湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》课件

解：连接OA，∵ OE⊥ABA E B
∴ AE OA 2 OE 2
O·
10 2 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
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探究点二 垂径定理的实际应用 问题：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径 的问题吗?
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37.4m
7.2m
C
A
D
B
O 首页
解：如图，用A⌒B表示主桥拱，设
AB所在的圆的圆心为O，半径为r.
2.3 垂径定理
情景引入 赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
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合作探究
探究点一 垂径定理 问题1：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心 吗？
由此你能得到圆的什么特性？
C
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
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C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直
·O
径，AB为弦，且AE=BE. 求证：CD⊥AB，⌒且⌒ A⌒C
A
=⌒BC
E D
B
A证D明=B：D连, 接OA，OB，则
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB ∴ A⌒D=⌒BD,A⌒C =B⌒C
F
●
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
O
根据勾股定理, 得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R 2 3002 R 902.
解这个方程, 得R 545.
这段弯路的半径约为545m.
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探究点三 垂径定理的推论
命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗? 若是，请证明；若不是请举出反例.
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平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧。
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例C 。
A ·O
B
D
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C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM
A M└
B
●O
④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=⌒BD.
D
如果具备上面五个条件中的任何两个，那
么一定可以得到其他三个结论吗？
知识要点
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形， 便将问题转化为直角三角形的问题。
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例题学习
例4:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图
中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为
C
弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求 这E段弯解设弯路:连路的接的半半OC径径. 为.Rm,则OF (R 90)m.
C
O
A
E
BA
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
CD过圆心 CD⊥AB于E
AE=BE
AC= BC
AD= BD
O
C
B
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例题学习
例1：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，
CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是 （C ）
A.∠COE=∠DOE
A
B.CE=DE
C
D
E
O·
C.OE=AE
D.B⌒D=⌒BC
B
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例2：如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径 为10cm,OE=6cm,则AB= cm。
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课堂小结
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
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例题学习 例3: 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10， 点P是⊙O上的动点P与A、B不重合），连 结AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E， 解O：F⊥在P⊙B于O中F，,∵求OEEF⊥的A长P，. OF⊥PB, ∴AE=PE, BF=PF, ∴EF是△ABP的中位线, ∴EF= AB= ×10=5cm.
A 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足
为D⌒，与AB交于点C，则D是AB
的中点，C是AB的中点，CD就是
C DB
拱∴高A. B=37.4m，
O
∴CDA=D7=.12/m2 AB=18.7m，OD=OC-
C∵D=rO-7A.22 OD2 AD2
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m. 首页
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平
分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5)平
分弦所对的劣弧.
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知识要点
① ②
③ ④ ⑤
根据已知条件进行推导：
①过圆心
①
②垂直于弦
③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ⑤
③②
④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直 线都是它的对称轴．
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问题2：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足 为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?
C
线段: AE=BE
弧: A⌒C=⌒BC, ⌒ ⌒ AD=BD
·O
AE
B
D
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垂径定理
C
·O AE
D
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
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∵ C两D条是弧直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ Aຫໍສະໝຸດ BaiduD ⌒ =B提C示, : =BD.
B
▪ 垂径定理是圆中一个重要的
定理,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
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下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
C
O EB D
是 不是 是
不是
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垂径定理的几个基本图形：