2020高二数学人教A必修5练习：2.5 等比数列的前n项和(二) Word版含解析

§2.5 等比数列的前n 项和(二

)

一、选择题

1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )

A ．33

B ．72

C ．84

D ．189

答案 C

解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.

2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )

A ．1.14a

B ．1.15a

C ．10a (1.15－1)

D ．11a (1.15－1) 答案 D

解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．

3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )

A.158或5

B.3116或5

C.3116

D.158

答案 C

解析 若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，

则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.

由9S 3＝S 6得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 6

1－q

， 解得q ＝2.

故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，

1a n ＝(12

)n －1. 所以数列{1a n }是以1为首项，12

为公比的等比数列，其前5项和为 S 5＝1×[1－125]1－12

＝3116. 4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )

A ．300米

B ．299米

C ．199米

D ．166米

答案 A

解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭

⎪⎫128＝2993964≈300(米)．

5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )

A ．90

B ．70

C ．40

D ．30

答案 C

解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，

由⎩⎨⎧

S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎨⎧ S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q 101－q ＝10a 11－q 301－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝a 11－q 20

1－q

＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.

6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )

A.a 1＋γ1＋γ5－1万元

B.a γ1＋γ5

1＋γ5－1

万元 C.a γ1＋γ51＋γ4－1万元 D.a γ1＋γ5万元

答案 B

解析 设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，

∴x ＝a γ1＋γ5

1＋γ5－1

. 二、填空题

7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．

答案 13

解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．

∴a 2＝3a 3，

∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13

. 8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝

________________________________________________________________________. 答案 63

解析 方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，

由已知得⎩

⎪⎨⎪⎧ a 11－q 41－q ＝48 ①a 11－q 81－q ＝60 ②

由②÷①得

1＋q 4＝54，∴q 4＝14

③ 将③代入①得a 1

1－q ＝64， ∴S 12＝a 11－q 121－q ＝64(1－14

3)＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，

所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，

所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，

所以S 3n ＝S 2n －S n 2

S n

＋S 2n ， 所以S 12＝S 8－S 42S 4＋S 8＝60－482

48

＋60＝63. 9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．

答案 729

解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．

10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________． 答案 (1＋q )12－1

解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.

则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，

第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，

∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1

－1＝(1＋q )12－1. 三、解答题

11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；

(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)

参考数据：0.910≈0.35.

解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．

(2)10年的出口总量S 10＝a 1－0.910

1－0.9

＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，

即a ≤81－0.910

，∴a ≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨．

12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？