第4章 矩阵分解

1 1 者 A P B ，根据定理(4.1.1)，将 P 分块为
行 证明 由 A B 知，存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或
P 1 ( F , S ) ， F C mr , rank( F ) r ; S C m( m r ) ， rankS m r ． 可得满秩分解 A FG ，其中 G 为 B 的前 r 行构成的 r n 矩阵．
G1 A1 A2 F1G1 F2G2 F1 , F2 ， G 2


从而
rank( A1 A2 ) rank( F1 , F2 ) rank(F1 ) rank(F2 ) rank( A1 ) rank( A2 ) ．
4.2 舒尔定理及矩阵的QR分解
Er B12 ， BP ( j1 ,, jr , jr 1 ,, jn ) 1 0 0 1 其中 B12 C r( nr ) ，再由 A P B ，可得 Er B12 1 ( F , FB12 ) ， AP P ( BP ) ( F , S ) 1 1 0 0 即 F 为 AP 的前 r 列构成的矩阵，也就是 A 的 j1 , j 2 ,, j r 列构成的 1
U1 ( 1 , 2 ,, n )
为酉矩阵．由于
AU1 ( A 1 , A2 ,, A n ) (1 1 , A2 ,, A n ) ，
注意到 1 1 1 1
T 1
2
1 及向量组（4.2.1）的正交性，则有
1T T 2 1 H U 1 AU1 1 1 A 2 A n 0 A 1 T n n 1 易知 n 1 阶方阵 A1 的特征值为 2 ,, n ． 设 2 C 为 A1 的属于 2 的单位特征向量，又重复上述步骤，则又有 n 1 阶酉矩阵 U 2 ，使得
行
则有
G A P B ( F , S ) FG ， 0 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
1
注 4.1.1 矩阵 A 的满秩分解(4.1.1)不是唯一的， 这是因为若取 D 是任一个 r 阶非奇异矩阵，则式（4.1.1）可改写为
A ( FD)(D G) F G ，
1 12 1n 2 2 n 1 Q AQ n 2 n 令 F diag(r, r ,, r ) ， r 为非零常数，且取 P QF ，则有 1 1 P AP 0 r12
舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理 证明的出发点． 而矩阵的QR分解在数值代数中起着重要作
用，是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一个重要工具.下
面的讨论是在酉空间Cn内进行的．
定理 4.2.1（Schur 定理）若 A C
nn
，则存在酉矩阵 U ，使得
U H AU T
定理 4.2.2 设 A C
nn
，则有可逆矩阵 P ，使得
1 P 1 AP 0
而且
1i j n
b12
2
b1n b2 n n
b
ij
，其中 是预先给定的任一正数．
证明 由定理 4.2.1，存在酉矩阵 Q ，使得
1 0 1 2 1 0 0 行 0 2 0 31 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ． ，可求得 1 P 1 1 0 0 2 1 1 1
于是有
1 0 1 0 1 2 A 1 1 0 2 0 3 ． 2 1
下面确定列满秩矩阵 F ，参照 A 的行最简形矩阵 B 作 n 阶置换 矩阵
P (e j1 ,, e jr , e jr 1 ,, e jn ) ， 1
划分 A (1 , 2 ,, n ) ， B (1 , 2 ,, n ) ，则有
AP ( j1 ,, jr , jr 1 ,, jn ) ， 1
G A B ， G C rn ， rankG r ． 0 1 1 于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或者 A P B ． 将 P 1 分块为 P ( F , S ) ，其中 F C mr 且 rankF r ， S C m( m r ) 且 rankS m r ，
2 1 0 0 1 0 1 ( A, E ) ＝ 1 2 1 1 0 1 0 2 2 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 ， 所以 B 0 2 0 3 P 1 1 0 0 0 0 1 1
U U1V2V3 Vn1
则 U 为 n 阶酉矩阵， 且使得 U AU T 为上三角矩阵， 显然 T 与 A 有相同的特征值．
H
因 U 为酉矩阵，故舒尔定理的结论亦可以叙述为：任一复数 方阵都可以酉相似于上三角矩阵． 仿照这定理的证明可以得知，在定理的叙述中“上三角矩阵” 改成“下三角矩阵”亦是可以的，当然它相应的酉矩阵与前者不 同．又定理中的酉矩阵及上三角矩阵都不是唯一的． 应用定理 4.2.1 可以证明下面的定理.
这里 T 为上三角矩阵， T 的(主)对角线上的元素都是 A 的特征值．
证明 设 A 的特征值为 1 , 2 ,, n ． 若 1 为 A 的属于 1 的单 位特征向量． 把 1 扩充成 C 的一组基
n
1 , 2 ,, n ．
对它进行正交化、单位化，可以得到一组标准正交基 （4.2.1） 1 , 2 ,, n ． 以这组基作列向量构成的矩阵
矩阵的QR分解以及Schur定理．
4.1 矩阵的满秩分解
本节介绍将非零矩阵分解为列满秩矩阵与行满秩矩阵的
乘积问题．
定义 4.1.1 设 A C mn且rankA r (r 0) ，如果存在列满秩 矩阵 F C mr 和行满秩矩阵 G C rn ，使得
A FG
则称式（4.1.1）为矩阵 A 的满秩分解．
矩阵．
利用定理 4.1.2 求 A 的满秩分解时，需要首先求出 A 的行最简 形矩阵 B ，但并未用到变换矩阵 P ，因此不需求之．
0 0 1 例 4.1.2 求矩阵 A 2 1 1 的满秩分解，其中 i 1 ． 2i i 0 1 0 1 0 0 1 2 行 解 A 2 1 1 0 0 1 B ， 2i i 0 0 0 0 因为 B 的第 1 列和第 3 列构成 E3 的前两列，所以， F 为 A 的第 1 列和第 3 列构成的
（4.1.1）
当 A 是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时， A 可分解为一个因子 是单位矩阵，另一个因子是 A 本身，称此满秩分解为平凡分解．
定理 4.1.1 设 A C mn , rankA r (r 0) ，则 A 有满秩分解 （4.1.1） ． 证明 rankA r 时，根据矩阵的初等变换理论，对 A 进行初等 行变换，可将 A 化为阶梯形矩阵 B ，即
3×2 矩阵，从而有
0 1 1 A 2 1 2i 0 0
又如在例 4.1.1 中
1 2 0
0 ． 1
Leabharlann Baidu
所以
1 0 1 2 2 1 0 1 行 3 A 1 2 1 1 0 1 0 B, 2 2 2 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 3 ． A 1 2 0 1 0 2 2 2
mn
， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 ,, jn 的次序
重新排列所得到的矩阵． 我们已知，任意非零矩阵 A C mn且rankA r ，可通过初等 行变换化为行最简形矩阵 B ，且 B 的前 r 行线性无关．
定理 4.1.2 设 A C mn , rankA r (r 0) ，A 的的行最简形矩 阵为 B ， 那么， A 的满秩分解 在 （4.1.1） 可取 F 为 A 的 j1 , j 2 ,, j r 中， 列构成的 m r 矩阵， G 为 B 的前 r 行构成的 r n 矩阵．
利用矩阵的满秩分解处理一些矩阵问题时，有时会十分方便． 例 4.1.3 设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明
rank( A1 A2 ) rank( A1 ) rank( A2 ) ． 证明 如果 A1 0 ，或者 A2 0 ，则结论显然成立． 如果 A1 0 且 A2 0 ，设 A1 与 A2 的满秩分解分别为 A1 F1G1 ， A2 F2 G2 ，则有
这是 A 的另一个满秩分解． 注 4.1.2 定理 4.1.1 的证明过程表明，可以使用矩阵的初等行变 换方法求矩阵的满秩分解．
1
~ ~
2 1 0 1 例 4.1.1 求矩阵 A 1 2 1 1 的满秩分解． 2 2 2 1 解 需要求出阶梯形矩阵 B 及诸初等矩阵的乘积 P ． 为此，对 距阵 ( A, E ) 进行初等行变换， A 所在的位置成为阶梯形矩阵 B 时， 当 E 所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积 P ．
上例中，求列满秩矩阵 F 时，需要求出矩阵 P 及其逆矩阵 P 计算量较大． 为了避免这些运算，引入下面的定义．
1
，
定义 4.1.2 以 n 阶单位矩阵 E n 的 n 个列向量 e1 , e2 ,, en 为列构成 的 n 阶矩阵
P (e j1 , e j2 ,, e jn )
称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是 1,2,, n 的一个全排列．
第4章
矩阵分解
把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩 阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要
的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原
矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇 异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效 的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍在广义逆矩 阵等理论中常用的矩阵满秩分解和奇异值分解，最后介绍
0 0 例如，矩阵 P (e3 , e4 , e1 , e2 ) = 1 0
矩阵．
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 就是一个 4 阶置换 0 0
置换矩阵 P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C
2 U A1U 2 0
H 2
． A2
1 0 令 V2 0 U ，则 V2 和 U 1V2 都是 n 阶酉矩阵，而且 2 1 H H V2 U 1 AU1V2 2 ． A2
继续这种作法，便得到 n i 1 阶的酉矩阵 U i (i 1,2,, n 1) 以及 n 阶酉矩阵 V i (i 2,3,, n 1) ． 令