等腰三角形(1)
4第四讲 等腰三角形（1）
第四讲等腰三角形（1）（一）等腰三角形的概念1、等腰三角形的腰或底已明确例1、若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A、21cmB、18cmC、18cm或21cmD、13cm或26cm练习：若等腰三角形的底边长是5cm，腰长是6cm，则这个等腰三角形的周长是 .2、等腰三角形的腰或底没明确例2、（1）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为.例3、如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为.练习：（1）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于2，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其他两边长为 .（二）等腰三角形的性质1、等腰三角形“等边对等角”性质的应用例4、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A、200 B、1200 C、200或1200 D、360例5、如图，在△ABC中，D，E为BC边上的点，BD=AD，AE=EC，∠ADE=800，∠AED=660.求△ABC各内角的度数.例6、等腰三角形一腰上的高与一腰的夹角为200，求等腰三角形的底角的度数.练习：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线.试判断AE与BC的位置关系.2、等腰三角形“三线合一”性质的应用例7、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F. 求证：DE=DF.练习：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=1300.求∠BAC的度数.3、等腰三角形轴对称性质的应用例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三点分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中影阴部分的面积是 .练习：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O是AD的中点，若影阴部分的面积为8cm2，则△ABC的面积为 .（三）等腰三角形的判定1、判定等腰三角形的个数例11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=360，D，E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD.则图中的等腰三角形一共有（）个A、3B、4C、5D、62、等腰三角形判定方法的应用例12、在一次数学课上，王老师在黑板上画出了下图，并写出了四个等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE .要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.例13、如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线交于点F.求证：△ADF是等腰三角形.练习：如图，在△ABC中，∠BAC=900，AD是BC边上的高，BE是角平分线，AD、BE相交于点F. 求证：△AEF是等腰三角形.强化训练：1、已知一个等腰三角形的两个角分别为(2x-2)0,(3x-5)0，求这个等腰三角形各角的度数.2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P为AD延长线上一点，问：PB=PC成立吗？请说明理由.3、如图，在△ABC中，∠B=900，AD为角平分线，DE⊥AC，∠C=300，则图中有等腰三角形多少个？并指出来.4、如图，在△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，那么DE于DF 相等吗？请说明理由.5、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F. 求证：DF⊥BC.。
1.1 等腰三角形(1)
§1.1 等腰三角形（1）【主要内容】①等边对等角；②三线合一. 【复习旧知】证明两个三角形全等公理：_______、_______、_______，定理：______. 【新课导学】1、等腰三角形的定义：有____条边_______的三角形，称为等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）从定义可知，等腰三角形的两条边相等，几何描述： ∵△ABC 是__________，∴_____＝______.（等腰三角形的定义） （2）等腰三角形是一个轴对称图形，如图所示， △ABC 中，AB ＝AC ，通过折叠，我们可以知道 ∠B 与∠C 能够完全重合，即_____=______。
因此，可以得到命题：等腰三角形的两底角相等，简述为________________.你认为这是真命题吗？请你进行说明。
已知： 画图： （证明分析：要证明角相等，需要找到两个全等的三角形， 但是显然已知没有全等三角形，那我们该怎么办呢？） 求证：（3）在上面的证明当中，你有何新发现呢？你所作的辅助线既是等腰三角形底边上的_____，也是底边上的______，还是顶角的_______.简称___________. （4）几何描述： ①∵△ABC 中，AC ＝BC ②∵△ABC 中，AC ＝BC ∴____＝____.（__________） 又∵CD 是△ABC 的高∴CD 是△ABC 的中线（或平分∠ABC ）（三线合一）§1.1 等腰三角形（1）【主要内容】①等边对等角；②三线合一. 【复习旧知】证明两个三角形全等公理：_______、_______、_______，定理：______. 【新课导学】1、等腰三角形的定义：有____条边_______的三角形，称为等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）从定义可知，等腰三角形的两条边相等，几何描述： ∵△ABC 是__________，∴_____＝______.（等腰三角形的定义） （2）等腰三角形是一个轴对称图形，如图所示， △ABC 中，AB ＝AC ，通过折叠，我们可以知道 ∠B 与∠C 能够完全重合，即_____=______。
等腰三角形(1)
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
∴设∠A=x0,则∠ABD=x0
∵∠BDC=∠A+∠ABD
∴∠BDC=2x0
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底 角的度数．
2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC ＝90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C， ∠BAD，∠DAC的度数．图中有哪些相等的线段？
3.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°． 求∠B和∠C的度数．
6.如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交 AC于点D．求∠DBC的度．
10.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分 ∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N， 且MN∥BC．求证：△AMN的周长等于AB＋AC．
∴ ∠B = ∠C ，
B
C
1.（2012?海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平 分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ______．
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为__7_5_°_ , 30°__； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
课后思考
等腰三角形(一)
【知识要点】等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； （3）等腰三角形的是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线。
判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形；（3）中线、高、角平分线重合的三角形是等腰三角形。
【典型例题】 例1 如图1，已知等边三角形ABC 边BA 延长线上有一点D ，BC 延长线上有一点E ，且AD=BE ，求证：DC=DE 。
例2 已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求出△ABC 的周长。
E 图1∠B ）。
例4 如图3，∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90°－12∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形。
【闯关练习】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC=8，AC BC =3，则腰AC 的长为 。
2．若等腰三角形的周长为12，腰长为x ，则腰长x 的取值范围是 。
3．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为 。
4．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 。
5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a,则其底边上的高是 。
6．如图4，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边上的高，E 是BC 延长线上一点，CD=CE ，求△BDE 的周长。
F AB CM EP1 2 图2 D 图3【疯狂收获】【冲刺练习】1．如图6，△ABC 中，AB=AC ，D ，E ，F ，分别为AB ，BC ，CA 上的高，且BD=CE ，∠DEF=∠B 。
等腰三角形(1)
C
巩固等腰三角形的判定定理
例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的 长为h ，求作这个等腰三角形. 作法： （1）作线段AB =a； （2）作线段AB 的垂直平分线MN，与 AB 相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =h； （4）连接AC，BC，则△ABC 就是所 A 求作的等腰三角形.
探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简写成“等角对等边”）． A 符号语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ AB =AC． 思考 与等腰三角形性质进 行比较看有什么区别？ B C
课堂练习
练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C = 72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个 A 等腰三角形给予证明．
B
D
C
课堂练习
练习3 如图，△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上， 且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数． A
D
B
C
等腰三角形的判定定理
探索等腰三角形的判定定理
思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边有什么关系？形的判定定理
D O A
C
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的性质？ （3）等腰三角形的判定？ （4）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系．
布置作业
教科书习题13.3第1、2、4、6题．
证明：∵ AD∥BC ， ∴ ∠1 =∠B （ 两直线平行，同位角相等）， ∠2 =∠C （ 两直线平行，内错角相等）． B A 1 2 D
C
巩固等腰三角形的判定定理
等腰三角形的性质(1)
3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上， DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若 ∠EDF=70°，求∠AFD的度数
A
F
E B C
D
∠AFD=160°
系统总结
通过本节课的学习，同学们说一 说自己的收获：
作业
课本14页
练习： 1、2、3
因为如果底角大于或等于 90 ，则２倍底角 大于或等于 180 ，这样三角形的内角和就大 于 180 ，显然不可能
2.填空题 ⑴.如果等腰三角形的一个底角为 50 ， 80 50 那么其余两个角为____和____.
⑵.如果等腰三角形的顶角为 80 ，那么 它的一个底角为____. 50
§1.4 等腰三角形(1)
授课教师：徐承波
宁阳十中
初二备课组
几种常见等腰三角形：
A
B
C
有两条边相等
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
展示交流
交流预习成果， 解决共性和个性问题
精讲点拨
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形可 以不一样，如图把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起， 折痕为AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
C
等腰三角形(1)
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB 的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于 E，交AD于F，求证：CD=CF B
分析： CD=CF ∠1=∠2 ∠
1=∠B+∠ ∠1=∠B+∠BAD 2=∠3+∠ ∠2=∠3+∠DAC D
1 2 3
E F A
∠3=∠B ∠ ∠ACB =90°，CE是AC边上高 ° 是 边上高
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角” 等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
A
B
D
C
问题2、 ）、（4）、（ 问题 、结论（3）、（ ）、（ ）用一句话可以归纳为什么？ ）、（ ）、（5）用一句话可以归纳为什么？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 等腰三角形的顶角平分线、 顶角平分线 和底边上的高互相 简称“三线合一” 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
B
A
D
C
等腰三角形底边上 等腰三角形底边上 底边 的中线和高线、 的中线和高线、顶 的平分线互相重 角的平分线互相重 合。
例题1
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠ A=∠ABD（等边对等角）. 设 ∠ A=x, A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x, 从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有 ∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得: x=36 ° B 在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°.
结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 结论 在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 在等腰三角形中 顶角+2 底角=180 +2× =180° ① 顶角+2×底角=180° 顶角=180 =180° ② 顶角=180°－2×底角 底角= 180° 顶角） ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论 当已知任意一个内角时 则要分情况讨论
八年级上册数学-等腰三角形(一)数学思想与求角
第14讲 等腰三角形（一）数学思想与求角【板块一】 整体思想求角方法技巧1．和为定值时可用整体思想求解单角的度数；也可已知单角度数求角的和或差的度数． 2．在共顶点的双等腰三角形的图形中，关注隐含的三角形全等，运用全等导角． 3．当整体代换不明朗时，可以引入参数x ，y 进行代数运算，整体求值． 【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°，P 为△ABC 内一点，∠PBC ＝∠PCA ，求∠BPC 的度数．A【对练1】如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，∠FDE 的两边分别交直线AC ，BC 于点F ，E ，若AF ＝AD ，BD ＝BE ，∠FDE ＝30°，求∠ACB 的度数．ABF【例2】如图，△ABC 和△DEC 均为等边三角形，∠ADB ＝80°． （1）求证：△DAC ≌△EBC ； （2）求∠DBE 的度数．ACD【例3】如图，OA ＝OB ＝OC ，∠AOB ＝20°，∠BOC ＝2∠BAC ，求∠ACB 的度数．BOAC【例4】如图，∠ACD ＝∠BED ＝90°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．BC AD【对练2】如图，∠ACD ＝∠BED ＝40°，AC ＝DC ，BE ＝DE ，点E 在AC 上，求∠CDE ＋∠EBA 的度数．A针对练习11．已知∠A ＝∠D ，AB ＝AC ，∠DBC ＋∠DCA ＝70°，则∠A 的度数．B AD2．如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠D ＝50°，∠OAD ＋∠OCD ＝2∠ABC ，求∠AOC 的度数．C 3．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，若∠DCA＝130°，求∠BDC的度数．ED4．如图，△ABC于△EDC均为等边三角形，且∠EBD＝70°，求∠AEB的度数．B【板块二】方程思想求角度方法技巧等腰三角形求角度问题主要有一个等腰三角形或多个等腰三角形接力型或共顶点型及镶嵌接力型等．复杂问题要寻找角度之间的联系，巧设未知数，根据几个角的和或两个角之间的关系列方程（组）求解，关注三角形的外角和内角的关系．【例5】如图，△ABC中，∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC于点D，交AC于点E．（1）若AB＝5，AC＝8，求△ABE的周长；（2）若BE＝BA，求∠C的度数．BC【例6】如图，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，BD ＝AB ，E 为AD 延长线上一点，DC ＝CE ，AE ＝A C ．（1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AB ＝DE ＋E C ．CBA【例7】如图，∠MAN ＝16°，点A 1在AM 上，在AN 上任取一点A 2，使A 2A 1＝AA 1，再在AM 上取一点使A 3A 2＝A 2A 1，…，如此一直作下去，则不能再作为止．那么作出的最后一点是（ ）A 3A 1OMA ．A 5B ．A 6C ．A 7 DA 8 【例8】如图，在Rt △ACB ＝90°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，交AB 于点D ，CD ＝DB ，点F 在CD 上，EF ＝E C ． （1）求证：△AEC ≌△BEF ；（2）若∠DFB ＝3∠DBF ，求∠DEB 的度数．CBA针对练习21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ，求∠EDC 的度数．CBA2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数．CB3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD ＝BC ＝BE ，AE ＝ED ，求∠C 的度数．BC4．如图，一钢架中，∠A ＝15°，焊上等长的钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2，P 2P 3＝P 1P 2，…，则这样的钢条最多能焊上（ ）．P 3P 1A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条4．如图，△ABD 与△ACE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ． （1）求证：CD ＝BE ； （2）若∠ABE ＝15°，DC 与AB ，BE 分别交于点F ，点O ，DF ＝DB ，求∠BOD 的度数．DE6．如图，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CM ⊥CD ，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于点O ，MG ⊥AC 于点G ． （1）求证：∠BCM ＝∠GCM ； （2）若CG ＝2，求BC －AG 的长；（3）若点D 在BC 的垂直平分线上，求∠AMB 的度数．GMB【板块三】 分类讨论求角度方法技巧当等腰三角形的底与腰不明，顶角与底角不明，或是三角形的形状不明时，常需要分类讨论． 【例9】（1）等腰三角形两边分别为2，3时，求其周长； （2）等腰三角形两边分别为2，4时，求其周长．【例10】等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个三角形的底角的度数．【例11】平面直角坐标系中，已知A （3，3），B （0，5）．点C 为坐标轴上一点，且△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个 【例12】（2018绍兴）（1）等腰△ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数；（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．【例13】如图1，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，BC 交DE 于点O ，设∠BAD ＝α． （1）求证：∠BOD ＝α； （2）求证：OA 平分∠BOE ；（3）如图2，设AC 与DE 交于点F ，若△AOF 是等腰三角形，∠C ＝30°，直接写出∠α的度数是 ．EBAEAB针对练习31．等腰三角形的两边长为5和6，则其周长为．2．等腰三角形的两边长为2和5，则其周长为．3．等腰三角形有一个角为50°．其底角为．4．等腰三角形有一个角为100°．其底角为．5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．60°或30°6．△ABC中，AB＝AC，AB垂直平分线与AC所在的直线所得的锐角为50°，则∠B的度数是．7．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）CBA ABCA．4B．5C．6D．79．如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形，这样的B点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知E是等边△ABC内一点，∠AEB＝100°，∠BEC＝α，以EC作等边△CEF，连接AF，当△AEF为等腰三角形时，试求α的度数．FAB C。
等腰三角形(1)
9.3等腰三角形（1）
课题：等腰三角形
教学目标
1、理解等腰三角形的定义及等腰三角形的相关概念；（知识目标）
2、掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题；
教学重点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学难点
掌握“等边对等角”及“三线合一”性质并能利用它们解决简单实际问题。
教学过程
一）揭示教学目标（学习目标）
二）指导学生自学
自学提示
学生自学课本P82-P83的内容，思考下列问题：（5分钟）：
1、怎样的三角形称为等腰三角形？它有哪些相关概念？
2、等腰三角形有哪些相关的性质？你能用翻折纸的方法得出这些性质吗？
3、结合P83例一想一想，你能用“∵∴”的方法来写出这个题并说出每一步的根据吗？
三）学生练习
P84练习1、2、3
四）点拔、矫正、指导运用。
1、出示多媒体课件用折纸的方法得出等腰三角形“等边对等角”和等腰三角形“三线合一”的性质；
2、围绕自学提纲和学生练习情况进行矫正，培养学生动手能力和运用所学知识解决问题的能力。
五）课堂练习
p86习题1、2
六）课堂小结
由学生自己总结。
等腰三角形的性质(一)
等腰三角形的性质（一）等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两个边的长度相等，两个底角（与两个边相对的角）也相等。
1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边相等的那两边通常称为“腰”，而较短的那条边则称为“底”。
等腰三角形的底角通常也是相等的。
2. 等腰三角形的性质2.1 两边性质在等腰三角形中，两条腰的长度相等。
这意味着如果我们将等腰三角形的两条腰进行任意交换位置，得到的仍然是一个等腰三角形。
2.2 底角性质在等腰三角形中，两个底角的大小相等。
这也可以理解为等腰三角形的对称性，两个底角相互对应。
2.3 高的性质等腰三角形中的高是腰中线、腰高和底边的三边中最短的边。
高的长度可以通过应用勾股定理或使用三角函数来计算。
2.4 对称性质等腰三角形具有对称性。
如果我们绕等腰三角形的对称轴（通常为高线）旋转180度，等腰三角形将与原来的位置完全重叠。
2.5 直角三角形在等腰三角形中，如果两个底角之一为直角（90度），则这个等腰三角形也是一个直角三角形。
2.6 等边三角形等腰三角形中的特殊情况是等边三角形。
等边三角形即三边长度相等的三角形，也是一种等腰三角形。
3. 等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。
下面列举一些等腰三角形的应用场景：•建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常用于设计房屋的屋顶或者侧面的装饰图案。
•地理测量：在地理测量中，等腰三角形可用于计算高度、距离和角度等参数。
•航海导航：在航海导航中，等腰三角形可用于计算经纬度、航向和航速等信息。
•数学证明：在数学证明中，等腰三角形的性质常用于推导其他几何定理或性质。
4. 总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
在等腰三角形中，两条边的长度相等，两个底角也相等。
等腰三角形的性质包括两边性质、底角性质、高的性质、对称性质、直角三角形和等边三角形等。
等腰三角形在几何学、建筑设计、地理测量、航海导航和数学证明等领域都有广泛的应用。
12.3.1等腰三角形(1)课件
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
你能将自己在本节课的收获和同学们共同分享？
等腰三角形 性质1：等边对等角 性质2：“三线合一”
5、等腰直角三角形斜边上的高把直角 分成两个角，则这两个角的度数为 45 ° .
1、 在下列的等腰三角形中，分别求出它们的 底角的度数 ．
⌒ 40°
70°70°
30°
45°
2、已知等腰三角形的一个角等于75°，求另外 两个角的度数．
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 70°,40°或55°,55° __________________.
学习目标
1.理解并记忆等腰三角形的概念及相关的边角 意义； 2.学会等腰三角形性质的两种表述方法及简单 应用； 3.掌握“等边对等角”定理及综合应用。 4.学会用代数方法（列方程）解几何问题。
问题 ：你知道什么样的三角形是等腰三角形吗？
A
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 底边
C
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
性质1 等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角)
已知： Δ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A
B
C
证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 作顶角的平分线
A
证明：作顶角的平分线AD
∴∠ 1= ∠ 2 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，
35 °，35 ° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
等腰三角形的性质(1)
∴ ∠2=2∠A
∵ BD=BC ∴ ∠C=∠2=2∠A（等边对等角）
∵ AB=AC, ∴ ∠C=∠ABC（等边对等角）
又∵ ∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形内角和）
∴ 5∠A=180° ∴ ∠A=36°
∴ ∠C=∠ABC=72° 总结：此题运用“等边对等角”、“三角
形内角和”、“三角形内外角”这些性质
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC, ∠BAC=90°）,AD是底边BC上的高，
求出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC的度数，图中有哪些 相等的线段？
A
A
B D
1题
CB
D
C
2题
2、如图在△ABC中，AB=AD=DC, ∠BAD=26°, 求∠B和∠C
答案：1、∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45° AB=AC BD=CD=AD
复习提问： 1、一般三角形的性质:
A. 三角形三边关系是什么？ B. 三角形三个内角间的关系是什么？ C.三角形内外角间的关系是什么？
2.什么叫等腰三角形？
做一做：将准备好的等腰三角形△ABC纸片 折叠，使相等的两边AB、AC重叠。
议一议：等腰三角形两部分是否完全重合？
等腰三角形两部分完全重合， A 折痕AD是对称轴；
∵ ①② ∴ ③④ ； ∵ ①③ ∴ ②④ ； ∵ ①④ ∴ ②③。
做一做：等边三角形呢？
A
例1、如图在△ABC中，AB=AC,点D
在AC上，且BD=BC=AD,
求△ABC各角的度数。
解：∵ BD=AD ∴ ∠A=∠1(等边对等角)
D
2
1
Байду номын сангаас
B
北师大版八年级数学下册课件：等腰三角形(1)
6.【例3】(人教8上P76改编)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D 在线段BC上,AD＝BD. (1)求证:∠BAD＝∠C; (2)若CA＝CD,求△ABC三个内角的度数.
(1)证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵AD＝BD,∴∠B＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠C.
(2)解:∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA, 由(1)得∠B＝∠C＝∠BAD, 设∠B＝x,则∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x, ∴∠CAD＝∠CDA＝2x, ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x,
∴在△ABC中,有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°, 解得x＝36°, ∴在△ABC中,∠BAC＝108°,∠B＝∠C＝36°.
★9.(创新题)如图,在△ABC中,AB＝AC. (1)如果∠BAD＝30°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 15° ; (2)如果∠BAD＝40°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 20° ; (3)通过以上两题,你发现在AD＝AE的条件下, ∠BAD与∠EDC之间有什么关系?并给予证明.
5.【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE＝∠BAD. 证明:∵AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC, ∴AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD. ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
8.(核心教材母题:北师8下P5、)如图,已知AB＝AC,AD＝AE. 求证:BD＝CE.
证明:如图,过A点作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC,∴BF＝CF. 又∵AD＝AE,∴DF＝EF. ∴BF－DF＝CF－EF, ∴BD＝CE.
答案图
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于北师大版和人教版教材. 本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,作为课堂例习题 呈现.
第1课时 等腰三角形(1)
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第1课时 等腰三角形（1）
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课前小测
课堂精讲
课后作业
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课前小测
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关键视点 1.等腰三角形的两底角 相等 . 2.等腰三角形的 顶角平分线 、 底边上的中线 及 底边上的高 互相重合.
课前小测
目录 contents
课堂精讲
课堂精讲
Listen attentively
知识点1 等腰三角形的性质 【例1】(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是 30 °． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD =70°﹣40° =30°． 故答案为：30．
课后作业
Listen attentively
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点， ∠BAD=35°，则∠C的度数为（ C ） A．35° B．45° C．55° D．60° 8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另 6，4或5，5 两边为 ． 9.如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF， ∠F=20°，则∠B的度数为 40°．
课后作业
Listen attentively
10．如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶 A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、 ∠C、∠BAD、∠CAD的度数． 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C= = =40°. ∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=50°．
1等腰三角形的性质课件(1)
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
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潮水中学 初 二数学 编制人：王爽 审核人：赵恩年 编号：04时间 ：2017.03
10.2等腰三角形（1）
秋天的硕果不属于春天的赏花人，而属于春天的耕耘者。
学习目标：
1、掌握等腰三角形的性质与判定并能灵活地运用它们进行论证
2．经历“探索—发现—猜想—证明的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理
3．强化分类讨论、方程等思想.
学习重点：等腰三角形性质与判定的发现、探索过程；
学习难点：等腰三角形性质与判定的运用.
学习过程：
一、 自主学习
等腰三角形有哪些性质？
二、探究合作
我们曾经利用折叠等腰三角形纸片来说明这些性质的正确性，参考折叠纸片的过程你能否
利用已有的基本事实和定理证明这些结论？
探究一：证明等腰三角形的两个底角相等。
画图
已知：
求证：
证明：
由此得到
等腰三角形的性质定理1:
简称：
几何语言：
想一想:
由刚才的证明你还能发现什么?
由此得到 等腰三角形的性质定理2:
简称：
几何语言：
【小试身手】
1.判断：等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合.（ ）
2.如图, AB=AC ,AD ⊥BC 交BC 于点D,BD=5cm,那么BC 的长度为
探究二：等腰三角形的判定
如何判定一个三角形是等腰三角形?如何证明你的猜想？ 由此得到： 等腰三角形的判定定理： 简称： 几何语言： 三、交流展示 1、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________. 3、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________. 4、已知：如图，AB=AC ，顶角∠BAC=100º，AD BC ，则 ∠CAD= . 四、拓展提升 1、 2、.已知：如图：AB=AF, BC=FE, ∠B ＝ ∠F, D 是CE 的中点。
求证： AD ⊥CE 课堂小结：谈谈这节课的收获 五、课堂检测 1、如果等腰三角形的一个外角是100°，那么它的两个底角的度数分别是 __________ 2、如图：△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 是高，它们相交于点H ，且AE=BE 。
求证：AH=2BD
A B D C A D
A B
C
D
E
H。