第十二章 搜索法

第十二章搜索法

无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解。因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。运用这个数学模型直接求解是再合适不过的了。当然，这仅是一种可能性，因为并非所有选手都能在竞赛的“一瞬间”把问题分析得如此透彻，并非所有给定的问题都能建立数学模型，即便有了数学模型，但解该模型的准确方法也不一定能立即运用现成算法。因此在某些情况下，还得需要通过搜索（列举所有可能情况）来寻求问题的解。下面介绍两种最常用的搜索策略

⑴枚举法

⑵回溯法

⑶广度优先搜索

§12.1枚举法

枚举法的基本思想是根据提出的问题枚举所有可能状态，并用问题给定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。能使命题成立，即为其解。虽然枚举法本质上属于搜索策略，但是它与后面讲的回溯法有所不同。因为适用枚举法求解的问题必须满足两个条件：1.⑴可预先确定每个状态的元素个数n；

2.⑵状态元素a

1，a

2

，…，a

n

的可能值为一个连续的值域。

设

a

i1—状态元素a

i

的最小值；a

ik

—状态元素a

i

的最大值(1≤i≤n)，即a

11

≤a1≤a1k，a21≤

a2≤a2k，a i1≤a i≤a ik，……，a n1≤a n≤a nk

我们称状态元素为枚举变量。例如某问题的枚举变量有3个：a1，a2，a3。其中

1≤a1≤2；2≤a2≤4；5≤a3≤7

则问题的可能状态集为

(a1，a2．a3)={(1，2，5)，(1，2，6)，(1，2，7)，(1，3 ，5)，(1，3，6)，(1，3，7)，(1，4，5)，(1，4，6)，(1，4，7)，(2，2，5)，(2，2，6)，(2，2，7)，

(2，3，5)，(2，3，6)，(2，3，7)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，4，7)}

在上述18个可能的状态集中，满足问题给定的检验条件的状态即为问题的解。一般来说，如果确定了枚举变量的个数及其值域，我们则可以利用for语言和条件判断语句逐步求解或证明：

for a1←a11 to a1k do

fo a2←a21 to a2k do

……………………

for a i←a i1 to a ik do

……………………

for a n←a n1 to a nk do

if 状态(a1，…，a i，…，a n)满足检验条件

then 输出问题的解；

由此可见，枚举的次数为∏

=

+ -

n

i

i

ik

a

a

1

1

)1 (。

枚举法的优点：

⑴由于枚举算法一般是现实生活中问题的“直译”，因此比较直观，易于理解；

⑵由于枚举算法建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法的正确性比较容易证明。

枚举法的缺点：枚举算法的效率取决于枚举状态的数量以及单个状态枚举的代价，因此效率

比较低。

当然，由于模型建立的不同、信息提取量的不同，同一个问题可以有多个枚举算法，效率也可能有所不同，甚至可能有很大的差异。

一、“直译”的枚举算法

将自然语言描述的问题“翻译”成算法过程，即为“直译”。现实生活中的许多问题可以“直译”成枚举算法。例如古代著名的“百鸡百钱”（公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡3只一文钱。要求计算一百钱可买3种鸡的数量）问题就是一个典型的枚举问题。

状态：3种鸡的数量x ，y ，z

每个状态元素的取值范围：1≤x ≤⎥⎦

⎥

⎢

⎣⎢5100-2，1≤y ≤⎥⎦

⎥

⎢

⎣⎢3100-2，z=100-x-y

约束条件：5*x+3*y+z/3=100 由此“直译”成如下枚举算法 for x ←1 to 18 do for y ←1 to 31 do begin

z ←100-x-y ；

if 5*x+3*y+z/3=100 then 输出公鸡x 只，母鸡y 只，小鸡z 只； end ；{for}

从上例可以看出，能够被“直译”的问题一般具有下列特征

⑴建立在离散模型上；

⑵状态的数量和枚举单个状态的代价确定； ⑶枚举算法的时间复杂度为一个多项式；

下面，我们再来看一个较为复杂的问题是如何“直译”成枚举算法的

【例题12.1.1】跳远

在水平面上整齐的放着n 个正三角形，相邻两个三角形的底边之间无空隙，如下图所示。

一个小孩子想站在某个三角形i 的顶端，跳到三角形j 的顶端上(i

请编程求出他从每个位置起跳能到达的最远三角形的编号。注意：跳跃过程中不许碰到非起点和终点的其他三角形。 输入

第一行为两个正整数n ，v 0(3≤n ≤10， 1≤v 0≤100)，表示三角形的个数和最大水平初速度。

第二行有n 个正整数l i (1≤l i ≤20)，表示从左到右各个三角形的边长。 输出

输出仅一行，包括n-1个数，表示从三角形1，2，3…n -1的顶点出发能到达的最右的三角形编号。如果从某三角形出发无法达到任何三角形，相应的数为0。

分析：本题的基本思想是枚举。对于每一个起跳点i ，依次判断点i+1， i+2…n 能否跳到。

状态：起跳点i 和i 点后的点j