人教新课标版数学高一-人教B版必修2课时作业第1课时两条直线相交、平行与重合的条件

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新教材2022版数学必修第一册(人教B版)课时作业-1.1.3.1交集与并集-含解析

课时作业(三)交集与并集一、选择题1．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．M⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－5}B．{x|x≤2}C．{x|－3<x≤2}D．{x|－5≤x≤2}3．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C ＝()A．{－1，1}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{2，3，4}4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2B．a>－2C．a>－1D．－1<a≤2二、填空题5．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3，6}，则N－M ＝________．6．设集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．三、解答题8．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.9．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．[尖子生题库]10．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．课时作业(三)交集与并集1．解析：∵集合M⊆N，∴在A中，M∩N＝M，故A正确；在B中，M∪N＝N，故B正确；在C中，M⊆(M∩N)，故C正确；在D中，(M∪N)⊆N，故D正确．答案：ABCD2．解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．答案：A3．解析：本题主要考查集合的运算．由题意得A∪B＝{1，2，3，4，－1，0}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，3，4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1，0，1}．故选C.答案：C4．解析：在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a>－1.答案：C5．解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．答案：{6}6．解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±2，或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±2，0，共3个．答案：37．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：(－∞，1]8．解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}． A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．9．解析：在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A ∪B ＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a <－1，解得－3≤a <－1. 综上可知，a 的取值范围为－3≤a <－1.10．解析：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a 2<2，∴a >－4. 即a 的取值范围为a >－4.。

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

例已知点 (2,2), (5, −2) ，点在轴上，分别求满足下列条件的点
的坐标.
[解析] 思路分析（1）根据两角相等，判断与的关系，然后
转化为斜率的关系求解. （2）根据 ∠ 是直角，得出 ⊥ ，然后
转化为斜率之积为-1求解.
（1） ∠ = ∠ （是坐标原点）；
3.能利用两条直线平行或垂直
的几何意义.
的条件解决问题.
1.两条直线平行：
1 = 2
对于斜率分别为 1 , 2 的两条直线 1 , 2 ，有 1 ∥ 2 ⇔ ①____________.
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直. 即 1 ⊥
先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求
参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要
考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
已知 (1, −1), (2,2), (3,0) 三点，若 ⊥ ，且 ∥ ，求点的坐标.
么 1 与 2 (
A
)
A. 垂直
B. 平行
C. 重合
D. 相交但不垂直
[解析] ∵ 直线 1 经过 (−3,4) ， (−8, −1) 两点，
∴ 直线 1 的斜率 1 =
4+1
−3+8
= 1.
∵ 直线 2 的倾斜角为 135∘ ，
∴ 直线 2 的斜率 2 = tan 135∘ = −1 ，
+2
9
= −1 ，
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状

新人教B版高中数学必修二教学课件第一章立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC．又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD，所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB；在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.

人教B版必修2练习2.2.2 直线方程的几种形式两点式、截距式、一般式 Word版含解析

课时目标掌握直线方程的两点式、截距式、一般式及各种方程之间的互化．的图象可能是( )直线在，轴上的截距分别为，，且＜，排除，，，故选.．若∈，直线－－－＝恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )．(，－) ．(－)．(－) ．(，－)答案：解析：＋＝(－)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(，－)．．已知直线：－－＝，：－＋＝(≠，≠)，则它们的图象为( )答案：解析：考虑直线与坐标轴的交点．二、填空题(每个分，共分)．已知直线过(，－)和(－)，则直线的方程为．答案：＋－＝解析：因为直线过点(，－)和(－)，由两点式方程，得＝，即＝，可化为＋－＝.．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是()，则此直线的方程为．答案：＋－＝解析：设直线与轴的交点为()，与轴的交点为(，)，则由已知得：＝，＝，即＝，＝，所以所求直线的方程为＋＝，即＋－＝.．已知≠，直线＋－＝过点(－)，则此直线的斜率为．答案：解析：因为直线＋－＝过点(－)，所以－＋－＝，得＝－，所以直线方程为－＋－＝.又≠，所以≠，所以直线方程－＋－＝可化为－＋－＝，即＝＋，故此直线的斜率为.三、解答题．(分)求过点()，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程．解：设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，当＝时，直线过原点()，所以由直线方程的两点式，可得直线的方程为＝，可化为－＝.当≠时，可设直线的截距式方程为＋＝.又直线过点()，将其代入，得＋＝，解得＝，此时直线的方程为＋＝，可化为＋－＝.所以所求直线的方程为－＝或＋－＝.．(分)三角形的顶点分别是(－)，(，－)，()，求这个三角形三边所在直线的方程．解：∵直线过(－)，(，－)两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋＋＝.∵直线过(，－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为＋－＝.∵直线过(－)，()两点，由直线方程的两点式，得直线的方程为＝，可化为－＋＝.能力提升．(分)若两点(，)和(，)的坐标，分别满足－＋＝和－＋＝，则经过这两点的直线方程为．答案：－＋＝解析：因为两点确定一条直线，所以由题意可知所求直线方程为－＋＝.．(分)一条直线从点()出发，经过轴反射，通过点(－)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．。

人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版

2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形）拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型自主突破1．下列四个命题中错误的是（）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、．能力型师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ，因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】55。

高中数学人教新课标B版必修2--《2.2.3两条直线的位置关系》课件2

解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1．空间四边形 ABCD 中， AD BC 2 ， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ，求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中，cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 ，
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是：00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结：
1. 异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线异面直线
3. 异面直线的画法辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 5. 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补．
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2

高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线学案新人教B版必修2

第1课时平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2．符号表达：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点二等角定理思考观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．知识点三空间四边形顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.( × ) 2．没有公共点的两条直线是异面直线．( × )3．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( × )类型一基本性质4的应用例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．解在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点，所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD . 所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．反思与感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1 如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1. 又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三空间四边形的认识例3 如图，设E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形．证明 (1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EHBD ＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，∴EH 綊GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF . ∴四边形EFGH 是梯形．反思与感悟因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD ”，不包含平面四边形，说明“A ，B ，C ，D 四点必不共面”，不能因直观图中AD 与BC 看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3 已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，判定AE 与DF 的位置关系．解由已知，得E ，F 不重合．设△BCD 所在平面为α，则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ，所以AE 与DF 异面．1．直线a ∥b ，直线b 与c 相交，则直线a ，c 一定不存在的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．无法判断答案 B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是( )A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4．下面三个命题，其中正确的个数是( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1 B．2 C．3 D．0答案 D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案 B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案 D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形答案 B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案 A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD 不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面A 1C 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解如图所示，在面A 1C 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .13.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23.(1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′与BB ′相交于O 点，且AO OA ′＝BO OB ′，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 答案 D解析如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )．在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )． 15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。

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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

人教B版高中数学必修二2.2.3第1课时两条直线相交、平行与重合的条件

2.2.3第1课时两条直线相交、平行与重合的条件一、选择题1．(2010·安徽文，4)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 解法一：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法二：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0，∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45 [答案] B[解析] 由3(a －2)－2a ＝0，得a ＝6，经检验知当a ＝6时，两直线平行．3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠1B ．m ≠－32C ．m ≠0D ．m ≠1且m ≠－32[答案] A[解析] Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 2＋B 2≠0，即A ≠0或B ≠0.由2m 2＋m －3＝0得m ＝1或－32. 由m 2－m ＝0得m ＝0或1，故只有当m ＝1时，2m 2＋m －3与m 2－m 同时为0，∴m ≠1，选A .4．(2010·山东聊城高一期末检测)已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＝1平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10[答案] B[解析] 由题意，得4－m m ＋2＝－2，∴m ＝－8. 5．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－16∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [答案] A [解析] 由题意知，k ＝－12，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2k ＋1y ＝－12x ＋2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2k k ＋12，6k ＋12k ＋1， ∴⎩⎨⎧1－2k k ＋12>06k ＋12k ＋1>0，解得－16<k <12. 6．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直[答案] B[解析] 由方程ax ＋y －a ＝0(a ≠0)化为a (x －1)＋y ＝0，∴直线过定点(1,0)，又当y ＝0时，x ＝1，∴横截距为定值．7．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定[答案] A[解析] ∵点P 1(x 1，y 1)在直线l 上，∴f (x 1，y 1)＝0，又∵点P 2(x 2，y 2)不在直线l 上，∴f (x 2，y 2)≠0.∴方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0，化为f (x ，y )＝－f (x 2，y 2)≠0，故方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与直线l 平行．8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2 [答案] C[解析] 由A ∩B ＝∅，直线4x ＋ay －16＝0过点(1,3)或与y －3＝2(x －1)平行，则有4×1＋a ×3－16＝0或－4a＝2.∴a ＝4或a ＝－2. 二、填空题9．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两轴上截距之和为56的直线l 方程为__________． [答案] 2x ＋3y －1＝0[解析] 设l ：2x ＋3y ＋c ＝0，令x ＝0，则y ＝－c 3，令y ＝0，则x ＝－c 2， ∴－c 3＋(－c 2)＝56，∴c ＝－1. 10．过点(－3,2)且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是____________．[答案] 2x ＋3y ＝0[解析] 由题意，知所求直线的斜率k ＝－23，又过点(－3,2)，故直线方程为y －2＝－23(x ＋3)， ∴2x ＋3y ＝0.11．和直线4x －3y －1＝0平行，且在y 轴上的截距是13的直线方程是______________． [答案] 4x －3y ＋1＝0[解析] 由题意，知所求直线的斜率k ＝43，且在y 轴上的截距为13，故其方程为y ＝43x ＋13，即4x －3y ＋1＝0. 12．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为______________．[答案] 2x ＋y ＋5＝0三、解答题13．求过以点A (－1,2)、B (3,4)为端点的线段的中点，且平行于直线x 4－y 2＝1的直线方程．[解析] ∵以点A (－1,2)、B (3,4)为端点的线段的中点坐标为(1,3)，又所求直线与直线x 4－y 2＝1平行，∴所求直线的斜率k ＝12，故所求直线方程为y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.14．两条直线l 1：2x －my ＋4＝0和l 2：2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，求m 的取值范围．[解析] ∵2×3－(－m )·2m ＝6＋2m 2≠0，∴l 1与l 2不平行．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －my ＋4＝02mx ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －6m 2＋3y ＝4m ＋6m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －6<04m ＋6>0，∴－32<m <2. 15．求满足下列条件的直线方程． (1)过点(－1,2)，且与直线x ＋y －2＝0平行的直线；(2)过直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋2＝0的交点，且与直线3x ＋y ＋1＝0平行的直线方程．[解析] (1)设所求直线方程为x ＋y ＋m ＝0，又点(－1,2)在直线上，∴－1＋2＋m ＝0，∴m ＝－1，故所求直线方程为x ＋y －1＝0.(2)设所求直线方程为2x ＋y －1＋λ(x －2y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋2λ－1＝0，又所求直线与直线3x ＋y ＋1＝0平行，∴2＋λ＝3(1－2λ)，∴λ＝17. 即所求直线方程为3x ＋y －1＝0.16．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)、B (－2,3)、C (0，－4)，求D 点坐标．[解析] 设D (x ，y )∵AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD∴3－1－2－1＝y ＋4x，即2x ＋3y ＋12＝0(1) 又∵AD ∥BC ∴k BC ＝k AD∴－4－30＋2＝y －1x －1即7x ＋2y －9＝0(2)由(1)(2)解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝－6.∴D 点坐标为(3，－6)．17．求将直线x ＋2y ＋3＝0沿x 轴的负方向平移2个单位后所得到的直线方程．[解析] 直线x ＋2y ＋3＝0的斜率为－12，与x 轴的交点为(－3,0)，所求直线与直线x ＋2y ＋3＝0平行，且与x 轴的交点为(－5,0)，故所求直线方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0.。

新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．( √ )
2．做一做
第二章平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用．学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条件．教学重点：两条直线垂直的条件．教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.

高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时两条直线相交、平行与重合的条件含答案

2．2.3 两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6，因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行．跟踪训练1 解因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，所以(m －3)(m ＋1)≠0，解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0，令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0，即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0，将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。

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第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三）中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点解析：对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。

(课堂设计)2020高中数学 1.2.2 空间中的平行关系(1) 平行直线学案新人教B版必修2

1.2.2 空间中的平行关系(1)——平行直线自主学习学习目标能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理．自学导引1．____________________________的两条直线叫做平行线，过直线外一点有且只有________直线与这条直线平行．2．基本性质4：________________________________，用符号表述为________________________________．3．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边________________________________，那么这两个角相等．4．顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形叫做________________，四个点叫做空间四边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________．对点讲练知识点一理解有关概念及性质例1下列叙述是否正确，请说明理由．①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线．②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形．③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形．④四边都相等的四边形都是菱形．⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．点评空间四边形是立体几何中的一个重要模型，应掌握其画法及特征．变式训练1 在空间四边形ABCD中，若AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH是( )A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形知识点二平行公理的应用例2如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB、△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE ＝13AC.点评空间图形中的平行，往往转化到某一个平面中去，利用平面性质：如中位线、平行截割定理等．变式训练2如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AEEB ＝AH HD ＝CF FB ＝CGGD≠1，那么四边形EFGH 是什么图形？知识点三等角定理的应用例3如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且AOOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．点评本题考查了等角定理，等角定理的实质是由两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一组边的方向相反，那么这两个角互补．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为所在边中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.1.空间两条直线的位置关系—⎪⎪⎪⎪⎪—相交—共面，有一个公共点—平行—⎪⎪⎪⎪—共面，无公共点—基本性质4—空间平行线的传递性—等角定理—异面2．注意：等角定理的逆命题不成立.课时作业一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 2．若∠AOB＝∠A 1O 1B 1，且OA∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A ．OB∥O 1B 1且方向相同 B ．OB∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是( ) A ．正方形 B ．菱形C ．矩形D ．空间四边形4．如图所示，设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD边AB 、BC 、CD 、DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ.则下列结论中不正确的为( )A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形5．已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．MN≥12(AC ＋BD)B ．MN≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题6．下列命题中，正确的结论有________(填写序号)．①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．7．在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC ＝BD ，且AC⊥BD，则四边形EFGH 的形状为________．8.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．三、解答题 9.如图所示，在一个长方体木块的A 1C 1面上有一点P ，过P 点作一条直线和棱CD 平行，应怎样作？若要求过P 点画一条直线和BD 平行，又该怎样作？10.如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 上的点，且满足AE AB ＝AFAC ＝AG AD. 求证：△EFG∽△BCD.【答案解析】自学导引1．在同一平面内不相交一条2．平行于同一条直线的两条直线互相平行如果a∥b，c∥b，那么a∥c 3．分别对应平行，并且方向相同 4．空间四边形顶点边对角线对点讲练例1 解由空间四边形的定义知命题①②③都是真命题．空间四边形的四条边可相等，故命题④为假命题．关于命题⑤可构造正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，如图，∠D 1AB ＝∠ABC＝∠BCD 1＝90°，但∠AD 1C ＝60°，四边形ABCD 1不是矩形，故⑤为假命题．变式训练1 A例2 证明连接PD 并延长交AB 于M ，连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，∴MN∥AC，又PD DM ＝PE EN ＝21，∴DE∥MN，∴DE∥AC. 又DE MN ＝PD PM ＝23， ∴DE＝23MN ，又因MN ＝12AC ，∴DE＝13AC.变式训练2 解四边形EFGH 是平行四边形．因为AE EB ＝AH HD ＝CF FB ＝CG GD，所以△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD.设AE EB ＝AH HD ＝CF FB ＝CG GD ＝k(k≠1)，则利用相似三角形的性质，知EH ＝k k ＋1BD ，FG ＝k k ＋1BD ，且EH∥BD，FG∥BD，所以EH FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形．例3 (1)证明 ∵AA′与BB′交于点O ，且AO OA′＝BO OB′＝23，∴AB∥A′B′. 同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解 ∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB 和A′B′、AC 和A′C′方向相反，∴∠BAC ＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且AB A′B′＝AO OA′＝23. ∴S △ABCS △A′B′C′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49.变式训练3 证明 (1)连接BD 、B 1D 1. E 、F 分别为AD 、AB 的中点，则在△ABD 中有EF∥BD 且EF ＝12BD.同理，E 1、F 1分别为B 1C 1、C 1D 1的中点，则在△C 1D 1B 1中有E 1F 1∥B 1D 1且E 1F 1＝12B 1D 1.而在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，BB 1DD 1.∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形， ∴BD∥B 1D 1且BD ＝B 1D 1，∴EF E 1F 1. (2)取A 1B 1的中点M ，连接BM ，则BF ＝A 1M ＝12AB ，又BF∥A 1M ，∴BF A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形．∴A 1F∥BM，而M 、F 1分别为A 1B 1、C 1D 1的中点，则F 1M C 1B 1，而C 1B 1BC. ∴F 1M∥BC 且F 1M ＝BC.∴四边形F 1MBC 为平行四边形，∴BM∥F 1C ，又BM∥A 1F ，∴A 1F∥CF 1. 同理取A 1D 1的中点N ，连接DN ，则A 1N DE ，所以四边形A 1NDE 为平行四边形． ∴A 1E∥D N ，又E 1N∥CD 且E 1N ＝CD. ∴E 1NDC 为平行四边形，∴DN∥CE 1. 由基本性质4，A 1E∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行，即A 1E∥CE 1，A 1F∥CF 1且方向都相反． ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1. 课时作业1．B [由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．]2．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB 与O 1B 1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]3．B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D 1PBQ 各边均为 5，又D 1PBQ 是平行四边形，所以四边形D 1PBQ 是菱形．]4．D [当λ＝μ时EH FG ，∴EFGH 为平行四边形，故D 中结论不正确．] 5．D[如右图所示，取BC 中点E ，连接ME ，NE⎭⎪⎬⎪⎫则MN<ME ＋NE而ME ＝12AC ，NE ＝12BD MN<12(AC ＋BD)．] 6．②④ 7．正方形解析 E 、F 、G 、H 分别为所在边的中点，由中位线性质知EF12AC ，GH 12AC ， ∴EF GH.∴四边形EFGH 为平行四边形．又AC ＝BD ，AC⊥BD，∴EF＝FG ，且EF⊥FG. ∴四边形EFGH 为正方形．8．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9．解如图所示，(1)过点P 作EF∥C 1D 1分别交B 1C 1、A 1D 1于点E 、F 即可．因为CD∥C 1D 1，所以EF∥CD.(2)过点P 作GH∥B 1D 1分别交B 1C 1、C 1D 1于点G 、H 即可．因为BD∥B 1D 1，所以GH∥BD. 10．证明在△ABC 中，∵AE AB ＝AFAC ，∴EF∥BC 且EF BC ＝AEAB .同理，EG∥BD 且EG BD ＝AEAB.又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同， ∴∠FEG＝∠CBD.∵EF BC ＝EGBD ，∴△EFG∽△BCD.。

新人教版高中数学必修第二册第8章 8.6.1 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定

8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b垂直，记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形．所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ，所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB 与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD 1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC ⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.[B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

人教B版数学高一必修2教案两条直线的位置关系1.两条直线相交、平行与重合的条件

示范教案整体设计教学分析教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件．值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件．三维目标1．掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力．2．能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用．教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合．当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合．本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题．设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合．那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的一点，则x 0与y 0满足什么条件？(2)已知两条直线的方程为l 1：A 2x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.试判断直线l 1与l 2的交点个数，并确定它们位置关系.(3)归纳两条直线相交、平行与重合的条件.讨论结果：(1)Ax 0＋By 0＋C ＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，①② ①×B 2－②×B 1，得(A 1B 2－A 2B 1)x ＋B 2C 1－B 1C 2＝0.当A 1B 2－A 2B 1≠0时，得x ＝B 1C 2－C 1B 2A 1B 2－A 2B 1；因此，当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解．此时直线l 1与l 2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解．当A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0时，方程组无解．两直线无交点，此时l 1∥l 2.当A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2＝0或A 2C 1－A 1C 2＝0时，方程组有无数组，即此时，两直线l 1与l 2有无数个交点，即l 1与l 2重合．(3)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)． l 1与l 2平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0). l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)；或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0). 提出问题(1)两直线平行，它们的倾斜角和在y 轴上的截距相等吗？(2)当两直线的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等时，这两条直线有什么位置关系？(3)已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，怎样用k 1，k 2，b 1，b 2判定它们平行？(4)怎样用k 1，k 2，b 1，b 2，判定它们重合？讨论结果：(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等．如下图所示；(2)平行；(3)l 1∥l 2 ⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；(4)l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，且b 1＝b 2.应用示例思路1例1已知直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当C 1≠C 2时，l 1与l 2平行．证明：因为AB －BA ＝0，所以l 1与l 2平行或重合．又因为BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)：当B ≠0时，已知C 1≠C 2，所以BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当B ＝0时，由直线方程的定义，知A ≠0，于是两条直线的方程变为x ＝－C 1A ，x ＝－C 2A，这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合．又由于C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D)．变式训练1．过点A(1,2)，且平行于直线2x －3y ＋5＝0的直线方程是______．解析：设所求直线方程为2x －3y ＋m ＝0(m ≠5)，则2×1－3×2＋m ＝0，解得m ＝4，即所求直线方程为2x －3y ＋4＝0.答案：2x －3y ＋4＝02．求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是56的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠5)．当x ＝0时，y ＝－m 3；当y ＝0时，x ＝－m 2. 则－m 3－m 2＝56，解得m ＝－1. 即直线l 的方程为2x ＋3y －1＝0.3．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1； (2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0.解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b. 由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52.因此所求方程为y ＝12x ＋52，即x －2y ＋5＝0.(2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10.因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.思路2例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由．(1)l 1：y ＝3x ＋2，l 2：y ＝3x ＋5；(2)l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝3x ；(3)l 1：x ＝5，l 2：x ＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，在y 轴上截距分别是b 1，b 2，则k 1＝3，b 1＝2，k 2＝3，b 2＝5.因为k 1＝k 2，b 1≠b 2，所以l 1∥l 2.(2)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，在y 轴上截距分别是b 1，b 2，则k 1＝2，k 2＝3，b 1＝1，b 2＝0.因为k 1≠k 2，所以l 1与l 2不平行．(3)由方程可知l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，且两直线在x 轴上截距不相等，所以l 1∥l 2.点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线x ＝a 与直线x ＝b(a ≠b)平行．变式训练1．直线l 1过A(m,1)，B(－1，m)，直线l 2过点P(1,2)，Q(－5,0)，且l 1∥l 2，则m ＝______.解析：k 1＝1－m m ＋1，k 2＝2－01＋5＝13，由于l 1∥l 2，则1－m m ＋1＝13，解得m ＝12. 答案：122．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，直线l 2：kx －2y ＋3＝0，且l 1∥l 2，则k ＝______.答案：－2例3已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析．而对于l 1与l 2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交．当m ≠0时，l 1：y ＝－1m x －6m ，l 2：y ＝－m －23x －32m. (1)若l 1∥l 2，则⎩⎨⎧－1m ＝－m －23－6m ≠－32m ，解得m ＝－1.(2)若l 1与l 2重合，则m －21＝3m ＝2m 6，解得m ＝3. 故m ＝－1时l 1∥l 2；m ＝3时l 1与l 2重合．(3)由l 1的方程得x ＝－my －6，代入l 2的方程得(m －2)(－my －6)＋3y ＋2m ＝0，即(m 2－2m －3)y ＝12－4m ，显然，m 2－2m －3＝0时无解，只有当m 2－2m －3≠0，即m ≠－1且m ≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m ≠－1且m ≠3时两直线相交．点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力．变式训练设三条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：kx －2y ＋3＝0，l 3：x －(k ＋1)y －5＝0.若这三条直线交于一点，求k 的值．解：解由l 1、l 2的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，kx －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12＋k ，y ＝3＋k 2＋k ，所以l 1与l 2的交点是P(－12＋k ，3＋k 2＋k)．又因为l 1、l 2、l 3交于一点，即P 点坐标满足直线l 3的方程，－12＋k －(k ＋1)3＋k 2＋k－5＝0. 解得k ＝－7或－2(舍去)．所以k ＝－7.知能训练1．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2则(1)a ＝__________时，α1＝150°；(2)a ＝__________时，l 2⊥x 轴；(3)a ＝__________时，l 1∥l 2；(4)a ＝__________时，l 1、l 2重合．答案：(1)3 (2)2 (3)3 (4)－12．求下列两条直线的交点：l 1：x ＋2y ＋1＝0，l 2：－x ＋2y ＋2＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－34.所以这两条直线的交点是M(12，－34)． 3．已知平行四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．分析：先作图猜想，然后给出证明．由斜率相等得两组直线分别平行，四边形ABCD 是平行四边形．证明：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12， CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12， BC 边所在直线的斜率k BC ＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝32. 因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA.因此，四边形ABCD 是平行四边形．4．判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点．(1)l 1：7x ＋2y －1＝0，l 2：14x ＋4y －2＝0.(2)l 1：(3－2)x ＋y ＝7，l 2：x ＋(3＋2)y －6＝0.(3)l 1：3x ＋5y －1＝0，l 2：4x ＋3y ＝5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标为(2，－1)．5．求过点A(0，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程．解法一：∵直线2x ＋3y ＋5＝0的斜率为－23，∴所求直线斜率为－23. 又直线过点A(0，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，∵l 经过点A(0，－4)，∴2×0＋3×(－4)＋m ＝0，解之，得m ＝12.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.拓展提升请你探究一下三条直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋a ＝0，l 3：ax ＋y ＋1＝0构成三角形的条件是什么？方法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1.又三条直线不交于同一点，故其中两条直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在直线ax ＋y ＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2，a ≠1.综合上述结果，以上三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.方法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．可以把不能构成三角形的情况排除掉．若三条直线交于同一点，则其中两条直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有－1a ＝－1，a ＝1；若l 2∥l 3，则有－1＝－a ，a ＝1；若l 1∥l 3，则有－1a＝－a ，a ＝±1.所以若三条直线构成三角形，则需a ≠±1，a ≠－2.课堂小结本节课学习了：1．两条直线平行、相交与重合的条件；2．求两直线交点坐标，解决有关平行问题．作业本节练习B 1,2题．设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中A 、B 、C 就表示了直线的本质属性．还要注重研究方法的探讨，为将学习圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础．备课资料著名数学家陈省身(公元1911年～2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖．菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家．到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一．他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家．陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位．同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师E·嘉当.1937～1943年，任清华大学和西南联合大学教授.1943～1946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员．在微分几何中高斯－波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.1946～1948年筹建中央数学研究所并任代理所长.1949～1960年，任美国芝加哥大学教授，1960～1979年任加州大学伯克利分校教授，1981～1984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长．他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士．他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉．陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权．他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地．努力推进中国科学家与美国及其他各国的学术交流，促成国际数学家大会在北京召开，并被推选为大会名誉主席．他殚精竭虑地为把中国建成数学大国、科技强国贡献力量，多次受到邓小平、江泽民等党和国家领导人接见，高度称赞他对中国数学科学发展所作的杰出贡献．除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等．。

2020年高中数学第一章立体几何初步平行直线直线与平面平行课时跟踪检测新人教B版必修2

第一课时平行直线、直线与平面平行课时跟踪检测 [A 组基础过关]1．下列结论中正确的是( )A ．如果两个角相等，那么这两个角的两边分别平行B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线相交D ．空间四边形的两条对角线不相交答案：D2．下列命题正确的个数是( )①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一直线的任何平面平行；③平行于同一平面的两条直线互相平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则该线与此平面平行．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①直线和平面平行，它和这个平面内的直线可能平行，可能异面，②可能平行，可能在平面内，③平行、相交、异面都有可能，④平行或相交．故①②③④均不正确．答案：A3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，则下列说法正确的是( )A ．直线EF 与AC 异面B ．直线EF 与AC 相交 C ．EF ═∥12AC D ．EF ═∥AC 解析：连接A 1C 1，A 1C 1∥EF ，又AC ∥A 1C 1， ∴EF ∥AC .又EF ＝12A 1C 1，∴EF ═∥12AC ，故选C ．答案：C4．连接空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，若M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则( )A ．MN ∥BDB ．MN ∥AC C ．MN 和BD 不平行 D ．直线BM 与DN 不相交解析：如图，连接AM 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，同理连接AN 并延长AN 交CD 的中点F .连接EF ，则EF 为△CBD 的中位线，∴EF ∥BD .又M 、N 分别为△ABC 、△ACD的重心，则AM AE ＝AN AF ＝23.∴MN ∥EF .由公理4知MN ∥BD .故选A ．答案：A5．对于直线m ，n 和平面α，以下结论正确的是( ) A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α B ．如果m ⊂α，n 与α相交，那么m ，n 是异面直线 C ．如果m ⊂α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n D ．如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 答案：C6．下列命题正确的有________．①若直线l 上有一个点在平面α内，则直线l 与平面α不可能平行； ②若直线l ∥平面α，则l 与α内的无数条直线平行； ③两条平行线中的一条与直线l 垂直，则另一条也与l 垂直； ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．答案：①②③7．如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是________．解析：∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1ED，A1B1⊂平面A1B1ED.∴AB∥平面A1B1ED，又平面ABC∩平面A1B1ED＝DE，∴AB∥DE.答案：平行8.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.证明：连接B1C交BC1于O点，则O为B1C的中点，连接EO，在△AB1C中，EO为△AB1C的中位线，∴AB1∥EO.又∵AB1⊄平面BEC1，EO⊂平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1.[B组技能提升]1.P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由O为BD的中点，M为PB的中点，∴OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴OM∥平面PCD，OM∥平面PAD，故选B．答案：B2.如图所示，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：∵EH∥A1D1，又A1D1∥BC，∴EH∥BC，EH⊂平面EFGH，BC⊄平面EFGH，∴BC∥平面EFGH.又平面BCGF∩平面EFGH＝FG，∴BC∥FG，∴FG∥EH，A正确，易知B正确．Ω是一个五棱柱或四棱柱，∴C正确，D不正确，故选D．答案：D3．在空间四边形ABCD中，各边及对角线长均为2，E是AB的中点，过CE且平行于AD 的平面交BD于F，则△CEF的面积为________．解析：如图，取BD的中点F，则AD∥平面CEF.∵AD ＝2，∴EF ＝1.又∵△BCD ，△ABC 均为正三角形， ∴CE ＝CF ＝3，取EF 的中点M ，连接CM ， ∴CM ⊥EF ， ∴CM ＝EC 2－EM 2＝3－14＝112， ∴S △CEF ＝12EF ·CM ＝12×1×112＝114.答案：1144．以下结论中，正确的结论序号为________． ①过平面α外一点P ，有且仅有一条直线与α平行； ②过直线l 外一点P ，有且只有一条直线与l 平行； ③过直线l 外一点P ，有且只有一个平面与l 平行；④与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行； ⑤l ∥α，A ∈α，过A 与l 平行的直线l 1必在α内．答案：②⑤5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别是A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：如图所示，过M 点作MP ∥A 1B 1交BB 1于点P ，过N 点作NQ ∥AB 交BC 于Q ，连接PQ .∵MP ∥A 1B 1，A 1M ＝23a ＝13A 1B, ∴MP ＝23A 1B 1.又∵NQ ∥AB ，AN ＝23a ＝13AC ， ∴NQ ＝23AB .又∵AB ═∥A 1B 1，∴MP ═∥NQ . ∴四边形MPQN 是平行四边形． ∴MN ∥PQ .∵PQ ⊂平面B 1BCC 1，MN ⊄平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .(2)由(1)，知MP ∥A 1B 1，A 1M ＝13A 1B .∴BP ＝23BB 1＝23a ，同理，BQ ＝13BC ＝13a .∴在Rt△PBQ 中，PQ ＝BP 2＋BQ 2＝49a 2＋19a 2＝53a ，而由(1)知MN ＝PQ ，即MN ＝53a .6.四边形ABCD 是正方形，S 为四边形ABCD 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ＝SD ，P 是SC 上的点，M ，N 分别是SB 、SD 上的点，且SP ∶PC ＝1∶2，SM ∶MB ＝SN ∶ND ＝2∶1.求证：SA ∥平面PMN .证明：由SM ∶MB ＝SN ∶ND ＝2∶1，可知MN ∥BD . 连接AC 与BD ，交于O ，连接SO ，交MN 于E ，∴SE EO ＝SN ND ＝21，连接PE ，取SC 的中点H ，连接OH ， ∵SP ∶PC ＝1∶2， ∴SP ∶PH ＝2∶1， ∴SE EO ＝SP PH，∴PE∥OH，又OH为△SAC的中位线，∴OH∥SA，∴PE∥SA，SA⊄平面PMN，EP⊂平面PMN，∴SA∥平面PMN.。

【新人教版】数学必修二第八章 8.5.1直线与直线平行

【新人教版】数学必修二第八单元8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行学习目标 1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.知识点一基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性知识点二空间等角定理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答案不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.(√)2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.(×)3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.(√)4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(√)一、基本事实4的应用例1(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.证明∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四边形EBB′E′是平行四边形，∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.证明如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.反思感悟基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练1 如图，在三棱锥P －ABC 中，G ，H 分别为PB ，PC 的中点，M ，N 分别为△P AB ，△P AC 的重心，且△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，求证：GH ∥MN .证明如图，取P A 的中点Q ，连接BQ ，CQ ，则M ，N 分别在BQ ，CQ 上.∵M ，N 分别为△P AB ，△P AC 的重心，∴QM MB ＝QN CN ＝12，则MN ∥BC .又G ，H 分别为PB ，PC 的中点，∴GH ∥BC ，∴GH ∥MN .二、等角定理的应用例2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证：∠BGC＝∠FD1E.证明因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E，GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.反思感悟等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明(1)如图，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，且MN＝12AC.由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案 D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有()A.∠BAC＝∠B′A′C′B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°答案 C解析由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A.矩形B.正方形C.菱形D.空间四边形答案 C解析利用E，F，G，H分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.4.两等角的一组对应边平行，则()A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对答案 D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1.知识清单：(1)基本事实4的应用.(2)等角定理的应用.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.1.空间两条互相平行的直线指的是()A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线答案 D2.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面答案 D3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O 和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条B.4条C.5条D.6条答案 B解析EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.4.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交答案 B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案 B解析假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)，c与b可能相交或异面.6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________. 答案0条或1条解析以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l 平行.7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.答案矩形解析如图所示.∵点M，N ，P ，Q 分别是四条边的中点，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，∴MN ∥PQ ，且MN ＝PQ ，∴四边形MNPQ 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，NP ∥BD ，∴PQ ⊥NP ，∴四边形MNPQ 是矩形.8.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O＝23，则S △ABC S △A ′B ′C ′＝________.答案4 9解析如图，AOA′O＝BOB′O＝COC′O＝23，可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABCS△A′B′C′＝49.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.解如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC. 10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝12(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. ∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝12(AB＋C′D′)＝12(AB＋CD)，∴GH∥EF且GH＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形.11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面均可能答案 D12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.13.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线答案CD解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN 也是异面直线，故AB错误；CD正确.14.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若AEAB＝AHAD＝12，CFCB＝CGCD＝13，则四边形EFGH的形状为________. 答案梯形解析如图，在△ABD中，∵AEAB＝AHAD＝12，∴EH ∥BD 且EH ＝12BD .在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝13，∴FG ∥BD 且FG ＝13BD ，∴EH ∥FG 且EH >FG ，∴四边形EFGH 为梯形.15.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A.MN ≥12(AC ＋BD )B.MN ≤12(AC ＋BD )C.MN ＝12(AC ＋BD )D.MN <12(AC ＋BD )答案 D 解析如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD ).在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD ).16.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .(1)证明 ∵AE ∶EB ＝AH ∶HD ，∴EH ∥BD .又∵CF ∶FB ＝CG ∶GD ，∴FG ∥DB .∴EH ∥FG .∴E ，F ，G ，H 四点共面.(2)解当且仅当EH ∥FG 且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.∵EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，∴EH ＝m m ＋1BD . 同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，∴EF ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，EH ∥BD ，∴∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形， ∴EG ＝FH .。