高二数学两个计数原理

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高二数学两个基本原理

分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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；
，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月，大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春，以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章先帝休烈，协宁百姓，承天顺地，调序四时，获蒙嘉瑞，赐兹祉福，夙夜兢兢，靡有骄色，内省匪解，永惟罔极。《书》不云乎

高二数学两个基本计数原理及排列组合

第一讲一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及的不同方法的种数，它们的区别在于：分类计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？反思：在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理？课堂练习：1、高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？*2、从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?6、用4种不同颜色给下图示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？解：（1）（2）（4）（3）二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.（3）排列数公式：（4）全排列：n个不同元素全部取出的一个，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m=n时，即有；规定 .2.组合(1)组合的定义：(2)组合与排列的区别与联系共同点。

3.2-两个计数原理

4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类：第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)；第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)；第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)；则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
例2：用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：
第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种不同的选取方法；
第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；

高二培优特训：两个计数原理

培优特训：分类加法原理与分步乘法原理知识锦囊1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．4.使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.5.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．考点一、分类加法原理1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种2．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如11，242，5225都是回文数，则用0，1，2，3，4，5这些数字构成的所有三位数的回文数中能被3整除的个数是（）A．8B．10C．11D．13A．5B．8CB=，在6．已知集合{2,4,6,8,10}A=，{1,3,5,7,9}则其中m n>的数对有多少个考点二、分步乘法原理1．甲、乙分别从4门不同课程中选修1门，且2考点三、两个计数原理的综合应用．12号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、6．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了通”它把火锅分为三个层次，一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；A．108B．考点四、涂色问题A．72B．962．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法3．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有4．西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有4．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A．1050种B．1260种C．1302种D．1512种。

高二数学两个基本计数原理PPT优秀课件

2021/02/25
11
A.45个 B 55个 C 78个 D 91个
例4、如图从A到B，使路程最短的不同走法有多少种？
A
B
变式:
西北
如右图：从城市的西
北到东南角有多少种
不同走法？（沿最短
路径）
东南
反馈练习：
• 1。十字路口来往的车辆： • （1）若不允许车辆回头，共有多少种不同的行车路线？ • （2）若允许车辆回头，共有多少种不同的行车路线？
数学应用:
• 例1
AB (1) 满足集合
{a,b},的集合A,B共有多少组?
(2)已知 A{ab,}A, B{ab,,c}, 则满足条件B可的能集是合？
例2、用4种不同颜色给地图上色，要求相邻的两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？1324
变式1:如果按①②④③的次序填涂,怎样解决这个问题? 变式2:试着另外改变次序填涂,怎样解决这个问题?你能发现解决问题有何规律?
• 2。已知A={1，2，3} • （1）由A A可以组成多少个不同的映射？ • (2) 若A A的映射中，元素2不能对应2，这样的映射有多少
个？
• 思考：你能推广（1）到更一般的结论吗？
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• 练习、用五种不同的颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,
(1)共有多少种不同的涂色方法?
(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?
例3
已知集A合{x| xZ,-2x10}, m,nA方程x2 y2 1,表示焦点在

高二数学两个基本计数原理

课Hale Waihona Puke 小结课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类” 时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事.
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您切勿让朕失望,得胜归来,朕另有封赏/"川布听咯更是大喜,豪然回道:"请皇上放心,末将定直捣襄阳,生擒东舌小儿/"董卓与木儒相望壹眼,眼中尽是欣喜,想否到汤广否仅将兵权交给咯川布,更是派来叁员彪将相助,如此壹来,何事否成？宇文成都满脸否解,明明是自己占咯上风,却为何要把兵权交给川布,便上前问道:"皇上,成都为何否能统兵而要将兵权交给他？"汤广将视线抛到宇文成都の身上,捋咯捋须髯,若有所思地回答:"天宝将军,您是朕大隋の顶梁柱,您必须留守洛阳,方才可以保朕皇都无忧.""成都明白咯."宇文成都虽然心里否服,但是皇命在前,也就只能硬生生地回应壹句, 转身退下.宇文化及却阴沉着那长老脸,壹言否发,突然眼神中闪过壹丝异色,走到汤广面前开口说."皇上,臣有壹人想要举荐,可随大军壹起出征,此人有万夫否当之勇."汤广壹脸好奇地问道:"丞相所言何人？""光禄大夫裴仁基之第叁子,裴元庆."O(∩_∩)O)壹百五十九部分裴元庆力举千斤鼎封神之战,终于落下咯帷幕.汤广脑江中思绪翻滚如潮,壹脸否解地问道:"裴仁基此人真倒是有所耳闻,便是那之前加封の光禄大夫,否过那裴元庆是什么人物？"宇文化及目露异色,清咯清嗓子,旋即回道:&#

计数原理

第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。

分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。

二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。

两个基本计数原理

两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。

它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。

以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。

一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。

具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。

加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。

例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。

例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。

那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。

具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。

乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。

例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。

例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。

加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。

两个计数的基本原理

两个计数的基本原理知识点和方法述要1．两个基本原理在计数过程中，乘法原理和加法原理是两个所依据的最基本的原理．(1)乘法原理做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事的所有方法有12n N m m m种．运用乘法原理，关键在于把完成一件事的全过程作多重选取的过程处理，分成若干阶段，每一阶段都是从相应的一个集合中挑选一个元素，考虑其可能有的不同方式数．(2)加法原理做一件事，完成它可以有几类方法，在第一类方法中有m 1种不同方法，在第二类方法中有m 2种不同的方法……在第n 类方法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有方法12n N m m m =+++种．如果把一个集合分成若干个子集A 1，A 2，…，A n ，使得 (i ) ()1ij A A i j n =∅≤≠≤ ， (ii ) ()11,2,,ni A i n ===，那么这些子集A 1，A 2，…，A n 叫做A 的一个分划，也就是说，它们的并集为A ，两两交集为空集，满足上述两条性质的子集A 1，A 2，A 3，…，A n ，加法原理表现为12n A A A A =+++ ，这里i A 表示集合A i 所包含的元素个数．上述用集合的观点表示的加法原理，更突出地表明：运用加法原理计数，同级分类必须依据统一的分类标准，不能重复或遗漏．2．穷举法（枚举法）计数中，穷举法（枚举法）是一种最原始最基本的方法，所谓穷举法，即通过对所有情形的一一列举而导致结论的方法，若所计数目不大时，使用这种方法常可见效．3．容斥原理对于任一集合X ，记X 为集合X 的元素数，则(ⅰ)如图2-1所示，121212A A A A A A =+-. (ⅱ)如图2-2所示，123123A A A A A A =++- ()122313123A A A A A A A A A +++ .(ⅲ) 一般地，当m ≥2，()11211m j i j k m i A A A A A A A +≤<<≤+-+-∑j k m容斥原理是加法原理的推广．如果诸项A 1，A 2，…，A m 两两不交，容斥原理即为加法原理．它与加法原理的区别在于后者要求将被计数的集合A 分为子集A 1，A 2，…，A m 时须保证两两不交，即进行分划，而前者可不受此限制．4．N 阶乘积规定 ()()1221n n n n !=-- ． (iv )根据加法原理，对于全集I ，当A I ⊆ 时，I A A =+ ，1211m i i i m i j m A A A A A ≤≤≤<≤=-∑∑即 A I A =- ．由此马上可以得到，当12m A A A I ⊆ 时 1211n m i i j i i j m A A A I A A A =≤<≤=-+∑∑ ()1211m i j k m i j k m A A A A A A ≤<<≤-++-∑ 上述等式我们称为逐步淘汰原理．例题精讲例1 如果直角三角形的边长可表示为22m n + ，22m n - ，2mn ()1,,m n m n N >≥∈ ，边长均小于100，问这样的直角三角形有多少种不同情形？分析依题设，知22100m n +< ．所以9m ≤，注意到m n > ，穷举如下：当2m = 时，1n = ；当3m = 时，1,2n = ；当4m = 时，1,2,3n = ；当5m = 时，1,2,3,4n = ；当6m = 时，1,2,3,4,5n = ；当7m = 时，1,2,3,4,5,6n =；当8m = 时，1,2,3,4,5,6,7n = ；当9m = 时，1,2,3,4,5,6,7,8n = ．直角三角形具体组成情况如下表所示，共有不同的直角三角形1+2+3+4+5+6+5+4＝30（种）．例2 已知{}12,,,n A a a a = ，求集合的子集数．分析就单元素集{}a 而言，它的子集有∅，{}a 两个；若集合为{}12,a a ，那么它的子集有∅，{}1a ，{}2a ，{}12,a a 等四个；若集合为{}123,,a a a ，那么它的子集有∅，{}1a ，{}2a ，{}3a ，{}12,a a ，{}23,a a ，{}13,a a ，{}123,,a a a 等八个．由于每个子集的构成取决于元素1a ，2a ，，3a 是属于还是不属于该集合，根据乘法原理，可知集合A 有子集2n 个，其中包括∅及自身．例3 有壹元人民币3张，伍元人民币2张，拾元人民币4张，伍拾元人民币1张，从中至少取一张，多不限，共可取得多少种不同币值？分析注意到取2张伍元的人民币与1张拾元人民币币值相同，不能算作两种不同取法，为避免重复，将4张拾元人民币和2张伍元人民币的“换成”10张伍元人民币，二者所起的作用是一样的，同样一张伍拾元人民币、2张伍元人民币、4张拾元人民币可“换成”20张伍元人民币，于是问题等价于：有一元人民币3张，伍元人民币10张，至少取一张，多不限，可取得多少种不同币值？把取币的过程看作二重选取过程，从3张壹元人民币中取有0，1，2，3张4种不同情形，从20张伍元人民币中取有0，1，2，…20张21种不同情形，根据乘法原理，有4×21＝84种不同币值．但必须除去壹元、伍元均没有取的情形，故可取得83种不同币值．在计数过程中常常将乘法原理和加法原理结合使用．例4 如图2-3所示的棋盘格形的街道上，若阴影部分内暂时不能通过，问从A到B的最短路线有多少种？分析如图2-4，可将从A到B（不经过阴影部分）最短路线分为三类不同情形．(ⅰ)从A经过P到B．路线是惟一的．（ⅱ）从A经过Q到B．由于从A到Q有8种不同路线，而从Q到B又有8种不同路线，根据乘法原理，从A 经过Q到B的最短路线有8×8＝64(种)．(ⅰ)从A经过R到B．此类路线又可分为两种情形：(ⅱ)从A经R再经N到B，路线是惟一的；(ⅲ)从A经R再经M到B，其中从A到R路线是惟一的，从R到M有2种不同路线，而从M到B又有8种不同路线，根据乘法原理，此类路线有1×2×8＝16(种)．于是从A经R再经M或N列B的路线有17种．根据加法原理，所求路线共有1+64+17＝82(种)．例5 有多少个能被3整除而又含数字6的五位数？分析五位数中含有数字6的情况比较复杂，可以含有一个6，二个6……乃至五个6．这些6还可以出现在各个不同的数位上，故正面分类繁难．不妨从反面去想一想，情形就简单多了，只有不含有数字6一类，只须从被3整除的所有五位数中减去其中不含数字6的数即可求解．从10000到99999这90000个五位数中，能被3整除的五位数有30000个．再看上述30000个数中不含数字6的数．首先最高位数字有1，2，3，4，5，7，8，9等8种不同情形，而千位、百位、十位上不能为6，均有9种不同情形，个位上除了不能为6外，还应保证整个五位数被3整除，换句话说，当前四位数字之和为3除余数为2时，个位数应为1，4，7中一个，当前四位数字之和被3除余数为1时，个位数字可为2，5，8之一，而当余数为0时，个位数可为0，3，9中一个，总而言之，无论前四位数字如何，个位数字都有3种可能情形，根据乘法原理，能被3整除且不含数字6的五位数有8×9×9×9×3＝17496(个)．因此，所求五位数有30000－17496＝12504(个).避繁就简，通过从总数中淘汰掉易于计数的不符合要求的情形是计数中常采用的手段．例6 某工厂生产一批玩具，要预先制作一批圆环形底板，这些底板上均匀分布有12个半球形凹洞．其中3个为红色，9个是白色，如图2-5所示，若两个洞可以球心对球心，红色对红色，白色对白色叠放在一起，我们说它属于同一规格，问：该工厂生产的这类玩具底板一共可以有多少种不同的规格？分析如图2-5，先假定12个洞都为白色，再将其中三个涂成红色，并通过旋转将A处的球保证为红色，由A开始顺时针方向标数，A处的数标0，其他的洞顺序标为1，2，…，10，11.三红洞所在位臵标的数记为{}0,,i j，0i j<<．显然，i可以取值2，3，4，…，11．当j＝2时，i只能取值1，只有一种取法；当j＝3时，i只能取值1，2，共2种；当j＝4时，i可以取值1，2，3，共3种……当j＝11时，i可以取值1，2，…，10，共10种取法，因此，为保证位于A处的洞是红色的，共有+++=121055种涂法．由于三红洞没有特殊性，经旋转后，另二红洞也可以位于A处，而属于同一类的涂法，都可以由同一类中选定的一种涂法经旋转而得到．首先，若经旋转后，不产生新的涂法，则三红洞的位臵必是(0，4，8) ．其次，若经旋转后将第二个红洞转到A处，产生新的涂法，那么将第三个红洞转到A时必产生第三种涂法，否则就是(0，4，8).由于只有三个红洞，对于这一选定的涂法，经旋转只能产生三种涂法，因此55种涂法除(0，4，8)外，还有54种，其中任一种都与某二种属于同一类，所以有不同规格的玩具底板54119+=（种）．3例7 某州颁布由6个数字组成的车牌号码（由0-9的数字组成），该州规定任何两个牌号至少有两个数字不同（因此证号．试决定车牌证号最多有多少个？给出证明．解由5个数字组成的不同号码有105种，对每个5位x x x x x，再在后面添加第6个数字X6，其规则是：数号码12345X6为X1，X2，X3，X4，X5的和的个位数字．a a a a a a，对于任何这样构造出来的两个不同数：123456b b b b b b .至少有一个数位1≤j≤5，使得a j≠b j．若另有123456一个数位上两数字不同，则保证了这两个数至少有两个数字不同．否则仅有一个数位上数字不同，a6≠b6，同样至少有两个数字不同．于是任何两个按上面作法构造的六位数至少有两个数字不同且共有105个．若有大于105个牌号，则至少有两个牌号的前5位相同，因而它们至多一个数字不同，故车牌证号至多105个．例8 在一个圆上依次排列着a1，a2，…，a15共15个不同的点，如图2-6所示．从中取出k个点作出k-组合．如果在这k个点的任何两点所夹的短弧内部都不是恰好包含两个a i （这就是说，如果a 1属于k-组合，则a 4和a 13都不属于它），则称它为“合格k-组合”，对于k ＝1，2，…，15，以f(k)表示所有的合格k-组合的个数，试求()151k f k =∑ ．分析 1-组合显然有15个，再看2-组合，直接从a 1，a 2，…，a 15出发去完成2-组合，不是一件容易事，能否另觅蹊径？注意到题设要求，从反面考察．如图2-7，先从a 1出发，将恰好包含两个a i 的点取出来，放在一个圆周上，可以看到任何一个k-组合都不可能包含该圆周上相邻两点，这样一来，我们还可以如图2-8所示，再分别作两个圆周，上面各标上数组{}2581114,,,,a a a a a ，{}3691215,,,,a a a a a ，连同图2-7中所标数组{}1471013,,,,a a a a a ，于是任何一个k-组合是合格当且仅当：它不包含任何一个图2-8中所示的圆周上的相邻两点．由于这三个圆上各自能取出的两两不相邻的点数为2，总数不超过6，这说明对于k ≥7，根本不存在合格的k-组合，即对于k ≥7，恒有f （k ）＝0．一个合格的6-组合，必须包含每个圆周上不相邻的两点，而每个圆周上不相邻的两点所成“点对”皆为5个，根据乘法原理可得()3f== .65125每个合格的5-组合，则是在其中一个圆周上取一点，在其余两圆周上各取一个不相邻点所成“点对”．根据乘法原理，3个圆中取1个且在该圆的5个点中取l点有15种取法，而在其余的两圆周不相邻点所成“点对”皆为5个，因此又由乘法原理可得f(5)＝15 ×52＝ 375.所有合格的4-组合可分为两类：一类是取两个圆，每个圆周上取一对不相邻点，这有3 × 52＝ 75(种)不同取法；另一类是其中一个圆周上取一对不相邻点，其余两圆周上各取一点，不同取法有3 ×5 × 52＝ 375.根据加法原理，可得f(4)＝75+375＝450.类似有f(3)＝53+3×2×52＝275，f(2)＝3×52+3×5＝90.综上所述，知()()15611k k f k f k ===∑∑＝125+375+450+275+90+15＝1330．注还可采用以下解法，图2-7，图2-8中，每个圆周上至多出现2-组合，根据乘法原理，有(5+5+1)(5+5+1)(5+5+1)－1＝1330种符合要求的k-组合，这是因为每个圆周上有5个2-组合，5个1—组合，每种符合要求的k-组合都由各个圆周上的2-组合，1-组合构成．例9 某歌舞团有若干演员，他们或能歌，或善舞，或精弹奏，其中能歌的有24人，善舞的有26人，精弹奏的有22人；能歌善舞的有8人，能歌精弹奏的有10人，善舞精弹奏的有11人；又知道三项只会其一的人数与会两项或两项以上的人数相等，求(1)这个歌舞团的演员人数；(2)三项全能的演员人数，解设I ＝｛某歌舞团演员｝，A ＝｛能歌演员｝，B ＝｛善舞演员｝，C=｛精弹奏演员｝，依题意有I A B C = ． I A B C A B B C C A A B C=++---+， 122I A B B C C A A B C =++- ，即24262281011(1)1810112(2)2I A B C I A B C ⎧=++---+ ⎪ ⎨=++- ⎪⎩ 设I x =，A B C y =，代人（1），（2）可得43,458.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得x ＝46，y ＝3．所以，这个歌舞团演员人数为46，其中三项全能的演员人数为3．练习题一、选择题1．从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车方法种数是 ( ）．(A )12 (B )19 (C )32 (D )602．某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字不为零），则该城市可增加的电话门数是 ( )．(A)81×105 (B)9×l06 (C)8×96(D)591102⨯ 3．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么不同涂色方法的种数是 ( )．(A)120 (B)135 (C)180 (D)2404．分正方形的每边4等分，取分点为顶点可以作出三角形个数是 ( )．(A)104(B)108(C)214(D)2165．同室四人各写一张贺卡，先集中起来然后每人从中拿一张别人写的贺卡，则四张贺卡不同的分配种数为( )．(A)6 (B)9(C)ll(D)23二、填空题6．将3封信投入4个不同的信筒，有____种不同的投法；4名学生从3个不同的楼梯下楼，有____种不同的下法．7．三边均为整数，且最长边为11的三角形有____个．8．在立方体的展开图里，不同形状（即不能重合）的图有____个．9．有2n个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，不同的结对方式有____种．10.比10000小的正整数中含有数字1的数有____个．11. 一个国王的25位骑士围坐在他们的圆桌旁，他们中间的三位被派去杀一条恶龙，则被挑到的三位骑士中至少有两位是邻座的挑选方法有____种．三、解答题12.用数字1，2写十位数，至少有连续5位都是1，这样的十位数有多少个？13．(1)长度为k 的由0，l 组成的串的个数是多少？（要求每串至少有一个1）(2)有多少种方式可以同时产生n 个这样的串，其中串可以相同也可以不同，但每串至少有一个1．(3)S 是一个具n 个元素的集合，选取S 的k 个子集（每个子集中的元素不限），把这些子集顺序地记作B 1，B 2，…，B k ，对S 的每个元素建立一个0，1串，如果该元素属于B j ，则对应串中第j 项为1，否则为0（这相当于每个子集B 1，B 2，…，B n 都具有一个长度为n 的0，1串）．如果我们要求S 的每一个元素至少属于一个子集，则每串中至少有一个1，那么有多少种方法可选取这样k 个有序子集，而这些子集的并集等于S ．14.令S 为一个有6个元素的集合，问有多少种不同的分法可以把S 分成两个不一定不同的子集，使得这两个子集的并集恰好是S ?选取的顺序是无关的（即不导致两种不同的选法，如{}a c ，，{}b c d e f ，，，，与{}b c d e f ，，，，，{}a c ，算一种选法．）15.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上，有一动点P 由顶点A 出发按下列规则向C l 移动：(1)点P 只能沿着正方形木块的棱线或表面对角线移动；(2)点P每变化一个位臵，都使动线段PC1缩短．动点P共有多少种不同的运行路线？。

两个计数原理优秀课件

02
排列问题
排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列的问题。排列数表示为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)。
组合问题
组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序的问题。组合数表示为C(n,m)，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
练习题2
一个骰子有6个面，分别标有数字1-6，求掷出偶数点的概率？
解析2
在解决概率问题时，需要先明确问题的条件和要求，然后根据概率的基本概念和公式进行计算。
概率计算练习题及解析
总结词
练习题3
解析1
解析2
练习题2
练习题1
掌握决策的基本原则和方法
一个公司有5个项目需要投资，每个项目的投资额和收益率都不同，如何分配资金才能使得总收益率最大？
01
02
03
04
两个计数原理的发展趋势与展望
THANKS.
排列组合练习题及解析
总结词
理解概率的基本概念和计算方法
练习题3
一个硬币有两面，正面和反面，掷一次出现正面的概率为多少？
练习题1
一个袋子中有5个红球和3个蓝球，从中随机取出3个球，求取出红球数的概率？
解析1
概率的计算公式为$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部可能的基本事件数}$。通过这个公式可以计算出不同情况下概率的大小。
分类计数原理定义
分类计数原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在排列组合、概率论、统计学等领域都有涉及。
分类计数原理的应用
例如，从A地到B地有3种交通方式，每种方式都有各自的路线和费用，则从A地到B地的总路线和总费用就是三种交通方式路线和费用的总和。

两个基本计数原理

能种植同一种作物，不同的种植方法共有
种（以数字作答）
42
四、子集问题
规同律子：集n有元个集2 合n。A{a1,a2,...,an}的不
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为
。
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N m 1 m 2 种不同m 的n方法.
最后结果，只须一种方法这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色
两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根

两个基本计数原理

两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。

其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。

第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。

它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。

假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。

例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。

如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。

第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。

它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。

假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。

例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。

如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。

综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。

这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。

通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。

这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。

两个计数原理及排列组合(考点串讲)高二数学下学期期中考点大串讲(人教A版2019选择性必修第三册)

A
4 4
48
种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为4812 36种.
故选：B.
典例剖析【考点题型六】组合数的计算及性质的应用
【例
12】（23-24
高二上·福建宁德·期末）若 C2m2
Cm2 22
，则 C22
C32
C42
C
2 m
的值为（
）
A． 45
B． 55
C ．120
D．165
【答案】D
【详解】因为C2m2
绑插空，且 1，2 都在 5 的左边的概率，
若
1，2
间隔插空或者捆绑插空，共有
C
2 4
C14
10
种排列，
其中满足 1，2 都在 5 的左边的排列，共有C32 C13 6 ，
所以只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为 6 10
3 5
.
故答案为：
3 5
.
典例剖析【考点题型四】特殊元素法
【例 8】（23-24 高三下·江西·开学考试）某班级举办元旦晚会，一共有8 个节目，其中有2
C．252 种
D．268 种【答案】C
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有
A
4 6
360
种方法；
甲在第一天值班有 A35 60 种方法；乙在第四天值班有A35 60 种方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有
A
2 4
12
种方法；
因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天
【答案】276
【详解】分为下列三类情况：
第一类：两人分别坐前后两排，共有2810 160种；

两个计数原理说

解释
分步乘法计数原理是组合数学中的基本原理之一，用于计算完成一件事情的不同方法的数量。它基于将整个过程分解为一系列的步骤，并计算每个步骤的不同方法的数量，然后将这些数量相乘，得到总的不同方法数。
应用场景
排列组合问题
排列组合问题中经常需要使用分步乘法计数原理来计算不同排列
或组合的数量。例如，计算从 $n$个不同元素中取出$k$个元
算法设计
在算法设计中，两个计数原理可以用于优化算法的时间复杂度和空间复杂度。
THAБайду номын сангаасKS
感谢观看
两个计数原理的区别与联系
区别
应用场景不同
两个计数原理的应用场景不同。乘法原理主要应用于多步骤、多因素的问题，而加法原理则更适用于单一事件或步骤的计数问题。
计算方式不同
乘法原理是采用连续相乘的方式，考虑每一步的选择方式数量，然后相乘得出总数。而加法原理则是将各个独立事件的发生概率直接相加。
02
分步乘法计数原理
定义
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情共有$N=m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
的问题，可能需要同时使用这两种原理来解决。
03
共同点
两个计数原理都基于概率的思想，都是用来计算事件发生的可能性。无
论是采用乘法原理还是加法原理，都需要对事件的独立性和互斥性有清
晰的认识。
04
两个计数原理的应用
在组合数学中的应用
排列组合计算

《两个计数原理》课件

概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数。
THANK YOU
感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成一个任务时，需要分成几个有序的步骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比

两个计数原理及其简单应用课件

分步乘法计数原理的应用 [典例] 从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． [解] (1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；
两个计数原理及其简单应用
1．分类加法计数原理
2．分步乘法计数原理
[点睛]
两个原理的区别
区别一区别二
每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是 1,2,3，…，8 中的一个，故共有 8 个；个位是 8，则十位可以是 1,2,3，…，7 中的一个，故共有 7 个；同理，个位是 7 的有 6 个； …… 个位是 2 的有 1 个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5 ＋4＋3＋2＋1＝36(个)． [答案] 36
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
两个计数原理的简单综合应用
[典例] 在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋，现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
[解] 选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的 3 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 2 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．

高二数学两个计数原理

之间，ECB将APU速度设置到A、98%B、99%C、100% 女患，67岁，以"右跟一过性黑矇左侧肢体无力3天，伴头痛、呕吐2次"来诊，既往有高血压史。查体：昏睡，右瞳孔D=1.0mm，左瞳孔D=2.5mm，右颈动脉搏动减弱，左侧面舌下神经核上瘫，左侧肢体偏瘫。最可能的疾病是A.右内囊出血B.脑干出血C.右大脑中动脉主干闭塞D.右颈内动脉闭塞E.椎腹膜炎治疗的目的主要是A.排除脓性渗出物B.使脓液局限吸收C.消除引起腹膜炎的病因D.减轻中毒症状E.解除腹痛下列各书中，不属于综合性百科全书的是。A.《中国大百科全书》B.《不列颠百科全书》C.《中国医学百科全书》D.《中国少年儿童百科全书》具有图式简单，明装时便于安装维修，最高层配水的流出水头较低，埋地管道检修不便特点的给水管网的布置方式是。A.下行上给式B.上行下给式C.复线枝状式D.环状式何谓声速？声速的大小与什么有关？关于产后哺乳错误的一项是()A．产后尽早哺乳有利于促进乳汁分泌B．按需哺乳C．乳腺有硬结者应停止哺乳D．乳房排空有利于乳汁的再分泌E．乳头皲裂严重者应停止直接哺乳目视检查减速器的情况，有无渗油或漏油现象。A、紧固B、运转C、密封D、发热对于升高架的制作应严格遵循《钢结构施工及验收规范》其构件长度＞5m时，其几何尺寸的允许偏差为A.±3mm；B.±5mm；C.±8mm；D.±10mm；功效有某种共性的药物配合应用，辅药能增强主药的疗效。这种配伍关系是。A.相反B.相恶C.相杀D.相畏E.相使 VHF/UHF频段，可以用较小的发射功率获得较好的。 [问答题,案例分析题]赵武编写了书稿《第三帝国揭秘》。2009年1月，赵武与甲出版社签订了图书出版合同。合同中约定：赵武授予甲出版社在全球范围内以图书形式出版《第三帝国揭秘》中文版的专有使用权，为期10年。甲出版社按该书的实际销售量向赵武支付版税，版税率为8%；首次和第二在正常情况下蓝系统的压力由A、2号发动机驱动的液压泵提供压力B、2号发动机驱动的液压泵提供压力C、一个电动泵提供压力信贷业务授权、转授权管理部门是。A.信贷管理部门B.客户部门C.内控合规部门D.财务部门关于阳极制动电路的叙述不正确的是A.减少轴承的磨损B.延长X线管的寿命C.在很短的时间内使转速降到很低D.其原理是曝光结束后给启动绕组提供一个脉动直流电E.缩短了X线管的空转时间 (S1-S2)/(S1+S2)，提示()A．对比度B．图像均匀度C．信噪比D．对比噪声比E．空间分辨力机件的真实大小应以图样上所注的尺寸为依据，与图形的大小及绘图的准确度无关A.正确B.错误患者男，47岁，因“进行性行走不稳、踏棉花感1个月”来诊。有胃大部切除术史。查体：双下肢震动觉、位置觉减退，肌力Ⅳ级。为明确诊断，应进行的检查包括A.血常规、生化检查B.血清叶酸C.血清维生素BD.胃液分析E.脑脊液F.脊髓MRIG.诱发电位存在于宿主血液中的寄生虫抗原为A.功能抗原B.循环抗原C.排泄分泌抗原D.表面抗原E.体抗原失认症左侧忽略患者常将"标"读作A.标B.木C.示D.二E.小椎管内麻醉按注药部位不同可分为三种、、。下列哪一项不是女性尿道炎发病率高于男性的原因A.女性对细菌抵抗力低于男性B.女性尿道短，直而宽，尿道括约肌薄弱C.妇科炎症可直接蔓延导致尿道炎D.尿道口与阴道口和肛门接近E.老年女性常发生尿道肉阜导致尿流不畅在下列结构中，属于牙本质反应性改变的是A.继发性牙本质B.前期牙本质C.透明牙本质D.管周牙本质E.球间牙本质有关展览会特征，以下说法不正确的是。A.信息高度集中B.交易选择空间小C.涉足行业前沿D.通过一定艺术形式展示产品和技术在建设工程施工活动中，施工单位最基本的安全管理制度以及施工单位安全生产的核心和中心环节是()。A.安全生产责任制B.安全责任追究制C.群防群治制度D.安全生产教育培训制度简述国际单位制中基本单位的名称和符号。计量标准就是。A、计量基准；B、计量器具；C、计量标准器具；D、其他。不能用于检测黏附分子的标本是A.血清B.关节液C.脑脊液D.胸腹腔积液E.细胞体外培养后上清液腹股沟处外伤并股神经及股血管暴露，受伤时间已达24小时。清创后伤口宜行。A.一期缝合B.不缝合C.早延期缝合D.晚延期缝合E.以上都不是休克时主要的代谢改变是A.酸中毒，高血钾B.碱中毒、低血钾C.低镁血症、低渗性脱水D.低血钙、低血糖E.成人呼吸窘迫综合征下列有关注册会计师评估被审计单位信息系统的复杂度的说法中，错误的是。A.信息技术环境复杂，意味着信息系统也是复杂的B.评估信息系统的复杂度，需要考虑系统生成的交易数量C.评估信息系统的复杂度，需要考虑系统中进行的复杂计算的数量D.对信息系统复杂度的评估，受被审计单位所一个独立光伏系统，已知系统电压48V，蓄电池的标称电压为12V，那么需串联的蓄电池数量为。A.1B.2C.3D.4 四君子汤的组成药物为A.人参、白术、干姜、炙甘草B.人参、茯苓、干姜、炙甘草C.白术、茯苓、黄芪、炙甘草D.人参、白术、茯苓、炙甘草E.人参、黄芪、白术、茯苓在机械制图中，物体的正投影称为。A.视图B.主视图C.俯视图D.侧视图下列有关赔偿的说法正确的是A、行政机关、司法机关的工作人员是赔偿责任主体B、行政机关、司法机关的工作人员是履行赔偿义务的主体C、行政机关、司法机关的工作人员是原则上侵权主体D、行政机关、司法机关的工作人员是有追偿权

完整版两个计数原理

两个计数原理一两个数原理1.分数原理：做一件事，有n 法，在第 1 法中有m1种不相同的方法，在第 2 法中有m2种不相同的方法，⋯，在第n法中有m n种不相同的方法，那么完成件事共有 N m1 m2 L m n种不相同的方法.例从 3 名女同学和 2 名男同学中 1 人主持本班的某次主班会，不相同的法有种一个学生从 3 本不相同的科技、 4 本不相同的文、 5 本不相同的外中任一本，不相同的法有 ___种.2.分步数原理：完成一件事，需要分成n个步，做第 1 步有m1种不相同的方法，做第 2 步有m2种不相同的方法，⋯，做第n步有m n种不相同的方法 ,那么完成件事共有 N m1 m2 L m n种不相同的方法.例1 一个球里有男 5 人，女 4 人，从中出男、女各一名成混杂双打，共有种不相同的法.例2 一商有 3 个大，商内有 2 个楼梯，客从商外到二楼的走法有 __种.1 从分写有 0,1 ，2 ，3，⋯，9 十数字的卡片中，抽出两，数字和奇数的卡片共有 ___种不相同的抽法。

数字和偶数的卡片共有 ___种不相同的抽法 .2 从1，0，1，2四个数中三个不相同的数作函数 f ( x) ax2 bx c____个.18,6 的系数，可成不相同的二次函数共有___个，其中不相同的偶函数共有3两个原理的综合应用例 1 如图 10-1-2 所示，从 A 地到 B 地有 3 条不相同的道路 ,从 B 地到 C 地有 4条不相同的道路，从 A 地不经 B 地直接到 C 地有 2 条不相同的道路 .(1)从 A 地到 C 地共有多少种不相同的走法？（ 14 ）(2)从 A 地到 C 地再回到 A 地有多少种不相同的走法？（ 196 ）(3)从 A 地到 C 地再回到 A 地，但回来时要走与去时不相同的道路，有多少种走法？（ 182 ）(4)从 A 地到 C 地再回到 A 地，但回来时要走与去时完好不相同的道路，有多少种走法？（ 122 ）例 2 以以下图的街道上，从 A 到 B 不走回头路，则有 _____不相同的走法 .（ 15 ）例 3 某体育彩票规定：从01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元.某人想先选定吉利号18 ，尔后从 01 至 17 中选 3 个连续的号，从19 至 29 中选 2 个连续的号，从30 至 36 中选 1 个号组成一注 .若这个人要把这种要求的号全买下，最少要花_____元钱 .（2100 ）练习 1 如图，从 A C 有种不相同走法．（6）练习 2 在 3000 到 8000 之间有 _____个无重复数字的奇数 .（ 1232 个）分两类；一类是以3 、5、7 为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有3 种方法，再排个位有 4 种方法，最后排中间两个数位有 8×7 种方法，所以共有 3×4 ×8 ×7=672 个 .另一类是首位是 4 或 6 的四位奇数，也能够 3 步完成，共有 2×5×8×7=560个 .由分类计数原理得共有672+560=1232个.练习 3 有一角、二角、五角人民币各一张 ,一元人民币 3 张 ,五元人民币 2 张,一百元人民币 2 张 ,由这些人民币可组成 _____种不相同的非零币值 .（ 287 ）练习 4 用 0，1 ，2，3 ，4，5 能够组成 ___个无重复数字且比2000 大的偶数（120 ）.二涂色问题例1 如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔录采纳，要求在黑板中 A 、B、C、D 每一部分只写一种颜色，以以下图，相邻两块颜色不相同，则不相同颜色的书写方法共有种（ 180 ）BADC例 2 如图，用 4 种不相同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求邻的矩形涂色不相同，则不相同的涂法有（）AA ． 72 种B．48 种C．24 种D．12 种练习 1 以以下图 ,用五种不相同的颜色 ,给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色，每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不相同色，那么不相同涂色的方法种数为_____（.240 ）练习 2 用 5 种不相同的颜色给图中所给出的四个地域涂色，每个地域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的地域不相同色，那么共有___种不相同的涂色方法.（260 ）练习 3 将红、黄、绿、黑四种不相同的颜色涂入如图中的五个地域内，要求相邻的两个地域的颜色都不相同，则不相同的涂色方法有 _____种. （72 ）三模型法（投信法）（ 1）可重复问题例1 有 5 名同学报名参加 4 个课外活动小组，若每人限报 1 个，共有 ____种不相同的报名方法 .例 2 有 5 名同学强抢 4 项竞赛冠军，冠军获得者共有_____种可能 .例 1 将三封信投入 4 个邮箱，不相同的投法有种.例 2 有 3 名同学报名参加 4 个不相同学科的竞赛，每名学生只能参赛一项，问有_____种不相同的报名方案 .例3 有数学、物理、文学 3 个课外活动小组 ,6 个同学报名 ,每人限报一组 ,一共有___种报名的方法 .（ 2）无重复问题例1 把 4 张不相同的参观券分给 5 个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不相同的分法共有 ____种.练习 1 五个工程队承建某个工程的 5 个不相同的子项目，每个工程队承建 1 项，其中甲工程队不能够承建 1 号子项目，则不相同的承建方案共有 ___种 .（96 ）练习 2 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆 4 中蔬菜中选 3 中，分别种在不相同土质的三块土地上，其中黄瓜必定种植，则不相同的种植方法有 ___种 .（18 ）四间接法和消除法例 1 已知会集 A 合 B 为值域能组成a1, a2 , a3, a4以会集 B_____个不相同函数 .（14 ）b1 , b2 ，则以会集 A 为定义域，以集例2 从 1， 2 ，3 ，4 ，7，9 中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可获得个不相同的对数值.（17）练习 1 用数字 2 ， 3 组成四位数，且数字 2 ， 3 最少都出现一次，这样的四位数共有 ____个 .（14 ）练习 2 用 0 ，， L ， 9 十个数字，能够组成有重复数字的三位数个数为 ____.1（ 252 ）。

高二数学两个计数原理

为了对某农作物新品选择最佳生产条
件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4种不同种植密度,3种不同时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案共72有_______种?
N=3×3 ×3 × 3=81
数学应用例2. 用四种颜色给如图所示的地图着色 (按①②③④的次序填涂),相邻两块涂不同的颜色,共有多少种不同的涂法？
分类计数原理
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。 N= m1+m2+… +mn
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有 N= m1×m2×… ×mn
种不同的方法.
数学应用
例1. 射阳的电话号码是8×××××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以有多少个不同的电话号码?
分析:
变: 若要求后面7个数字不重复,则又有多少种不பைடு நூலகம்的电话号码?
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色，【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
变换涂色顺序呢？
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。使处于不重要的地位：在国际政治中，【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中要蜕皮四次。战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动；【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象；为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外语｜～学校。【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，把山上的草木都当成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明；【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀，内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码，还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。表示时间不同，【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～，【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成多边形的线段。不是用～可以形容的。【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害（多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子，【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店。【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目，本来并不如此：经他解释之后，【鹁】（鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理，两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名用来放牧的大片草地，【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开不利的势头。【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质；【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西：五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～了。【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来，【不…而…】ｂù…éｒ…表示虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞，【晡】ｂū〈书〉申时，【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见；有刺激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé

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