【管理资料】材料力学-截面的几何性质汇编
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学截面的几何性质
I z I zi
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
华南理工大学《材料力学》截面的几何性质
C
ab
I z2 I z1 A(ab)2
z
b = R/2
R/2
R
b b
O
求：图示截面
I z _____
y
R/2
R/2
I y _____
I
xC
y C
abA
x
I 求： Z1
y 1
y
hO b
I
Z
1
I
Z
（A h）2 2
b h3 bh h2
12
4
Z
b3
h I Z1 3
Z1
I
y1
hb3
3
求：T形截面的Iz、Sz ，（设a = 6b）
ay
A1
I Z I Z ( A1) I Z ( A2)
ab3 ab(ab / 2)2
b
12
A2
12
求：圆截面对形心轴之惯矩
y
yR
O D
R2 y2
D
Z
I y Z
2
dA
2
2
y2
R2 y2dy
A
D
2
I
Z
D4
64
I I I I D P
Z
2
y
Z
4
32
五、平行移轴定理
y
yC
x
dA
a
bC y
xC
x
xyabxyCC
I x I xC b2 A
I y I yC a2 A
y
x
dA
y
O
I xy
A
I y x2dA
A
三、极惯性矩
y
x dA
y
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
材料力学教案-截面的几何性质
Iy
2
Iz
1 2
(I y
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对 形心主惯性轴的惯性矩.
(Properties of Plane Areas)
（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角
则有
Iy
2
Iz
sin
2 0
I
yz
cos 2 0
0
由此
tg2 0
z
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
y
y yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 (80 110) 22 120 90 80110
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia、Moment of
§1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
一 、转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标系
逆時针转取为 + 号
材料力学第四章截面的几何性质
确定截面的剪切中心
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 第9章 截面的几何性质
3.86 108 mm4
I zC ,2 =I zC ,1 3.86 108 mm4
I zC ,3 =I zC3 A3 ( yC yC3 )2
= 350 503 mm4 350 50 (228.76 355)2 mm4 12
2.83108 mm4
y C3 y C1 y C y C2
2 2 2 22 2
+b( h y) ( y + 1 ( h y)
2
22
B
(H 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ h2)
b
h2 (
y2)
8
24
H
H
2
2
B
B
2
2
2
h
b
C
z
y
A2
2
h
y
A1
C2(zC2, yC2) C1(zC1, yC1)
第9章 截面的几何性质
9.1 静矩 9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 9.3 转轴公式、主惯性轴和主惯性矩
228.76mm
y
C1
y
C3
y
C2
y
O A1 C1
A3 C3 y
z
A2 C2
9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩
（2）计算对形心轴的惯性矩
I zC =I zC ,1 I zC ,2 I zC ,3
I zC ,1=I zC1 A1( yC yC1)2
= 75 3803 mm4 75 380 (228.76 190)2 mm4 12
S
z
z y
3、惯性半径
I y Aiy2 I z A iz2
iy
Iy A
iz
Iz A
I zC ,2 =I zC ,1 3.86 108 mm4
I zC ,3 =I zC3 A3 ( yC yC3 )2
= 350 503 mm4 350 50 (228.76 355)2 mm4 12
2.83108 mm4
y C3 y C1 y C y C2
2 2 2 22 2
+b( h y) ( y + 1 ( h y)
2
22
B
(H 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ h2)
b
h2 (
y2)
8
24
H
H
2
2
B
B
2
2
2
h
b
C
z
y
A2
2
h
y
A1
C2(zC2, yC2) C1(zC1, yC1)
第9章 截面的几何性质
9.1 静矩 9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 9.3 转轴公式、主惯性轴和主惯性矩
228.76mm
y
C1
y
C3
y
C2
y
O A1 C1
A3 C3 y
z
A2 C2
9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩
（2）计算对形心轴的惯性矩
I zC =I zC ,1 I zC ,2 I zC ,3
I zC ,1=I zC1 A1( yC yC1)2
= 75 3803 mm4 75 380 (228.76 190)2 mm4 12
S
z
z y
3、惯性半径
I y Aiy2 I z A iz2
iy
Iy A
iz
Iz A
材料力学-第6章II 截面几何性质
2
dA= hdz
b
Iy = ∫ z2dA = ∫
A
b 2 b − 2
hb3 z2hdz = 12
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩、极惯性矩、 惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩、极惯性矩、惯性积、 y
z
iy =
Iy A
dA
y
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径
Iz z iz = A
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
Sz = AyC
zC = Sy A
Sz ∫A ydA yC = = A A
∫ zdA =
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知静矩， 已知图形的形心坐标，可以确定静 已知图形的形心坐标， 矩
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
静矩、 静矩、形心及其相互关系
z
I y = ∫ z2dA
dA= hdz
b
Iy = ∫ z2dA = ∫
A
b 2 b − 2
hb3 z2hdz = 12
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
惯性矩、极惯性矩、 惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩、极惯性矩、惯性积、 y
z
iy =
Iy A
dA
y
——图形对 轴的惯性半径 ——图形对 y 轴的惯性半径
Iz z iz = A
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
为什么要研究截面的几何性质
◆ 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。 量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。
A
Sz = AyC
zC = Sy A
Sz ∫A ydA yC = = A A
∫ zdA =
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知静矩， 已知图形的形心坐标，可以确定静 已知图形的形心坐标， 矩
第6章 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 梁的弯曲问题(2)——截面的几何性质 (2)——
静矩、 静矩、形心及其相互关系
z
I y = ∫ z2dA
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
材料力学-截面几何特性
IxC1 (70mm)3 10mm/12 28.58104 mm4 I yC1 70mm(10mm)3 /12 0.58104 mm4
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
截面几何性质 (材料力学)
Ⅱ
O xⅡ 80
10
120
x1 5mm 2
y1
2
60mm
x
矩形II A2 10 70 700mm2
x2 10 70 45mm 2
y2
10 2
5mm
代入组合截面的形心坐标公式
2
Ai xi
x
i 1 2
Ai
i 1
2
Ai yi
y
i 1 2
Ai
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴
的静矩。
y
dy
h
b (y )
y
O
b
x
解： 取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
h
因此 d A b (h y) d y 所以对x轴的静矩为
S x
h yd A
A
h b (h y) y d y bh2
0h
6
例：试计算图示截面形心C的位置。
y
10
Ⅰ
xⅠ
C (y ,x )
解：将截面分为1、2两个矩形。
建立坐标系如图示。
各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
A1 10120 1200mm2
120 y1 y
Ⅱ
10
同理，有：
Ix Ixc a2 A I y I yc b2 A
材料力学第四章截面的几何性质_2023年学习资料
【例题2】试计算图示矩-形对其对称轴的惯性矩。-Z-解：-dz-I,=L z'dA-C-h-=fiz'bd -bh'-12-hb3-12=
【例题3】试计算图示-圆形对其形心轴的惯性-矩和极惯性矩。-解：-dp-Ip=∫pdA-=p2.2元pdp 元D4-32-I=I,+I-L,=L=-64
I,=∫zdA-4.组合截面的惯性矩和极惯性矩-I:=S y'dA-I,=SP'dA-i=1-I.-A2p-pi
§I.4平行移轴公式-已知：:-1-a b-a和b是截面的形心-在oyz坐标系中的坐标-求：I,LIz-0
ly-lye-C-b-y=y。+b-dA②-Z=Z。+a-c-I,=S z'dA-0-=∫z。+adA-zidA +2af z.dA +a'ldA-=I,,+2a.S,+a'A-=I,.+a2A-其中：S.=
讨论：主轴方向的惯性矩-I,+I21I、-I2-y1-cos 2a-Iy:sin 2a-二-I,-Iss131-sin 2a+Iy cos 2a-应²-dIx=0-得：-da-I,-I:sin2a+Ixcos2 =0-可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。
VI,-12+4I-3.主惯性矩-2a-I-I-定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。-212-由：g2, -1,-1-得：c0s20,=-sin20。--21元-I,-1+4I-VI,-I2+4-将上式代入-Yo I,I:cos 20-In sin 2do-得主惯性矩的计算公式：
31-故过O点的任何一对正-交轴都是主轴，定理得证。-推论：-★-若通过截面某点有三根（或三根以上）的-对 轴，则通过该点的所有轴都是主轴。-★正多边形有无数对主形心轴。-Le-.C
材料力学截面特性汇总
材料力学截面特性汇总一、引言材料力学截面特性是材料在应力作用下的力学性能表现。
在工程设计和结构分析中，了解材料力学截面特性对于确保结构的稳定性和安全性至关重要。
本文将对常见材料的力学截面特性进行汇总和总结，以供工程师和设计师参考和应用。
二、材料力学截面特性的概念材料力学截面特性是指材料在截面上的力学性能。
根据截面特性的研究对象的不同，可以分为以下几个方面：1. 截面形状特性截面形状特性是指截面的几何形状对其力学性能的影响。
截面形状特性包括截面面积、截面惯性矩、截面备战半径等。
例如，在梁的设计中，截面形状特性可以用来计算梁的承载能力和抗弯刚度。
2. 材料特性材料特性是指材料的物理和力学性质对其截面性能的影响。
材料特性包括杨氏模量、泊松比、屈服强度等。
在结构设计过程中，需要结合材料特性来计算结构的应变和应力分布。
3. 比例限制特性比例限制特性是指截面受应力作用时，截面形变受限的程度。
比例限制特性包括平面内应变、截面扭转等。
在设计中，比例限制特性能够预测结构在加载过程中的变形情况，从而优化结构设计。
三、常见材料的力学截面特性1. 钢材钢材是一种广泛应用于工程和建筑领域的材料，具有良好的力学性能和强度。
常见的钢材力学截面特性包括：•弹性模量：钢材的弹性模量通常较高，能够承受较大的应力而不发生塑性变形。
•屈服强度：钢材的屈服强度表示了钢材能够承受的最大应力，超过屈服强度后，钢材会发生塑性变形。
•剪切模量：剪切模量描述了钢材在剪切应力作用下的变形程度。
•截面惯性矩：截面惯性矩用于计算梁的扭转刚度和截面的抗扭能力。
2. 混凝土混凝土是一种常用于建筑结构的材料，具有较高的抗压强度和耐久性。
混凝土的力学截面特性包括：•压力区形状特性：混凝土在受压作用下会出现压力区，该区域的形状对混凝土的抗压承载能力有影响。
•弯曲形变特性：混凝土在受弯曲作用下会产生变形，在设计过程中需要考虑混凝土的弯曲刚度和变形限制。
•截面抗剪特性：混凝土的截面抗剪特性影响着结构的抗剪能力，在设计中需要选择适当的截面形状和钢筋布置来增强抗剪能力。
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103.3
II
a1 a2 y
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z100
I z I z I I z II
20 1003 140 203
12
12
176 104 mm4
IyI
100203 (20
I CI
C
140
C II
103.3
II
20
a1 a2 y
yc
az
o
y
小结 ❖移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心； ❖在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A2z2 A1 A2
103.3mm
z100
20
I CI
C
140
C II
材料力学-截面的几何性质
二、静矩与形心的关系
由力矩的等效关系得到静矩的
zC
另一公式：
形心坐标
zdA
A
Sy
AA
Sz A yc Sy Azc
y C
A ydA Sz AA
y
z dA
(1)若z、y轴通过形心C，则
yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。
即：截面对其形心轴的静矩等
C
zC y yC
于零。反之，若截面对某轴的 静矩为零，则该轴必过其形心。
h 2 dA
C
yc
h2
b2 b2
圆形
直径为d的圆形，选取图示圆环形积分 微元，
IpA2dA0D 223d3 D 24
1 D4
Iy Iz 2Ip 64
z d
oy
D
圆环形
IP
D
2 d
2
23d
D4
32
d4
32
(D4 d4) D4 14
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6D4414
y A
1b h2
6
1b
h
1 3h
2
dy
b(y) y
x
b
例3、求左图示组合图形的静矩。
解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形， 要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。
z 100
20
90 20 20 y 100
z
I
100
20
90
II
20
20
100
y
对图形I和图形II,有
iy和iz分别称为图形对于y 轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为 正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯
性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。
由于
2 y2 z2
则
Ip
2dA
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
平行移轴定理
对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于
形心C的坐标系Cyczc，由定义
z
zc
y
Iyc Azc2dA,Izc Ayc2dA
b y c dA
zc
C
yc
及坐标变换公式
az
y yc b
o
y
z zc a
将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐
z
标系的坐标来表达
z
I
100
20
yIc 50mm yIIc 60mm zIc 45mm zIIc 45mm
90
AI 900m0 m2AII 400m0 m2
2
2
Sy Syi Aizci AIzcI AIIzcII
i1
i1
II
20
20
100
y
9004054000452250m0m 30
Sz 2100m0m 03
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
z
Iyz
yzdA0
A
yy
dA dA o
z
y
2.5 常见图形的惯性矩、惯性积
1. 均质矩形板
A dA
z
y
惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。
惯性矩的大小不仅与图 形面积有关，而且与图形面 积相对于坐标轴的分布有关。 面积离坐标轴越远，惯性矩 越大；反之，面积离坐标轴 越近，惯性矩越小。
z
y
o
A dA
z
y
惯性半径
定义
IyAiy2,Iz Aiz2
或
iy
Iy A
,iz
Iz A
(2) 对于有对称轴的截面,对
z
称轴必然是形心轴.
2
附录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。
组合截面对X、Y轴静矩的计算：
n
Sx Ai yci Ayc
i
n
Sy Aixci Axc
i
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标；
组合截面对某一轴的静矩应等 于其各组成部分对该轴静矩的
代数和。
n——全部简单图形的个数。
n
确定组合截面形心位置的公式：
A i x ci
xc
i n
Ai
i
n
A i y ci
yc
i n
Ai
i
附录
例题
一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试
求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。
yc1 y1
Y
解：
H/2
A
b
(h 2
y1
)
C
H/2
X
yc1 y11 2(2 hy1)1 2(2 hy1)
b
SxAcy1 b2 h ( y1)• 1 2(2 hy1)
b( 8
h2
4 y12
)
例2、图形对 x 轴的静矩为
y
s yd A hyb (hy)d y1b2h
xA
0h
6
h
形心坐标yc为
o
y s c
质量为m，长度为l的均质杆，建 立图示坐标系，则有
Iyc
z2dAh2z2bdzb3 h
A
h2
12
z1
zc
z2
dz
h 2 dA
z
C
yc
h2
b2 b2
很容易得到下列结果
Izc Ay2dAb 2b 2y2hdyb13h2
I z1 I z2
y 2dA
A
b y 2hdy b3h
0
3
z1
z c dy z 2
Iy
z2dA
A
Azc a2dA
A zc2dA a2 A 2a A zcdA o
I yc a2 A 2aSyc
zc
y
b y c dA
zc
C
yc
az
y
由于yc是过形心的轴，所以
Iy Iyc a2A
同理可得
Iz Izc b2A IyzIyczc abA
z
zc
y
b y c dA
zc
C
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩
定义
Ip
2dA
A
为图形对坐标原点o的极惯性矩。 极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长 度]4，常用单位为m4和mm4。
z
y
o
A dA
z
y
惯性矩
z
Iy
Az2dA,Iz
y2dA
A
y
分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯
性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性 o
矩是恒正的量。