高中数学 3.2.2函数模型的应用举例课件 新人教版必修1
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人教版高中数学必修一第三章3.2.2函数模型的应用实例PPT教学课件
y＝ mlogax＋ n(m， a， n为 常 数 ， m≠ 0， a>0且a≠ 1) y＝ axn＋ b(a， b为 常 数 ， a≠ 0)
ax＋ b x<m ， y＝
cx＋ d x≥ m
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2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
[自主预习 · 探新知 ]
1． 常 见 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 (2)二 次 函 数 模 拟
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1 t
32－ 24＝ (88－ 24)×2 ， ∴ t＝ 30.
64 8
因 此 ， 需 要30min， 可 降 温 到32℃ .
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[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数 模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值
它 们 发 展 到 ( )
A． 300只
B． 400只
C． 600只
D． 700只
A [将x＝ 1， y＝ 100代 入y＝ alog2(x＋ 1)得 ， 100＝ alog2(1＋ 1)， 解 得a＝ 100.所 以x＝ 7时 ， y＝ 100log2(7
＋ 1)＝ 300.]
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常 用(3)指 数 函 数 模 型 函 数(4)对 数 函 数 模 型 模 型(5)幂 函 数 模 型
ax＋ b x<m ， y＝
cx＋ d x≥ m
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2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
[自主预习 · 探新知 ]
1． 常 见 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 (2)二 次 函 数 模 拟
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1 t
32－ 24＝ (88－ 24)×2 ， ∴ t＝ 30.
64 8
因 此 ， 需 要30min， 可 降 温 到32℃ .
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[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数 模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值
它 们 发 展 到 ( )
A． 300只
B． 400只
C． 600只
D． 700只
A [将x＝ 1， y＝ 100代 入y＝ alog2(x＋ 1)得 ， 100＝ alog2(1＋ 1)， 解 得a＝ 100.所 以x＝ 7时 ， y＝ 100log2(7
＋ 1)＝ 300.]
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常 用(3)指 数 函 数 模 型 函 数(4)对 数 函 数 模 型 模 型(5)幂 函 数 模 型
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
函数模型的应用实例人教A版高中数学必修一课件
析式为( )
A．y＝20－x,0<x<10
B．y＝20－2x,0<x<20
C．y＝40－x,0<x<10
D．y＝40－4x,0<x<20
答案：A
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
‖自主导学‖ 知识点|Y3]几种常见函数模型及应用
阅读教材 P101～P106 的内容，完成下列问题． 1．几类常见函数模型
栏目 导引
数学 必修1 配人教 A版
1．几类常见函数模型
名称
解析式
一次函数模型
y＝ 1 __k_x_＋__b____
反比例函数模型
y＝ 2 ___kx_＋_b_____
二次函数模型
第三章 函数的应用
2 课堂互动探究
剖析题型2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
数学 必修1 配人教 A版
第三章 函数的应用
4．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少2x时面积最
数学 必修1 配人教 A版
名称 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
解析式 y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
第三章 函数的应用
条件 a>0 且 a≠1，
b≠0 a>0 且 a≠1，
高中数学 3.2.2《函数模型及其应用》课件 新人教版必修1
55000
50000 0
12
3
4
5
6
7 8 9t
由上图可以看出,所得模型与 201219/9/253 0~1959年的实际研人修班中数据基本吻合. 12
• 注意点：
• 1．在引入自变量建立目标函数解决函数 应用题时，一是要注意自变量的取值范围，
二是要检验所得结果，必要时运用估算和
近似计算，以使结果符合实际问题的要 求．
2021/9/23
研修班
19
例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格 是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月 （以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每 天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所 获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
于（ A ）
• A．5～7km
B．9～11km
C．7～9km
D．3～5km
2021/9/23
研修班
25
• 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每 增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使 水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需 要过滤的次数为（C ） （参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
• 2．在实际问题向数学问题的转化过程中，
要充分使用数学语言，如引入字母，列表， 画图等使实际问题数学符号化．
• 3．对于建立的各种数学模型，要能够模型
识别，充分利用数学方法加以解决，并能
积累一定数量的典型的函数模型，这是顺
202利1/9/2解3 决实际问题的重研要修班资本．
13
小结
• 本节内容主要是运用所学的函数知识去 解
新人教版高中数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》教学ppt
写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式 Q g(t)
（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿
纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元
102 kg
，时间单位：天）
Q
P
250
300 150
100
100 t
0
200 300
0 50 150 250 300
t
100
解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:
D5 C
5
4
A
B
例6.如图是某出租车在A、B两地间进行的一次业务活动， s(km)表示该出租车与A地的距离，t(h)表示该车离开A地 的时间。 （1）试描述该出租车的活动情况；（2）写出s与t的函数 关系式；（3）写出车速v(km/h)与时间t的函数关系式， 并画出图象。
s(km )
200
150
100
y3 5 30
55
80
105 130 155
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是___y_2____.
例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如 图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含 义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读 数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读 数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象
2000
0
12
3
4
5
t
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；
（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿
纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元
102 kg
，时间单位：天）
Q
P
250
300 150
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100 t
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200 300
0 50 150 250 300
t
100
解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:
D5 C
5
4
A
B
例6.如图是某出租车在A、B两地间进行的一次业务活动， s(km)表示该出租车与A地的距离，t(h)表示该车离开A地 的时间。 （1）试描述该出租车的活动情况；（2）写出s与t的函数 关系式；（3）写出车速v(km/h)与时间t的函数关系式， 并画出图象。
s(km )
200
150
100
y3 5 30
55
80
105 130 155
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是___y_2____.
例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如 图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含 义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读 数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读 数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象
2000
0
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3
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总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺 数量关系；
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用
第十五页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
将 c＝1.01×105 代入 0.90×105＝ce1 000k 中得 0.90×105＝1.01×105e1 000k， ∴k＝1 0100×ln01..9001.由计算器算得 k＝－1.15×10－4， ∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x. 将 x＝600 代入上述函数关系式得 y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600， 由计算器算得 y＝0.943×105 Pa. 答：600 m 高空的大气压强约为 0.943×105 Pa.
的产量为________． 解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当 x＝1 时，y＝1，当 x＝2 时 y＝1.5，则有：
1＝a×0.5＋b， 1.5＝a×0.52＋b，
解得ab＝ ＝－ 2，2，
∴y＝－2×0.5x＋2，
当 x＝3 时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 万件
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x
－4 000.(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N)
(2)∵P(x)＝－20(x－1225)2＋74 125
解析：设今年绿地面积为 a，则有 ay＝(1＋10%)x·a， ∴y＝1.1x，故选 D. 答案：D
第六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·(0.5)x＋b，现已
知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
将 c＝1.01×105 代入 0.90×105＝ce1 000k 中得 0.90×105＝1.01×105e1 000k， ∴k＝1 0100×ln01..9001.由计算器算得 k＝－1.15×10－4， ∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x. 将 x＝600 代入上述函数关系式得 y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600， 由计算器算得 y＝0.943×105 Pa. 答：600 m 高空的大气压强约为 0.943×105 Pa.
的产量为________． 解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当 x＝1 时，y＝1，当 x＝2 时 y＝1.5，则有：
1＝a×0.5＋b， 1.5＝a×0.52＋b，
解得ab＝ ＝－ 2，2，
∴y＝－2×0.5x＋2，
当 x＝3 时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 万件
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x
－4 000.(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N)
(2)∵P(x)＝－20(x－1225)2＋74 125
解析：设今年绿地面积为 a，则有 ay＝(1＋10%)x·a， ∴y＝1.1x，故选 D. 答案：D
第六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·(0.5)x＋b，现已
知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
高中数学第三章函数的应用3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例课件新人教A版必修1
系式. (2)若总运费不超过9000元,问共有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费
用列表如下:
调出地 调至地 台数 每台运 费 运费合 计 甲地 乙地
A地 10-x 400
B地 12-(10-x) 800
A地 x 300
B地 6-x 500 500·(6-x)
所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为
457500元.
【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产
某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从 甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,
从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关
①当x=20×60=1200,即x>500时,
应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元). ②90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由
30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.
③令60=30+0.15(x-500),解得x=700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选 择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700
x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂
应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)根据题意200 (5x 1 3 ) ≥3000⇒5x-14- 3
x x
≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
3 900 (2)设利润为y元,则y= ·100 (5x 1 ) =9× x x 1 1 2 61 4 10 [3( ) ] ,故x=6时,ymax=457500. x 6 12
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费
用列表如下:
调出地 调至地 台数 每台运 费 运费合 计 甲地 乙地
A地 10-x 400
B地 12-(10-x) 800
A地 x 300
B地 6-x 500 500·(6-x)
所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为
457500元.
【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产
某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从 甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,
从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关
①当x=20×60=1200,即x>500时,
应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元). ②90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由
30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.
③令60=30+0.15(x-500),解得x=700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选 择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700
x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂
应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)根据题意200 (5x 1 3 ) ≥3000⇒5x-14- 3
x x
≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
3 900 (2)设利润为y元,则y= ·100 (5x 1 ) =9× x x 1 1 2 61 4 10 [3( ) ] ,故x=6时,ymax=457500. x 6 12
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
高中数学 第三章 §3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 S＝13＋120t(0≤t≤151). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×161＝233 (km)．
第五页，共22页。
小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
第十一页，共22页。
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
第十七页，共22页。
当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
第五页，共22页。
小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
第十一页，共22页。
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
第十七页，共22页。
当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
必修1课件3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
年份 人数/ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 1954 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207 58796 60266
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
【红对勾】高中数学 3.2.2函数模型的应用举例课件 新人教版必修1
(2)设最大利润为Q(x)，
1 2 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－10x －3x＋40
(2)函数关系未知的应用题 其解题步骤可归纳为以下几步： ①阅读理解题意 摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定 去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的 数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型， 初步拟定函数类型．
②抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型． ③研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有 关性质，获得函数模型的解． ④得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目 的要求，给出实际问题的解．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的 前提下，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出 z与x之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的 销售利润最大？最大利润是多少？
【解析】
解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝
销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以 售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得 汽车合适的销售单价．
预习篇01
新知导学
解函数模型应用题的一般步骤
1．函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解 释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关 系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的 意义．
1．常见的函数模型有哪些？ 提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ (k为常数，k≠0)； x (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
人教版高中数学必修一3.2函数模型及其应用ppt课件
C A由.3题.71设元知,f(5.5)=1B.0.36.×97(元0.50×［5.5］+1) =1,06C×.4(.02.45元×6+1)=4.24D.故.4.选77C元.
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规
2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题 的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关 系，选择适当的方法加以解决.
3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问 题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小， 效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的 性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数 中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际 意义.
律,其中最接近的一个是( )
B
A.y=2x-2 C.y=log2x
B.y= (x2-112) D.y=( )x 1
2
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20 元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时 间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当 打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
0
t0
(A)
t0
t0
(B)
t 0 （Ct)0
t0
t0
(D)
24
问题2
韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步 价为4元，行程不超过3km者均按此价收费， 行程超过3km，按1.5元/km收费。 县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车 用了多少钱？
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规
2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题 的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关 系，选择适当的方法加以解决.
3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问 题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小， 效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的 性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数 中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际 意义.
律,其中最接近的一个是( )
B
A.y=2x-2 C.y=log2x
B.y= (x2-112) D.y=( )x 1
2
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20 元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时 间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当 打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
0
t0
(A)
t0
t0
(B)
t 0 （Ct)0
t0
t0
(D)
24
问题2
韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步 价为4元，行程不超过3km者均按此价收费， 行程超过3km，按1.5元/km收费。 县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车 用了多少钱？
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(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问 题；若不符合实际情况则从(3)重新开始.
2．如何根据收集到的数据解决实际问题？ 提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如 下： 第一步：收集数据； 第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出 散点图； 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图 特征的函数模型；
通法提炼 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为 根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式 法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决 实际问题中的最大、最小等问题.
据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至 25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次 函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量 为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶 点．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的 前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出 z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的 销售利润最大？最大利润是多少？
【解析】 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝ 销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以 售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得 汽车合适的销售单价．
函数应用题常见类型可以分为两大类 (1)函数关系已知的应用题 解函数关系已知的应用题的一般步骤是： ①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数 解析式y＝f(x)；
②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题 目有关的问题；
③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所 获得的理论参数值给出答案．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系 式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多 少时，可获最大利润？
解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5. 解得a＝110. 所以y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为x＝23∈[10,25]， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
第三章
函数的应用
3.2 函数模型及其应用
3．2.2 函数模型的应用举例
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
学习目标 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的
实际问题； 2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合.
重点难点 重点：根据给定的函数模型解决实际问题； 难点：建立数学模型解答实际问题.
(2)函数关系未知的应用题 其解题步骤可归纳为以下几步： ①阅读理解题意 摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定 去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的 数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型， 初步拟定函数类型．
②抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型． ③研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有 关性质，获得函数模型的解． ④得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目 的要求，给出实际问题的解．
【解】 (1)因为y＝29－25－x， 所以y＝－x＋4(0≤x≤4)． (2)z＝(8＋0x.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋ 32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋ 50(0≤x≤4)．
故当x＝1.5时，zmax＝50. 所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售 利润最大，最大利润为50万元．
预习篇01
新知导学
解函数模型应用题的一般步骤
1．函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解 释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关 系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的 意义．
1．常见的函数模型有哪些？ 提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝xk(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数， a≠0)；
课堂篇02
合作探究
建立函数模型的应用题
【例1】 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单 价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时， 平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时， 平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽 车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－ 进货单价)．
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数， a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0， n≠1)．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型；
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型； 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检 验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、 四、五步．若符合实际，则进入下一步； 第六步：用求得的函数模型去解释实际问题． 以上过程可用程序框图表示如下：
3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？ 提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比 较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可 能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选 用其他函数模型．