刚体转动1

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刚体力学中的转动惯量与角速度关系

刚体力学中的转动惯量与角速度关系转动惯量是刚体力学中一个重要的概念，它描述了刚体绕某一轴旋转时所表现出的惯性。

在刚体的转动运动中，角速度是时间内角度的改变率，而转动惯量则与刚体的质量分布和轴线的位置有关。

本文将探讨转动惯量与角速度之间的关系，从而揭示刚体在转动过程中的特性。

刚体的转动惯量可以通过一种量化的方式来描述，即使用转动惯量的概念。

对于旋转轴与刚体的质心轴线平行的情况，转动惯量可以表示为I=∫r^2dm，其中r是一个质点到转轴的距离，m是质点的质量。

转动惯量可以看作是刚体对转动运动抵抗的程度，转动惯量越大，刚体越难以改变旋转状态。

同样的，转动惯量也可以通过质量的分布情况来计算。

在研究转动惯量与角速度之间的关系时，有一个重要的概念需要引入，即角动量。

角动量L定义为L=Iω，其中I是刚体的转动惯量，而ω是角速度。

可以看出，角动量与转动惯量和角速度有直接的关系，即角动量正比于转动惯量和角速度的乘积。

换句话说，刚体的角动量与其转动惯量和角速度息息相关。

根据角动量守恒定律，当没有外力作用在刚体上时，刚体的角动量保持不变。

这意味着，在转动过程中，刚体的转动惯量与角速度之间的关系可以通过角动量来刻画。

当刚体围绕固定轴线旋转时，由于角动量守恒，只要转动惯量不变，角速度越大，刚体的角动量越大，转动状态越稳定。

反之，如果角速度较小，刚体的角动量也会减少，从而导致转动不稳定。

然而，在实际情况中，转动惯量与角速度之间的关系往往并不是简单的线性关系。

在考虑了刚体几何形状和转动轴的位置之后，转动惯量可以表示为一组复杂的数学表达式，而角速度也不再是一个简单的常数。

这使得将转动惯量与角速度之间的关系一般化变得具有挑战性。

然而，对于一些特殊情况下的刚体，转动惯量与角速度之间的关系是可以通过一些简单的公式来描述的。

例如，对于一个绕固定轴线旋转的均质球体，其转动惯量可以表示为I=2/5mr^2，其中m是球体的质量，r是球体的半径。

最全的转动惯量的计算

最全的转动惯量的计算转动惯量是物体对绕轴旋转的惯性特性的度量。

它是一个重要的物理量，在机械工程、物理学和工程技术等领域有广泛的应用。

转动惯量的计算有许多方法和技巧，下面将介绍一些常见的计算方法。

1.刚体转动惯量的定义：刚体转动惯量（或者称为惯性矩）是物体在绕任意轴旋转时，由物体的质量分布确定的。

它可以表示为I，即：I = ∫ r² dm其中，r是距离轴线的距离，dm是质量微元。

2.转动惯量的计算方法：（1）几何法计算：几何法是根据物体的几何形状和分布来计算转动惯量。

常见的几何形状包括球体、圆柱体、长方体等。

根据不同形状，使用不同的公式进行计算。

（2）积分法计算：积分法是通过对物体的质量分布进行积分来计算转动惯量。

这种方法适用于任意形状的物体，需要进行积分计算。

根据不同的质量分布，可以使用不同的坐标系和积分区域。

3.常见物体的转动惯量计算：（1）球体的转动惯量：对于球体，其转动惯量公式为：I=2/5*m*r²其中，m是球体的质量，r是球体的半径。

（2）圆柱体的转动惯量：对于圆柱体，其转动惯量公式为：I=1/2*m*r²其中，m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。

（3）长方体的转动惯量：对于长方体，其转动惯量公式为：I=1/12*m*(a²+b²)其中，m是长方体的质量，a和b是长方体的宽度和高度。

如果长方体绕距离中心轴旋转，转动惯量计算公式会有所不同。

（4）其它常见物体的转动惯量：对于其它常见的物体，如圆环、圆盘、棒体等，都有相应的转动惯量计算公式。

这些公式可以在物理学的相关教材和参考资料中找到。

4.复杂物体的转动惯量计算：对于复杂物体，其转动惯量的计算相对较为复杂，通常需要使用积分法或数值计算的方法来求解。

这种方法适用于任意形状的物体，可以将物体分成无数微小的质量元，并对每个微小质量元的转动惯量进行积分求和。

总结起来，转动惯量的计算方法有几何法和积分法两种，常见的物体有相应的转动惯量公式。

刚体定轴转动的角动量

刚体定轴转动的角动量•转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。

2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：其中：表示质点对转轴的距离。

②质量连续分布的情况：3、平行轴定理若两轴平行，距离为d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为,则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和轴，由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。

4、垂直轴定理：（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。

证明：如右图所示，则：∴注意：垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。

例1：均质杆长l，质量为m，求对过杆一端点的转动惯量。

解：由平行轴定理：例2：求一薄板质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量I。

解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）：解法二：由垂直轴定理：又∵∴二、刚体定轴转动的动力学方程——对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对Z轴的力矩；为刚体的角加速度在Z轴上的投影，可正可负。

三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点m，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z轴转动为例，如图示：设，杆与水平方向成α角，求此刚体对轴上任一点O的角动量。

∵∴若Z轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方向（或方向）。

四、刚体的重心1、定义：刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。

2、重心的位置与质心有何关系：如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点o的力矩：∴一般有，且与不平行，故有：∴即：重心和质心重合。

10种常见刚体转动惯量公式

10种常见刚体转动惯量公式
刚体转动惯量是指刚体在转动运动时所需要的转动势能。

它可以衡量刚体转动时所需要的力的大小。

常见的刚体转动惯量公式有以下10种：
1.圆柱体转动惯量公式：I=1/2mr^2
2.圆锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
3.球体转动惯量公式：I=2/5mr^2
4.圆筒体转动惯量公式：I=1/2mr^2
5.正方体转动惯量公式：I
6.三棱锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
7.六棱锥体转动惯量公式：I=1/4mr^2
8.五棱锥体转动惯量公式：I=1/5mr^2
9.四棱锥体转动惯量公式：I=1/6mr^2
10.八棱锥体转动惯量公式：I=1/8mr^2
在上述公式中，m表示刚体的质量，r表示刚体的转动半径。

刚体的定轴转动和转动定律

受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章刚体的转动

3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章刚体的转动
大小： d
dt
方向：若 2 > 1 则与角速度同向，若 2 < 1 则与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：

m V
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
三转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS

第1章-刚体转动动力学基础

cos cos n Cb sin sin cos cos sin -cos sin cos sin sin
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
-sin cos cos cos
2013-7-17 10
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
四定点转动刚体角位置的欧拉角描述选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。
两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。
2013-7-17 11
cos( zb , xn ) c32 cos( zb , yn ) c33 cos( zb , zn )
yb c21 cos( yb , xn ) c22 cos( yb , yn ) c23 cos( yb , zn )
zb c
2013-7-17
31
确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3 的矩阵），可以确定刚体的角位置。
20
§1.2 常用参考坐标系
三地理坐标系 1. 地固地理坐标系
坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结，东北天指向。
(ie ) xn 0 n n ωin ωie (ie ) yn ie cos (ie ) zn ie sin
2013-7-17
V ωe cos sin K Re ωe cos cos K V sin K ωe sin tg K Re
x 2 0 0 0 C 2 C1 0 C 2 0 1 n 1 y2 z 2 0

大学物理（精品本科）1刚体的转动惯量测定

刚体转动惯量的测量一、实验目的1.学习测量刚体转动惯量的方法。

2.用实验方法验证平行轴定理。

3.用最小二乘法处理数据，进一步熟悉各种数据处理方法。

二、实验仪器刚体转动惯量实验仪，TH-4通用电脑式毫秒计，铝环，铝板，小钢柱，牵引砝码等。

1.刚体转动惯量实验仪刚体转动惯量实验仪如图1所示。

它不但能测定质量分布均匀、断面形状规则刚体的转动惯量，而且能测定质量分布不均匀、断面形状不规则刚体的转动惯量，并可验证物理学的转动定律、平行轴定理等。

它的转动体系由十字形承物台和塔轮组成，可绕它的垂直方向对称轴进行平稳的转动。

两根对称放置的遮光细棒随刚体系统一起转动，依次通过光电门不断遮光。

光电门由发光器件和光敏器件组成，发光器件的电源由毫秒计提供，它们构成一个光电探测器，光电门将细棒每次经过时的遮光信号转变成电脉冲信号，送到通用电脑式毫秒计。

毫秒计记录并存储遮光次数和每次遮光的时刻。

塔轮上有五个不同半径的绕线轮，以提供不同的力臂，从下到上分15mm、20 mm、25 mm、30 mm、35 mm五档。

砝码钩上可以放置不同数量的砝码来改变对转动体系的拉力。

在实验仪十字形承物台每个臂上，沿半径方向等距离d有三个小孔，如图2所示。

小钢柱可以放在这些小孔上，小钢柱在不同的孔位置就改变了它对转动轴的转动惯量，因而也就改变了整个体系的转动惯量，所以可用来验证平行轴定理。

图1 图23通用电脑式毫秒计（左：前面板；右：后面板）2．通用电脑式毫秒计通用电脑式毫秒计是为测量刚体转动惯量而设计的，也可用于物理实验中各种时间测量和计数。

本仪器使用了微电脑（单片机）作为核心器件，它具有记忆功能，最多可记忆九十九组测量时间，并可随时把需要的测量结果取出来。

时间测量有几种方法，可根据需要选择一种。

计时范围0-99.9999s ，计时精度0.1ms 。

两路2.2V 直流电源输出；两路光电门信号或TTL/CMOS 信号电平输入通道；可与计算机通过标准RS232串口通信。

大学物理1 刚体的转动

刚体如果研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适用，因为一个点是无方位可言的。

若在所研究的问题中，物体的微小形变可以忽略不计时，则可以引入刚体模型。

刚体，是指在任何情况下，都没有形变的物体。

也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。

（附图）刚体定轴转动的描述在物体运动过程中，如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴 (这根轴可以在物体之内，也可以在物体之外的某固定处)。

若转轴的方向或位置在物体运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置便称为该时刻的转动瞬轴。

若转动轴固定不动，即既不改变方向又不平移，则这个转轴称为固定轴，这种转动称为定轴转动。

（附图）平动和转动是刚体运动中两种基本形式．无论刚体作多么复杂的运动，总可以把它看成是平动和转动的合成运动。

例如一个车轮的滚动可以分解为车轮随着车轴的平动和整个车轮绕着车轴的转动。

定轴转动是刚体运动中最简单的运动形式之一。

为了研究刚体的定轴转动，定义：垂直于固定轴的平面为转动平面。

研究刚体的定轴转动时，可以任取一个转动平面来讨论。

以转轴与转动平面的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕着这个原点作圆周运动。

在转动平面内过原点作一射线作为参考方向(或称极轴)，转动平面上任一质元P 对O 点的位矢r 与极轴的夹角θ称为角位置。

引入角速度、角加速度，由于刚体是个特殊质点组，即各质元之间没有相对移动，因此，在同一转动平面上，它们的角量(即角位移、角速度、角加速度)都相同，但由于各质元到轴的距离不同，因此各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度)不同。

dt d θω= 22dt d dt d θωβ==ωR v = βτR a = 22ωR R v a n == 刚体作定轴转动时，每个质元的转动方向只有两种可能，如果以转轴为z 轴，则质元的角速度方向要么与所选z 轴正向相同，要么与所选z 轴正向相反．因此，刚体定轴转动时所有角量的方向，都可用标量前的正负号表示。

第5章刚体定轴转动1

此角动量沿Z 轴的分量为：
z
Li

Liz ri pi
Liz
pi
Liz ri pi mi ri vi mi ri2
轴向总角动量：
ri O riR
Lz

i
Liz

i
mi ri
2
OR
r 注意： i 为质元到转轴的垂直距离。
2
I C I1 ml 2
1 2 ml 12
例: 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: 在环上任取一小线元dl 其质量
J
m dm dl 2R
R 2 dm
O
R dm

m
0 2
R

2 R
0
m dl 2R
均匀圆环的转动惯量： J mR 2
求得。所以
v v r sin r sin900 r 78.5m / s
v 的方向垂直于和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s 2
an 2 r 6.16 103 m / s 2
t 边缘上该点的加速度 a a n a其中 a t的方向与 n 向相反， a的方向指向轮心， a 的大小为
第五章刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用
§5-5 角动量守恒
§5-6 转动中的功和能
§5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化；理想模型；特殊的质点系；

大学物理力学第五章1刚体、转动定律

3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。
(12)
例1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且
F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B，
不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的简单的查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端点与棒垂直
J ml 2 3
M，R
M，R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
（1） T1
T1
（2）
m1
m1
M ,R
m1g （3）
T2
m2
T2
T1
补充方程：
a R
（4）
联立方程（1）---（4）求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;

力学.第5章.刚体的转动_778107259(1)

瞬时轴旋转加速度向轴加速度
四. 定轴转动 r r 对定轴转动，都沿定轴，对定轴转动， ω 和 α 都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为代数量代数量。向不一定相同，都退化为代数量。
7
z ω, α
r v
v = r⊥ω
dv dω at = = r⊥ = r⊥α dt dt
刚体
O×
r r⊥ P θ r r
猫从树枝和手的下落
26
J1 O1 r1
ω10
ω20
J2 O2 r2
【例1】如图两轮磨合问题，】如图两轮磨合问题，已知：初始参量（已知：初始参量（J1, ω10, r1）和（J2, ω20, r2），求：接触达稳定后的 ω′1和ω′2
解：此系统角动量并不守恒，因为 1和O2处的此系统角动量并不守恒，因为O 轴力产生的力矩和不为零。轴力产生的力矩和不为零。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。 f1 设摩擦力方向如图示，设摩擦力方向如图示，有：
3
2. 转动 — 基本的运动形式之二一点固定不动，定点转动：刚体只有一点固定不动定点转动：刚体只有一点固定不动，整体绕通过该点的瞬时轴转动。瞬时轴转动绕通过该点的瞬时轴转动。定轴转动：定点转动的瞬时轴成固定轴。定轴转动：定点转动的瞬时轴成固定轴。 3. 平面运动：刚体各点运动都平行于某固定平面运动：平面，各点轨道面平行或重合。平面，各点轨道面平行或重合。 4. 一般运动：不受任何限制的自由运动，一般运动：不受任何限制的自由运动，是下面两种运动的组合：是下面两种运动的组合：随基点 O（可任选）的平动（可任选）的瞬时轴的定点转动绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动

刚体转动惯量的研究

刚体转动惯量的研究转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。

测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。

刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。

如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。

刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。

（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量一实验目的1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二仪器和用具扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平，钢直尺，游标卡尺等。

三实验装置及原理扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。

在轴1的上方可以安装各种待测物体。

为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。

3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。

将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。

根据虎克定律有θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。

而由转动定律有βJ M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有 θβJK-= (4-2) 令J K /2=ω，则有θωβ2-=此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。

方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。

此谐振动摆动周期为KJT πωπ22==(4-3) 由此可见,对于扭摆,只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体,可用数学方法求得其转动惯量)的摆动周期,即可求得扭转系数K ,对其它物体,只要测出摆动周期T ,就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。

动量能量及刚体转动习题(1)

动量定理及动量守恒定律基础练习一、选择题1. 2012年新年初五晚上，黑龙江省一体重为55kg 的15岁男孩准备在自家五楼的窗台上放鞭炮时不慎坠落，“80后”青年谢尚威跑过去伸出手，用自己的双手挽救了一条即将陨落的花季生命，已知孩子下落处到谢尚威接到孩子处之间的距离约为10m ，从接触到孩子到把孩子稳稳接住用时约0.14s ，则谢尚威每只手臂平均承受的力约为（）A ．6050NB ．3025NC ．5500ND ．2750N2. 某物体受水平方向的变力F 的作用，由静止开始作无磨擦的直线运动，若力的大小F 随时间t 变化规律如图3-6所示。

则在0—8秒内，此力冲量的大小为（） A ．0 B ．20 N·S C ．25 N·S D ．8 N·S 二、填空题3. 质量为m 的小球自高为0y 处沿水平方向以速率0υ抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为3-7所示，（1）地面对小球的垂直冲量的大小为；（2）地面对小球的水平冲量的大小为。

4. 质量kg 50的撑杆跳高运动员，跨过m 5高的栏竿后落在海棉垫上，假设运动员与海棉垫的相互作用时间为s 1，海棉垫对此运动员的冲力是。

三、计算题5. 湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60 kg ．如果他在船上向船头走了 4.0米，但相对于湖底只移动了 3.0米，(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为多少？6. 质量为kg 10的木箱放在地面上，在水平力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图3-8所示，若已知木箱与地面间的摩擦系数0.2=μ，那么在s 4=t 时，木箱的速度大小为？在s 7=t 时木箱的速度大小为？7. 一质点的运动轨迹如图3-9所示．已知质点的质量为20 g ，在A 、B 二位置处的速率都为20 m/s ，Aυ与x 轴成45°角，B υ垂直于y 轴，求质点由A 点到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量．t图 3-8图3-98.质量为m1、m2的两长方木块，紧靠在一起位于光滑水平面上，一子弹沿垂直于紧靠面的方向入射，穿过m1和m2的时间分别为Δt1和Δt2，且两木块对子弹的阻力均为f，则子弹穿出两木块后，m1和m2的速度大小分别为多少？9.一小球在弹簧的作用下振动，如图3-10所示，弹力F = -kx，而位移x = A cosωt，其中k、A、ω都是常量。

1刚体定轴转动定律

的角动量为：
L刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所有质点的角动量求和。
L ( m iviri) (miri2)( miri2) J
J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
2021/10/10
10
五、刚体定轴转动定理
刚体绕质心轴的转动惯量最小
2021/10/10
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三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：Jz JxJy
证明：
z
Jx y2dm , Jy x2dm
Jz r2dm
(x2y2)dm
o
yy
x
r dm
y2dm x2dm x
J J 2021/10/10
解：m 1g T 1 m 1 a（1）
T2m2a
（2）
(T 1 T 2)R J （3）
m2
T1 m1
m1 g
aR
（4）
J 1 MR2
m2
2 2021/10/10
M,R
m1
M,R
T2
T1
T2
20
联立方程，求解得：
a
m1g
m2
m1m2M/2
T1m m 11(m m 2 2M M /2/)2g
T2
m1m2g m1m2M/2
当 M=0 时：
T1
T2
m1m2g m1 m2
2021/10/10
M,R
m1
21
例9、测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t , 求轮子的转动惯量 J 。

动力学中的刚体转动问题

动力学中的刚体转动问题动力学是研究物体运动的力学分支，其中刚体转动问题是动力学的重要组成部分。

刚体转动是指物体绕轴线旋转的运动形式，常见于机械领域和物理学研究中。

在本文中，我将探讨动力学中的刚体转动问题，包括转动力矩、角加速度和角动量等相关概念。

一、转动力矩转动力矩是刚体转动时所受到的力矩，用符号M表示。

转动力矩与力矩的概念相似，但作用在刚体上的作用点不再是一个点，而是一个轴线。

转动力矩的大小与作用力的大小及其与轴线的距离有关。

当刚体受到的力矩为零时，刚体将保持静止或匀速转动。

转动力矩还与刚体的惯性矩有关，惯性矩表示刚体对转动的惯性。

惯性矩越大，刚体越难以被改变其转动状态。

根据牛顿第二定律，转动力矩M等于刚体的惯性矩I与角加速度α的乘积，即M=Iα。

这个公式可以用来计算刚体转动时所受到的力矩。

二、角加速度角加速度是刚体进行转动时角速度变化的量度。

角速度表示刚体每单位时间转过的角度，角加速度则表示角速度每单位时间变化的程度。

角加速度用符号α表示，是一个矢量量，其方向指向角加速度的变化方向。

根据牛顿第二定律，角加速度α等于转动力矩M与刚体的惯性矩I之比，即α=M/I。

这个公式表明，刚体的角加速度与受到的转动力矩和其惯性矩之间的关系密切。

如果转动力矩增大或惯性矩减小，角加速度将增大，反之亦然。

三、角动量角动量是刚体进行转动时角速度与其惯性矩乘积的物理量。

角动量用符号L表示，是一个矢量量，其方向沿着角速度的方向。

角动量对应着刚体转动过程中的动量，刻画了刚体绕轴线旋转的特性。

根据角动量的定义，角动量L等于刚体的惯性矩I与角速度ω的乘积，即L=Iω。

由此可见，角动量与刚体的惯性矩和角速度之间存在着密切的关系。

惯性矩越大或角速度越大，角动量的大小也相应增大。

根据角动量守恒定律，如果刚体在没有外力矩作用下进行转动，则其角动量保持不变。

这意味着，刚体在转动过程中可以改变其角速度，但角动量始终保持恒定。

这是因为刚体的惯性矩与角速度之间存在相应的变化，使得角动量保持不变。

刚体转动定理

刚体转动定理
牛顿第二定律之驱动力学派出一种被熟称为“转动定理”的机制，它证明了当
一个物体存在外力时，物体产生转动力与本身惯性和质量密切相关。

转动定理，也称作惯性力定理，在物理学中有显著地位，其证明了物体的重量的原因是其内部的总惯性力，即惯性力的向量和。

以比较直观的方式来理解这一定理，可以先回到该定理的起源，即它是由“维
特鲁斯的转动原理”的研究发现的。

“维特勒斯的转动原理”认为，对于给定物体，当外力作用于物体上时，物体将产生转动力，而转动力与该物体的惯性量、质量以及本身不变矩阵有关。

在维特勒斯转动原理的基础上，牛顿提出了转动定理，他认为，将作用力向量定义为I，使用特殊的向量运算，就可以确定出物体的转动力：
I×m=τ，其中m代表物体的惯性量，τ代表物体的转动力。

由此可见，转动定理很好地论证了当物体遇到外力作用时，物体会产生转动力，而转动力与物体惯性量和承受外力的大小有着密切的关系。

它为物理学研究者们提供了关于小部件正确行为的理论指导，并促使他们对物体间作用力和物体惯性量之间关系进行新的研究，从而革新了力学和其它物理研究领域中的科学理论。

刚体定轴转动1基本概念

r 0 .2 4 ( m s
该点的切向加速度
a r 0 .2 (
) 2 .5 ( m s
)

6
) 0 . 105 m s

2

该点的法向加速度
a n r
2

4 2 0 .2
ms 2 31 . 6
作业：P31 1- 5 1-7 (1) 作业要求： 1、习题解答要有解题步骤，若需作图的则按规定要求画图，画图必须
用铅笔和直尺，要有原始公式和数据代入过程，最后所求的物理量要写单位。
2、布置的习题写在单行作业本的纸上，并在纸的右上角写上班级、学号、姓名，每班的学习委员收作业时将班上同学交的作业纸
按学号顺序排好后再交给老师。
15
质点运动
转动：刚体上所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动分为定轴转动和非定轴转动
刚体的定轴转动：
1、转动平面：垂直于固定转轴的平面
转轴

转动平面
2、刚体的定轴转动的特点: ⑴.各质元都绕转轴在各自的转动平面上做圆周运动
⑵.各质元运动的线量 v , a 不同，
但角量 , , , a 均相同
与方向相同，为加速运动，否则为减速运动。
8
匀速转动和匀变速转动的概念匀速转动： 0 , 为恒量， 0 t 匀变速转动: 当刚体做定轴转动的角加速度时，刚体做匀变速转动。为恒量
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
9
补充：矢量乘法公式点乘（标积）：A B A B cos( A , B ) 叉乘（矢积）： A B C 大小方向

刚体姿态移动及旋转公式(一)

刚体姿态移动及旋转公式(一)刚体姿态移动及旋转公式本文将介绍与刚体姿态移动及旋转相关的公式，并通过例子进行解释说明。

刚体的定义刚体是指形状和大小在运动过程中不会发生变化的物体。

在刚体运动中，我们主要关注刚体的姿态移动及旋转。

刚体姿态移动公式刚体姿态移动是指刚体从一个位置移动到另一个位置的过程。

以下是刚体姿态移动的常用公式：•平移公式：x′=x+Δx,y′=y+Δy,z′=z+Δz。

其中，(x′,y′,z′)是新位置的坐标，(x,y,z)是旧位置的坐标，(Δx,Δy,Δz)是位移向量。

•缩放公式：x′=s x⋅x,y′=s y⋅y,z′=s z⋅z。

其中，(x′,y′,z′)是缩放后的位置的坐标，(x,y,z)是原始位置的坐标，(s x,s y,s z)是缩放因子。

•旋转公式：x′=cos(θ)⋅x−sin(θ)⋅y,y′=sin(θ)⋅x+cos(θ)⋅y。

其中，(x′,y′)是旋转后的位置的坐标，(x,y)是旋转前的位置的坐标，θ是旋转角度。

刚体姿态旋转公式刚体姿态旋转是指刚体绕某个轴进行旋转的过程。

以下是刚体姿态旋转的常用公式：•绕X轴旋转公式：x′=x,y′=cos(θ)⋅y−sin(θ)⋅z,z′=sin(θ)⋅y+cos(θ)⋅z。

其中，(x′,y′,z′)是旋转后的位置的坐标，(x,y,z)是旋转前的位置的坐标，θ是绕X轴旋转的角度。

•绕Y轴旋转公式：x′=cos(θ)⋅x+sin(θ)⋅z,y′= y,z′=−sin(θ)⋅x+cos(θ)⋅z。

其中，(x′,y′,z′)是旋转后的位置的坐标，(x,y,z)是旋转前的位置的坐标，θ是绕Y轴旋转的角度。

•绕Z轴旋转公式：x′=cos(θ)⋅x−sin(θ)⋅y,y′= sin(θ)⋅x+cos(θ)⋅y,z′=z。

其中，(x′,y′,z′)是旋转后的位置的坐标，(x,y,z)是旋转前的位置的坐标，θ是绕Z轴旋转的角度。

例子解释假设有一个正方体，初始位置为(0,0,0)，边长为2。