2021高考物理一轮复习第7章静电场第3讲电容器与电容带电粒子在电场中的运动学案新人教版

第3讲 电容器与电容 带电粒子在电场中的运动
主干梳理 对点激活
知识点
常见电容器 Ⅰ
电容器的电压、电荷量和电容的关系 Ⅰ1.电容器 (1)组成：由两个彼此□
01绝缘又相互靠近的导体组成。

(2)带电量：一个极板所带电荷量的□02绝对值。

(3)电容器的充电、放电
①充电：使电容器带电的过程。

充电后电容器两极板带上等量的□03异号电荷，电容器中储存电场能。

②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程。

放电过程中□04电场能转化为其他形式的能。

③充电时电流流入正极板，放电时电流流出正极板。

2．常见的电容器
(1)分类：从构造上可分为□
05固定电容器和□06可变电容器。

(2)击穿电压：加在电容器极板上的□
07极限电压，超过这个电压，电介质将被击穿，电容器损坏；电容器外壳上标的电压是□
08额定电压，这个电压比击穿电压□09低。

3．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量Q 与电容器两极板间的电势差U 的比值。

(2)定义式：C ＝□
10Q U 。

推论：C ＝ΔQ ΔU。

(3)单位：法拉(F)，1 F ＝□
11106
μF＝□121012
pF 。

(4)物理意义：表示电容器□13容纳电荷本领的物理量。

(5)决定因素
电容C 的大小由电容器本身结构(大小、形状、正负极相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及所带电荷量(或两端所加电压)无关。

4．平行板电容器及其电容
(1)影响因素：平行板电容器的电容与两极板□14正对面积成正比，与两极板间介质的□15相对介电常数成正比，与□
16两板间的距离成反比。

(2)决定式：□17C ＝εr S
4πkd
，k 为静电力常量。

知识点
带电粒子在匀强电场中的运动 Ⅱ
1．加速问题
若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子的□01动能的增量。

(1)在匀强电场中：W ＝qEd ＝qU ＝□0212mv 2－1
2
mv 20。

(2)在非匀强电场中：W ＝qU
＝□0312mv 2－12mv 20。

2．偏转问题
(1)条件分析：不计重力的带电粒子以速度v 0□04垂直于电场线方向飞入匀强电场。

(2)运动性质：□
05类平抛运动。

(3)处理方法：利用运动的合成与分解。

①沿初速度方向：做□
06匀速直线运动，运动时间t ＝l
v 0。

②沿电场方向：做初速度为零的□07匀加速直线运动。

③运动过程，如图所示：
⎩⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎧
加速度：a ＝F m ＝□
08qE m ＝□09qU md
运动时间⎩⎪⎨⎪⎧
a.能飞出平行板：t ＝□10l
v 0
b.打在平行极板上：y ＝12at 2
＝12·qU
md
t 2
，
t ＝ 2mdy qU 离开电场时的偏移量：y ＝12at 2
＝□
11qUl 2
2mv 2
d
离开电场时的偏转角：tan θ＝v y
v 0
＝□12qUl
mv 20
d
知识点 示波管 Ⅰ
1．构造
示波管的构造如图所示，它主要由□01电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。

2．工作原理
(1)如果偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿□02直线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。

(2)示波管的YY′偏转电极上加的是待显示的□03信号电压，XX′偏转电极上加的是仪器
05周期相同，就可自身产生的锯齿形电压，叫做□04扫描电压。

若所加扫描电压和信号电压的□
以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图象。

一堵点疏通
1．电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。

( )
2．电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。

( )
3．标有“1.5 μF,9 V”规格的电容器，其所带电荷量定为1.35×10－5 C。

( ) 4．平行板电容器充电后与电源断开，则电荷量Q一定；若一直与稳压电源连接，则电压U不变。

( )
5．带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。

( )
6．带电粒子在电场中运动时，不加特别说明重力可以忽略不计，带电微粒、带电液滴在电场中运动时，不加特别说明重力不可以忽略不计。

( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.√
二对点激活
1．(教科版选修3－1·P40·T9)关于电容器的电容，下列说法中正确的是( )
A．电容器所带电荷量越多，电容越大
B．电容器两板间电压越低，其电容越大
C．电容器不带电时，其电容为零
D．电容器的电容只由它本身的特性决定
答案 D
解析 电容器所带电荷量越多，板间电压越大，但电容不变，A 错误；电容器所带电荷量越少，其两板间电压越低，但电容不变，B 错误；电容表示电容器容纳电荷本领的大小，电容器不带电时，其电容不为零，C 错误；电容表示电容器容纳电荷本领的大小，由电容器本身的特性决定，D 正确。

2．(人教版选修3－1·P 32·T 1改编)(多选)如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U ，电容器已带电，则下列判断正确的是( )
A ．增大两极板间的距离，指针张角变大
B ．将A 板稍微上移，静电计指针张角变大
C ．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D ．若减小两板间的距离，则静电计指针张角变小 答案 ABD
解析 静电计的原理是电势差U 变大(小)，指针张角变大(小)。

电容器所带电荷量一定，由公式C ＝εr S 4πkd 知，当d 变大时，C 变小，再由C ＝Q
U 得U 变大，指针张角变大，A 正确；当A
板上移时，正对面积S 变小，C 也变小，U 变大，指针张角变大，B 正确；当插入玻璃板时，相对介电常数εr 增大，C 变大，U 变小，指针张角变小，C 错误；当两板间的距离减小时，C 变大，U 变小，指针张角变小，D 正确。

3．(人教版选修3－1·P 39·T 3)先后让一束电子和一束氢核通过同一对平行板形成的偏转电场，进入时速度方向与板面平行，在下列两种情况下，分别求出离开时电子偏角的正切与氢核偏角的正切之比。

(1)电子与氢核的初速度相同； (2)电子与氢核的初动能相同。

答案 (1)m H m e
(2)1
解析 设偏转电压为U ，带电粒子的电荷量为q ，质量为m ，垂直进入偏转电场的速度为
v 0，偏转电场两极板间距离为d ，极板长为l ，则粒子在偏转电场中的加速度a ＝qU
dm
，在偏转
电场中运动的时间为t ＝l v 0，粒子离开偏转电场时沿静电力方向的速度v y ＝at ＝qUl
dmv 0
，粒子离开偏转电场时速度方向的偏转角的正切值tan θ＝v y v 0＝
qUl
dmv 20。

(1)若电子与氢核的初速度相同，则tan θe tan θH ＝m H
m e 。

(2)若电子与氢核的初动能相同，则tan θe
tan θH
＝1。

考点细研 悟法培优
考点1 平行板电容器的动态分析 1.对公式C ＝Q U
的理解
电容C ＝Q U
，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关。

2．运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路 (1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变。

(2)用决定式C ＝εr S
4πkd
分析平行板电容器电容的变化。

(3)用定义式C ＝Q U
分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化。

(4)用E ＝U d
分析电容器两极板间电场强度的变化。

3．电容器两类问题的比较 (1)U 不变
①根据C ＝Q U ＝εr S
4πkd 先分析电容的变化，再分析Q 的变化。

②根据E ＝U d
分析场强的变化。

③根据U AB ＝E ·d ＝φA －φB 分析某点电势变化。

(2)Q 不变
①根据C ＝Q U ＝εr S
4πkd
先分析电容的变化，再分析U 的变化。

②根据E ＝U d
＝4k πQ
εr S
分析场强变化。

结论： 分类 充电后与电池两极相连
充电后与电池两极断开
不变量
U
Q
d 变大 C 变小→Q 变小、E 变小 C 变小→U 变大、E 不变 S 变大 C 变大→Q 变大、E 不变 C 变大→U 变小、E 变小 εr 变大
C 变大→Q 变大、E 不变
C 变大→U 变小、E 变小
r 极板等大的导体板，相当于d 减小。

例1
(2019·河南郑州模拟)如图所示，M 、N 为平行板电容器的两个金属极板，G 为静电计，开始时闭合开关S ，静电计张开一定角度。

则下列说法正确的是( )
A ．开关S 保持闭合状态，将R 的滑片向右移动，静电计指针张开角度增大
B ．开关S 保持闭合状态，将两极板间距增大，静电计指针张开角度增大
C ．断开开关S 后，将两极板间距增大，板间电压不变
D ．断开开关S 后，紧贴下极板插入金属板，板间场强不变
(1)静电计张角增大，表示什么含义？
提示：表示平行板电容器两极板间电压增大。

(2)平行板电容器充电完毕后与电源断开后，不变量是什么？ 提示：电量。

尝试解答 选D 。

保持开关S 闭合，电容器两端的电势差等于电源的电动势，故电容器两端的电势差总不
变，因此无论将R 的滑片向右移动，还是将两极板间距增大，静电计指针张角都不变，A 、B 错误；断开开关S 后，电容器带电量不变，将两极板间距增大，即d 增大，根据C ＝εr S
4k πd 知，
电容减小，根据U ＝Q C
知，板间电压增大，C 错误；断开开关S 后，电容器带电量不变，若紧贴下极板插入金属板，则d 减小，根据E ＝U d ＝
4πkQ
εr S
知，极板间的电场强度不变，D 正确。

解决电容器板间场强的技巧
(1)在电压不变的情况下，由E ＝U d
来判断场强变化，发现场强E 只随板间距离而变。

(2)在电荷量保持不变的情况下，由E ＝U d ＝
Q Cd ＝4πkQ
εr S
知，电场强度与板间距离无关。

(3)针对两极板带电量保持不变的情况，还可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变，如图甲、乙所示；两极板正对面积变化(变小)时，如图丙，电场线变密，场强增大。

[变式1－1]
(2019·天津模拟)如图所示，平行板电容器与电动势为E 的电源连接，上极板A 接地，一带负电的油滴固定于电容器中的P 点，现将平行板电容器的下极板B 竖直向下移动一小段距离，则( )
A ．带电油滴所受静电力不变
B ．P 点的电势将升高
C ．带电油滴在P 点时的电势能增大
D ．电容器的电容减小，极板带电荷量增大 答案 B
解析 将平行板电容器的下极板竖直向下移动一小段距离，由于电容器两板间电压不变，根据E ＝U d
得知板间场强减小，油滴所受的静电力减小，A 错误；板间场强减小，而P 点与上极板间的距离不变，则由公式U ＝Ed 分析可知，P 点与上极板间电势差将减小，而P 点的电势低于上极板的电势，则知P 点的电势将升高，则油滴在P 点时的电势能将减小，B 正确，C 错误；根据电容的定义式C ＝Q U
，电容器与电源相连，则板间电压U 不变，当C 减小时，极板带电荷量Q 也减小，D 错误。

[变式1－2]
一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地。

两板间有一个正检验电荷固定在P 点，如图所示，以C 表示电容器的电容、E 表示两板间的场强、φ表示P 点的电势、E p 表示正电荷在P 点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离l 0的过程中，下列关于各物理量与负极板移动距离x 的关系图象中正确的是( )
答案 C
解析 电容器的电容C ＝εr S
4πkd ，两板间距随负极板向右平移而逐渐减小，电容C 与d 成
反比，故C ­x 图象为曲线，A 错误；电容器与电源断开后，电荷量不变，根据E ＝U d ，U ＝Q C
，C ＝
εr S 4πkd ，可知E ＝4πkQ
εr S
，保持不变，B 错误；负极板接地，电势为零，P 点的电势φ等于P 点到负极板的电势差，即φ＝El ，E 不变，l 线性减小，φ线性减小，C 正确；由E p ＝qφ可知，E p 随l 的变化而变化，D 错误。

考点2 带电粒子(体)在电场中的直线运动
1.带电粒子(体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。

(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。

2．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。

(2)粒子所受合外力F 合≠0，且合外力与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。

3．解题思路 (1)用动力学观点分析
Eq ＋F 其他＝ma ，E ＝U
d
(匀强电场)，v 2－v 20＝2ad (匀变速直线运动)。

(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W 电＝Eqd ＝qU ，W 电＋W 其他＝12mv 2－12mv 2
0。

②非匀强电场中：W 电＝qU ，W 电＋W 其他＝E k2－E k1。

例2
如图所示，金属板A 、B 水平放置，两板中央有小孔S 1、S 2，A 、B 与直流电源连接。

闭合开关，从S 1孔正上方O 处由静止释放一带电小球，小球刚好能到达S 2孔，不计空气阻力，要使此小球从O 点由静止释放后穿过S 2孔，应( )
A ．仅上移A 板适当距离
B ．仅下移A 板适当距离
C ．断开开关，再上移A 板适当距离
D ．断开开关，再下移A 板适当距离
(1)电场力对小球做什么功？
提示：负功。

(2)断开开关，移动A 板，板间场强如何变化？ 提示：不变。

尝试解答 选D 。

设板间距离为d ，O 距S 1为h ，电源电压为U ，由题意知从O 释放一带电小球到达S 2孔速度为零，则电场力对小球做负功，由动能定理得：mg (h ＋d )－qU ＝0，若仅上移或下移A 板适当距离，两板间电压不变，仍满足mg (h ＋d )－qU ＝0，小球仍刚好能到达S 2，则A 、B 错误；断开开关，Q 不变，因E ＝4πkQ
εr S
，则场强E 不变，由动能定理得：mg (h ＋d )－Eq ·d ＝0，将A
板向上移适当距离，假设仍能到达S 2处，则重力做功不变，电场力做功增多，故假设不成立，即到达不了S 2处速度已为零，故C 错误；若下移A 板适当距离，假设仍能到达S 2处，则重力做功不变，电场力做功变少，所以总功为正功，到达S 2处时小球速度不为零，能够穿过S 2孔，故D 正确。

带电体在电场中运动的分析方法
解决此类问题的关键是灵活利用动力学方法分析，可以采用受力分析和运动学公式相结合的方法进行解决，也可以采用功能的观点进行解决，往往优先采用动能定理。

[变式2－1]
带有等量异号电荷、相距10 cm的平行板A和B之间存在匀强电场，电场强度E＝4×104 V/m，方向竖直向下，如图所示。

电场中C点距B板3 cm，D点距A板2 cm。

有一个质量为m ＝2×10－8 kg的带电微粒沿图中所示的虚线从C点运动至D点。

若重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D点时的电势能最大
B．该微粒可能做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为1×10－8 J
D．该微粒带正电，所带电荷量为q＝5×10－12 C
答案 C
解析由于微粒只受电场力和重力作用，这两个力均在竖直方向上，微粒做直线运动，故电场力的大小等于重力，微粒所受的合外力为0，做匀速直线运动，电场力方向竖直向上，大小为mg，微粒从C点运动到D点的过程中，电场力做正功，电势能减小，A、B错误；微粒从C点运动到D点的过程中，沿电场线方向运动了5 cm，所以电场力对微粒做的功为1×10－8 J，C正确；该微粒带负电，D错误。

[变式2－2]
(2017·江苏高考)如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，
小孔分别位于O 、M 、P 点。

由O 点静止释放的电子恰好能运动到P 点。

现将C 板向右平移到P ′点，则由O 点静止释放的电子( )
A ．运动到P 点返回
B ．运动到P 和P ′点之间返回
C ．运动到P ′点返回
D ．穿过P ′点 答案 A
解析 设AB 、BC 间的电场强度分别为E 1、E 2，间距分别为d 1和d 2，电子由O 点运动到P 点的过程中，据动能定理得：
eE 1d 1－eE 2d 2＝0①
当C 板向右平移后，BC 板间的电场强度
E 2′＝U ′d 2′＝Q C ′d 2′＝Q εr S 4πkd 2′·d 2′
＝4πkQ
εr S
，
BC 板间的电场强度与板间距无关，大小不变。

第二次释放后，设电子在BC 间移动的距离为x ，则
eE 1d 1－eE 2x ＝0－0②
比较①②两式知，x ＝d 2，即电子运动到P 点时返回，A 正确。

考点3 带电粒子在匀强电场中的偏转 1.基本规律
设粒子所带电荷量为q ，质量为m ，两平行金属板间的电压为U ，板长为l ，板间距离为
d (忽略重力影响)，粒子能以平行金属板的初速度v 0进入两金属板间且能从两金属板之间穿过，
则有
(1)加速度：a ＝F m ＝qE m ＝
qU
md。

(2)在电场中的运动时间：t ＝l v 0。

(3)速度⎩
⎪⎨⎪
⎧
v x ＝v 0v y ＝at ＝qUl
mv 0d
v ＝v 2x ＋v 2
y ，tan θ＝v y v x ＝
qUl mv 20d 。

(4)位移⎩⎪⎨⎪
⎧
l ＝v 0t y ＝12
at 2＝qUl 2
2mv 20d
2．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度和偏移量y 总是相同的。

证明：由qU 0＝12mv 2
0及tan θ＝qUl mv
20
d ，得tan θ＝Ul 2U 0d 。

y ＝qUl 2
2mv 20d ＝Ul
2
4U 0d。

(2)粒子经电场偏转射出后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即O 到极板边缘的水平距离为l
2。

3．在示波管模型中，带电粒子经加速电场U 1加速，再经偏转电场U 2偏转后，需要经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P ，如图所示。

(1)确定最终偏移距离 思路一：
思路二：
偏移y ――→三角形
相似确定y
OP ＝l
2l
2＋L
(2)确定偏转后的动能(或速度) 思路一：
思路二：
例3 如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。

已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。

(1)求电子穿过A板时的速度大小v0；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
(3)求OP的距离Y；
(4)电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫做示波器的灵敏度，分析说明可采用哪些方法提高示波器的灵敏度。

(1)如何求出电子穿过A板时的速度大小？
提示：在加速电场中依据动能定理求速度大小。

(2)在偏转电场中，电子做什么运动？
提示：类平抛运动。

尝试解答(1)2eU1 m
(2)
U2L2
4dU1
(3)
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
2
L＋l
U2L
2dU1 (4)增加L、或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度(1)粒子在加速电场中加速，由动能定理可知：eU1＝
1
2
mv20解得：v0＝
2eU1
m。

(2)粒子在偏转电场中做类平抛运动，垂直电场方向：
L＝v0t
则沿电场方向：
e
U2
d
＝ma
侧移量：y＝
1
2
at2
联立解得：y＝
U2L2
4dU1。

(3)由几何关系可知：
L
2
L
2
＋l
＝
y
Y
得：Y＝
U2L
2U1d⎝
⎛⎭⎪⎫
L
2
＋l。

(4)该示波器的灵敏度D＝y
U2
解得：D＝
L2 4dU1
则增加L、或者减小d以及减小U1均可增加灵敏度。

带电粒子在匀强电场中偏转问题的两种求解思路
(1)运动学与动力学观点
运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
①带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；
②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)。

当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法。

(2)功能观点：首先对带电体受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算。

①若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中动能的增量。

②若选用能量守恒定律，则要分清带电体在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。

[变式3]
(多选)如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速度地进入水平向右的加速电场E1，之后进入竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上。

整个装置处于真空中，
不计粒子重力及其相互作用，那么( )
A ．偏转电场E 2对三种粒子做功一样多
B ．三种粒子打到屏上时的速度一样大
C ．三种粒子运动到屏上所用时间相同
D ．三种粒子一定打到屏上的同一位置 答案 AD
解析 带电粒子在电场E 1中加速，由动能定理，eE 1d ＝12
mv 2
，解得v ＝
2eE 1d
m
；进入竖
直向下的匀强电场E 2中做类平抛运动，L ＝vt ，y ＝12at 2，eE 2＝ma ，联立解得y ＝E 2L
2
4E 1d
，偏转电
场E 2对三种粒子做功W ＝eE 2y ＝eE 22L
2
4E 1d
，与粒子质量无关，所以偏转电场E 2对三种粒子做功一样
多，A 正确。

由动能定理知粒子打到屏上时的速度大小v ′＝
eE 22L
2
2E 1md ＋2E 1ed m
，三种粒子质量不相等，故B 错误。

三种粒子运动到屏上所用时间t 总＝t 0＋t 匀＝
2d a 0＋L ＋l
v
＝
2md
eE 1
＋
m 2eE 1d (L ＋l )，故所用时间不相同，C 错误。

由于y ＝E 2L 2
4E 1d
，与粒子质量无关，三种粒子在偏转电场中的水平位移相等，侧移量相同，则出射角相同，所以三种粒子一定打到屏上的同一位置，D 正确。

考点4 带电粒子在交变电场中的运动 1.常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波等。

2．常见的运动形式
(1)粒子做单向直线运动(一般用直线运动规律结合牛顿运动定律求解)。

(2)粒子做往返运动(一般分段研究)。

(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。

3．带电粒子在交变电场中运动的分析要点
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。

(2)注意从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。

例4 如图a 所示，两平行正对的金属板A 、B 间加有如图b 所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处。

若在t 0时刻释放该粒子，粒子会时而向A
板运动，时而向B 板运动，并最终打在A 板上。

则t 0可能属于的时间段是( )
A ．0<t 0<T
4
B.T 2<t 0<3T 4
C.
3T
4
<t 0<T D ．T <t 0<9T 8
(1)粒子打在A 板时，运动有什么特点？
提示：速度向左，位移向左。

(2)如何找出符合题意的t 0?
提示：利用周期性，作出特殊点t 0＝0、T 4、T 2、3T
4
的v ­t 图象，找出位移、速度符合题意
的t 0区间。

尝试解答 选B 。

设粒子的速度方向、位移方向向右为正。

依题意得，粒子的速度时而为负，时而为正，
最终打在A 板上时位移为负，速度为负。

作出t 0＝0、T 4、T 2、3T
4时粒子运动的速度图象如图所
示。

由于速度图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象可知0<t 0<T 4，3T
4<t 0<T 时
粒子在一个周期内的总位移大于零；T 4<t 0<3T
4
时粒子在一个周期内的总位移小于零；当t 0>T 时
情况类似。

因粒子最终打在A 板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各选项可知只有B 正确。

利用速度—时间图象分析带电粒子的运动过程时，必须注意“五点”
(1)带电粒子进入电场的时刻。

(2)速度—时间图象的切线斜率表示加速度。

(3)图线与时间轴围成的面积表示位移，且在时间轴上方所围成的面积为正，在时间轴下方所围成的面积为负。

(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。

(5)图线与时间轴有交点，表示此时速度改变方向。

对运动很复杂、不容易画出速度图象的问题，还应逐段分析求解。

[变式4] 如图甲所示，一对平行金属板M 、N 长为L ，相距为d ，O 1O 为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。

当两板间加电压U MN ＝U 0时，某一带负电的粒子从O 1点以速度v 0沿O 1O 方向射入电场，粒子恰好打在上极板M 的中点，粒子重力忽略不计。

(1)求带电粒子的比荷q m
；
(2)若M 、N 间加如图乙所示的交变电压，其周期T ＝L v 0，从t ＝0开始，前T
3时间内U MN ＝
2U ，后2T
3时间内U MN ＝－U ，大量的上述粒子仍然以速度v 0沿O 1O 方向持续射入电场，最终所有
粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求U 的值。

答案 (1)4d 2v 2
0U 0L 2 (2)
3U 0
8
解析 (1)设粒子经过时间t 0打在M 板中点 沿极板方向有L
2＝v 0t 0 垂直极板方向有d 2＝qU 0
2md
t 2
解得q m ＝4d 2v 20
U 0L
2。

(2)粒子通过两板间的时间t ＝L v 0
＝T
从t ＝0时刻开始，粒子在两板间运动时，每个电压变化周期的前三分之一时间内的加速度大小a 1＝2qU md ，在每个电压变化周期的后三分之二时间内的加速度大小a 2＝qU
md
如图所示为从不同时刻射入电场的粒子的速度—时间图象，根据题意和图象分析可知，从t ＝nT (n ＝0,1,2，…)或t ＝T
3
＋nT (n ＝0,1,2，…)时刻入射的粒子恰好不打在极板上，
则有d 2＝12×T ×2qUT 3md ，解得U ＝3U 0
8。

考点5 电场中的力、电综合问题 1.用动力学的观点分析带电粒子的运动
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，这两个力的合力为一恒力。

(2)类似于处理偏转问题，将复杂的运动分解为正交的简单直线运动，化繁为简。

(3)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑，以及运动学公式里的物理量的正负号，即其矢量性。

2．用能量的观点来分析带电粒子的运动
(1)运用能量守恒定律分析，注意题中有哪些形式的能量出现。

(2)运用动能定理分析，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有功，判断是分阶段还是全过程使用动能定理。

例5
(2019·福建泉州模拟)如图，在竖直向下的匀强电场中，质量为0.5 kg 的带正电小物块
从光滑绝缘斜面上的A 点由静止释放，经过B 点后进入绝缘水平面，最后停在C 点。

某些时刻物块的瞬时速率记录在下表中。

若物块经过B 点前后速度大小不变，电场力与重力大小相等，取g ＝10 m/s 2
，则( )
t /s 0 3 6 9 v /(m·s －1)
8
12
8
A ．t ＝6 s 时物块恰好经过
B 点 B ．t ＝12 s 时物块恰好到达
C 点 C ．物块与水平面间的动摩擦因数为1
15
D ．整个过程中物块电势能的减少量等于系统内能的增加量
(1)带电物块在电场中做什么运动？
提示：先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动。

(2)6 s 末物块是否刚好到达B 点？ 提示：不是。

尝试解答 选C 。

根据图表中的数据，可以求出物块下滑的加速度a 1＝
Δv 1Δt 1＝83
m/s 2
，若t ＝6 s 时刻物块恰好经过B 点，则B 点的速度为v ＝a 1t ＝8
3×6 m/s＝16 m/s>12 m/s ，所以t ＝6 s 时物块已
过B 点，同样根据图表数据可知，物块在水平面上滑动时的加速度a 2＝Δv 2Δt 2＝8－129－6 m/s 2
＝－
43
m/s 2
，设物块在斜面上滑行时间为t 1，从斜面底端到速度为12 m/s 的时间为t 2，则有a 1t 1＋a 2t 2＝12 m/s ，t 1＋t 2＝6 s ，解得t 1＝5 s ，即物块加速5 s 后到达B 点，此时v B ＝a 1t 1＝40
3
m/s ，由速度与时间关系可得在BC 段运动的时间t 3＝0－v B
a 2
＝10 s ，即t ＝15 s 时物块运动到
C 点，A 、B 错误；物块在水平面上运动时，由牛顿第二定律可得：－μ(mg ＋qE )＝ma 2，其中qE ＝mg ，解得μ＝1
15
，C 正确；由能量守恒定律可知，整个过程中物块电势能和重力势能的
减少量之和等于系统内能的增加量，D 错误。

力电综合问题的处理方法
力电综合问题往往涉及共点力平衡、牛顿第二定律、平抛运动规律、动能定理、能量守。