北京理工大学珠海学院高等数学2010(答案)
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设 f ( x ) = x , x ∈ [0, π ] ,试将其展开为余弦级数，并计算 ∑
∞
2 π 2 π ( ) = f x dx xdx =π, π ∫0 π ∫0 2 π 2 π 2 an = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ x cos nxdx = 2 (cos nπ − 1), n=1,2," π 0 π 0 nπ 从而有： ∞ π 4 ∞ π 2 1 cos(2k −1) x , (0 ≤ x ≤ π ) f ( x ) = + ∑ 2 2 (cos nπ − 1)cos nx = − ∑ 2 n=1 n π 2 π k =1 (2k −1) 2 a0 = 令x = 0, 得s1 = 1 + π2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s ,令s = 1 + 2 + 2 + 2 +....，则 = 2 + 2 + 2 + 2 +.... ， +...= + + 2 2 2 3 5 7 8 2 3 4 4 2 4 6 8 2 2 π 3s 1 1 1 π 两式相减： = 1+ 2 + 2 + 2 +....... = ，故s = . 4 3 5 7 8 6
2.
设 z = eu cos v ，其中 u = 3 x − 2 y , v = xy ，求
∂z . ∂y
解： z = e3 x − 2 y cos( xy ) ∂z = −2e3 x − 2 y cos( xy ) − xe3 x − 2 y sin( xy ) = −e3 x − 2 y [2 cos( xy ) + x sin( xy)] ∂y 3. 求函数 u = xy + 2 yz + 3 xz 在 点P(1, −1, 2) 处沿 (2, −1, 2) 方向的方向导数.
1
． C ).
⎧ xy , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ , 则函数 f ( x, y ) 在 (0,0) ( 7. 设函数 f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 2 2 ⎪ 0, x + y =0 ⎩
(A)二重极限存在
2 2 2
(B) 连续
2 2 ∑
(C)偏导存在
2
(D) 可微分
8. 设 ∑ : x + y + z = 2. 则曲面积分 ∫∫ ( x + y + z )dS = ( (A) 4π (B) 8π 二、解答下列各题（28 分） (C) 16π
高等数学(A2)综合测试 4 参考答案
一、填空题(24 分). 1. 设向量 a = (1,3, −2), b = (1,1,0), 则 (a × b) ⋅ a = __0__. 2. 设空间曲线 Γ : x 2 + y 2 = 4, z = 1. 其在点 (2,0,1) 处的切线方程为 3. 化二次积分 ∫ dx ∫
解：采用柱面坐标： 0 ≤ θ ≤ 2π， 0 ≤ ρ ≤ 2， 0 ≤ z ≤ 3. 从而∫∫∫ zdv = ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ zdz=18π
Ω
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
C (D)
).
32π
1. 设 z = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
∂z ∂ 2 z , . ∂x ∂x∂y
1 + sec2 x ∂z ∂2 z , 解： =12x 2 y + 3 y 2 e3 x + = 12 x 2 + 6 ye3 x . ∂x x + tan x ∂x∂y
从而原级数∑
n =1
∞
(−1) n n 绝对收敛. 3n
∞
2.
求幂级数 ∑ nx n 的收敛区间以及和函数，并计算 ∑
n =1
∞
n =1
n +1 . 3n
解：这里a n = n, 由 ρ = lim n →∞
an+1 an
= lim n →∞
1 n+1 =1,故R= =1,收敛区间为(-1,1) ρ n
D
∂u = grad f ∂l (1,−1,2)
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 2=3
D D D D
1
2.
计算三重积分
∫∫∫ zdv, 其中 Ω : 圆柱体 x
Ω
2π 2 3 0 0 0
2
+ y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.
1 ∞ 1 5. 将函数 f ( x ) = 1 展开成 x − 1 的幂级数为 ∑ (− )n ( x −1)n .
1+ x
2
n=0
2
6．设 f ( x) 是以 2π 为周期的周期函数，且它在 [0, 2π ] 的定义为 f ( x ) = ⎨
里叶级数在 x = 2π 收敛于
⎧ 2, 0 ≤ x < π , 则 f ( x ) 的傅 ⎩0, π ≤ x < 2π
∑1 + ∑ 2
∫∫
xdydz − 2 ydzdx + 3 zdxdy.
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy = − ∫
2π 0
d θ ∫ ρ 2 ⋅ ρd ρ = −
0
1
π 2
(2) ∑1 + ∑ 2 构成了一封闭曲面外侧，满足高斯公式的条件，从而有
∑1 + ∑ 2
L
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x 2 + y 3 , Q(x , y )=3xy 2 ,由 =3y = ,故此积分与路径无关 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3 ， 0）的直线段,方程为： y = 0, 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx =
n +1 则∑ n = 3 n =1
∞
1 1 ∞ 5 n 1 +∑ n = 3 + 3 = . ∑ n 1 1 4 n =1 3 n =1 3 (1 − ) 2 1 − 3 3
∞
3.
1 . 2 n =1 n ⎧ − x, −π ≤ x < 0 ⎪ . 解：由题意可知应将函数作偶沿拓，从而一个周期内f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0≤ x<π ⎪ ⎩ x, 则bn = 0, n = 1, 2,";
∞ ∞ ∞ ′ ⎛ ∞ ⎞′ ⎛ ∞ n⎞ 1 x n ⎟ 从而∑ nx n =x∑ nx n−1 = x ∑ ( x n ) ′=x ⎜ =x ( )′ = , x ⎟ ⎟ ⎜ ∑ ⎟ =x ⎜ ⎜∑ x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ n=1 ⎠ ⎝ n=0 ⎠ 1− x (1 − x) 2 n =1 n =1 n =1
1.
( − 1) n n 的敛散性. 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛. 3n n =1 ∞ un+1 n (−1) n n n+1 3n 1 解：这里un = , 由 lim = lim ⋅ = <1, 故 收敛 ∑ n n →∞ un n →∞ 3n+1 n 3 3n 3 n =1
判断级数 ∑
∞
0 2 2 x− x2 0
x − 2 y z −1 . = = 0 1 0
π 2 cos θ 0 0
f ( x 2 + y 2 )dy 为极坐标下的二次积分为 ∫ 2 d θ ∫
L
f (ρ )ρ d ρ .
2 4. 设 L : x 2 + y 2 = 4 . 则曲线积分 ∫ v x ds = 8π .
(1, −1,2)
= (5,5,1)
(1, −1,2)
⎛2 1 2⎞ 7 il 0 = (5,5,1)i⎜ , − , ⎟ = . ⎝3 3 3⎠ 3 1 1 4. 利用多元微分学理论求函数 u = xy 在附加条件 + = 1 ( x > 0, y > 0) 下的最值. x y 1 1 解：设F ( x, y, λ ) = xy − λ ( + − 1) x y λ λ 1 1 由 Fx′ ( x, y, λ ) = y + 2 = 0, Fy′ ( x, y, λ ) = x + 2 = 0, + = 1解得唯一驻点x = y = 2, u (2, 2) = 4, x y x y 1 1 又由 + = 1 ( x > 0, y > 0) 得到，当 x → +∞ 或 y → +∞ 时，另一个变量趋于 1,此时 u → +∞ ，从而 x y u (2, 2) = 4 为最小值。 x2 ( x > 0, x ≠ 1) 的最值。 【说明】本题很容易将条件最值问题化为一元函数的最值问题：求 u = x −1 三、解答下列各题（30 分） 1. 求二重积分 ∫∫ ( y + 3)d σ , D为直线 x = 1, y = x, y = −x所围平面区域.
L 1 3
x :1 → 3
26 . 3
2 2
4．设 Ω 是由锥面 z = x 2 + y 2
(1)
与旋转抛物面 z = x + y 所围立体区域，记 ∑1 为 Ω 边界曲面中锥面部
分且取上侧， ∑ 2 为 Ω 边界曲面中旋转抛物面部分且取下侧. 试求：
∫∫ zdxdy.
∑2
(2)
来自百度文库
解：(1) 易知Ω在xoy面上的投影区域：D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}
⎛2 1 2⎞ 解： 与l同方向的单位向量：l 0 = ⎜ , − , ⎟ ⎝3 3 3⎠ 而 f x (1, −1, 2) = ( y + 3 z ) (1,−1,2) = 5, f y (1, −1, 2) = ( x + 2 z ) (1,−1,2) = 5
第 1 页 共 3 页
f z (1, −1, 2) = (3x + 2 y ) (1,−1,2) = 1 grad f 从而
第 3 页 共 3 页
w ∫∫
xdydz − 2 ydzdx + 3zdxdy = ∫∫∫ (1 − 2 + 3)dv
Ω
第 2 页共 3 页
=2 ∫∫∫ dv = 2∫∫ d σ ∫
Ω
x2 + y 2 x +y
2 2
dz =2∫
2π 0
d θ ∫ ρ d ρ ∫ dz =
0
ρ
2
1
ρ
Dxy
π . 3
四、解答下列各题（18 分）
∞
2 π 2 π ( ) = f x dx xdx =π, π ∫0 π ∫0 2 π 2 π 2 an = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ x cos nxdx = 2 (cos nπ − 1), n=1,2," π 0 π 0 nπ 从而有： ∞ π 4 ∞ π 2 1 cos(2k −1) x , (0 ≤ x ≤ π ) f ( x ) = + ∑ 2 2 (cos nπ − 1)cos nx = − ∑ 2 n=1 n π 2 π k =1 (2k −1) 2 a0 = 令x = 0, 得s1 = 1 + π2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s ,令s = 1 + 2 + 2 + 2 +....，则 = 2 + 2 + 2 + 2 +.... ， +...= + + 2 2 2 3 5 7 8 2 3 4 4 2 4 6 8 2 2 π 3s 1 1 1 π 两式相减： = 1+ 2 + 2 + 2 +....... = ，故s = . 4 3 5 7 8 6
2.
设 z = eu cos v ，其中 u = 3 x − 2 y , v = xy ，求
∂z . ∂y
解： z = e3 x − 2 y cos( xy ) ∂z = −2e3 x − 2 y cos( xy ) − xe3 x − 2 y sin( xy ) = −e3 x − 2 y [2 cos( xy ) + x sin( xy)] ∂y 3. 求函数 u = xy + 2 yz + 3 xz 在 点P(1, −1, 2) 处沿 (2, −1, 2) 方向的方向导数.
1
． C ).
⎧ xy , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ , 则函数 f ( x, y ) 在 (0,0) ( 7. 设函数 f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 2 2 ⎪ 0, x + y =0 ⎩
(A)二重极限存在
2 2 2
(B) 连续
2 2 ∑
(C)偏导存在
2
(D) 可微分
8. 设 ∑ : x + y + z = 2. 则曲面积分 ∫∫ ( x + y + z )dS = ( (A) 4π (B) 8π 二、解答下列各题（28 分） (C) 16π
高等数学(A2)综合测试 4 参考答案
一、填空题(24 分). 1. 设向量 a = (1,3, −2), b = (1,1,0), 则 (a × b) ⋅ a = __0__. 2. 设空间曲线 Γ : x 2 + y 2 = 4, z = 1. 其在点 (2,0,1) 处的切线方程为 3. 化二次积分 ∫ dx ∫
解：采用柱面坐标： 0 ≤ θ ≤ 2π， 0 ≤ ρ ≤ 2， 0 ≤ z ≤ 3. 从而∫∫∫ zdv = ∫ dθ ∫ ρdρ ∫ zdz=18π
Ω
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
C (D)
).
32π
1. 设 z = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
∂z ∂ 2 z , . ∂x ∂x∂y
1 + sec2 x ∂z ∂2 z , 解： =12x 2 y + 3 y 2 e3 x + = 12 x 2 + 6 ye3 x . ∂x x + tan x ∂x∂y
从而原级数∑
n =1
∞
(−1) n n 绝对收敛. 3n
∞
2.
求幂级数 ∑ nx n 的收敛区间以及和函数，并计算 ∑
n =1
∞
n =1
n +1 . 3n
解：这里a n = n, 由 ρ = lim n →∞
an+1 an
= lim n →∞
1 n+1 =1,故R= =1,收敛区间为(-1,1) ρ n
D
∂u = grad f ∂l (1,−1,2)
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 2=3
D D D D
1
2.
计算三重积分
∫∫∫ zdv, 其中 Ω : 圆柱体 x
Ω
2π 2 3 0 0 0
2
+ y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.
1 ∞ 1 5. 将函数 f ( x ) = 1 展开成 x − 1 的幂级数为 ∑ (− )n ( x −1)n .
1+ x
2
n=0
2
6．设 f ( x) 是以 2π 为周期的周期函数，且它在 [0, 2π ] 的定义为 f ( x ) = ⎨
里叶级数在 x = 2π 收敛于
⎧ 2, 0 ≤ x < π , 则 f ( x ) 的傅 ⎩0, π ≤ x < 2π
∑1 + ∑ 2
∫∫
xdydz − 2 ydzdx + 3 zdxdy.
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy = − ∫
2π 0
d θ ∫ ρ 2 ⋅ ρd ρ = −
0
1
π 2
(2) ∑1 + ∑ 2 构成了一封闭曲面外侧，满足高斯公式的条件，从而有
∑1 + ∑ 2
L
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x 2 + y 3 , Q(x , y )=3xy 2 ,由 =3y = ,故此积分与路径无关 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3 ， 0）的直线段,方程为： y = 0, 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx =
n +1 则∑ n = 3 n =1
∞
1 1 ∞ 5 n 1 +∑ n = 3 + 3 = . ∑ n 1 1 4 n =1 3 n =1 3 (1 − ) 2 1 − 3 3
∞
3.
1 . 2 n =1 n ⎧ − x, −π ≤ x < 0 ⎪ . 解：由题意可知应将函数作偶沿拓，从而一个周期内f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0≤ x<π ⎪ ⎩ x, 则bn = 0, n = 1, 2,";
∞ ∞ ∞ ′ ⎛ ∞ ⎞′ ⎛ ∞ n⎞ 1 x n ⎟ 从而∑ nx n =x∑ nx n−1 = x ∑ ( x n ) ′=x ⎜ =x ( )′ = , x ⎟ ⎟ ⎜ ∑ ⎟ =x ⎜ ⎜∑ x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ n=1 ⎠ ⎝ n=0 ⎠ 1− x (1 − x) 2 n =1 n =1 n =1
1.
( − 1) n n 的敛散性. 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛. 3n n =1 ∞ un+1 n (−1) n n n+1 3n 1 解：这里un = , 由 lim = lim ⋅ = <1, 故 收敛 ∑ n n →∞ un n →∞ 3n+1 n 3 3n 3 n =1
判断级数 ∑
∞
0 2 2 x− x2 0
x − 2 y z −1 . = = 0 1 0
π 2 cos θ 0 0
f ( x 2 + y 2 )dy 为极坐标下的二次积分为 ∫ 2 d θ ∫
L
f (ρ )ρ d ρ .
2 4. 设 L : x 2 + y 2 = 4 . 则曲线积分 ∫ v x ds = 8π .
(1, −1,2)
= (5,5,1)
(1, −1,2)
⎛2 1 2⎞ 7 il 0 = (5,5,1)i⎜ , − , ⎟ = . ⎝3 3 3⎠ 3 1 1 4. 利用多元微分学理论求函数 u = xy 在附加条件 + = 1 ( x > 0, y > 0) 下的最值. x y 1 1 解：设F ( x, y, λ ) = xy − λ ( + − 1) x y λ λ 1 1 由 Fx′ ( x, y, λ ) = y + 2 = 0, Fy′ ( x, y, λ ) = x + 2 = 0, + = 1解得唯一驻点x = y = 2, u (2, 2) = 4, x y x y 1 1 又由 + = 1 ( x > 0, y > 0) 得到，当 x → +∞ 或 y → +∞ 时，另一个变量趋于 1,此时 u → +∞ ，从而 x y u (2, 2) = 4 为最小值。 x2 ( x > 0, x ≠ 1) 的最值。 【说明】本题很容易将条件最值问题化为一元函数的最值问题：求 u = x −1 三、解答下列各题（30 分） 1. 求二重积分 ∫∫ ( y + 3)d σ , D为直线 x = 1, y = x, y = −x所围平面区域.
L 1 3
x :1 → 3
26 . 3
2 2
4．设 Ω 是由锥面 z = x 2 + y 2
(1)
与旋转抛物面 z = x + y 所围立体区域，记 ∑1 为 Ω 边界曲面中锥面部
分且取上侧， ∑ 2 为 Ω 边界曲面中旋转抛物面部分且取下侧. 试求：
∫∫ zdxdy.
∑2
(2)
来自百度文库
解：(1) 易知Ω在xoy面上的投影区域：D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}
⎛2 1 2⎞ 解： 与l同方向的单位向量：l 0 = ⎜ , − , ⎟ ⎝3 3 3⎠ 而 f x (1, −1, 2) = ( y + 3 z ) (1,−1,2) = 5, f y (1, −1, 2) = ( x + 2 z ) (1,−1,2) = 5
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f z (1, −1, 2) = (3x + 2 y ) (1,−1,2) = 1 grad f 从而
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w ∫∫
xdydz − 2 ydzdx + 3zdxdy = ∫∫∫ (1 − 2 + 3)dv
Ω
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=2 ∫∫∫ dv = 2∫∫ d σ ∫
Ω
x2 + y 2 x +y
2 2
dz =2∫
2π 0
d θ ∫ ρ d ρ ∫ dz =
0
ρ
2
1
ρ
Dxy
π . 3
四、解答下列各题（18 分）