;(2)过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ,求PQMN 的取值范围.21.解析:(1)由2b =b =,又由22222214c a b e a a -===,得2234a b =, 则224,3a b ==,故椭圆C 的方程为22143x y +=.……………………………………………………4分 (2)由(1)知(1,0)F ,①当直线12,l l 的斜率都存在时,由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-,1k ≠±,由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩,……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++,…………6分则2212(1)34k PQ k +==+,由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-,则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭,……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++, 令87t k =+,则78t k -=,当0t =时,78k =-,78PQ MN =, 当0t ≠时,22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+, 若0t >,则1977722t t +--,若0t <,则1977722≤t t+-2872432≤k k ++,即2872432k k ++,≤PQ MN ,且87PQ MN ≠.………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时,由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-, 则2242,37b PQ MN a ===,此时87PQ MN =∈⎣⎦. 若设2l 的方程为1y x =-,则78PQMN =∈⎣⎦, 综上可知,PQMN的取值范围是⎣⎦.……………………………………………12分 (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.22.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),在以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)设点P 在曲线1C 上,点Q 在曲线2C 上,求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标.22.解析:(1)由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=; 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=, 又由cos ,sin x y ρθρθ==,得曲线220C y -+=.…………………………………………5分(2)由题意,可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值,即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时,()d α1-, 此时P的直角坐标为(2.…………………………………………………………………………10分23.【选修4—5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知()211f x x x =++-.(1)求不等式()9f x ≤的解集;(2)设()9124g x x x =-+--,在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象,并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集.23.解析:(1)3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩,…………………………………………1分 当1≥x 时,39≤x ,得13≤≤x ;………………………………………………………………………2分 当112x -<<时,29≤x +,解得7≤x ,故112x -<<;…………………………………………3分 当12≤x -时,39≤x -,解得3≥x -,故132≤≤x --.……………………………………………4分 综上,原不等式的解集为{|33}≤≤x x -.………………………………………………………………5分(2)36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩,在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象,10分。
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为53,点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y +2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题:本题共6小题,共70分。
2020年全国高考理科数学模拟试卷及答案解析
2020 国1⅛二模拟考试(T数学(理科)吋⅛J2O 分绅满分:巧。
分注言舉项:I •答题讯卽f∙∙务必4⅞ΠL 1的孙名、纲'•;"C 舍!⅛∣∙.∙ Vr √Zll 存选择题时•閨Ii 毎小S8养案蹄•川那S 把?;収甘IF M 迪[I 的祥案标号济黒Tli 阪越•川 橡皮按I 净圧・肉•涂选口他答案标θv m IN 逸择越时•将谷案冯在答題P 上吗在木试卷I xXie ;3•号试酷JKvh 籽不试卷和袴題k •并交柯 一、选择題(本題共I?小题,勺小題,分,共胡分•在超小題给出的四个选项中,只有一项足符合题目实 求的)L LL 加 U ;存 M-;・F |/ .Lg0; .N= {j IOO<3} •则 Mn λ 一 Λ.<-2.2> Ik ((>∙3) C. (0,2) 2. & i 为除数单位•苦复数=满足二∙ (2-i> = 3-5i.则复数7的甫部为 \ 1 l λ i C. -2 S. L LΛI<∕ log. 2.Λ 3 Y lug.2.则i.我们軽 肉心率,一叫1的Wm 叫优关桶岡•下列納论正确的个数足① 个焦点、•个R 潮闻也打•个K 轴顶点构成宜角•侑形的Ifim 是优羌桶伽②划轴KqK 紬KIK- l∙3> ( )∣λ 2i ( )∣λ^(<u之匕为汙1的榔圓是优IH⅜hb WJ■V" √⅛-ι楚・优艾・WIH: 0;佐IH i •知轴K 、K 轴K 成等It欽列的的IffiI 列定ItXIffiIMl ・5•我尺传统丈化中彳M F 地支之说•夭干为“叭乙•丙.几戊上•决•汉T:.^. HJIHlLz./HfW 木•IJKUy-I 1L Γ7∏r4S 火•归南方•戊、t:•归屮央•决•辛Ti 行换金∙l⅛艸力• 1\癸IlfrFX 水4 北方•血犬Γ L 个/中随仇取阿个・刈宅们五行属性相利的tt4⅛⅛,k⅛A.τ-&函数/(.r ) = ( r-2j M 的图象ΛJ¾是∣4K7∙ S Ih^Ii>114汀∙∏⅛址 211RI 3' IoAIΛ — R — • 6K3I5∣AnlJJIlJ7∏.∏βθW<ffi>j11.已HI 祈数 y(.r) = α5in.ι /∕α∣5 .r(.r ∈ R}.Zf .r=x.∙ Si⅛5⅛ JΛ.vU(i •条对称轴•丨1 Ifm V ~3•则点3“所在的fi 线方櫟为I). 3.∕-÷v «)12. d>41HIfIi 体“BCD 的PM 个顶点都在球O 的球面I ∙M 为4”屮山∙ZvWX∙∕M"D/(T)M 那是正•角权"I” 6•划球仆的衣面枳为 I). <!∙,π二. 填空題(本题共1小题,毎小题5分,共2(分.) 13. IfhMi y C ∙ SinJ - Ii 点⑴小处的切线方W 为IL idS...为等出放列 h(的Hijn^ 411.也 L<η-‰. ∙H ∣S,- 1二何心捫11洲猎⅜r 的战牛中•某市场防疫检测所得加•批共m 只猪中i 昆入了 3只携帝病成的昭•化设仃传染扩放前•吗I il 个不放何地檢测•每次抽中齐只猪的机会均等•"到检制出所右病偌就伴 Ih 检测∙ WJtft 任第六次检测府停Kl-JWJf ¼al∙λ LlMim 物线.√-Kf 的©心刘収刑线小二一3!" •“啲渐近线的距离不大J 、広則忍曲线 Cr卜:的肉心书的M½s. IMf KlfU 的保序桩国・为快输:l ; > IiWl 小十91 •则输人的IE 整数 '的彊小们为Γ>. ;•'」•记集合Al •八::“二•“ :“:•“•“ •…•川I ■"为公X;大J n 的弄总数列•若小;3•和.则IM 凰于C∙∕h[)・山10. LLMlm 罰|「的两个焦点为⑴∙ IUilWA 1A 的直tζ∕∣∣i y=⅛l .f ^jl,ty ≈k..t -u<u≠ι [的交点恰好金(T:・IL 化A- 2•则(•的方秤为c ∙f +f-1K.r-3v 0 A. 32πK 3If(I •“三、解答鬆(共R分■窟答应写出文字说明、证明过祥或済算步骤.M ∣7-" Sg为必考題,每个试題考主都必须作答.第22.23 55为诜考鬆,考生祝庭姜茨作答.)(一;必石題:共M分.17.(12 分〉LL)4】向Ml m~(√3>in-• 1 ;皿一(心十.eo^-γ-)∙ IxX}~m ∙ n.(】I求八2的届小值•并求此时,的fit<21花U(•中•内巾4』,(•所对的边分别为⑴儿C且满足/(B) ⅛j∙.U 2y :仁求Sin .4的们・18.< 12分MMl右图所示的儿何休屮•叫血形CDEF为矩形•屮而CDEF f∙IfilAJJdhPM边形A/X7)为血角怫形.∏. Aii//CD.Ab_ClKeD= 2Λ!i= 2ΛI) 2■点M ⅛f⅛B(,的中点・(Il^证MLLLF(2苦忙线W川我川7所成巾为I亿求1呈线BF号平面BCr所成角的I9.<12分〉域Ij活办••竝我牛*必扬传呎除I识枪薜鄴•最话冇张肛乍泮两位选F进人包亜军PK扒规期⅛ιι下:依次从忠、扒仁、义、礼.信用匕个题片沖毎一次Ki机迭取•道题利人抢答•胜冷得?- 分•败杵不扣分(Jt平知)•先冯I 2分杵为冠军•结柬HC ill J WA阅彥习惯的区別・金前Ifif的比赛中越山:张删住忠、孝、礼、椰加加1帖j优势•脏孝为u∙6∙兀它加血两人不分们仲・胜率邯艮U.3.< 1)求PK结束时爷诗恰得25分的概彳心⑵IPK貉束时抢答场敦为"•求J的分和列及期银2o. ()2分>U知l½砌线€:y;s.r的佟点为F•斜半为牛的宵线/ 4 (•的交点为-A •久⅛ #轴的仝点为化{】)若∣∕∖F∣ + ∣HF∣= ∙∣.^/ 的方陆⑵乃寸一3皿.求∣.M∣.汎m和已知補I H=√ I I I dn H心“为常Q(I)q U-HIj.,R √<,r)4 .r-l 处的切线力程*⑵对任虑M个不Hl等的止S U •『:•求UE √l r <r≤o时•都Vf Z-J-'./ ,-'小(⅛l ).(二)选石融:共10分・i青石生在策2次23题中任选一题作答,如果乡做,懸按所做的策一砸计分.22.[选修I- ,ψf d;系与参数方程](")分)I A = COS α•A-I f Ifh坐杯糸."UU-CXiiItlI⅛<∖: S为参数》•任以坐林曲点门为极点∙I轴止乍轴为{y Mna极紬的极A b标系∣"∙nll线 C :γ)-⅛.IlhfJc (;“ 2>in (?.小求IIh级「与U的交点M的町f]坐标,⑵设点,4∙B分別为me2.C, I.的动点•蚓∙1B∣的最小備.23.[运烤1—6不等式迪讲H IO分)设臥数儿门Ir-Il-12,r- H的尿大值为" 门)求"『的偵:IZyyi a I Ze Mi一川・求Ub I ZfHλflt2020届全国l ⅛三模拟考试(一)参考答案・数学(理科)I 〜5 C ∖∖H(∖∖6. B 悴析:八』> = (・卩一 2W •故”2>巾件个极備点±√Σ・乂 ∙r<L 。
2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(七)试题JD-N
100所名校高考模拟金典卷·数学(七)(120分钟 150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|03}A x x =<<,1{|0}5x B x x-=>-,则A B ⋃=( ) A .{|35}x x x <>或 B .{|35}x x << C .{|13}x x <<D .{|05}x x <<2.若复数212iz i+=-,则|3|z +=( )A B .C .4D3.已知14a =,93log 2b =,8logc = ) A .c b a <<B .b c a <<C .b a c <<D .b a c <<4.根据某市环境保护局公布2013-2018这六年每年的空气质量优良的天数,绘制如图所示的折线图.根据图中信息可知,这六年中,每年空气质量优良天数的中位数是( )A .301.5B .302.5C .303.5D .3005.设1x >,y ∈R ,则“1x y >+”是“||1x y >+”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.函数cos 1xy aa=-(0a >且1a ≠)的图象可能是( )A .B .C .D .7.若圆22(4)9x y -+=上的各点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6,则该双曲线的离心率为( )A .7B .7C .4D 8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“菱形”处应填入( )A .2?21a -∈Z B .2?15a -∈Z C .2?7a -∈Z D .2?3a -∈Z 9.已知正方体ABCD A B C D ''''-,记过点A 与三条直线AB ,AD ,AA '所成角都相等的直线条数为m ,过点A 与三个平面ABB A '',ABCD ,ADDA''所成角都相等的直线的条数为n ,则m n +=( ) A .7B .8C .9D .1010.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它是周期为2的周期函数; ②函数()2xf x =是“似周期函数”;③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”,那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”. 以上正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .312.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,其长轴长为41C 上任取一点P ,过点P 作圆222:(3)2C x y ++=的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,则22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为( ) A .2-B .32-C .53-D .43-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.6211(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为__________.14.设G 是ABC △的重心,sin 3sin sin 0A GB B C ++=u u r u u u r u u r,则角B 的大小为_________.15.已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>.(1)若()f x 的单调递减区间是(0,4),实数k 的值为__________; (2)若()f x 在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是____________.16.已知正四面体ABCD 的棱长为9,点P 是ABC △内(含边界)的一个动点,满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离成等差数列,则点P 到平面DCA 的距离的最大值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a λ=-,其中λ是不为零的常数,*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若3λ=,记32log n nb a =,求数列{}2n n b b +⋅的前n 项和n T .18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PBD △是等边三角形,AD BC ∥,2AP AB AD BD ===.(1)求证:平面PAB ⊥平面PAD .(2)若直线PB 与CD 所成角的大小为60°,求二面角B PC D --的大小. 19.已知函数()ln 1,af x x a x=+-∈R . (1)若函数()f x 的最小值为2,求a 的值;(2)当(0,)x π∈时,证明:1ln sin xe x x>-. 20.已知抛物线2(0)x py p =>上点P 处的切线方程为10x y ++=.(1)求抛物线的方程;(2)设()11,A x y 和()22,B x y 为抛物线上的两个动点,其中12y y ≠,且122y y +=,线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点T ,求ABT △面积的最大值.21.一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球,从中任取一球.如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中的白球个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()2n k P X k P =+=,求()12(0,1,2,,10)n P X k k +=+=⋅⋅⋅; (3)证明:111112n n EX EX +=+. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为,4,x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),曲线1C 的方程为22(1)1x y +-=.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程; (2)曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线和曲线1C 于点A ,B ,求||||OB OA 的最大值及相应的值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()|32|f x x =-.(1)若不等式2|1|3f x t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…的解集为11,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,求实数t 的值; (2)若不等式()|31|33yyf x x m -+++⋅„对任意x ,y 恒成立,求实数m 取值范围.100所名校高考模拟金典卷·数学参考答案(七~十二)(七)1.答案 D命题意图 本题考查并集问题.解题分析 ∵{|15}B x x =<<,∴{|05}A B x x ⋃=<<. 2.答案 A命题意图 本题考查复数的除法运算和复数的模. 解题分析 2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i +++====--+,|3|z += 3.答案 C命题意图 本题考查比较大小. 解题分析∵9913log log 42a b ==>=,881log log 4a c ==<=,∴b ac <<. 4.答案 B命题意图 本题考查图表问题.解题分析 该组数据为290、295、300、305、305、315,共六组数据,所以中位数为300305302.52+=.解题分析 当2x =,3y =-时,满足1x y >+,但不满足||1x y >+,故“1x y >+”推不出“||1x y >+”,而“||1x y >+”⇒“1x y >+”,故“1x y >+”是“||1x y >+”的必要不充分条件. 6.答案 C命题意图 本题考查函数的图象.解题分析 若1a >,则当0x =时,10y a a=->, ∵1cos 1x -剟,∴cos 1110xy aa a a-=--=…,故A 项错误; 若01a <<时,则当0x =时,10y a a=-<, ∵1cos 1x -剟,∴cos 1110xy aa a a-=-≤-=,故D 项错误, 当0x =时,0y ≠,故B 项错误,∴选C 项. 7.答案 A命题意图 本题考查圆与双曲线. 解题分析 设渐近线方程为0bx ay +=,由题意可得圆心(4,0)到渐近线0bx ay +=的距离3d ==,∴2297b a =,∴22167c a =,∴c e a ==.8.答案 A命题意图 本题考查数学史和程序框图.解题分析 由题意可知,该程序框图的功能是有实数a ,被3除余2,被5除余3,被七除余2的数值,其中53a n =+表示除5除余3的数,再使得3除余2,被7除余2的数,所以是除21余2的数,所以判断框应填入“2?21a -∈Z ”.解题分析 在正方体ABCD A B C D ''''-中,过点A 与三条直线AB ,AD ,AA '所成角都相等的直线有AC ';过A 作BD '的平行线,过A 作A C '的平行线,过A 作B D '的平行线,共4条,故4m =.过点A 与三个平面ABB A '',ABCD ,ADDA''所成角都相等的直线分两类: 第一类,通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC ';第二类,在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条,合计4条,故4n =. 综上可知8m n +=.10.答案 A命题意图 本题考查三角函数. 解题分析 由题可知()2cos26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,其单调递增区间为222()6k x k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z 剟()36k x k k ππππ⇒-+∈Z 剟.即0,,336a ππ⎡⎤⎡⎤⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,7272,,63636a a ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…,22332a a πππ⇒厔?.11.答案 C命题意图 本题考查新定义.解题分析 ①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,∴(1)()f x f x -=-, ∴(2)(1)()f x f x f x -=--=,故它是周期为2的周期函数,故①正确;②若函数()2xf x =是“似周期函数”,则()()f x T T f x +=⋅,即22x Tx T +=⋅恒成立,故2T T =成立,无解,故②错误;③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”,则()()f x T T f x +=⋅,即cos ()cos x T T x ωω+=恒成立,故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立,即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立. 故cos sin 0T TT ωω=⎧⎨=⎩,故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ,故③正确.12.答案 B命题意图 本题考查向量、圆与椭圆.解题分析 由椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,其长轴长为4∴24a =,c a =,222a b c =+,解得2a =,1b =,∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=. 不妨设22MC N θ∠=,由对称性可得22PC M PC N θ∠=∠=,则()222222||cos 22cos 1C M C N C M C N MC N θθ⋅=∠==-u u u u u r u u u u r u u u u u r222284cos 2422PC θ=-=⨯-=-, 再设点(,)P x y ,则2214x y +=,可得2244x y =-,点2(0,3)C -, 2222222(3)44693(1)16PC x y y y y y =++=-+++=--+,∵11y -剟,∴当1y =时,22PC 的最大值为16. 因此22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为832162-=-. 13.答案 14命题意图 本题考查二项式定理.解题分析 ∵66622111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-⋅+ ⎪⎝⎭,∴在6(1)x +中,3x 的项的系数为36C ,62(1)x x +中,3x 的项的系数为56C ,∴展开式中3x 项的系数为356614C C -=.14.答案3π 命题意图 本题考查向量与解三角形.解题分析 ∵G 为ABC △的重心,∴0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r3sin A B C ==,3b ==,∴2222231cos 262a cbc B ac c +-===, 又∵B 为ABC △的内角,∴3B π=.15.答案1310,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 命题意图 本题考查函数的单调性.解题分析 (1)对函数求导,得2()36(1)f x kx k x '=+-, ∵函数的单调递减区间是(0,4),∴()0f x '<的解集是(0,4), ∵0k >,∴236(1)0kx k x +-<等价于3(4)0kx x -<, 可得6(1)12k k -=-,解得13k =. (2)若()f x 在(0,4)上为减函数, 则236(1)0kx k x +-„在(0,4)内恒成立, 即22k x +„在(0,4)内成立,故103k <„.16.答案命题意图 本题考查点到平面距离.解题分析 设动点P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离分别为1h ,2h ,3h ,∵正四面体ABCD 的棱长为9,每个面的面积为199sin 602S =⨯⨯⨯︒= 如图,取BC 的中点E ,连接AE .过D 作DO ⊥平面ABC ,垂足为O .则23AO AE ===∴高h DO === ∴正四面体ABCD 的体积()1231133V Sh S h h h ==++,∴123h h h ++=.∵满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面 DCA 的距离的成等差数列,∴12323h h h h ++==13h h += ∴点P 到平面DCA的距离最大值为. 17.命题意图 本题考查数列问题.解题分析 (1)由已知23n n S a λ=-可得1123n n S a λ++=-, 两式相减得11233n n n a a a ++=-,即13n n a a +=, ∵1123S a λ=-,∴10a λ=≠,∴0n a ≠,∴13n na a +=, ∴{}n a 是首项为λ,公比为3的等比数列,从而13n n a λ-=⋅.(2)因为3λ=,所以3nn a =,从而2n b n=, ∴24112(2)2n n b b n n n n +⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭,∴111111121324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112221321212n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭. 18.命题意图 本题考查面面垂直和二面角. 解题分析 (1)∵2AP AB AD BD ===,且PBD △是等边三角形, ∴PAB △,PAD △,BAD △均为直角三角形,即DA AB ⊥,DA PA ⊥, ∴DA ⊥平面PAB ,∵DA ⊆平面PAD ,∴平面PAB ⊥平面PAD .。
2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(七)试题
100所名校高考模拟金典卷·数学(七)(120分钟 150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|03}A x x =<<,1{|0}5x B x x-=>-,则A B ⋃=( ) A .{|35}x x x <>或 B .{|35}x x << C .{|13}x x <<D .{|05}x x <<2.若复数212iz i+=-,则|3|z +=( )A B .C .4D3.已知14a =,93log 2b =,8logc = ) A .c b a <<B .b c a <<C .b a c <<D .b a c <<4.根据某市环境保护局公布2013-2018这六年每年的空气质量优良的天数,绘制如图所示的折线图.根据图中信息可知,这六年中,每年空气质量优良天数的中位数是( )A .301.5B .302.5C .303.5D .3005.设1x >,y ∈R ,则“1x y >+”是“||1x y >+”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.函数cos 1xy aa=-(0a >且1a ≠)的图象可能是( )A .B .C .D .7.若圆22(4)9x y -+=上的各点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的最大距离为6,则该双曲线的离心率为( )A .7B .7C .4D 8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“菱形”处应填入( )A .2?21a -∈Z B .2?15a -∈Z C .2?7a -∈Z D .2?3a -∈Z 9.已知正方体ABCD A B C D ''''-,记过点A 与三条直线AB ,AD ,AA '所成角都相等的直线条数为m ,过点A 与三个平面ABB A '',ABCD ,ADDA''所成角都相等的直线的条数为n ,则m n +=( ) A .7B .8C .9D .1010.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11.设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它是周期为2的周期函数; ②函数()2xf x =是“似周期函数”;③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”,那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”. 以上正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .312.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,其长轴长为41C 上任取一点P ,过点P 作圆222:(3)2C x y ++=的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,则22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为( ) A .2-B .32-C .53-D .43-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.6211(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为__________.14.设G 是ABC △的重心,sin 3sin sin 0A GB B C ++=u u r u u u r u u r,则角B 的大小为_________.15.已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>.(1)若()f x 的单调递减区间是(0,4),实数k 的值为__________; (2)若()f x 在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是____________.16.已知正四面体ABCD 的棱长为9,点P 是ABC △内(含边界)的一个动点,满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离成等差数列,则点P 到平面DCA 的距离的最大值为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a λ=-,其中λ是不为零的常数,*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若3λ=,记32log n nb a =,求数列{}2n n b b +⋅的前n 项和n T .18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PBD △是等边三角形,AD BC ∥,2AP AB AD BD ===.(1)求证:平面PAB ⊥平面PAD .(2)若直线PB 与CD 所成角的大小为60°,求二面角B PC D --的大小. 19.已知函数()ln 1,af x x a x=+-∈R . (1)若函数()f x 的最小值为2,求a 的值;(2)当(0,)x π∈时,证明:1ln sin xe x x>-. 20.已知抛物线2(0)x py p =>上点P 处的切线方程为10x y ++=.(1)求抛物线的方程;(2)设()11,A x y 和()22,B x y 为抛物线上的两个动点,其中12y y ≠,且122y y +=,线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点T ,求ABT △面积的最大值.21.一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球,从中任取一球.如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中的白球个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()2n k P X k P =+=,求()12(0,1,2,,10)n P X k k +=+=⋅⋅⋅; (3)证明:111112n n EX EX +=+. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为,4,x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),曲线1C 的方程为22(1)1x y +-=.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程; (2)曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线和曲线1C 于点A ,B ,求||||OB OA 的最大值及相应的值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()|32|f x x =-.(1)若不等式2|1|3f x t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…的解集为11,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,求实数t 的值; (2)若不等式()|31|33yyf x x m -+++⋅„对任意x ,y 恒成立,求实数m 取值范围.100所名校高考模拟金典卷·数学参考答案(七~十二)(七)1.答案 D命题意图 本题考查并集问题.解题分析 ∵{|15}B x x =<<,∴{|05}A B x x ⋃=<<. 2.答案 A命题意图 本题考查复数的除法运算和复数的模. 解题分析 2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i +++====--+,|3|z += 3.答案 C命题意图 本题考查比较大小. 解题分析∵9913log log 42a b ==>=,881log log 4a c ==<=,∴b ac <<. 4.答案 B命题意图 本题考查图表问题.解题分析 该组数据为290、295、300、305、305、315,共六组数据,所以中位数为300305302.52+=.解题分析 当2x =,3y =-时,满足1x y >+,但不满足||1x y >+,故“1x y >+”推不出“||1x y >+”,而“||1x y >+”⇒“1x y >+”,故“1x y >+”是“||1x y >+”的必要不充分条件. 6.答案 C命题意图 本题考查函数的图象.解题分析 若1a >,则当0x =时,10y a a=->, ∵1cos 1x -剟,∴cos 1110xy aa a a-=--=…,故A 项错误; 若01a <<时,则当0x =时,10y a a=-<, ∵1cos 1x -剟,∴cos 1110xy aa a a-=-≤-=,故D 项错误, 当0x =时,0y ≠,故B 项错误,∴选C 项. 7.答案 A命题意图 本题考查圆与双曲线. 解题分析 设渐近线方程为0bx ay +=,由题意可得圆心(4,0)到渐近线0bx ay +=的距离3d ==,∴2297b a =,∴22167c a =,∴c e a ==.8.答案 A命题意图 本题考查数学史和程序框图.解题分析 由题意可知,该程序框图的功能是有实数a ,被3除余2,被5除余3,被七除余2的数值,其中53a n =+表示除5除余3的数,再使得3除余2,被7除余2的数,所以是除21余2的数,所以判断框应填入“2?21a -∈Z ”.解题分析 在正方体ABCD A B C D ''''-中,过点A 与三条直线AB ,AD ,AA '所成角都相等的直线有AC ';过A 作BD '的平行线,过A 作A C '的平行线,过A 作B D '的平行线,共4条,故4m =.过点A 与三个平面ABB A '',ABCD ,ADDA''所成角都相等的直线分两类: 第一类,通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC ';第二类,在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条,合计4条,故4n =. 综上可知8m n +=.10.答案 A命题意图 本题考查三角函数. 解题分析 由题可知()2cos26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,其单调递增区间为222()6k x k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z 剟()36k x k k ππππ⇒-+∈Z 剟.即0,,336a ππ⎡⎤⎡⎤⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,7272,,63636a a ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…,22332a a πππ⇒厔?.11.答案 C命题意图 本题考查新定义.解题分析 ①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,∴(1)()f x f x -=-, ∴(2)(1)()f x f x f x -=--=,故它是周期为2的周期函数,故①正确;②若函数()2xf x =是“似周期函数”,则()()f x T T f x +=⋅,即22x Tx T +=⋅恒成立,故2T T =成立,无解,故②错误;③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”,则()()f x T T f x +=⋅,即cos ()cos x T T x ωω+=恒成立,故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立,即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立. 故cos sin 0T TT ωω=⎧⎨=⎩,故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ,故③正确.12.答案 B命题意图 本题考查向量、圆与椭圆.解题分析 由椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,其长轴长为4∴24a =,c a =,222a b c =+,解得2a =,1b =,∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=. 不妨设22MC N θ∠=,由对称性可得22PC M PC N θ∠=∠=,则()222222||cos 22cos 1C M C N C M C N MC N θθ⋅=∠==-u u u u u r u u u u r u u u u u r222284cos 2422PC θ=-=⨯-=-, 再设点(,)P x y ,则2214x y +=,可得2244x y =-,点2(0,3)C -, 2222222(3)44693(1)16PC x y y y y y =++=-+++=--+,∵11y -剟,∴当1y =时,22PC 的最大值为16. 因此22C M C N ⋅u u u u u r u u u u r的最小值为832162-=-. 13.答案 14命题意图 本题考查二项式定理.解题分析 ∵66622111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-⋅+ ⎪⎝⎭,∴在6(1)x +中,3x 的项的系数为36C ,62(1)x x +中,3x 的项的系数为56C ,∴展开式中3x 项的系数为356614C C -=.14.答案3π 命题意图 本题考查向量与解三角形.解题分析 ∵G 为ABC △的重心,∴0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r3sin A B C ==,3b ==,∴2222231cos 262a cbc B ac c +-===, 又∵B 为ABC △的内角,∴3B π=.15.答案1310,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 命题意图 本题考查函数的单调性.解题分析 (1)对函数求导,得2()36(1)f x kx k x '=+-, ∵函数的单调递减区间是(0,4),∴()0f x '<的解集是(0,4), ∵0k >,∴236(1)0kx k x +-<等价于3(4)0kx x -<, 可得6(1)12k k -=-,解得13k =. (2)若()f x 在(0,4)上为减函数, 则236(1)0kx k x +-„在(0,4)内恒成立, 即22k x +„在(0,4)内成立,故103k <„.16.答案命题意图 本题考查点到平面距离.解题分析 设动点P 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离分别为1h ,2h ,3h ,∵正四面体ABCD 的棱长为9,每个面的面积为199sin 602S =⨯⨯⨯︒= 如图,取BC 的中点E ,连接AE .过D 作DO ⊥平面ABC ,垂足为O .则23AO AE ===∴高h DO === ∴正四面体ABCD 的体积()1231133V Sh S h h h ==++,∴123h h h ++=.∵满足P 到平面DAB 、平面DBC 、平面 DCA 的距离的成等差数列,∴12323h h h h ++==13h h += ∴点P 到平面DCA的距离最大值为. 17.命题意图 本题考查数列问题.解题分析 (1)由已知23n n S a λ=-可得1123n n S a λ++=-, 两式相减得11233n n n a a a ++=-,即13n n a a +=, ∵1123S a λ=-,∴10a λ=≠,∴0n a ≠,∴13n na a +=, ∴{}n a 是首项为λ,公比为3的等比数列,从而13n n a λ-=⋅.(2)因为3λ=,所以3nn a =,从而2n b n=, ∴24112(2)2n n b b n n n n +⎛⎫⋅==- ⎪++⎝⎭,∴111111121324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112221321212n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭. 18.命题意图 本题考查面面垂直和二面角. 解题分析 (1)∵2AP AB AD BD ===,且PBD △是等边三角形, ∴PAB △,PAD △,BAD △均为直角三角形,即DA AB ⊥,DA PA ⊥, ∴DA ⊥平面PAB ,∵DA ⊆平面PAD ,∴平面PAB ⊥平面PAD .(2)以{},,AB AD AP u u u r u u u r u u u r为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.令1AP AB AD ===,BD =,∴(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)D ,(0,0,1)P .设(1,,0)C t ,则(1,0,1)PB =-u u u r ,(1,1,0)CD t =--u u u r.∵直线PB 与CD 所成角的大小为60°,所以1|cos ,|2||||PB CD PB CD PB CD ⋅〈〉==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ,即12=,解得2t =或0t =(舍去), ∴(1,2,0)C ,设平面BPC 的一个法向量为(,,)n x y z =r.∵(0,2,0)BC =u u u r ,(1,0,1)BP =-u u u r ,则00BP n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r,即200y x z =⎧⎨-+=⎩,令1x =,则1z =,所以(1,0,1)n =r . 设平面DPC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ,∵(0,1,1)DP =-u u u r ,(1,1,0)DC =u u u r ,则00DP m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r,即0y z x y -+=⎧⎨+=⎩,令1y =-,则1x =,1z =-,∴(1,1,1)m =--u r . cos ,0||||m nm n m n ⋅〈〉==⋅u r ru r r ur r ,故二面角B PC D --的平面角为90°.19.命题意图 本题考查函数最值与用导数证明不等式问题. 解题分析 (1)()ln 1a f x x x =+-的定义域为(0,)+∞,且221()a x a f x x x x-'=-=. 若0a …,则()0f x '>,于是()f x 在(0,)+∞上单调递增,故()f x 无最小值,不合题意. 若0a >,则当0x a <<时,()0f x '<;当x a >时,()0f x '>. 故()f x 在()0,a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,于是当x a =时,()f x 取得最小值ln a ,由已知得ln 2a =,解得2a e =.综上可知2a e =.(2)∵当(0,)x π∈,且1a =时,由(1)可知11ln x x-…, ∴要证1sin x e x x>,只要证sin 0x e x ->. ∴令()sin xh x xe x =-,则()(1)cos xh x x e x '=+-,∴当0x π<<时,0()(1)cos 110xh x x e x e '=+->⋅-=,所以()h x 在[0,)π上单调递增.∴当0x π<<时,()(0)0h x h >=,即sin 0xxe x ->,∴当(0,)x π∈时,不等式1ln sin xe x x>-成立. 20.命题意图 本题考查抛物线问题.解题分析 (1)设点200,x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由2x py =得2x y p =,求导得2x y p '=,可得021x p=-,且2010x x p ++=,解得4p =, 所以抛物线的方程为24x y =.(2)设线段AB 的中点()00,M x y ,则1202x x x +=,1202y y y +=,()222121012212114442ABx x y y x k x x x x x x --===+=--, ∴直线l 的方程为()0021y x x x -=--, 即02(3)0x x y +-+=, ∴l 过定点(0,3)T .联立()0220002:1224024x AB y x x x xx x x y⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩, 得()220004424022x x x ∆=-->⇒-<<,12||AB x=-==设(0,3)T到AB的距离d=∴1||2ABTS AB d=⋅=△==,当且仅当2200482x x+=-,即x=∴ABTS△21.命题意图本题考查概率和数学期望.解题分析(1)∵12X=或13X=,∴()12122106P X===+,()110532106P X===+,∴1151723666EX=⨯+⨯=.(2)∵当0k=时,()10126nP X P+==,当110k剟时,第1n+次取出来有2k+个白球的可能性有两种:第n次袋中有2k+个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即袋中有2k+个白球,10k-个黑球,第1n+次取出来的也是白球的概率为212kkP+;第n次袋中有1k+个白球,第1n+次取出来的是黑球,由于每次总数为12个,故此时黑球数为11k-个,这种情况发生的概率为11112kkP--;∴()112112(110)1212n k kk kP X k P P k+-+-=+=+剟,∴综上可知,()111(0),62211(110).1212nk kP kP X kk kP P k+-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩剟(3)∵第1n +次白球个数的数学期望分为两类情况:第n 次白球个数的数学期望为n EX ,由于白球和黑球的总数为12, 第1n +次取出来的是白球的概率为12nEX , 第1n +次取出来的是黑球的概率为1212nEX -,此时白球的个数为1n EX +,∴()11211212n nn n n EX EX EX EX EX +-=⋅+⋅+ ()()1211111121212n n n n EX EX EX EX ⎛⎫=+-⋅+=+ ⎪⎝⎭ 即111112n n EX EX +=+. 22.命题意图 本题考查极坐标与参数方程.解题分析 (1)∵4y -=40y +-=,cos sin 40θρθ+-=. 曲线1C 的普通方程为222x y y +=,∵cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (2)cos sin 40θρθ+-=,令θα=,则42sin 3ρπα==⎛⎫+⎪⎝⎭,即2||sin 3OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又∵||2sin OB α=,∴2||111sin sin sin cos sin 2||32426OB OA ππαααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵02πα<<,∴52666πππα-<-<, ∴262ππα-=,即当3πα=时,||||OB OA 取得最大值34. 23.命题意图 本题考查绝对值不等式和恒成立问题.解题分析 (1)2|3|3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由条件得|3||1|x t -…, 得|1|3t x --„或|1|3t x -…, ∴|1|133t -=,即0t =或2t =. (2)原不等式等价于|32||31|33yyx x m ---++⋅„恒成立,而|32||31||(32)(31)|3x x x x --+--+=„,∴333y y m -+⋅„,则()333yym -…恒成立,∵()max93334yy⎡⎤-=⎣⎦,∴94m ≥,等号成立当且仅当33log 2y =时成立. 即实数m 的取值范围为9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题(一)理科数学时间:120分钟 分值:150分注意事项:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
^3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b 都是实数,那么“22a b >”是“22a b >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件2.抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为( ) A .,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B .1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C .0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,则行车路线共有( ) A .24种 B .16种 C .12种 D .10种 %4.设x ,y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥,则目标函数2z x y =-+的最小值为( )A .4-B .2-C .0D .2 5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该“阳马”最长的棱长为( )A .5B .34C .41D .52此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号6. )())0,π大致的图象是( )A .B .C .D .7.函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为( ) A .14B .15C .12D .348.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数ay x =,()0,x ∈+∞是增函数的概率为( ))A .35B .45C .34D .37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9.已知A ,B 是函数2xy =的图象上的相异两点,若点A ,B 到直线12y =的距离相等,则点A ,B 的横坐标之和的取值范围是( ) A .(),1-∞-B .(),2-∞-C .(),3-∞-D .(),4-∞-10.在四面体ABCD 中,若AB CD ==,2AC BD ==,AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为( ) A .2π B .4πC .6πD .8π11.设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点,数列{}n a 满足11a =,22a =,21log n n b a +=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=( )A .2017B .2018C .2019D .2020|12.[]0,1上单调递增,则实数a 的取值范围( ) A .()1,1- B .()1,-+∞C .[]1,1-D .(]0,+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.命题“00x ∃>,20020x mx +->”的否定是__________.14.在ABC △中,角B 2π3C=,BC =AB =__________.15.抛物线24y x =的焦点为F ,过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且满足4AFBF =,点O 为原点,则AOF △的面积为__________.16.已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3,当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是__________.…三、解答题:共70分。
全国100所名校高考数学模拟示范卷(理科)(七)解析版
2016年全国100所名校高考数学模拟示卷〔理科〕〔七〕一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分。
在每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.〔5分〕设全集U=R,集合A={*|﹣1<*<2},A∩〔∁U B〕={*|1<*<2},则集合B可以是〔〕A.{*|﹣2<*<2} B.{*|﹣1<*<1} C.{*|*≤1} D.{*|*>2}2.〔5分〕设复数z=+〔1﹣i〕2,则z的模为〔〕A. B.C.2 D.3.〔5分〕cos20°sin40°+cos70°sin50°等于〔〕A.cos20°B.sin20°C.﹣ D.4.〔5分〕〔2015•株洲一模〕以下函数中与函数y=﹣3|*|奇偶性一样且在〔﹣∞,0〕上单调性也一样的是〔〕A.y=﹣B.y=log2|*| C.y=1﹣*2D.y=*3﹣15.〔5分〕〔2015秋•期末〕设*,y满足约束条件,则z=3*+y的最大值为〔〕A.﹣8 B.3 C.5 D.76.〔5分〕〔2014春•期末〕国庆节放假,甲去旅游的概率为,乙、丙去旅游的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,则这段时间至少有1人去旅游的概率为〔〕A.B.C.D.7.〔5分〕如图,、、的终点A、B、C在一条直线上,且=﹣3,则以下等式成立的是〔〕A.=﹣+B.=﹣+2C.=﹣D.=﹣28.〔5分〕如图是一个几何体的三视图,其侧〔左〕视图中的弧线是半圆,则该几何体的外表积是〔〕A.20+4πB.24+3πC.20+3πD.24+4π9.〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输出值*∈〔16,25〕,则输入*的值可以是〔〕A.1 B.2 C.3 D.410.〔5分〕假设将函数f〔*〕=*5表示为f〔*〕=a0+a1〔2+*〕+a2〔2+*〕2+…a5〔2+*〕5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=〔〕A.80 B.﹣80 C.﹣40 D.4011.〔5分〕函数f〔*〕=Asin〔ω*+φ〕〔其中A>0,|φ|<〕的图象如下图,将函数f 〔*〕的图象向左平移个单位长度得到函数g〔*〕的图象,则函数g〔*〕的解析式为〔〕A.g〔*〕=sin〔2*﹣〕B.g〔*〕=sin〔2*+〕 C.g〔*〕=﹣sin〔2*﹣〕D.g〔*〕=sin〔4*+〕12.〔5分〕〔2014秋•期末〕直线交于P,Q两点,假设点F为该椭圆的左焦点,则取最小值的t值为〔〕A.﹣B.﹣C.D.二、填空题:本大题共4小题。
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全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷(七)(120分钟 150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 的实部是虚部的两倍,且满足151iz a i++=+,则实数a =( ). A .1-B .5C .1D .92.已知集合{}2|30A x x x =-≤,{}*|23,B x x n n ==-∈N ,则A B ⋂=( ). A .{3,1}--B .{1,3}C .{0,1,3}D .{0,1,2,3}3.已知点(1,1)A ,(1,2)B -,点C 在直线20x y +=上,若AC AB ⊥u u u r u u u r,则点C 的坐标是( ).A .(2,1)-B .(2,1)-C .21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D .21,55⎛⎫-⎪⎝⎭4.已知3sin 24tan()θπθ=+,且()k k θπ≠∈Z ,则cos2θ等于( ). A .13-B .13C .14-D .145.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为( ).A .1B .12C .56D .37666.我国法定劳动年龄是16周岁至退休年龄(退休年龄一般指男60周岁,女干部身份55周岁,女工人50周岁).为更好了解我国劳动年龄人口变化情况,有关专家统计了2010~2025年我国劳动年龄人口和15~59周岁人口数量(含预测),得到下表:其中2010年劳动年龄人口是9.20亿人,则下列结论不正确的是( ). A .2012年劳动年龄人口比2011年减少了400万人以上 B .2011~2018这8年15~59周岁人口数的平均数是9.34亿C .2016~2018年,15~59周岁人口数每年的减少率都小于同年劳动人口每年的减少率D .2015~2020年这6年15~59周岁人口数的方差小于这6年劳动人口数的方差7.已知直线:0l kx y +-=与双曲线222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线平行,且这两条平行线间的距离为43,则双曲线C 的焦距为( ).A .4B .6C .D .88.已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,且1212x x =,则12x x +=( ). A .2B .3C .4D .69.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有圆亭,下周三丈,上周二丈,高一丈.问积几何?”题中的“圆亭”是一个几何体,其三视图如图所示,其中正视图和侧视图是高为1丈的全等梯形,俯视图中的两个圆的周长分别是2丈和3丈,取3π=,则该圆亭外接球的球心到下底面的距离为( ).A .512丈 B .1736丈 C .2972丈 D .3172丈10.若函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎫=-+<<⎪⎭在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点,则ϕ的取值范围是( ). A .,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知函数()f x 是R 上的函数,当0x ≥时,2211()log log 12x f x x +=⋅+.若()02f x =,则0x =( ). A .12或3- B .1或12-C .3-D .1-12.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点,点F 是AD 上一点,12AB AA ==,3BC =,1AF =.动点P 在上底面1111A B C D 上,且满足三棱锥P BEF -的体积等于1,则直线CP 与1DD 所成角的正切值的最大值为( ).ABCD .2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知实数x ,y 满足约束条件2201040x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则4x y +的最大值为 .14.一个书架的其中一层摆放了7本书,现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层,要求2本数学书要放在一起,则不同的摆放方法有 种.(用数字作答)15.在ABC △中,3cos cos c A a C =,且sin sin 3sin a A c C B -=,则b = .16.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c,直线0x -=与C 相交于A 、B 两点.若0AF BF ⋅=u u u r u u u r,则椭圆C 的离心率为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.在等差数列{}n a 中,39a =,56248a a +=.各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1,其前n 项和为n S ,且2319a S +=. (1)求n a 与n b ;(2)设数列{}n c 满足132log n n n n c c a b +-=-,11c =,求12111na c c c +++…. 18.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,90BAD ADC ∠=∠=︒,2CD AB ==,2AD =,E 是BC 上一点,且3BC BE =.(1)求证:BC ⊥平面PDE ;(2)F 是PA 的中点,若二面角A BC P --的平面角的正切值为2,求直线CF 与平面PEF 所成角的正弦值.19.秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市环保部门通过制定评分标准,先对本市50%的企业进行评估,评出四个等级,并根据等级给予相应的奖惩,如下表所示:(1)环保部门对企业抽查评估完成后,随机抽取了50家企业的评估得分(40≥分)为样本,得到如下频率分布表: 其中a、b 表示模糊不清的两个数字,但知道样本评估得分的平均数是73.6.现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取3个,若以样本中频率为概率,求至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率; (2)某企业为取得一个好的得分,在评估前投入80万元进行技术改造,由于技术水平问题,被评定为“合格”“良好”和“优秀”的概率分别为16,12和13,且由此增加的产值分别为20万元,40万元和60万元.设该企业当年因改造而增加的利润为X 万元,求X 的数学期望.20.直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F ,且与抛物线C 交于M ,N 两点. (1)设点M 在第一象限,过M 作抛物线C 的准线的垂线,A 为垂足,且1tan 2MFA ∠=,直线1l 与直线l 关于直线AM 对称,求直线1l 的方程;(2)过F 且与l 垂直的直线2l 与圆22:(3)3D x y -+=交于P ,Q 两点,若MPQ △与NPQ △面积之和为k 的值. 21.设函数2()1xf x ekx =--,k ∈R .(1)讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性;(2)当2k >时,若存在正实数m ,使得对(0,)x m ∀∈,都有|()|2f x x >,求实数k 的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合,曲线C 的极坐标方程是32sin 00,04a πρθθρ⎛⎫+=≤≤≥ ⎪⎝⎭,直线l 的参数方程是3545x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(1)若2a =-,M 是圆C 上一动点,求点M 到直线l 的距离d 的最小值和最大值; (2)直线1l 与l 关于原点对称,且直线1l 截曲线C的弦长等于,求实数a 的值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()|1||24|f x x x =+--.(1)若关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ,求实数m 的取值范围; (2)设{}2min (),65f x x x -+表示()f x ,265x x -+二者中较小的一个,若函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<,求函数()g x 的值域.2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.A 本题考查复数的概念和运算.15321iz a a i i+=-=-++,由题意得1a =-. 2.B 本题考查集合的运算.∵{|03}A x x =≤≤,{1,1,3,5,}B =-…,∴{1,3}A B ⋂=.3.D 本题考查向量的坐标运算.设点(2,)C m m -,则(21,1)AC m m ==---u u u r ,∵(2,1)AB =-u u u r,AC AB ⊥u u u r u u u r ,∴142105m m m ++-=⇒=-,∴C 的坐标是21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 4.B 本题考查余弦的倍角公式.由已知得22cos 3θ=,∴21cos22cos 13θθ=-=. 5.D 本题考查程序框图.12S =,1i =;56S =,2i =;3766S =,3i =,结束循环,输出S 的值.6.C 本题考查统计知识.2012年劳动年龄人口数比2011减少了460万人,故A 项正确;通过计算可判断B 项正确;C 项不正确,计算后即可判断,应该是大于;D 项正确,由图得15~59周岁人口数减幅比较小,而劳动人口数的减幅比较大.7.B 本题考查双曲线的性质.设直线l 与渐近线0bx y -=平行,∵l过点,43=,解得28b =,∴29c =,双曲线C 的焦距为6.8.A 本题考查导数的几何意义的应用.∵1()1f x x'=-,∴()1111f x x '=-,()2211f x x '=-,则1211111x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简得()1212210x x x x +-+=,∵1212x x =,∴122x x +=. 9.D 本题考查数学史和三视图.由三视图可得,该几何体是一个圆台,其上、下底面的半径分别为13丈和12丈,高为1丈.设球心到下底面的距离为x 丈,则222211(1)23x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3172x =. 10.C 本题考查三角函数的性质.()2sin(2)f x x ϕ=-+,则当,424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,2,212x ππϕϕϕ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦,∵02πϕ<<,又()f x 在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点,∴223123ππϕππϕ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩,解得5612ππϕ≤≤. 11.C 本题考查函数的奇偶性的应用.当0x >时,2log (1)0x +>,∴[]222211()log (1)log (1)1log (1)224f x x x x ⎡⎤=-++-=-+-+<⎢⎥⎣⎦,∴00x <.当0x >时,由()2f x =-,得2log (1)2x +=或1-,得3x =或12x =-(舍去),∵函数()f x 是奇函数,∴03x =-. 12.A 本题考查立体几何的综合应用.在底面ABCD 上取一点H ,使得三棱锥H BEF -的体积等于1,即三棱锥E BFH -的体积等于1,由已知条件得132BHF S S ==△下底面,∴H 与C 重合,过C 作CM FE ∥,且交11B C 于M ,则11113B M B C =,过M 作MN BF ∥,且交11A D 于N ,则11113D N A D =.连接CN ,则平面CMN ∥平面BEF ,∴当点P 在MN 上运动时,满足三棱锥P BEF -的体积等于1,又直线CP 与1DD 所成角就是直线CP 与1CC 所成角,即111tan C PC CP CC ∠=为所求,∴当点P 与N 重合时,1C P 取最,即1max tan C CP ∠=.13.10 本题考查线性规划的应用.根据约束条件画出可行域(图略),当取直线220x y -+=和40x y +-=的交点(2,2)时,4x y +取最大值10.14.144 本题考查排列组合.先把两本数学书不分开放入该层,有1282C A 种摆放方法,再把化学书放入,有19C 种摆放方法,故共有121829144C A C =种摆放方法.15.6 本题考查解三角形.由余弦定理得()22222233cos cos b c a a b c c A a C bb+-+-=⇒=,即22212a cb -=①.由正弦定理得22sin sin 3sin 3a Ac C B a c b -=⇒-=②.由①②得6b =.162本题考查椭圆的离心率,设()00,A y ,∵0AF BF ⋅=u u u r u u u r ,即AF BF ⊥u u u r u u u r ,∴||||OF OA =u u u r u u u r ,则2228y y c +=,即229y c =①,又22002281y y a b+=,∴2220228a b y b a =+②,由①②得422481890c a c a -+=,即4281890e e -+=,234e =或232e =(舍去),解得2e =17.解:本题考查等差数列、等比数列和裂项求和.(1)设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ,则0q >,∵39a =,56248a a +=,∴2(92)9348d d +++=,得3d =,∴236a a d =-=, ∵2319a S +=,∴22390q q --=, 又0q >,解得3q =,∴3d =,3n a n =,13n n b -=.(2)由(1)得132log 3(21)1n n n n c c a b n n n +-=-=--=+, ∴()()()112211(1)122n n n n n n n c c c c c c c c n ---+-+-++-+=+++==……, ∴12112(1)1n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,则1112331na c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ∴121111111162122333131n c n c c c n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪++⎝⎭……. 18.解:本题考查线面垂直、二面角角以及线面角. (1)证明:∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD BC ⊥.过E 作EG CD ⊥,垂足为G,∵2CD AB ==2AD =,3BC BE =,∴2433EG AD ==,3DG =,3CG =, ∴22222228DE CE EG DG CG CD +=++==,即CE DE ⊥, ∵PD DE D ⋂=,∴BC ⊥平面PDE . (2)由(1)得BC ⊥平面PDE . ∴PED ∠是二面角A BC P --的平面角. ∵PD ⊥底面ABCD,3DE ==,∴tan 2PD PED DE ∠==,则2PD =. 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则(2,0,0)A,B,C,4,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(0,0,2)P ,(1,0,1)F ,∴(1,0,1)PF =-u u u r,4,233PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r,(1)FC =--u u ur . 设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =r,则00PF P n n E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u r r,∴042033x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩,令1x =,则4n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ,∴|cos ,|F n C 〈〉==u r u ur ∴直线CF 与平面PEF19.解:本题考查概率与统计. (1)∵样本评估得分的平均数是73.6,∴450.04550.106575850.20950.1273.6a b ⨯+⨯+++⨯+⨯=, 即657537.9a b +=①,又0.54a b +=②,由①②解得0.26a =,0.28b =,则企业评估得分不少于70分的频率为0.6,∴至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率232332381555125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)依题意,X 的可能取值为60-,40-,20-,0,60,且该企业被抽中的概率为12,则 111(60)2612P X =-=⨯=,11111(40)26223P X =-=⨯+⨯=,111(20)236P X =-=⨯=,111(0)224P X ==⨯=, 111(60)236P X ==⨯=,X 的分布列为∴135()60(40)(20)060123663E X =-⨯+-⨯+-⨯++⨯=-.20.解:本题考查抛物线概念及其与直线的位置关系. (1)设抛物线C 的准线与x 轴的交点为B ,根据抛物线的定义得||||MA MF =,则MAF MFA ∠=∠.∵MAF AFB ∠=∠,1tan 2MFA ∠=,||2BF =, ∴||||tan 1AB BF AFB =∠=,4tan 3BFM ∠=,∴点M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线MN 的斜率为43-, ∵直线1l 与直线l 关于直线AM 对称, ∴直线1l 的方程为41134y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即4320x y -+=. (2)设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠, 与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=, 令()11,M x y ,()22,N x y ,则12242x x k+=+,121x x ⋅=,2244||k MN k +==. ∵PQ MN ⊥,∴直线PQ 的方程为1(1)y x k=--,即10x ky +-=, ∴圆心(3,0)D 到直线PQ=,∵圆D ,∴||PQ ==,∴MPQ △与NPQ △面积之和221144||||22k S MN PQ k +==⋅=∵直线PQ 与圆D 有两个交点,∴1(k -∈,且10k -≠, 令21t k =,则(0,3)t ∈,由S ==2t =或0t =(舍去),∴212k =,得2k =±. 21.解:本题考查导数的综合应用.(1)由2()1x f x e kx =--,得2()2x f x e k '=-,∵(0,)x ∈+∞,∴222x e >,当2k >时,由2()20x f x e k '=->,得1ln 22k x >,即函数()f x 在1ln ,22k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 由()0f x '<,得10ln 22k x <<,即函数()f x 在10,ln 22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减; 当2k ≤,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.(2)当2k >时,由(1)结合函数()f x 图象知,00x ∃>,使得对任意()00,x x ∈,都有()0f x <,则由|()|2f x x >得2(2)10x k x e -+->. 设2(2)10x k x e-+->,2()(2)1x t x k x e =-+-, 令()0t x '>得12ln 22k x -<,令()0t x '<得12ln 22k x ->. 若24k <≤,则12ln 022k -≤,∵()0120,ln ,22k x -⎛⎫⊆+∞ ⎪⎝⎭,∴()t x 在()00,x 上单调递减,注意到(0)0t =,∴对任意()00,x x ∈,()0t x <,与题设不符;若4k >,则12ln 022k ->,12120,ln ,ln 2222k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()t x 在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, ∵(0)0t =,∴对任意120,ln22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0t x >符合题意.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭,可得对任意(0,)x m ∈,都有()|2f x x >. 综上所述,k 的取值范围为(4,)k ∈+∞.22.解:本题考查直线和圆的极坐标与参数方程.(1)当2a =-时,由34sin 004πρθθ⎛⎫+=≤≤ ⎪⎝⎭,得曲线C 是圆2240x y y +-=的34部分,如图所示,将直线l 的直角坐标方程化为4380x y ++=,由图得,当M 与(1,1)A -重合时,d 取最小值75; 又曲线C 的圆心(0,2)到直线l 的距离为145,半径1r =, ∴max 1419155d =+=. (2)∵曲线222:()C x y a a ++=,直线:4340l x x a ++=,∴圆心C 到直线的距离|34|||55a a a d -+==.∵由圆C 的半径为||a ,直线l 截圆C 的弦长等于,∴=,即||5a =52a =±. 经检验52a =±均合题意,∴52a =±. 23.解:本题考查绝对值不等式.(1)由()|1||1|f x m x ≤+-+,得|22||24||1|x x m +--≤+, ∵关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ,∴|22||24||1|x x m +--≤+对任意x ∈R 恒成立,∵|22||24||(22)(24)|6x x x x +--≤+--=,∴|1|6m +≥,解得7m ≤-或5m ≥,∴实数m 的取值范围是(,7][5,)-∞-⋃+∞.(2)5,1()33,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩,设2165y x x =-+,在同一平面直角坐标系作出函数()y f x =和2165y x x =-+的图象,∵函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<,∴函数()y g x =的图象是图中的实线部分,则当3x =时,()g x 取最小值4-;当1x =或5时,()g x 取最大值0. ∴函数()g x 的值域为[4,0]-.。