北京理工大学珠海学院高等数学2010(答案)
2010年北京高考理科数学试卷及答案
2
3
p
6 125
a
d
[来源:学科网]
24 125
(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求 p ， q 的 值； (Ⅲ)求数学期望 E ξ。
(18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ln(1 x) x
k 2 x (k 0) 2
( xb a ) 为一次函数”的 （6 ） a、b 为非零向量.“ a b ”是“函数 f ( x) ( xa b)
（A）充分而不必要条件
[键入文字]
（B）必要而不充分条件
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（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
x y 11 0 x （7）设不等式组 3 x y 3 0 表示的平面区域为 D，若指数函数 y a 的图像上存在区域 D 上的点， 5 x 3 y 9 0
mn 2(m 1)
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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷）
因为 cos x 1,1 ,
[来源:学科网]
所以，当 cos x 1 时 f ( x) 取最大值 6；当 cos x （16） （共 14 分） 证明： （Ⅰ）设 AC 与 BD 交于点 G. 因为 EF∥AG,且 EF=1，AG =
[键入文字]
(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4 ，第二、第三门课程取得 5
优秀成绩的概率分别为 p ， 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该生取得优秀成绩 的 q ( p ＞ q )， 课程数，其分布列为 ξ 0 1
北京大学2010年高数期末考试题试题(含答案)
课程名称：高等数学（D）2010-2011学年第（1）学期期末试卷本试卷共九道大题，满分100分答案请写在答题本上，试卷上答题无效。
考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师。
一、判断题（给出简单解释，每题3分，共5题）1.对于多元函数，可导必可微，可微必可导。
（错，需要偏导数连续）2.所有的初等函数在其定义域的任意子集上都是可求定积分的。
（错，广义积分）3.若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数都为0，则函数在该点处必取得极值。
（错）4.若函数()f x 在[a,b]上可导，则函数在[a,b]上有最大值与最小值。
（对）5.若区间[,][,]c d a b ⊆，则必有()()bda c f x dx f x dx ≥⎰⎰。
（对）二、选择题（不需要写过程，每题3分,共5题）1.当0x +→B ）（A ）1-（B ）ln(1（C 1（D ）1-2.设1D I σ=,222()D I x y d σ=+⎰⎰,2223()DI x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（D ）（A ）123I I I >>（B ）213I I I >>（C ）312I I I >>（D ）321I I I >>3.设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=（D ）（A ）在x=0处左极限不存在（B ）有跳跃间断点x=0（C ）在x=0处右极限不存在（D ）有可去间断点x=04.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于(B ).(A)().f x (B)().f x dx (C)().f x C +(D)().f x dx '5.设43()()()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx'=++⎰⎰⎰存在,则I =(D ).(A)0.(B)().f x (C)2().f x (D)2().f x C +三、填空题（（不需要写过程，每题3分,共5题））1.设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=a 22.设()f x =在[1,4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=___9/4__.3.二元函数222arcsin(2)ln()z x y x y =--+-的定义域为：{}222(,)|13,D x y x y x y =≤+≤>4.函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点为：（-1，-1）5.()()1ln cos 1lim 1sin 2x x x π→-=-24π-四、计算下列不定积分（每题4分，共20分）1.()3cos x x dx -⎰=C x x x x d x xdx ++-=--⎰⎰322sin 31sin 2sin )sin 1(2.⎰C x x x dx +-=--⎰2222111)1(213.=2222sec cos sin 1tan sec sin sin sin tdt t d t dt C C t t t t t x ===-+=-+⎰⎰⎰4.32sin 1cos x x dxx ++⎰2234sin cos 322sec 2tan 2222cos 23(tan 2tan 3tan 3tan 2tan 22222sin 23tan 23tan ln cos 2222cos 2x x x x x dx x dx dx x x x x x x xd dx x dx dx x x x x x x d x C x +==+=+=-+=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.3sin 2cos sin cos x x x x e dx x--⎰=C x e xe dx e x e dx e xe dx e xe xde x d e x xd e xx x x x x x xx xx +--=--+-=---=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 五、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的图形的面积。
北京大学2010-2011高数D期末试卷答案
课程名称：高等数学（D ）2010 -2011 学年第（1）学期期末 试卷 本试卷共 九 道大题，满分 100 分 答案请写在答题本上，试卷上答题无效。
考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师。
一、 判断题（给出简单解释，每题3分，共5题）1. 对于多元函数，可导必可微，可微必可导。
（错，需要偏导数连续）2. 所有的初等函数在其定义域的任意子集上都是可求定积分的。
（错，广义积分）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数都为0，则函数在该点处必取得极值。
（错）4. 若函数()f x 在 [a,b]上可导，则函数在[a,b]上有最大值与最小值。
（对）5. 若区间[,][,]c d a b ⊆，则必有()()bda c f x dx f x dx ≥⎰⎰。
（对）二、选择题（不需要写过程，每题3分,共5题）1. 当0x +→ B ）（A ） 1- （B ）ln(1 （C 1 （D ）1-2.设1D I σ=,222()D I x y d σ=+⎰⎰,2223()D I x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（D ）（A ） 123I I I >> （B ）213I I I >>（C ）312I I I >> （D ）321I I I >>3. 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= （D ） （A ）在x=0处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点x=0（C ）在x=0处右极限不存在 （D ）有可去间断点x=04. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, 则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( B ). (A) ().f x (B) ().f x dx (C) ().f x C + (D) ().f x dx '5. 设43()()()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=++⎰⎰⎰存在, 则I =( D ). (A) 0. (B) ().f x (C) 2().f x (D) 2().f x C +三、填空题（（不需要写过程，每题3分,共5题））1. 设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(= a 2 2.设()f x =在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=___9/4__.3. 二元函数22a r c s i n (2)l n ()z x y x y =--+-的定义域为：{}222(,)|13,D x y x y x y =≤+≤>4. 函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点为： （-1，-1）5. ()()1ln cos 1lim1sin 2x x x π→-=- 24π- 四、计算下列不定积分（每题4分，共20分）1. ()3cos x x dx -⎰=C x x x x d x xdx ++-=--⎰⎰322sin 31sin 2sin )sin 1( 2.⎰C x x x dx +-=--⎰2222111)1(213.dx=2222sec cos sin 1tan sec sin sin sin tdt t d t dt C C t t t t t ===-+=+⎰⎰⎰ 4. 32sin 1cos x x dx x ++⎰2234sin cos 322sec 2tan 2222cos 23(tan )2tan 3tan 3tan 2tan 22222sin 23tan 23tan ln cos 2222cos 2x x x x x dx x dx dx x x x x x x xd dx x dx dx x x x x x x d x C x +==+=+=-+=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5. 3sin 2cos sin cos x x x x e dx x--⎰=C xe xe dx e x e dx e xe dx e x e xde x d e x xd ex x x x x x x x x x x +--=--+-=---=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 五、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的图形的面积。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)(全解析)(word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A ∩B=（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 1．D ．【解析】A ∩B =2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=（ ）A ．42i +B ．2i +C ．22i +D ．3i + 2．A ．【解析】12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅-=⨯+⨯+-=+3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则 ( ) A ．()()f x g x 与均为偶函数 B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 C ．()()f x g x 与均为奇函数 D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 3．B ．【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = ( )A ．35B ．33C ．3lD ．294．C ．【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷)(解析版)
绝密 使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2010年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2009年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。
从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。
试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。
1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2010年《考试说明》。
2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。
全卷结构、题型包括难度基本稳定。
填空题比较基础，平和。
不需要太繁的计算，考生感觉顺手。
许多试题源于课本，略高于课本。
3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。
如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。
4. 深化能力立意。
知识与能力并重。
全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。
许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。
5. 关注联系，有效考查数学思想方法。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b） （xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
2010北京高考理科数学试题及答案
。
（ 12 ） 如 图 ， e O 的 弦 ED ， CB 的 延 长 线 交 于 点 A 。 若 BD ⊥ AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则 DE＝ （ 13 ） 已 知 双 曲 线 ；CE＝ 。
x2 y 2 − = 1的 离 心 率 为 2 ， 焦 点 与 椭 圆 a 2 b2
χ2 γ2 + = 1 的 焦 点相同， 那么双曲 线的 焦 点坐标为 25 9
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（C）一个圆和一条射线
（D）一条直线和一条射线
( xb − a ) 为一次函数”的 （6）a、b 为非零向量。“ a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b )g
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
所以 CF g BE = 0 − 1 + 1 = 0 , CF gDE = − 1 + 0 + 1 = 0 所以 CF ⊥ BE , CF ⊥ DE . 所以 CF ⊥ BDE. (III) 由（II）知， CF = (
uuu r uuu r
uuu r
2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2 uuu r uuu r
三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程。
（15）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin 2 x − 4 cos x 。 （Ⅰ）求 f = ( ) 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
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2010高考理科数学参考答案(全国卷1)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B.C.D.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456aaa =(A)(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A323 D （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D) （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙ 的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3 (B)3 (C) (D) 3二 填空题(13)1x ≤的解集是 .(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB = ，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .答案1．A【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 2.B【解析】2s i n c o s (80)1=-,所以t a n 100︒=-sin80cos80=-=3.B【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=AB C DA 1B 1C 1D 1 O4.A \【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =, 所以133364564655()(50)a a a a a aa =====5.B【解析】355(1(1(1128x+=++ 故35(1(1+的展开式中含x的项为330551(1210122C xC x x x ⨯+=-+=-,所以x 的系数为-2.6.A【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.7.D .【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯= ,21122ACDS AD CD a ∆==. 所以131A C D A C D S D D D O a S ∆∆= ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=.8.C 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 9.B 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060222=, 解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y = 10.A【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=，||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令P A P B y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =12.B 【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有aABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB与CD 的中点时,max h =故max V =. 13.[0,2]解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.14．17-【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4s i n 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 15.(1,54【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<.16.23【解析】如图，||BF a ==,作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r，得1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23e =.。
2010年高考北京卷理科数学试题及答案解析
2 A （ 2 ， 2 ，0） ， D （ 2， 0， 0） ，E（0， 0， 1） ，F（ 2 ， 2 2 2 ��� � ��� � 2 ，1） 。所以 CF =（ 2 ， 2 ，1） ， BE =（0，－ 2 ， ��� � ��� ���� � 2 CF DE １） ， ＝（－ ，0 ，１） 。所以 · BE = 0-1+1=0， ��� � ���� CF · DE =－１＋０＋１＝０。所以 CF⊥BE，CF⊥DE，所以 CF⊥平面 BDE 2 2 ��� � （III）由（ II）知， CF =（ 2 ， 2 ，1） ，是平面 BDE 的一个法向量，设平面 ABE 的 � � ��� � ��� � � 法向量 n =（x,y,z）,则 n · BA =0， n · BE =0。 ⎧ ⎪ ( x , y , z ) ⋅ ( 2, 0, 0) = 0 ⎨ ⎩( x, y, z ) ⋅ (0, − 2,1) = 0 即⎪ � ��� � 0,1, 2 2 2 n CF 所以 x=0 ，且 z= y 。令 y=1 ，则 z= 。所以 n= （ ） ，从而 cos（ ， ） � ��� � n ⋅ CF 3 � ��� � = 2 n ⋅ CF
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2i 对应的点的坐标为 1− i
。
2π ，则 a = 3
。
3 sin C 1 π π sin B = ⋅ b = 2 ×1 = B = , A= = B c 2 3 6 6 解析： ，因此 ，故 a = b = 1 （11） 从某小学随机抽取 100 名同学， 将他们的身高 （单 位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。由图中 数据可知 a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130） ，
2010北京高考数学真题(理科)及答案
（A ）（B ） （C ） （D ） 2010北京高考数学真题（理科） 第I 卷 选择题（共40分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1， 集合{}{}2|03,|9P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M =（A ）{}1,2（B ）{}0,1,2（C ）{}|03x x ≤<（D ）{}|03x x ≤≤2，在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m = （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A（D ）8289A C 5，极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线（D ）一条直线和一条射线6，,a b 为非零向量，“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+∙-为一次函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7，设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3]（B ）[]2,3（C ）(1,2]（D ）[3,)+∞正（主）视图 侧（左）视图8，如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱,AD CD 上，若11,,,E F A E x D Q y D P z ====（,,x y z 大于零），则四面体PEFQ 的体积 （A ） 与,,x y z 都有关（B ） 与x 有关，与,y z 无关 （C ） 与y 有关，与,x z 无关 （D ） 与z 有关，与,x y 无关第II 卷 （共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京理
2010年北京理一、选择题（共8小题；共40分）1. 集合P=x∈Z0≤x<3，M=x∈Z x2≤9，则P∩M= A. 1,2B. 0,1,2C. x0≤x<3D. x0≤x≤32. 在等比数列a n中，a1=1，公比q≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m= A. 9B. 10C. 11D. 123. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 A. B.C. D.4. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 A. A88A92B. A88C92C. A88A72D. A88C725. 极坐标方程ρ−1θ−π=0ρ≥0表示的图形是 A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线6. a、b为非零向量．" a⊥b " 是 " 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是 A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,+∞8. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD 上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积 A. 与x，y，z都有关B. 与x有关，与y，z无关C. 与y有关，与x，z无关D. 与z有关，与x，y无关二、填空题（共6小题；共30分）9. 在复平面内，复数2i1−i对应的点的坐标为．10. 在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=．11. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为．12. 如图，⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=；CE=．13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．14. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P x,y的轨迹方程是y=f x，则f x的最小正周期为；y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2cos2x+sin2x．（1）求fπ3的值；（2）求f x的最大值和最小值．16. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=2，CE=EF=1．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A−BE−D的大小．17. 某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q p>q，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6125a b24125（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（2）求p，q的值；（3）求数学期望Eξ．18. 已知函数f x=ln1+x−x+k2x2k≥0．（1）当k=2时，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）求f x的单调区间．19. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A−1,1关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−13．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知集合S n=X X=x1,x2,…,x n,x i∈0,1,i=1,2,⋯,n n≥2，对于A=a1,a2,⋯,a n，B=b1,b2,⋯b n,∈S n，定义A与B的差为A−B=a1−b1,a2−b2,⋯,a n−b n；A与B 之间的距离为d A,B=n i=1a i−b i．（1）证明：∀A,B,C∈S n，有A−B∈S n，且d A−C,B−C=d A,B；（2）证明：∀A,B,C∈S n，d A,B，d A,C，d B,C三个数中至少有一个是偶数；（3）设P⊆S n，P中有m m≥2个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d P．证明：d P≤mn．2m−1答案第一部分1. B2. C 【解析】由于a1=1，q ≠1，则a m=a1a2a3a4a5=a15q10=q10，而a11=a1q10= q10，故m=11．3. C 【解析】由三视图可得该几何体的直观图，如图所示．4. A 【解析】由于2位老师不相邻，则先排8名学生，有A88种排法，老师的排法只要在8名学生形成的9个空隙中插入两个位置即可，有A92种排法，故不同的排法种数为A88A92．5. C【解析】由极坐标方程ρ−1θ−π=0，可得ρ=1或θ=π，而ρ=1表示的是一个圆，θ=π表示的是一条射线．6. B 【解析】f x= xa+b⋅ xb−a=x2a⋅b+x b2−a2−a⋅b.若a⊥b，则f x=x b2−a2,只有当b2−a2≠0时，函数f x才是一次函数；若函数f x是一次函数，那么a⋅b=0,b2−a2≠0.故 "a⊥b " 是" 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的必要而不充分条件．7. A 【解析】作出不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0所表示的平面区域D，如图阴影部分所示：要使指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则有a>1，当指数函数y=a x的图象过点B2,9时，相应的a值最大，此时a=3，即a∈1,3．8. D 【解析】对于四面体PEFQ可以看成是三棱锥P−EFQ，其底面△EFQ的面积是固定的，故三棱锥P−EFQ的体积与x，y无关；而对于P的不同位置，三棱锥P−EFQ的高不断改变，故三棱锥P−EFQ的体积与z有关．第二部分9. −1,110. 111. 0.030，312. 5，27【解析】因为BD⊥AE，所以BE为直径，所以∠C=90∘，所以CE2=AE2−AC2．13. ±4,0，y=±3x14. 4，π+1【解析】如图点P横坐标从M到N的图象就是运动过程中点P的轨迹在一个周期内的图象．灰色阴影就是要求的面积．第三部分15. （1）fπ3=2cos2π3+sin2π3=−1+34=−14．（2）f x=22cos2x−1+1−cos2x=3cos2x−1,x∈R．因为cos x∈−1,1，所以，当cos x=±1时，f x取最大值2；当cos x=0时，f x取最小值−1．16. （1）设AC与BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=12AC=1．所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（2）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C−xyz．则C0,0,0,A 2,2,0,B 0,2,0,所以CF=2,2,1,BE=0,− 2,1,DE= − 2,0,1.所以CF⋅BE=0−1+1=0,CF⋅DE=−1+0+1=0.所以CF⊥BE，CF⊥DE，且BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．（3）由（2）知，CF=22,22,1是平面BDE的一个法向量．设平面ABE的法向量n=x,y,z，则n⋅BA=0,n⋅BE=0.即x,y,z⋅0,− 2,1=0,x,y,z⋅2,0,0=0,所以x=0，且z=y，令y=1，则z=n=0,1,．从而cos n,CF=n⋅CFn CF=32.因为二面角A−BE−D为锐角，所以二面角A−BE−D的大小为π6．17. （1）事件A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知P A1=45,P A2=p,P A3=q.由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1−Pξ=0=1−6125=119125.（2）由题意知Pξ=0=P A1A2A3=151−p1−q=6125，Pξ=3=P A1A2A3=45pq=24125，整理得pq=625，p+q=1．由p>q，可得p=35，q=25．（3）由题意知a=Pξ=1=P A1A2A3+P A1A2A3+P A1A2A3=451−p1−q+15p1−q+151−p q=37 125.b=Pξ=2=1−Pξ=0−Pξ=1−Pξ=3=58,Eξ=0×Pξ=0+1×Pξ=1+2Pξ=2+3Pξ=3=9 .18. （1）当k=2时，f x=ln1+x−x+x2,fʹx=1−1+2x.由于f1=ln2,fʹ1=3 2 ,所以曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为y−ln2=32x−1,即3x−2y+2ln2−3=0.（2）由题fʹx=x kx+k−11+x,x∈−1,+∞.当k=0时，fʹx=−x.所以，在区间−1,0上，fʹx>0；在区间0,+∞上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是−1,0，单调递减区间是0,+∞．当0<k<1时，由fʹx=x kx+k−1=0,得x1=0,x2=1−kk>0,所以，在区间−1,0和1−kk ,+∞ 上，fʹx>0；在区间0,1−kk上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是−1,0和1−kk ,+∞ ，单调递减区间是0,1−kk．当k=1时，fʹx=x2.故f x的单调递增区间是−1,+∞．当k>1时，fʹx=x kx+k−1=0,得x1=1−k∈−1,0,x2=0.所以，在区间 −1,1−kk 和0,+∞上，fʹx>0；在区间1−kk,0上，fʹx<0．故f x的单调递增区间是 −1,1−kk 和0,+∞，单调递减区间是1−kk,0．综上所述，当k=0时，f x的单增区间是−1,0，单减区间是0,+∞．当0<k<1时，f x的单增区间是−1,0和1−kk ,+∞ ，单减区间是0,1−kk．当k=1时，f x的单增区间是−1,+∞．当k>1时，f x的单增区间是 −1,1−kk 和0,+∞，单减区间是1−kk,0．19. （1）因为点B与A−1,1关于原点O对称，所以点B的坐标为1,−1．设点P的坐标为x,y，由题意得y−1 x+1⋅y+1x−1=−13,化简得x2+3y2=4x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4x≠±1.（2）解法一：设点P的坐标为x0,y0，点M，N的坐标分别为3,y M，3,y N．则直线AP的方程为y−1=y0−1x+1,直线BP的方程为y+1=y0+1x−1.令x=3得y M=4y0+x0−3x0+1,y N=2y0−x0+3x0−1.于是△PMN的面积S△PMN=12y M−y N3−x0=x0+y03−x02x02−1.又直线AB的方程为x+y=0,AB=22,点P到直线AB的距离d=x+y2.于是△PAB的面积S△PAB=12AB ⋅d=x0+y0,当S△PAB=S△PMN时，得x0+y0=x0+y03−x02x02−1.又x0+y0 ≠0，所以3−x02=x02−1,解得x0=53．因为x02+3y02=4，所以y0=±339．故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为53,±339．解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为x0,y0，则1PA ⋅ PB sin∠APB=1PM ⋅ PN sin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN,所以PA=PN,所以x0+10=3−x0,即3−x02=x02−1,解得x0=53．因为x02+3y02=4，所以y0=±339．故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为53,±339．20. （1）设A=a1,a2,⋯,a n,B=b1,b2,⋯,b n,C=c1,c2,⋯,c n∈S n,因为a i ,b i ∈ 0,1 ，所以a i −b i ∈ 0,1 , i =1,2,⋯,n ,从而A −B = a 1−b 1 , a 2−b 2 ,⋯, a n −b n ∈S n .又d A −C ,B −C = a i −c i ni =1− b i −c i ,由题意知a i ,b i ,c i ∈ 0,1 i =1,2,⋯,n .当c i =0时，a i−c i −b i −c i = a i −b i ;当c i =1时，a i−c i −b i −c i = 1−a i − 1−b i = a i −b i ,所以d A −C ,B −C = a i −b i ni =1=d A ,B .（2）设A = a 1,a 2,⋯,a n ,B = b 1,b 2,⋯,b n ,C = c 1,c 2,⋯,c n ∈S n ,d A ,B =k ,d A ,C =l ,d B ,C =ℎ.记O = 0,0,⋯,0 ∈S n ，由（1）可知d A ,B =d A −A ,B −A =d O ,B −A =k ，d A ,C =d A −A ,C −A =d O ,C −A =l ，d B ,C =d B −A ,C −A =ℎ，所以 b i −a i i =1,2,⋯,n 中1的个数为k ， c i −a i i =1,2,⋯,n 中1的个数为l ． 设t 是使 b i −a i = c i −a i =1成立的i 的个数，则ℎ=l +k −2t ． 由此可知，k ,l ,ℎ三个数不可能都是奇数，即d A ,B ，d A ,C ，d B ,C 三个数中至少有一个是偶数．（3） P =1C m 2 d A ,B A ,B∈P ，其中 d A ,B A ,B∈P 表示P 中所有两个元素间距离的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有t i 个1，m −t i 个0，则d A ,B A ,B∈P = t i n i =1m −t i .由于t i m −t i ≤m 24i =1,2,⋯,n , 所以d A ,B A ,B∈P ≤nm 24,从而d P=1m2d A,BA,B∈P≤nm2m2=mn.。
2010年北京高考数学(理科)试题与答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（6）若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞](8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【数学】2010年高考试题——数学(北京卷)(理)
2 3 9 f ( ) 2cos sin 2 4cos 1 2 . 3 3 3 3 4 4
f ( x) 2(2 cos 2 x 1) (1 cos 2 x) 4 cos x 3cos 2 x 4 cos x 1 2 7 3(cos x ) 2 , x R 3 3
说明： “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向 滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺 时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动。 14， 4， 1 解析：不难想象，从某一个顶点（比如 A）落在 x 轴上的时候开始计算，到下一次 A 点落在 x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1， 因此该函数的周期为 4。下面考察 P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从 x 轴
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1） 集合 P {x Z 0 x 3}, M {x R x 9} ，则 P I M =
2
(A) {1,2} 1，B ． 解析：
(B) {0,1,2}
(C){x|0≤x<3}
0,1, 2 所以 x=0，且 z= 2 y。令 y=1，则 z= 2 。所以 n=（ ） ，从而 cos（ n ， CF ）=
n CF n CF
3 2
因为二面角 A-BE-D 为锐角，所以二面角 A-BE-D 为 6 。
(17)(本小题共 13 分)
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2010年全国1卷高考数学(含答案)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题 （1）复数=-+i i3223（A ）i（B ）i - （C ）i 1312- （D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21-（B ）-kk 21- （C ）21kk - （D ）-21kk -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25（B ）7（C ）6（D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种 （7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则（A ）c b a <<（B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞（B ）[)+∞,22（C ）),3(+∞（D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+-（B ）23+-（C ）224+-（D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年广东高考理科数学试卷(答案解析)
B. f（ x）为偶函数，g（x）为奇函数 D. f （x）为奇函数，g（x）为偶函数
+ 3x = f ( x ), g ( − x ) = 3− x − 3x = − g ( x ) ．
4. 已知 {an } 为等比数列，Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ⋅ a3 = 2a1 ， 且 a4 与 2 a7 的等差中项为
5a ，FE= 6 a ．
图5 （1）证明： EB⊥FD； （ 2） 已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点， 使得 BQ = 与平面 RQD 所成二面角的正弦值．
2 2 FE , FR = FB ,求平面 BED 3 3
（ 2）设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG . 由 BQ=
5 ，则 S5 = 4
A．35 B.33 C.31 D.29
4．C．设 { an }的公比为 q ，则由等比数列的性质知， a2 ⋅ a3 = a1 ⋅ a 4 = 2 a1 ，即 a4 = 2 。由
5 5 1 5 1 5 1 a4 与 2 a7 的等差中项为 知， a4 + 2a7 = 2 × ， 即 a7 = (2 × − a4 ) = (2 × − 2) = ． 4 4 2 4 2 4 4
BF 2 − BC 2 = ( 5a) 2 − a 2 = 2a ，
sin ∠RBD =
FC 2a 2 1 ， cos ∠RBD = 1− sin 2 ∠RBD = ． = = BF 5a 5 5
5 2 a⋅ 3 5 = 2 29 ． sin ∠RDB = 29 29 a 3
故平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值是
作出可行域如图所示： 经试验发现，当 x = 4, y = 4 时，花费最 少，为 2.5 × 4 + 4 × 4 = 26 元．
2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国2卷(试题+答案解析)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学(必修+选修II)第I 卷一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y ex +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若＝a ，＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则等于( ) （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3 （10）若曲线12y x-=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． （14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .（Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE ＝3EB 1.（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分） 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数()1xf x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．答案解析一、选择题 （1）A解析：231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）D解析：由y ＝，得ln(x －1)＝2y －1，解得 x ＝e 2y －1＋1，故反函数为y ＝e 2x－1＋1(x ∈R )．故选D 。