2019-2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程 11双曲线的简单几何性质课时作业新人教A版选修2-1.doc

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A 版选修2
2.线的草图，首先在坐标系中画出渐近线 y＝±32x，顶点－23，0，23，0，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取 y＝1，算出 x＝232≈0.94，可知点(0.94,1)，(0.94，－1) 在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(23，0)，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它随 x 的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲线的另一支，得双曲线的草图如图所示.
(2a，－ 3b)，代入直线方程得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率 e＝ac＝2＋ 3.
【答案】 2＋ 3
法二：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝12x 的下方，在 y＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油!奥利给~
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率
为ba，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y ＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为

高二数学课本《选修11第二章圆锥曲线与方程》

高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。

圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。

一、引言圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。

椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。

通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。

二、基本概念1.圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。

2.圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。

例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。

三、主要内容1.椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。

椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

2.双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。

双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。

3.抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。

抛物线的方程可以写为y^2 = 2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。

4.圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。

这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。

四、方法与技巧1.代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。

双曲线的简单几何性质高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2

D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.

[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−

2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，

双曲线的简单几何性质(2)

2.3.1 双曲线的简单几何性质(2)
第2章圆锥曲线与方程
复习双曲线的标准方程与几何性质
双曲线定义
图形
方程范围对称性顶点焦点焦距实轴、虚轴渐近线离心率 a,b,c 关系
一、焦点三角形、焦半径的最值
双曲线 x2 y2 1 上有一点 P 到右焦点的距离为 7 ，
9 16
则 P 到左焦点的距离等于_____
【练习】与圆 x2 y2 1以及圆 x2 y2 8x 12 0
都外切的圆的圆心在（）
A．一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一个双曲线上
D.一个圆上
【思考】将“外切”变为“相切”？
教材54页B组第三题
作业
《小黄》
y2 b2
1 与直线 y
2x 有交点，
则其离心率的取值范围为
四、双曲线相关的轨迹问题（教材48页）
四、双曲线相关的轨迹问题(教材55页）
四、双曲线相关的轨迹问题
例 2.已知点 P 圆 M : (x 2)2 y2 4 上动点，
A(2,0)，线段 PA 的中垂线与直线 PM 交于点 Q，求 Q 的轨迹方程
若椭圆xm2＋y2＝1(m>1)与双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦点 F1，F2，
P 是两曲8 线的一个交点，则△F1PF2 的面积是( )
A．4 B6 ．2
C．1
1 D.2
4
P
2
5
F1
O
2
4
F2
5
10
15
20
二、通径
5
4
3
2
1
O
8
6
4

2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1

为 y=±x,离心率等于 2.
课前篇自主预习
【做一做1】若点M(x0,y0)是双曲线
��2 4
−
��2 25
=1上支上的任意一点,
则x0的取值范围是
,y0的取值范围是
.
解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
答案(-∞,+∞) [2,+∞)
【做一做2】双曲线4x2-2y2=1的实轴长等于
探究二
探究三
当堂检测
解(1)设双曲线方程为��22 − ��22=1(a>0,b>0).
∵双曲线过点 P( 6,2),∴��4��2 − ��6��2=1.
由题意得
��
=
2 3
,
4 ��2
-
6 ��2
=
解得 1,
��2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 ( )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
(2)双曲线��4��2 − ��9��2=1 的渐近线方程是(
)
A.y=±23x B.y=±49x
C.y=±32x D.y=±94x
解析(1)双曲线方程可变形为��8��2 − ��4��2=1,所以 a2=8,a=2 2,故实轴
,虚轴长
等于
,焦距等于
Байду номын сангаас
.
解析双曲线方程化为
��2

双曲线的简单几何性质2 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

a2
的距离的比是常数
结论：点 M ( x , y ) 与定点 F (c , 0 ) (c 0 ) 的距离和它到定直线 : x
c
c c
( 1),则点 M 的轨迹是一条双曲线.
a a
其中定点 F ( c , 0) 是双曲线的一个焦点,
c
a2
定直线 : x
是对应于焦点 F (c , 0) 的一条准线, 常数是双曲线的离心率 e .
(5)若直线 = + 与双曲线 − =4两支各有一个公共点,求的取值范围.
直线与双曲线的位置关系
2
2
x
y
例 2.已知过双曲线

1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两
3
6
点，求 AB 和 F1AB的面积 .
归纳：求弦长问题的两种解决方法
（1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解；
1
1
x 1即y x
2
2
y
2
M
2
1
x2 y 2
把y x 代入
1得
2
4
2
9
x 2 2 x 0其中 5 0 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾
4
以 N (1 ，1 ) 为弦的中点的直线不存在 .
2
o
..N
2
2
x
直线与双曲线的位置关系
常数 e
a
的比是__________.
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?
2
2
双曲线的性质
a2
例 4. 动点 M ( x , y ) 与定点 F ( c , 0)(c 0)的距离和它到定直线 : x

2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版

2．3.2 双曲线的简单几何性质
课前自主预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
1．双曲线的简单几何性质
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
2．等轴双曲线
(1) □14 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
1
共
焦点
的方
程可
设为
x2 a2－λ
－b2y＋2 λ
＝1(λ≠0，
－
b2<λ<a2)．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
(4)与双曲线ax22－by22＝1 具有相同渐近线的方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为 y＝kx 的双曲线方程可设为 k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 2】 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则
椭圆ax22＋by22＝1 的离心率为(
)
1
3
3
2
A.2 B. 3 C. 2 D. 2
答案 C
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
解析因为双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 25，所以 e1＝ca1＝ a2a＋b2＝ 25，化简得 a＝2b，所以椭圆ax22＋by22＝1 的离心率为 e2＝ca2＝ a2a－b2＝ 4b22b－b2＝

2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程_2.3.1 双曲线及其标准方程(讲义)

2.3.1 双曲线及其标准方程课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线定义的集合表示设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”.①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.3.双曲线的标准方程注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.(2)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.简言之,“焦点跟着正项走”.4.双曲线的一般方程当ABC ≠0时,方程Ax 2+By 2=C 可以变形为2x C A +2y C B=1,由此可以看出方程Ax 2+By 2=C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0,且A,B 异号.此时称方程Ax 2+By 2=C 为双曲线的一般方程.利用一般方程求双曲线的标准方程时,可以将其设为Ax 2+By 2=1(AB<0),将其化为标准方程,即21x A +21y B=1.因此,当A>0时,表示焦点在x 轴上的双曲线;当B>0时,表示焦点在y 轴上的双曲线. 5.共焦点的双曲线系方程与双曲线22x a -22y b =1(a >0,b >0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-= 1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2);与双曲线22y a -22x b =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-=1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2).6.双曲线的焦点三角形问题如图,P 是双曲线22x a -22yb =1上任意一点,当点P,F 1,F 2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.设∠F 1PF 2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得, ||PF 1|-|PF 2||=2a ⇔|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,① |PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos θ=|F 1F 2|2=4c 2,② 由②-①得2|PF 1|·|PF 2|·(1-cos θ)=4c 2-4a 2,则|PF 1|·|PF 2|=221cos bθ-. 又12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ, 从而12PF F S =b2·sin 1cos θθ-=2tan2b θ.1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是( A ) (A)一条射线 (B)双曲线 (C)双曲线左支 (D)双曲线右支解析:如果是双曲线,那么|PM|-|PN|=4=2a, a=2.而两个定点M(-2,0),N(2,0)为双曲线的焦点, c=2.而在双曲线中c>a,所以把后三个关于双曲线的答案全部排除. 故选A.2.(2018·和平区三模)设F 1和F 2分别为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F 1,F 2,P(0,2b)为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过点则该双曲线的方程为(D)(A)x 2-23y =1 (B)22x -22y =1(C)23x -29y =1 (D)24x -212y=1解析:F 1和F 2分别为曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,F 1,F 2,P(0,2b)构成正三角形, 所以c,即有3c 2=4b 2=3(a 2+b 2), 所以b 2=3a 2.双曲线22x a -22y b =1过点),所以25a -233a=1,解得a 2=4, 所以b 2=12, 所以双曲线方程为24x -212y =1.故选D.3.(2018·肇庆三模)已知定点F 1(-2,0),F 2(2,0),N 是圆O:x 2+y 2=1上任意一点,点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,则点P 的轨迹是( B ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆解析:连接ON,由题意可得ON=1,且N 为MF 1的中点, 所以MF 2=2.因为点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,由垂直平分线的性质可得PM=PF 1,所以|PF 2-PF 1|=|PF 2-PM|=MF 2=2<F 1F 2,由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线. 故选B.4.若双曲线2x m -23y =1的右焦点坐标为(3,0),则m= . 解析:由已知a 2=m,b 2=3, 所以m+3=9,所以m=6. 答案:65.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y 2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .解析:设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4即|PB|-|PA|=4<|AB|=8. 所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 又因为2c=8,所以c=4. 所以b 2=c 2-a 2=12, 所以动圆圆心的轨迹方程为24x -212y =1(x ≤-2).答案:24x -212y =1(x ≤-2)题型一双曲线定义的理解及应用[例1] (1)已知F 1(-8,3),F 2(2,3),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=10,则P 点的轨迹是( )(A)双曲线 (B)双曲线的一支(C)直线 (D)一条射线 (2)如图,若F 1,F 2是双曲线29x -216y =1的两个焦点,P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 .解析:(1)F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=10,所以满足条件|PF 1|-|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D.(2)由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.因为P 是双曲线左支上的点, |PF 2|-|PF 1|=2a=6, (*) 将(*)式两边平方,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36, 所以|PF 1|2+|PF 2|2 =36+2|PF 1|·|PF 2| =36+2×32 =100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=22121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-⋅=121001002||||PF PF -⋅ =0,所以∠F 1PF 2=90°,所以12F PF S=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.答案:(1)D (2)16变式探究:若将例中的条件“|PF 1|·|PF 2|=32”改为“1PF ·2PF =0”,其他条件不变,则|PF 1|·|PF 2|的值为 .解析:由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.由题意得,|PF 2|-|PF 1|=2a=6,所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36. ① 又1PF ·2PF =0,所以PF 1⊥PF 2.在Rt △PF 1F 2中,由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100. ② 将②代入①式,得2|PF 1|·|PF 2|=64, 所以|PF 1|·|PF 2|=32. 答案:32(1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF 1|-|PF 2||=2a 的应用.(2)解题的关键是“|PF 1|·|PF 2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的. 即时训练1-1:(1)设P 为双曲线x2-212y =1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,求△PF 1F 2的面积;(2)已知一个动点P(x,y)到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离差的绝对值为定值a(a ≥0),求点P 的轨迹. 解:(1)因为|PF 1|-|PF 2|=2a=2, 且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2, 所以|PF 1|=6,|PF 2|=4. 又因为|F1F 2所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 所以12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|=12×6×4=12. (2)因为|F 1F 2|=2,①当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x ≥1)或y=0(x ≤-1); ②当a=0时,轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线,即y 轴,方程x=0; ③当0<a<2时,轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线; ④当a>2时,轨迹不存在. 题型二双曲线标准方程的求法[例2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线216x -24y =1有相同的焦点,且经过点(2)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上. 解:(1)法一因为焦点相同,所以设所求标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),所以c 2=16+4=20,即a 2+b 2=20,① 因为双曲线经过点所以218a -24b =1,②由①②得a 2=12,b 2=8,所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.法二设所求双曲线方程为216x λ--24y λ+=1(-4<λ<16). 因为双曲线过点所以1816λ--44λ+=1, 解得λ=4,或λ=-14(舍去).所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.(2)法一当焦点在x轴上时,设标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222292251,16256251,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此方程组无解.当焦点在y 轴上时,设标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得229,16.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的标准方程为29y -216x =1.法二设双曲线方程为2x m+2yn =1,mn<0. 因为点P,Q 在双曲线上,所以92251,16256251,9m nm n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得16,9.m n =-⎧⎨=⎩ 所以双曲线的标准方程为29y -216x=1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:即时训练2-1:(1)(2018·天心区校级月考)如图,已知双曲线以矩形ABCD 的顶点A,B 为左、右焦点,且过C,D 两点,若|AB|=4,|BC|=3,则此双曲线的标准方程为 .(2)写出下列条件的双曲线的标准方程.①a=4,c=5,焦点在x 轴上,则标准方程为 ;②a=4,经过点),则标准方程为 . 解析:(1)连接BD(图略),由题意知c=2, |DB|=5,|DA|=|BC|=3, 2a=|DB|-|DA|=5-3=2, 所以故双曲线的标准方程为x 2-23y =1. (2)①设双曲线方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0). 因为a=4,c=5,所以b 2=c 2-a 2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为216x -29y =1.②若所求的双曲线标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则将a=4代入得216x -22yb =1.因为点)在双曲线上,所以116-21609b =1,由此得b 2<0,不合题意舍去. 若所求的双曲线标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),同理解得b 2=9.所以双曲线的标准方程为216y -29x =1.答案:(1)x 2-23y =1(2)①216x -29y =1 ②216y -29x =1题型三双曲线标准方程的理解[例3] (1)若θ是第三象限角,则方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是( )(A)焦点在y 轴上的双曲线 (B)焦点在x 轴上的双曲线 (C)焦点在y 轴上的椭圆 (D)焦点在x 轴上的椭圆(2)已知21x k--2||3y k -=-1,当k 为何值时,①方程表示双曲线?②方程表示焦点在x 轴上的双曲线? ③方程表示焦点在y 轴上的双曲线?(1)解析:曲线方程可化为2cos x θ+2cos sin y θθ=1,θ是第三象限角,则cos θ<0,cos sin θθ>0,所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线.故选A. (2)解:①若方程表示双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩或10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得k<-3或1<k<3.②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线,则10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得1<k<3.③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩ 解得k<-3.名师点评:(2)中对于①,只要两分母同号,就可以化成双曲线的标准方程;对于②,标准方程为21x k --23||y k -=1;对于③,标准方程为2||3y k --21x k-=1.即时训练3-1:(1)(2018·东湖区校级期中)若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) (A)[-4,1](B)(-∞,-4)∪(1,+∞) (C)(-4,1)(D)(-∞,4]∪[1,+∞)(2)已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是( )解析:(1)根据题意,若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则有(k+4)(k-1)<0,解得-4<k<1. 即k 的取值范围是(-4,1). 故选C.(2)A 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线应为双曲线,故A 错;B 中,由直线位置可知,m<0,n>0,曲线应为双曲线,故B 错;C 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线为焦点在x 轴上的双曲线,故C 正确;D 中,由直线位置可知,m>0,n>0,曲线应为椭圆,故D 错.故选C.。

2019-2020学年苏教版数学(选修1-1)本章练测：第2章-圆锥曲线与方程(含答案)

，椭圆的左焦点为，且直
线与此圆相切，则椭圆的离心率
为．
9.若点 O 和点 F 分别为椭圆最大值为 .
的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则
的
10. 已知方程 ax2 + by2 = ab 和 ax+ by+ c = 0 ，其中 ab构0,a b,c > 0 , 它们所表示的曲线可能是下列图象中的．
，得直线 l 的方程为
由
消去，得 y 2 + 2 py - p2 = 0 .
由题意得 D = (2 p)2 + 4 p2 > 0 ， y1 + y2 = - 2 p, y1 y2 = - p2 . 设直线与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |= 3 .
y= ? b x． a
设直线与轴的交点为 ,因为△
为等边三角形，则有
× 所以 c-
a2 =
c
3 2
骣???桫acb +
acb÷÷÷÷，即
c2 - a2 c
=
3 ab ,
c
MF = 3 PQ , 2
解得 b = 3a ，
．所以 e = c = 2 ． a
（ 2）由（ 1）得双曲线
的方程为
x2 -
a2
2019-2020 学年苏教版数学精品资料
第 2 章圆锥曲线与方程（苏教版选修 1-1 ）
建议用时 120 分钟
实际用时
满分 160 分
实际得分
一、填空题 ( 本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 )
x2 y2 1. 若椭圆 2 2 1(a b 0) 的离心率是

2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版

[解] 圆 F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心 F1(－5，0)，半径 r1＝1. 圆 F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a＝32，c
1．(1)已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选 A.]
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1，解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.

2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质(第2课时)课件新人教B版选修1_1

解析：由双曲线方程 mx2＋y2＝1，知 m<0，则双曲线方程可化为 y2－－x2m1 ＝1，则 a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－14.
答案：－14
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，半虚轴长为 2.
椭圆的几何性质主要有范围、对称性、两轴(长轴和短轴)、离心率等，类比椭圆的几何性质，你认为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有哪些性质？
双曲线的几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
焦点焦距范围对称性性顶点质轴长
n m
x＝±
mn m x.
题目类型二、由双曲线的几何性质求标准方程例2.已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线标准方程．
[策略点睛]
解：由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线 l：3x－y＝10 平行，
【错解】 ∵P(a，b)到 y＝x 的距离是 2，故|a－2b|＝ 2， ∴a－b＝±2. 又∵a2－b2＝1，∴(a＋b)(a－b)＝1，∴a＋b＝±12.
【错因】忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<0，故应有a－b＝－2.
【正解】 ∵点 P(a，b)到 y＝x 的距离为 2，故|a－2b|＝ 2， ∴a－b＝±2.又∵P 在双曲线的左支上，故 a－b<0，有 a－b＝－2. 又∵a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1，∴a＋b＝－12.

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质达

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质达标练新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质达标练新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质1.双曲线2x2—y2=8的实轴长是( )A.2 B。

2 C.4 D。

4【解析】选C。

双曲线标准方程为—=1，故实轴长为4。

2.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A。

m〉B。

m≥1 C.m>1 D。

m>2【解析】选C.双曲线离心率e=>，所以m>1.3.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标是________.【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x，所以m=—3，求得双曲线方程为—=1，从而得到焦点坐标(，0)，(-,0).答案:(,0）,(-，0)4.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1）与双曲线—=1有共同的渐近线，且过点（—3，2).（2）与双曲线—=1有公共焦点,且过点（3,2）.【解析】(1)设所求双曲线方程为—=λ(λ≠0）,将点（—3，2)代入得λ=，所以双曲线方程为—=,即-=1.(2)设双曲线方程为—=1(a>0，b〉0).由题意易求c=2.又双曲线过点(3，2），所以-=1.又因为a2+b2=(2）2,所以a2=12，b2=8。