暑期生活专题1

暑期生活

专题1 因式分解的方法与技巧

我们已知学过了因式分解的一些常用方法：提公因式法，分组分解法，运用公式法，十字相乘法以及余数定理的简单应用等等。

有时，我们不能直接运用一种方法分解某个多项式，而必须对这个多项式各项的特点与相互联系(如符号、系数、指数等)进行仔细观察、分析，灵活地运用以上一种或几种方法，必要时还需作一些技巧性的变形，以达到分解因式的目的。而在这方面加强训练，对提高代数式变形的能力，观察、处理问题的能力都是很有帮助的。

补充两个因式分解的常用方法：

公式1 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2.

(思考：a、b、c中有一个或两个改为相反数，则公式1的形式如何？)

公式2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

(也可写成a3+b3+c3-3abc=1

2

(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2])

以上公式不难从展开等号右边的式子加以验证，由公式2，又可得出以下的推论：推论1 如果a3+b3+c3=3abc,那么a=b=c或a+b+c=0.

推论2 如果a=b=c或a+b+c=0，那么a3+b3+c3=3abc。

例1．分解因式a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2.

分析：显然不能直接用公式1(因为符号不满足条件)，但仔细观察、比较，不难发现可用“拆项”的技巧，把-2a2b2(或-2b2c2或-2c2a2)拆写成+2a2b2-4a2b2，则分组后可利用公式1和“平方差公式”进行分解。

解：a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-ac2a2

=(a4+b4+c4+2a2b2-2b2c2-2c2a2)-4a2b2

=(a2+b2-c2)2-4a2b2

=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)

=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]

=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

例2．分解因式x3+y3+3xy-1.

分析：直接用立方差公式分解x3-y3显然无用，考虑运用公式2，但与公式符号不一致且少一个立方项，经过观察发现把-1写成+(-1)3即可。

解：x3+y3+3xy-1

=x3+y3+(-1)3-3xy(-1)

=(x+y-1)(x2+y2+1+x+y-xy)

例3．分解因式(x-1)3+(x-2)3-(2x-3)3

分析：可以先将(x-1)3+(x-2)3利用立方和公式进行分解，然后可提取公因式2x-3；也可先将(x-1)3-(2x-3)3或(x-2)3-(2x-3)3用立方差公式进行分解；也可由2x-3=(x-1)+(x-2),把(2x-3)3写成[(x-1)+(x-2)]3，用和的立方公式展开，原式可消去(x-1)3及(x-2)3后再进行分解，但进一步观察特征可发现如果把-(2x-3)3写成+(3-2x)3，并且注意到(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0，则可运用公式2的推论2得出结果。

解：因为(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0

所以 (x-1)3+(x-2)3-(2x-3)3

=(x-1)3+(x-2)3+(3-2x)3

=3(x-1)(x-2)(3-2x)

例4．分解因式a4+a2b2+b4

分析：根据各项的指数特征及相互关系，可利用拆项技巧把a2b2拆写成2a2b2-a2b2，创造条件分组后运用有关公式进行分解。

解： a4+a2b2+b4

=(a4+2a2b2+b4)-a2b2

=(a2+b2)2-(ab)2

=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

注：本题结论在解题时也可直接运用。

例5．分解因式a4+2a3b+3a2b+2ab3+b4

分析：根据字母a、b的指数变化规律及系数特征进行恰当的拆项、分组。

解：a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4

=(a4+a3b+a2b2)+(a3b+a2b2+ab3)+(a2b2+ab3+b4)

=a2(a2+ab+b2)+ab(a2+ab+b2)+b2(a2+ab+b2)

=(a2+ab+b2)2

注：本题中字母a、b在各项中依次为降幂和升幂，特别是各项系数依次为1、2、3、2、1，通过试探不难找出上述拆项、分组的方法。

特别是当b=1时有a4+2a3+3a2+2a+1=(a2+a+1)2

可以系数特征“1、2、3、2、1”记住本题结论。

例6.分解因式9x4-3x3+7x2-3x-2

分析：仔细观察指数变化及各项系数关系，可得出多种不同的关系：直接把第一、三、五项与第二、四项分为两组；把9x4拆为7x4+2x4；把7x2拆为9x2-2x2；把-2拆为-9+7；或同时把-3x3+7x2-3x拆为-6x3+3x2-2x2+9x2-6x+3x等等，然后分组(每组每项或每组三项)，下面提供两种解法：

解一：9x4-3x3+7x2-3x-2

=(9x4+9x2)-(3x3+3x)-(2x2+2)

=9x2(x2+1)-3x(x2+1)-2(x2+1)

=(x2+1)(9x2-3x-2)

=(x2+1)(3x-2)(3x+1)

解二：9x4-3x3+7x2-3x-2

=(9x4-3x3-2x2)+(9x2-3x-2)

=x2(9x2-3x-2)+(9x2-3x-2)

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x-2)(3x+1)(x2+1)

注：这两种解法都是把7x2拆成9x2-2x2，但分组方法不同，从中可以体会到解题中观察特征，发现规律的重要性和分组分解法的灵活性。

例7.分解因式x5+x+1

分析：注意到指数的“不连贯”性，可考虑“添项”寻找出某种“规律”，再进行分组。

解：x5+x+1

=x5+x4-x4+x3-x3+x2-x2+x+1

=(x5+x4+x3)-(x4+x3+x2)+(x2+x+1)

=x3(x2+x+1)-x2(x2+x+1)+(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x3-x2+1)

注：本题“添项”后三项一组分为三组是关键的一步。因为原式中各项系数都是1，所以所添的项系数取 1为宜，而添项后共有9项且注意到系数为-1的有三项，则容易考虑以