第九章：数学思维

说 明 : 多 数同 学 是这 样 考虑 的 : 按 照a 1和 0 a 1两 种情 况 进行 讨 论 , 以 决定log a (1 x ) 和 log a (1 x )的 正负, 先 去绝 对 值的 符 号 ,再作 比 较, 做 法是 正 确的 , 但 比较 复 杂。
仔细分析这道题，发现它有两个本质特征
4 4 10、c4 log !! 4 71
4 ] 71
另外，在数学教学中，为了培养学生思维的 广阔性，还可以运用解题思路，改变题目条件和 结论，使所学方法得到广泛应用
2 2 x y 9上有动点P，圆内有一个定 例如，在圆
点A(-2，0)，求线段AP中点的轨迹方程．
解：引入参变量，利用中点坐标公式可以推导出 它的轨迹方程．(略)

性、敏捷性以及批判性．
一、思维的深刻性

思维的深刻性经常地被称之为分清实质的能 力．这种能力表现为能洞察所研究的每一事实的 实质及这些事实之间的相互关系；
能从所研究的材料(已知条件、解法及结果)中揭 示被掩盖着的某些个别特殊情况； 能组合各种具体模式等．


例 如 : 设 0 x 1, a 0, a 1, 比 较 log a (1 x ) 与 log a (1 x ) 的 大 小
1 例如 :已知 , 为锐角 .且cos ; 7 11 cos( ) .求cos 14
分析 : 大家习惯于展开 cos( ), 企图由解方程求 cos 而告失败 .
解 : cos cos[( ) - ]
看 不 出 [( ) - ]这 一 潜在 关 系 . 由 于" 是 复 角, 是 单 角"的 框 框作 祟 .
1、若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物 线，或把已知曲线方程改为参数方程形式，解 题思路是相同的． 2、若把条件“圆内有一个定点”改为圆外或圆 上，解题思路也相同． 3、若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP 分成定比λ的分点的轨迹方程，解题思路仍基本 相同．
通过这种变换和转化，可以扩大学生的视野，使 思维广阔．所学的方法可得到广泛的应用． 思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体 表现为思考问题时脑子经常放不开，跳不出条条 框框的束缚，思维处于封闭状态；在学生的数学 学习中经常表现为只是围着书本和教师转，或者 陷入题海之中，得不到主动发展．长期下去必然 造成学生的思维的片面和狭隘，这对培养学生的 思维能力会带来很大的消极作用．
(1)与坐标平面上两点间距离公式形式相同； (2)与复数的模及其性 质的形式相同．于是得到两x1，y1)，B(-x2，y2)，O(0，0)(如图)， 在△ABO中有|AO|+|BO|≥|AB|
∴不等式(I)成立．
法二：由联想(2)，设z1=x1+y1i， z2=x2+y2i
例如：水池有甲、乙、丙、丁四根进水管，甲、 乙、丙三管同时打开，12分钟可注满水池；乙、丙、 丁三管同时打开，15分钟可注满水池；甲、丁两管 同时打开，20分钟可注满水池。如果四管同时打开， 需要多少时间可注满水池？ 几乎所有学生都习惯地设未知数，列出方程组 去解题。但有一个学生迅速地给出了答案：10分 钟。



例如在解方程时，总是强调那些步骤：去分母、 去括号、移项、合并同类项等，于是，遇到这样 的题：
解方程(x - 1)(x - 2) 1 x
学生也照这样的步骤去套，殊不知这个题可这样来 解：
(x-1)(x-2)-(x-1)=0 即(x-1)(x-3)=0 则求出x=1或x=3
四、思维的独创性
他的解题思路是：两个甲管、两个乙管、 两个丙管、两个丁管同时打开一分钟，可注
1 1 1 1 ，所以甲、乙、 12 15 20 5 丙、丁四管同时打开一分钟可注满水池的十
满水池的
分之一。因此，注满水池需10 分钟。
思维的独创性的反面是思维的保守性

它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的 限制，思维落俗套而受束缚，不愿多想问题，只求 现成的“法规”，而产生思维的惰性．
1、 4 ！（4 ii ) log 4 71 4
4 2、c4 4 [ln 4] 71
3、 ( p4 4 )
4
4 ii 71
4 ii 4、 4 0 71 4! 4!
0 5、 4 ! dx 4 71 40 4
6、 4!4!4! sgn4 71 7、 ( 4 ii )( 4 ii ) D(4) 71 8、 （ 4 4 4 ） 4 ii 71 9、 4! ( 4 4 0 ) [
2 2
sin x 2 2 lim ; 100 99 ; a a ; sec x tan x x 0 x
故事

在二次世界大战中，在英国的军营里流行着这 样一道数学题：用且只用四个4，利用数学符号 写一个等式，使其等于71.虽然当时战争打得很 激烈，但到二战结束时，此题的答案已有上百 种。
又已知对任意复数z1，z2，有
|z1+z2|≤|z1|+|z2| ∴不等式(I)成立．
这两种证明既简洁，又具有独到之处．如果 经常这样训练，对开阔学生思路，活跃学生 思维大有裨益．
1是最简单的数字。而把它因题而异地作各种 各样的变式，常会给解题带来方便。例如；1 可以表示为
n sin x cos x; ; (1 a ) a; x 0 n [(1 x ) x ]n ; lg 10; tg45 0 ; cos 0 0
1
但 应 有s in
x
1
于是 x 4k 1(k z )
但是原方程并不是一元 二次方程
正 确 解 答: 将 原 方 程 配 方 得 ( x sin
x
2
) cos
2
2
x
2
0
x x sin 2 0 即 x cos 0 2 所 以 x 1
产生错误的根源在于对 有关公式机械 套用，忽视公式成立的 条件，将sin t 误认为 正数等。总之，是对公 式领会肤浅所造成的。
错解
正确的解答是： 当 sin t 0 时 , y 3; 1 当 sin t 0 时, y 1 ( sin t ) sin t 1 2 1 y ( ,1] [3,)
思维的独创性是智力的高级表现。
一年一度的国际数学奥林匹克竞赛是公认的数
学殿堂，试题难度之高常常令不少专家也望而却 步。然而从未出现过“空门”（即无人能解之题）。 相反，每次都出现为命题者所始料不及、巧思独具 的美妙解法，因此，竞赛奥委会专门为这些未来的 数学精英设立了“特别奖”，以奖励那些思维独创性 特强的优解者。
根据异号两数相加，和的符号与绝对值较大的那个加 数相同
于是得到： log a (1 x ) log a (1 x )
上述解法与常规解法相 比，体现了思维能力 的差异，这一解法表现 了思维的深刻性。 那末，思维深刻性的反 面是什么？
思维的深刻性的反面是思维的肤浅性．

经常表现为只满足一知半解，对概念不求甚解；
一、不论 a 1, 还是0 a 1, log a (1 x ) 与 log a (1 x )总是异号 ;
二、 log a (1 x )与 log a (1 x 2 )总是同号，并且 log a (1 x ) log a (1 x ) log a (1 x 2 )
二、思维的广阔性
思维的广阔性是指思路宽广，善于多方探求．不但 能研究问题的本身，而且又能研究有关的其它问 题． 任何一个事物总不会都象一个球，从每个角度看都 是一种形状而无变化；任何一个事物也总不会都象 一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次．应当 提倡立体思维，也就是多角度、多层次地思维． 在数学学习中，应要求学生既把握数学问题的整体， 抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的细节和特 殊的因素，放开思路进行思考，解决问题．
三、思维的灵活性
思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。 学生思维的灵活性主要表现在随着新条件而迅速确 定解题方向，或者随着条件变化而有的放矢地转化 解题方法； 也表现在随着新知识的掌握和经验的积累，而重新 安排已经学会的知识的能力上； 表现在从已知数学关系中看出新的数学关系、从隐 蔽的形式中分清实质的能力上．
答：老张卖的是假发 例3 8减6是2，8加6也是2，有这种可能吗？
答：闹钟上

思维灵活性的反面是思维的呆板性． 知识和经验经常被人们按着一定的、个人习惯的 “现成途径”反复认识．这就产生了一种先入之见， 使思维倾向于某种具体的方法和方式，使人在解题 过程中总想遵循业已知道的规则系统——这即是思 维的呆板性． 思维的呆板性是发明和创造性活动的极大障碍。思 维的呆板性是部分学生思维的特点,表现为片面强调 解题的模式，缺少应变能力．
解 : 曲线是圆 , 半径为 5 .直线被圆截得的弦长 为2 5 , 即圆的直径 .于是直线 x y m 0必过 圆心, 所以 m 0.
例1、有一个问题，不论你问到任何人，答 案都是“没有”，请问那是什么问题？ 答：你睡着了吗？
例2、老张二十多年一直卖假货，为什么大家却 认为他是大好人？
思维的独创性是指思维活动的创造性精神，是在新 颖地解决问题中表现出来的智力品质。

学生思维独创性的具体表现： （1） 能独立地、自觉地掌握数学概念。 （2）发现定理的证明。 （3）发现老师课堂上讲过的例题的新颖解法等。

分析：该题纯从三角去考虑，是较繁锁的．如果想 到单位圆上的点
用数学方法解决物理问题似乎理所当然，但反过 来用物理方法去解决数学问题却不太被人们重视， 但对有些问题这样去做不仅解法新颖，具有创新 性，而且强化了各科之间的相互联系、互相渗 透．这无疑是为培养思维独创性的优良品质提供锻 炼机会．