(江苏专版)2019届高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 文

3．(2016·高考江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项 和．若 a1＋a22＝－3，S5＝10，则 a9 的值是___2_0____． [解析] 设等差数列{an}的公差为 d，则 a1＋a22＝a1＋(a1＋d)2 ＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得 a1＝－4，d＝3，则 a9＝a1 ＋8d＝－4＋24＝20.
4．设{an}是等差数列，若 a5＝6，则数列{an}前 9 项的和为 ___5_4____． [解析] 等差数列{an}前 9 项的和 S9＝9（a1＋2 a9）＝9a5＝54.
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝__4_5_____． [解析] 由{an}为等差数列，则 S3，S6－S3，S9－S6 也成等差 数列，故 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即 a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
1．必明辨的 2 个易错点 (1)判断等差数列忽视首项． (2)等差数列一些重要性质能为解题带来方便，但做题时不能 想当然，运用性质公式要有理有据，不能混淆一些性质．
2．必会的 3 种方法思想 (1)函数思想：在等差数列{an}中 an＝dn＋c(d，c 为常数)，是 关于 n 的一次函数(或常数函数)，Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数) 是关于 n 的二次函数(或一次函数)． (2)方程思想：准确分析 a1，d，an，Sn，n 之间的关系，通过 列方程(组)可做到“知三求二”． (3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若 m＋n＝p＋ q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思 想进行代换．
第五章 数列
第2讲 等差数列及其前n项和
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减它的前一项所 得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达 式为 an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或 an＋1－an＝d(常 数)(n∈N*)．
3．已知数列{an}是等差数列，且 a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 则 a3＋a15＝__2_3_4____． [解析] 由等差中项公式可得 2a9＝a5＋a13， 又 1＋17＝5＋13， 所以 a1＋a17＝a5＋a13.由题设易知 a9＝117.所以 a3＋a15＝2a9 ＝234.
1．在等差数列{an}中，a1＝x－2，a2＝x，a3＝2x＋1，则 x ＝____1____． [解析] 由等差数列定义知 2x＝x－2＋2x＋1，解得 x＝1.
2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于 1 的正整数 n， an－ an－1＝ 3，则 an＝__3_n_2____．
[解析] 由定义知{ an}是以 3为首项，以 3为公差的等差数 列，故 an＝ 3n，即 an＝3n2.
4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否 是等差数列？说明你的理由． [解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以 an＝32，n，n＝n≥1，2. 所以{an}从第二项起是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列．但 对于整个数列不是等差数列．
2．等差数列{an}满足 a3＝3，a6＝－3，则数列{an}的前 n 项
和 Sn 的最大值为___1_6____．
[解析]
由
a3＝3，a6＝－3
得，a1＋2d＝3， a1＋5d＝－3，
解得a1＝7，所以 d＝－2.
Sn＝na1＋n（n2－1）d＝－n2＋8n＝
－(n－4)2＋16.
所以当 n＝4 时 Sn 有最大值 16.
1．已知等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，S10＝10，S30＝70，
则 S40 1＋10×2 9d＝10， 得
30a1＋30×2 29d＝70，
a1＝25，d＝125.
代入得 S40 ＝40a1＋40×2 39d＝120.
此题易误将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列 误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列．从而导致错解 S30＝S10＋2d. 所以 d＝30，所以 S40＝S30＋d＝100.
【解析】 (1)因为公差为 1， 所以 S8＝8a1＋8×（82－1）×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 因为 S8＝4S4，所以 8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝12， 所以 a10＝a1＋9d＝12＋9＝129.
(2)法一：由题知 Sn＝na1＋n（n2－1）d＝n＋n(n－1)＝n2， Sn＋2＝(n＋2)2，由 Sn＋2－Sn＝36 得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36， 所以 n＝8. 法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1) ＝36，解得 n＝8.
4．等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn＝na1＋n（n2－1）d＝n（a1＋2 an）. 5．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq，特别地：若 m＋n＝ 2p，则 am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…，仍是等差数列，公差为 kd. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．
2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d.亦可以用数列中的第 m 项 am 与公差 d 表示 为 an＝am＋(n－m)d. 3．等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项， 且有 A＝a＋2 b.
等差数列基本量的计算
(1)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 19
项和，若 S8＝4S4，则 a10＝____2____. (2)(2018·无锡模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1 ＝1，公差 d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝___8_____.