江苏省泰兴中学苏教数学必修2教学案 2-13圆的一般方程

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圆的方程(2)教案高中数学必修二苏教版 Word版

2.2.1 圆的方程（2）教学目标：1．掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；2．利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式解决圆的方程求解；3．通过对例题的分析讲解，提高学生分析问题的能力．教材分析及教材内容的定位：培养学生主动探究知识，合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质．本节和圆的标准方程一起构成了圆的方程这个知识点，高考要求很高，需要很好的思维能力和计算能力，需要重点分析圆的方程求法，并且通过对比来寻找两种方程的适用性．教学重点：根据已知条件求出圆的一般方程．教学难点：如何选择两种方程，要学会分析问题．教学方法：讨论学习法．教学过程：一、问题情境情境：（1）(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标和半径分别是多少？（2）x2＋y2－2x－4y－4＝0所表示的曲线是什么？问题：x2＋y2－2x－4y－4＝0可以看作是关于x，y的二元二次方程，那么满足什么条件，一个二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是圆？二、学生活动1．思考情境问题：对于标准方程，可以直接看出其圆心坐标和半径，对于一般方程，需要先配方化为标准方程，再找出圆心坐标和半径2．研究一般情况下220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线如果是圆，则,,D E F 应满足的条件，方法仍然是配方．（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）；（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3．在例题中体会两种方程的互相转化，标准方程倾向于研究圆的几何性质，一般方程倾向于用计算解决圆的方程,最后可以由学生总结归纳．三、建构数学1．提出一般性问题：二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=满足什么条件表示的是圆（让学生配方，共同讨论）；2．在例题中，引导学生，根据题意，设出圆的一般方程并建立关于,,D E F 的方程组，归纳求圆的一般方程的方法-----待定系数法，并强调三元一次方程组的求解方法；3．运用圆的一般方程解决例题，可以启发学生再思考其他的方法：圆心在两点连线的中垂线上，利用的是几何法，跟待定系数法对比研究，如何选好两种方程解决问题，是本节课的重点．四、数学运用1．例题．例1 判断下列方程是否表示圆？如果是，请求出圆的圆心及半径．（1）x 2＋y 2＋4x －6y －12＝0；（2）x 2＋y 2－2x ＋y －5＝0．例2 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (4，3)，B (5，2)，C (1，0)，求外接圆的方程．例3 某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时，每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长(精确到0.01m)．2．练习．（1）已知圆M 经过抛物线122-+=x x y 与两坐标轴的所有交点，求圆M 的标准方程．（2）已知方程22242(3)2(14)1690(R)x y t x t y t t +-++-++=∈表示的图形是圆．（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求其中面积最大的圆的方程；（Ⅲ）若点2(3,4)P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．本节课主要学习了圆的一般方程，要求学生掌握待定系数法求轨迹方程的方法；2．如何选择两种方程，要学会具体问题具体分析．。

高中数学2.2圆与方程教案苏教版必修2

圆与方程（1）教学目标：知识与技能：掌握圆的标准方程；由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据已知条件求出圆的标准方程．过程与方法：培养学生用坐标法研究几何问题的能力；增强学生用数学的意识．情感、态度与价值观：让学生体验数学与生活的联系，树立数学源于生活又服务于社会生活的观念，培养学生用数学的眼光审视现实生活问题的意识，提高学生用数学知识解决实际问题的能力．教学重点：根据已知条件求出圆的标准方程．教学难点：运用几何法和待定系数法求圆的标准方程．教学方法：讨论学习法．教学过程：一、问题情境情境问题：回忆初中学习圆的定义及圆当中一些重要定理，比如垂径定理，并提出问题：如何建立圆的方程？二、学生活动1．回忆初中时学习有关圆的知识（学生可以进行口答，互相补充，活跃课堂气氛，体现学生的主体地位）；2．小组交流讨论如何求圆的方程：第一步，建立适当的直角坐标系；第二步，设动点坐标为(,)x y ，r =；第四步，化简方程得出圆的方程222x y r +=．3．讨论归纳：总结出圆的标准方程（222()()x a y b r -+-=），并推广到一般性的轨迹求法(建系，设点，列方程，化简)．三、建构数学1．引导学生回顾知识，对于垂径定理要突出介绍，对以后的解题有很大帮助，为以后作铺垫；2．推导圆的方程并总结步骤，在推导中明确指出解析法在解决几何问题中的作用，充分体现平面解析几何的主旨，让学生形成一种意识，几何问题可以用计算来解决，而有些代数问题，又可以用图形来直观体现，让学生深刻体会数形结合思想的重要性；3．运用圆的方程解决例题，例题主要是给出相关条件求圆的标准方程，在解决这类问题时有两种思路：（1）几何法，利用平面几何知识来确定圆心和半径；（2）待定系数法，设圆的标准方程，通过已知建立方程组，解方程组．四、数学运用1．例题．例1 求圆心是C (2，－3)，且经过坐标原点的圆的标准方程．解：圆C 经过坐标原点，∴圆C 的半径13)3(222=-+=r∴所求圆的方程是13)3()2(22=++-y x2．练习．1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为4.（2）经过P (-1，3)，圆心为C (0，2).2.求以点C (-1，-5)为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程．3.求以C (3，-5)为圆心，且和直线3x -4y -4=0相切的圆的方程．例2 圆心在直线0132=--y x 上的圆与x 轴交于A (0，0)，B (4，0)两点，求该圆的方程．变式1 求过点M （0，1），N （2，1），半径为5的圆的方程。

苏教版高中数学必修二圆与方程学案

《圆与方程》学案一、学习目标1、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义,学会判定二元二次方程表示圆的条件,能用这些知识求圆的方程.2、掌握判断直线与圆的位置关系的方法.二、重点、难点重点: 圆的方程, 直线与圆的位置关系.难点：二元二次方程表示圆的条件.三、知识点全解1、确定圆方程的条件圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-中，有三个参数r b a ,,，只要求出r b a ,,这时圆的方程就被确定．因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．确定圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。

定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，一般步骤为：(1)根据题意，没所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x(2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；(3)解方程组。

求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．2、点),(00y x P 与圆的位置关系:若22020)()(r b y a x =-+-，则点P 在圆上；若22020)()(r b y a x >-+-,则点P在圆外；若22020)()(r b y a x <-+-,则点P 在圆内； 3、二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否表示圆的条件：先将二元二次方程配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++①,(1)当0422>-+F E D 时，方程①表示以)2,2(E D -为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2)当0422=-+F E D 时，方程①表示点)2,2(E D -；（3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实根，因此它不表示任何图形.当方程①表示圆时，我们把它叫做圆的一般方程，确定它需三个独立条件,,,F E D 且0422>-+F E D ，这就确定了求它的方程的方法——待定系数法，注意用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.4、直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种:(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究。

高中数学：2.2《圆的一般方程》教案(苏教教必修2)

高中数学：2.2《圆的一般方程》教案（苏教教必修2）第14课时圆的一般方程教学目标（1）掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；（2）能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；（3）解题过程中能分析和运用圆的几何性质．教学重点圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用．教学难点圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程．教学过程一、问题情境1．情境：方程22(1)(2)4x y -+-=表示怎样的图形？2．问题：方程22(1)(2)4x y -+-=是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？二、学生活动观察方程22(1)(2)4x y -+-=整理后的形式222410x y x y +--+=，得到是关于,x y 的二元二次方程，且22,x y 项的系数相等不为零，不含有xy 项；反过来，像这样的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=一定表示圆吗？三、建构数学将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得22221()()(4)224D E x y D E F +++=+-与圆的标准方程进行比较得到：1．当2240D E F +->时，方程表示以(,)22D E --为圆心，2为半径的圆；2．当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； 3．当2240D E F +-<时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->叫做圆的一般方程．四、数学运用1．例题：例1．求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程；分析：由于12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 不在同一条直线上，因此经过12,,O M M 三点有唯一的圆．解：法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵12,,O M M 三点都在圆上，∴12,,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 代入所设方程，得：02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解之得：860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=．法二：也可以求1OM 和2OM 中垂线的交点即为圆心，圆心到O 的距离就是半径也可以求的圆的方程：22860x y x y +-+=．法三：也可以设圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=将点的坐标代入后解方程组也可以解得22(4)(3)25x y -++=例2．已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？解：设点A 的坐标是00(,)x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是AB 的中点，所以0043,22x y x y ++==（＊）于是，有0024,23x x y y =-=-因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=，即2200(1)4x y ++=（＊＊）将（＊）式代入（＊＊），得22(241)(23)4x y -++-=，整理得2233()()122x y -+-=所以,x y 满足的关系为：2233()()122x y -+-= 其表示的曲线是以33(,)22为圆心，１为半径的圆．说明：该圆就是M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是M 点的轨迹方程：点M 的轨迹方程就是指点M 的坐标(,)x y 满足的关系式．例3．某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．解：以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系，那么点,,A B P 的坐标分别为(18,0),(18,0),(0,6)-；设圆拱所在的圆的的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵点,,A P B 在所求的圆上，则坐标代入得：2221818018180660D F D F E F ⎧++=⎪-+=⎨⎪++=⎩，解之得048324D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ ∴圆拱所在的圆的方程为22483240x y y ++-=；将点2P 的横坐标6x =代入圆方程，解得24 5.39y =-+≈（舍去负值）答：支柱22A P 的长约为5.39米．2．练习：课本102P 练习第4,5,6题；课本103P 第8题．五、回顾小结：1．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=及其条件2240D E F +->； 2．方程思想求圆的一般方程．六、课外作业：课本第102页第5,6,7,9,10题．。

高中数学必修2《圆的一般方程》教案

高中数学必修2《圆的一般方程》教案高中数学必修2《圆的一般方程》教案一.复习引入提问：以A(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?讨论并归纳回答。

复习巩固加强记忆。

二.新课讲授1.思考：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?2.教师提问：(1).是不是任何一个形如的方程表示的曲线都是圆?(2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示：与圆的标准方程进行比较。

)综上所述，方程表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把方程 ( )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程比较我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)学生根据已有的知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。

1.2.(让学生相互讨论后,由学生总结)配方得总结当时，此方程表示以(- ，- )为圆心, 为半径的圆;当时，此方程只有实数解，，即只表示一个点(- ，- );当时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项使新知识建立在学生已有的知识上设置问题：提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。

提高学生分析问题和解决问题的能力。

圆的标准方程圆的一般方程方程圆心半径r优点几何特征明显突出方程形式上的特点问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。

练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.三.例题讲解：例1：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析:已知曲线类型,应采用待定系数法使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：1.根据题意，选择标准方程或一般方程;2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

高中数学教案：《圆的标准方程与一般方程》苏教版必修二

一．教学目标
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据方程写出圆心坐标和半径。

2.掌握求圆方程的方法
3.培养学生总结归纳的习惯及发散性思维
二．教学重点：
圆方程的确定
三．教学难点：
如何选择适当的方程与方法确定圆方程
问题：下列各方程是否表示圆，若表示圆，求其圆心与半径。

(1) 2240
+-=
x y x
(2) 224250
+--+=
x y x y
知识与回顾：
1.圆220
+-++=与x轴无公共点，则m取值范围_____________
x y x y m
2.圆上一点M（1关于直线y=x－2的对称点仍在圆上。

圆心（a,2a-4）,
求圆的方程________________________________
典题分析：
例1：求过两点A(4,2) , B(－1,3) 且圆心在直线x－y－1＝0上的圆方程。

变式训练：
一圆经过A(4,2),B(-1,3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。

例2：已知圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且圆
与直线x-y+1=0相交弦长，求圆方程。

课后练习：
1.已知圆和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1)。

且经过点（9，6），求圆方程。

2.求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为
圆方程。

课堂小结：1.对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。

作业：.练习册上〈圆的方程〉一节内容。

高二数学苏教版必修二学案：2.2 圆与方程第2课时---圆的一般方程

课题：§2.2 圆与方程第2课时圆的一般方程主备人：陈高峰学习目标：（1）掌握圆的一般方程，能由圆的一般方程写出圆心的坐标和圆的半径；（2）能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程．学习重点：掌握圆的一般方程．学习难点：如何根据不同条件，合理选择圆的方程的形式来求解．【温故习新·导引自学】1．将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得___________________________．与圆的标准方程进行比较得到：（1）当2240D E F +->时，方程表示____________________________；（2）当2240D E F +-=时，方程表示____________________________；（3）当2240D E F +-<时，方程________________________________．2．圆的一般方程为________________________________，其中圆心为 _ ，半径为．3．若二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆方程，则参数满足的条件为_______________．【交流质疑·精讲点拨】例1、已知圆C 的方程为02)1()2(22=-+++-++m y m x m y x ，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径：（1）圆心在x 轴上；（2）圆的面积最小；（3）圆心距离坐标原点最近．例2、已知△ABC 的三个顶点的坐标是)5,5(),2,2(),5,1(C B A ---，求它的外接圆方程，并求出这个圆的圆心及半径．变式、已知圆C 经过)2,2(),5,1(---B A 两点，且在两坐标轴的四个截距之和为6-，求圆C 的方程．例3、设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【当堂反馈·效果评价】1、已知022=++++F Ey Dx y x 圆心为（-2，3），半径为4，则=D ____=E __ F= ___．2、已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则=b ．3、已知圆在轴上x 截距分别为1和3，在y 轴上的一个截距为-1，求这个圆方程．【作业巩固·拓展迁移】1、若02)2()12(2222=+++-+-+m y m m x m m 表示一个圆的方程，则=m ．2、已知圆032:22=-+++ay x y x C （a 为实数），上任意一点关于直线02:=+-y x l 的对称点都在圆C 上，则=a ________．3、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22，则=a ________． 4、经过圆0222=++x y x 的圆心G ，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是________．5、已知R m ∈，则圆0222222=-+-+m mx y x 的半径最大时圆的方程为________．6、已知△ABC 顶点A(0,0),B(1,1),C(4,2)，求△ABC 外接圆方程，并求出这个圆的圆心及半径．7、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 取值范围；（2）实数m 取何值时圆面积最大；（3）求圆心坐标所满足的曲线方程．8、圆经过A(4,2)，B(-1,3)两点，且在两坐标轴的4个截距之和为2，求圆的方程．9、证明)3,4(),5,4(),3,2(),4,1(D C B A --四点共圆．10、已知过点)1,0(A 和),4(a B 且与x 轴相切的圆只有一个，求实数a 的值及圆的方程．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.1 圆的方程》3

课题：圆的一般方程1、知识与技能：1在掌握圆的标准方程的根底上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程2＋2＋D＋E＋F=0表示圆的条件．2能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

会求动点M的坐标满足的关系式。

3:培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2、过程与方法：通过对方程2＋2＋D＋E＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，鼓励学生创新，勇于探索。

1、本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。

编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

第一板块问题提出解读方程表示圆，展开后形式是什么？展开后是一个关于,的二元二次方程。

这个方程形式的特点是二次项系数相等。

第二板块探索研究解读方程在什么条件下表示圆？配方得。

1当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；2当时，方程表示一个点；3 当时，方程不表示任何图形。

关于的二元二次方程成为圆方程的充要条件是1和的系数相同且不等于0，即A=C0；2没有这样的二次项，即B=0；3 。

对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。

根据条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据条件而定。

第三板块思考交流解读1、圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？2、相关例题的求解。

1、圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程说明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。

圆的一般方程与圆的标准方程可以相互转化。

2、让学生通过对同一个类似问题的两种解法的比拟，一方面加深对解题方法的理解；另一方面促使学生养成解题后反思的良好习惯．例2 三角形ABC顶点的坐标为求三角形ABC外接圆的方程。

江苏省泰兴中学苏教数学必修2教学案 2-12圆的标准方程

江苏省泰兴中学高一数学教学案(112)必修2 圆的标准方程班级姓名目标要求:1．掌握圆的标准方程的形式特点；2．根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程；从圆的标准方程求出它的圆心和半径；3．会用待定系数法求圆的标准方程．重点难点：圆的标准方程的应用典例剖析例1、写出下列圆的标准方程：（1）圆心在C(8，-3)，且经过点M(5，1)___________________________（2）圆心在C(3，4)，且与x 轴相切.________________ _________（3）以点P 1(4，9)，P 2（6，3）为直径的两个端点的圆的方程________________________（4）圆C ：2)3()1(22=++-y x 关于直线y x =对称的圆的标准方程____________例2、求下列圆方程：（1）过点A(0,4)，B （4,6），且圆心在直线x －2y-2=0上的圆（2）圆心C(0，3)，且截直线y=x+1所得的弦长为4（3）圆心在直线2y x 上，且与直线y=1－x 相切于点（2，－1）例3、已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？学后反思1、圆的标准方程___________________.2、求圆的标准方程的关键是确定_________、__________3、如何确定点与圆的位置关系_____________________________________________.课堂练习1、若圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则这个圆的圆心坐标为________，半径为______.2、点P(4，3)与圆2224x y +=的位置关系是：_______________.3、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的最短距离是__________.4．已知圆222()()(0)x a y b r r -+-=>，(1) 满足条件时，圆过原点；(2) 满足__________________条件时，圆心在y 轴上；(3) 满足__________________条件时，圆与x 轴相切；(4) 满足__________________条件时，圆与两坐标轴相切.5．若一个圆的圆心坐标为（2，－3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是____________________.6、方程1x -=表示什么曲线？并在直角坐标系中画出曲线。

苏教版数学高一高中数学苏教版必修2导学案圆的方程2

2.2.1 圆的方程（2）学习目标1. 掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，2. 能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．3. 会用代定系数法求圆的一般方程.学习过程一学生活动问题1．已知一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？二建构知识1．圆的一般方程的推导过程．2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？三知识运用例题例1 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．例3 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数m 的取值范围．巩固练习1．下列方程各表示什么图形？（1）0)2()1(22=++-y x ；（2）044222=-+-+y x y x ；（3）0422=-+x y x ；（4）02222=-++b ax y x ；（5）052422=+--+y x y x ．2．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直线x y =对称，那么必有（）A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程．2P P B A O y x 2A四回顾小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．五学习评价双基训练：1圆222440x y x y ++--=的圆心坐标为________,半径r=__________.2已知圆220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为（-2，3），半径为4，则D ，E ，F 的值分别是___________.3若方程224250x y kx y k ++-+=表示的图形是圆,则实数k 的取值范围是_________. 4经过点O(0，0)，A(2，0)，B(0，4)的圆的一般方程是__________________.5经过两点O(0，0)，A(2，2)的所有圆中面积最小的圆的一般方程为__________________. 6若圆220x y Dx Ey F ++++=与y 轴切于原点，则D ，E ，F 满足____________. 7求满足下列条件的圆的一般方程：a) 经过点A （4，1），B （-6，3），C （3，0）；b) 在x 轴上的截距分别为1和3，在y 轴上的截距为-1.8.点A 是圆C ：22450x y ax y +++-=上任意一点，且A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上，求实数a 的值.拓展延伸：9、等腰梯形ABCD 的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并指出圆的圆心和半径.。

苏教版必修2高中数学21圆的一般方程word学案

圆的一般方程教案班级学号姓名学习目标1. 掌握方程 x 2y 2DxEyF 0 表示圆的条件；2. 能由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；3. 能用待定系数法，求圆的方程；4. 解题过程中能剖析和运用圆的几何性质.课前准备问题 1：⑴已知一个圆的圆心坐标为(1,1)，半径为 3, 则圆的方程为.⑵已知一个圆的圆心坐标为 (2,3) ，半径为 1.，则圆的方程为问题 2：将上述所求方程睁开后，获得了两个什么样的方程？讲堂学习一、要点难点要点：①能由一般方程求出圆心坐标和半径；②能用待定系数法求圆的方程 .难点：方程 x 2y 2Dx Ey F 0 表示圆的条件 .二、知识建构问题 1. 以下方程可否表示圆？ ① x 2 y 2 6x 2 y 6 0 ② x 2y 2 2x 2 y 2 0 ③ x 2y 2 2x 4 y 6问题 2：方程 x 2y 2 Dx Ey F0 的可否表示圆？经过配方此后发现，方程⑴ ，方程表示 ;⑵ ，方程表示；⑶，方程.圆的一般方程的定义：方程叫做圆的一般方程 .此时圆心坐标为，半径为练习：以下方程各表示什么图形？若表示圆，写出其圆心和半径 .⑴ x 2 y 2 4x 0;;⑵ x 2 y 2 4x 2 y 5 0.. ⑶ x 2 y 2 7 y 50 0.. ⑷ 2x 2 2y 25x 0..⑸ x 2y 2 2by0(b0)..三、典型例题例1.已知ABC 极点的坐标为 A(4,3), B(5,2), C (1,0), 求 ABC 外接圆的方程 .例 2. 某圆拱桥梁的表示图如右图所示，该圆拱的跨度AB 是36m,拱高 OP 是 6m ，在建筑时, 每隔3m需要一个支柱 , 求支柱A2P2的长？例 3. 已知方程x2y 22kx 4y 3k 8 0 表示一个圆，求k 的取值范围.变式： x2 y2 2mx (2 m 2) y 2m2 0 表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，务实数 m 的取值范围？五、学法指导1. 方程中x2y2Dx Ey F0 含有三个参变数，所以一定具备三个独立的条件，才能确立一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转变.2. 待定系数法是数学中常用的一种方法，在从前也已运用过. 比如：由已知条件确立二次函数，利用根与系数的关系确立一元二次方程的系数等. 这类方法在求圆的方程有着宽泛的运用，要求娴熟掌握.3.使用待定系数法的一般步骤：⑴依据题意，选择标准方程或一般方程；⑵依据条件列出关于 a, b, r 或 D , E, F 的方程组；⑶解出a,b, r或D , E, F，代入标准方程或一般方程.课后复习一、稳固练习1. 圆心为(1, 1)，半径为 3 的圆的一般方程为.2.写出以下各圆的圆心坐标和半径：⑴ x2y23x 4 y0.圆心C，半径为 r.⑵ x2y22x50 .圆心 C，半径为 r.⑶ x2y22mx0(m0).圆心C，半径为 r.x2y2Dx Ey F0表示以 ( 2,4)为圆心，半径等于 4 的圆，3.若方程则 D,E,F.4.经过点 O(0,0),A(2,0), B(0,4)的圆的一般方程是.x2y 2x y m0表示圆，则实数m 的取值范围是.5.若方程6.圆 x2y 26x 4 y0 的面积为.7.圆的方程为 x2y2kx 2y k 20, 当圆面积最大时，圆心坐标为.8.若直线 4ax3by 60( a,b R ) 一直均分圆 x2y26x 8 y 10 的周长，则 a,b 知足的条件是.9.求经过三点 A( 1,5), B(5,5), C (6, 2) 的圆的方程.10. 已知圆x2y24x 2by b20 与 x 轴相切，求b的值.11. 求圆x2y22x 2y 1 0 对于直线 x y 3 0 对称的圆的方程.阅读拓展：1. 点M ( x0, y0)与圆(x a)2( y b)2r 2的关系的判断方法：⑴ (x0a) 2( y0b)2r 2 , 点在圆外；⑵ (x0a) 2( y0b)2r 2 , 点在圆上；⑶ (x0a) 2( y0b)2r 2 , 点在圆内；2.几种特别地点的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2y2r 2 (r0)圆心在 x 轴上( x a) 2y2r 2 (r0)圆心在 y 轴上x2( y b)2r 2 (r0)圆心在 x 轴上且过原点( x a)2y2a2 (a0)圆心在 y 轴上且过原点x2( y b)2b2(b0)圆与 x 轴相切(x a)2( y b) 2b2 (b0)圆与 y 轴相切( x a)2( y b) 2a2 (a0)圆与两坐标轴相切( x a)2( y b)2a2( a b0)。

苏教版高中数学(必修2)2.2《圆与方程》精品教案.doc

16的位置关圆与方程复习一、知£只当梳理1. 圆的标准方程：2. 圆的一般方程：3. 直线与圆的位置关系的判断：4. 圆与圆的位置关系的判断:二、典例分析例1：已知两点Pi (4, 9)和P?(6, 3),求以P|P?为直径的圆的方程，并且判断点 M (6, 9), N (3, 3), Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外。

以C (1, 3)为圆心，并例 2：圆 X? + 寸=4 与圆(X —3) 2 + (y —4) 2 例3：求且和直线3x—4y—7=0相切的圆的方程.例4：过点A (3, 1)和B (-1, 3),且它的圆心在直线3x—y—2=0上的圆的方程。

例5：求半径为10,和直线4x+3y—70=0切于点(10, 10)的圆的方程。

例6：已知圆的方程是?+y2=r2,求经过圆上一点M (x0,为)的切线的方程.例7：求过点A (2, 4)向圆x2 + y2 = 4所引的切线方程。

例&已知一圆与y轴相切，圆心在直线/：x—3y = 0上，且被直线y=x截得的弦AB长为2^7 ,求圆的方程。

例9：求过二点0 (0, 0)、M| (1, 1)、M2 (4, 2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.例1。

：已知-曲线是与两个定点。

(0, 0)、A (3, 0)距离的比为*的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.例11：已知曲线C： (1+a) x2+ (1+a) y 2—4x+8ay=0, (1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。

例12：已知圆方程为x2 + y2-4x-2y-20=0, (1)斜率为一扌的直线/被圆所截线段长为8,求：(1)直线方程；(2)在圆上求两点A和B,使它们到直线/：4x+3y+19 = 0的距离分别取得最大值或最小值。

例13：自点A (-3, 3)发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2—4x—4y+7 = 0相切，求光线/所在直线的方程。

苏教版高中数学必修二第课时圆的方程1教案

让学生学会学习第一节圆的方程（1）【学习导航】知识网络学习要求1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； 3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．【课堂互动】自学评价1. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>.则为：222(0)x y r r +=>； 2. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程方程为：221x y +=． 3. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．【精典范例】例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴22(2)(3)7x y -+-=； ⑵22(5)(4)18x y +++= ⑶22(1)3x y ++= ⑷22144x y += ⑸22(4)4x y -+=【解】（如下表）据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．听课随笔让学生学会学习例2：（１）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N -是否在这个圆上；（２）求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．【解】（１）∵圆心为(2,3)A -，半径长为5， ∴该圆的标准方程为：22(2)(3)25x y -++=．把点(5,7)M -代入方程的左边，2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边，即点(5,7)M -的坐标适合方程， ∴点(5,7)M -是这个圆上的点；把点(1)N -的坐标代入方程的左边，22(2)(13)1325+-+=+≠．即点(1)N -坐标不适合圆的方程， ∴点N 不在这个圆上．（２）法一：∵圆C 的经过坐标原点， ∴圆C 的半径为：r ===，因此所求的圆的方程为：22(2)((3))13x y -+--=，即22(2)(3)13x y -++=．法二：∵圆心为(2,3)C -，∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=，∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=，所以213r =， ∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例3：（１）求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；（２）已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程．分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与x 轴相切即可求出半径．（２）根据PQ 为直径可以得到相应的圆心与半径．【解】（１）∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2；所以圆的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=．（２）∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M ，又因为||PQ ==让学生学会学习210=，所以||102PQ r ==， ∴圆的标准方程为：22(5)(6)10x y -+-=．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例４：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当 3x =时的值，比较得出结论．【解】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径 AB 所在的直线为x 轴，为：2216(0)x y y +=≥建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程将3x =代入得2163793 3.5y =-=<=<，即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为am ，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将x a =代入得216y a =-，即限高为216a -m ．追踪训练一（１）圆心在原点，半径为6；（２）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -．【解】（１）2236x y +=；（２）22(2)(2)41x y -++=．２．求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程．【解】由题意：半径1r =，所以圆的方程为：22(1)(5)1x y +++=． (5,6)A ，(3,4)C -，求该圆３. 圆的内接正方形相对的两个顶点为的方程．【解】由题意可得AC 为直径，所以AC 的中点M 为该圆的圆心即(4,1)M 又因为22||(53)(64)4100AC =-++=+听课随笔让学生学会学习=||2AC r == ∴圆的标准方程为：22(4)(1)26x y -+-=．４．求过两点(0,4)A ，(4,6)B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程．【解】设圆心坐标为(,)a b ，圆半径为r ，则圆方程为222()()x a y b r -+-=， ∵圆心在直线220x y --=上， ∴220a b --= ①又∵圆过两点(0,4)A ，(4,6)B ，∴222(0)(4)a b r -+-= ②且222(4)(6)a b r -+-= ③由①、②、③得：4,1,5a b r ===，∴圆方程为22(4)(1)25x y -+-=．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．听课随笔。

高中数学苏教版必修2导学案221 圆的方程 1.doc

2.2.1圆的方程(1)学习目标1.掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径.2.会用代定系数法求圆的基本量a、b. r.学习过程一学生活动问题1.在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程.那么, 一个圆能不能用方程表示出来呢？问题2.要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？二建构知识1.圆的标准方程的推导过程：2. ______________________________________________________________________ 圆的标准方程：______________________________________________________________________ .3.点在圆内、圆上、圆外的等价条件三知识运用例题例1 求圆心是C(2, - 3)，且经过原点的圆的标准方程.例2 已知隧道的截面是半径为4肌的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7/77,高为3m的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为Q加那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 (1)已知圆的直径的两个端点是4(-1,2), B(7, 8).求该圆的标准方程.(2)已知圆的直径的两个端点是A(x r几)，Bg，y2).求该圆的标准方程.例4 求过点A(l, -1), B(-1, 1)，且圆心C在直线x+y-2 = 0上的圆的标准方程.巩固练习1.圆C： (x —3尸+(y + 2)2 =9的圆心坐标和半径分别为 ____________ ； ___________ .2.圆心为(3, -4)且与直线3x-4y-5 = 0相切的圆的标准方程为______________________ •3.以(4, -2)为圆心且过点(1, 2)的圆的标准方程为_________________________ ■4.若点(一1, 1)在圆(x — a)2+(y + 2)2 =25夕卜，则实数a的取值范围是 _____________5.求过点P(12, 0)且与y轴切于原点的圆的标准方程.四回顾小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程. 五学习评价基础训练1.圆心在C (8,-3),且经过点M(5,l)的圆的方程为______________________ •2已知两点P(4,9),P，(6,3),则以线段PP'为直径的圆的方程是________________ •3以点A (-5, 4)为圆心，且与X轴相切的圆的方程是 ___________________ .4设M是圆(x —5『+(y —3)2 =9上的点，则M到直线3x + 4y-2 = 0的最短距离是5.在圆(x-a)2+(y-Z?)2 = r2(r>0)中，满足条件_____________ 时，圆过原点；满足条件________时，圆心在y轴上，满足条件_______ 时，圆与x轴相切；满足条件 _______ 时，圆与两坐标轴均相切.6.若一个圆的圆心坐标为(2, -3), —条直径的两个端点分别落在x轴和y轴上，则此圆方程是__________•7.求圆(x-3)2+(y-4)2= 1关于直线x+y = 0对称的圆的方程.&求过点A (1, 2),且与两坐标轴都相切的圆的方程.拓展延伸9.若圆(x-3)2+(y + 5)2 =r2±有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,求半径r的取值范围，若改为3个点呢？。

高中数学第二章第13课《圆的方程》教案(2)(学生版 ) 苏教版必修2

第二节圆的方程（2）【学习导航】知识网络学习要求1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．自学评价 1．以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：_____________________________． 2.将222()()x a y b r -+-=展开得： _________________________________． 3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？_________________ （１）当2240D E F +->时，方程表示以________________为圆心， ____________________为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程表示 ______________________________；（3）当2240D E F +-<时， ______________________________；４．圆的一般方程：_________________ ．注意：对于圆的一般方程（１）2x 和2y 的系数相等，且都不为0（通常都化为1）；（２）没有xy 这样的二次项；（３）表示圆的前提条件： 2240D E F +->，通常情况下先配方配成22()()x a y b m -+-=，通过观察m 与0的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件2240D E F +->．【精典范例】例１：求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程．【解】：例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是 (4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？【解】例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到米）．【解】听课随笔追踪训练一 1.下列方程各表示什么图形？（１）2240x y x +-=；（２）224250x y x y +--+=；（３）1x -=．２．圆22680x y y ++-=的圆心为：_____，半径为：__________．３. 求过三点(4,1),(6,3),(3,0)A B C -的圆的方程．４.求圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的图形的方程．思维点拔：在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．听课随笔。