一次函数和反比例函数训练及答案

例3 已知函数y ＝(2m －1)232-m x，m 为何值时，(1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?例4 从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ＝kx ＋b 的系数k ，b ，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第四象限的概率是______．例5 如图7－2，在反比例函数)0(2>=x xy 的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝______．图7－2例6 在同一坐标系中，一次函数y ＝(1－k )x ＋2k ＋1与反比例函数xky =的图象没有交点，则常数k 的取值范围是______．例7 如图7－3，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )图7－3A ．(0，0)B ．)21,21(-C ．)22,22(-D ．)21,21(-例8 已知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A ，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数解析式是( )．A ．332-=x y B ．y ＝x －2 C ．13-=x yD ．23-=x y例9 直线y ＝x －1与坐标轴交于A ，B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有( )．A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个 例10 (1)直线y ＝2x ＋1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是______；(2)直线y ＝2x ＋1关于x 轴对称的直线的解析式是______； 直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线的解析式是______； 直线y ＝2x ＋1关于原点对称的直线的解析式是______． (3)如图7－7，已知点C 为直线y ＝x 上在第一象限内一点，直线y ＝2x ＋1交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是______．图7－7例11 (2009江苏)某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图7－8中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价－成本价)×销售量))图7－8请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)例12 已知：如图7－9，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．例13如图7－10，已知反比例函数x m y =(x ＞0)的图象与一次函数y ＝2521+-x 的图象交于A ，B 两点，点C 坐标为)21,1(，连接AC ，AC 平行于y 轴．(1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标； (2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上的A ，B 之间的部分滑动(不与A ，B 重合)，两直角边始终分别平行于x 轴，y 轴，且与线段AB 交于M ，N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否总与△CAB 相似，并简要说明判断理由．例14 如图7－11，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)都在反比例函数xky =的图象上． (1)求m ，k 的值；(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的解析式．四、课标考试达标题 (一)选择题 1．函数y ＝(m －1)22-m x 图象是双曲线，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值为( )． A ．1B ．－1C ．±1D ．3±2．已知点(2，－6)在函数y ＝kx 图象上，则函数y xk=图象在( )． A ．一、三象限 B ．二、四象限 C ．一、四象限D ．二、三象限3．已知反比例函数xy 6=图象经过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点，且y 1＜y 2＜0，则x 1，x 2的大小关系为( )． A ．x 1＞x 2＞0 B ．x 1＜x 2＜0 C ．x 2＞x 1＞0 D ．x 2＜x 1＜04．如图7－13所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝20°．动点P ，Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠P AQ ＝100°．设BP ＝x ，CQ ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为( )．图7－13A B C D5．函数y ＝kx －1与xky -=(k ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )．A B C D6．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图7－14所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位回到家门口需要的时间是( )．图7－14A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟(二)填空题7．若函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是______．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与两坐标轴围成一个△AOB ，现将背面完全相同，正面分别标有数31,21,3,2,1的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵坐标，则点P 落在△AOB 内的概率为______． 9．如图7－15，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0)，点B 的坐标是)3,0(，点C 在坐标平面内，若以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 有______个．图7－15(三)解答题10．如图7－16，点A 是函数x xy (2=＞0)图象上任意一点，过A 点分别作x ，y 轴的平行线交函数)0(1>=x xy 图象于点B ，C ，过C 点作x 轴的平行线交函数x y 2=图象于点D ．图7－16(1)设A点的横坐标为a，试用a表示B，C点的坐标；(2)求四边形ABCD的面积．11．已知：如图7－17，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A(－3，0)，C(1，0)，⋅=∠43 tan BAC图7－17(1)求过点A，B的直线的函数表达式；(2)在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，若P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得△APQ与以A，D，B为顶点的三角形相似?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解(1)欲符合题意，m需满足⎩⎨⎧=->-.123,0122mm解得⎪⎩⎪⎨⎧±=>.1,21mm∴m＝1．(2)欲符合题意，m需满足⎩⎨⎧-=-<-.123,0122mm解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=<.33,21mm.33-=∴m解⋅==61122P∴一次函数图象不经过第四象限的概率是⋅61解由题意知，).21,4(4PS 1＋S 2＋S 3＝2⋅=⨯-23211 解 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++-=x ky k x k y ,12)1( .12)1(++-=∴k x k xk∴(1－k )x 2＋(2k ＋1)x －k ＝0． ∵两函数图象无交点， ⎪⎩⎪⎨⎧<∆=/=/-∴.0,0,01k k ⋅-<∴81k解 当AB 与直线y ＝－x 垂直时，AB 最短．(如图7－4所示)图7－4∵直线y ＝－x ， ∴∠AOB ＝45°．∴△AOB 是等腰直角三角形． 过B 作BC ⊥x 轴于C ． ∵A (1，0)，∴OA ＝1，⋅==2121AO BC ).21,21(-∴B∴此题选B ．解 如图7－5，易证∠BAC ＝60°，∠ABC ＝30°． ∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝30°． ∵AC ＝1，∴⋅=33CE ).0,332(.332E BE ∴=∴可得直线AE 的解析式为.23-=x y应选择D ．说明 平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．图7－5解 如图7－6所示，①当AB ＝AC 时，C 有三个位置，以A 为圆心，AB 为半径的圆与坐标轴分别交于C 1，C 2，C 3；图7－6②当BC ＝AB 时，C 有三个位置，以B 为圆心，AB 为半径的圆与坐标轴分别交于C 4，C 5，C 6；③当AC ＝BC 时，C 有一个位置，AB 的中垂线与坐标轴交于C 7(原点)． ∴应选C ．说明 学会用尺规作图来解决“等线段”问题，对于等腰三角形常见分类要熟练掌握．有时，还要注意这些点之间是否有重合情况．解 (1)y ＝2x －5；(2)y ＝－2x －1，y ＝－2x ＋1，y ＝2x －1； (3)y ＝2x －2．提示：设所求直线上的点P (x ，y )，则P 点关于x 轴的对称点为P 1(x ，－y )，当P 1点在直线y ＝2x ＋1上时，可得y ＝－2x －1，所以直线y ＝2x ＋1关于x 轴对称的直线的解析式为y ＝－2x －1，同理可得其他两条直线的解析式．说明 直线图形变换的本质是点的变换．当两直线关于原点对称时，两直线平行，它们的一次项系数相等．解 法一(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5－4)＝4万升． 答：销售量x 为4万升时，销售利润为4万元． (2)点A 的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5－4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5－4)＝1，所以点B 的坐标为(5，5.5)．设线段AB 所对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧+=+=.55.5,44b k b k 解得⎩⎨⎧-==.2,5.1b k∴线段AB 所对应的函数关系式为y ＝1.5x －2(4≤x ≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5＋4×1＝5.5(万元)．∴本月销售该油品的利润为5.5＋5.5＝11(万元)，则点C 的坐标为(10，11)． 设线段BC 所对应的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎨⎧+=+=.1011,55.5n m n m 解得⎩⎨⎧==.0,1.1n m 所以线段BC 所对应的函数关系式为y ＝1.1x (5≤x ≤10)．(3)线段AB 段的利润率最大．解法二 (1)根据题意，线段OA 所对应的函数关系式为y ＝(5－4)x ，即y ＝x (0≤x ≤4)． 当y ＝4时，x ＝4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元． 答：销售量x 为4万升时，销售利润为4万元． (2)根据题意，线段AB 对应的函数关系式为 y ＝1×4＋(5.5－4)×(x －4)， 即y ＝1.5x －2(4≤x ≤5)．把y ＝5.5代入y ＝1.5x －2，得x ＝5，所以点B 的坐标为(5，5.5)． 此时库存量为6－5＝1．当销售量大于5万升时，即线段BC 所对应的销售关系中，每升油的成本价=⨯+⨯=55.44414.4(元)，所以，线段BC 所对应的函数关系式 y ＝(1.5×5－2)＋(5.5－4.4)(x －5) ＝1.1x (5≤x ≤10)．(3)线段AB 段的利润率最大．解 (1)因为点B 与点A 关于原点对称，点A 的坐标为(1，0)，所以点B 的坐标为(－1，0)．因为直线y ＝x ＋b (b 为常数)经过点B ，所以0＝－1＋b ，解得b ＝1，所以直线为y ＝x ＋1．因为点C 的坐标为(0，4)，直线CM ∥x 轴，所以点D 的纵坐标为4．因为直线y ＝x ＋1与直线CM 交于点D ，当y ＝4时，4＝x ＋1，解得x ＝3，所以点D 的坐标为(3，4)．(2)因为O 为原点，点D 的坐标为(3，4)，点C 的坐标为(0，4)，所以OC ＝4，CD ＝3，所以OD ＝5．因为点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，则分三种情况：①当PD ＝PO 时，有,21cos POOD DOP =∠ 因为,53cos cos ==∠=∠OD CD CDO DOP所以，5321=PO OD解得625=PO ．所以点P 的坐标为)0,625(②当PD ＝OD 时，PO ＝2CD ＝6， 所以点P 的坐标为(6，0)． ③当OD ＝PO 时，PO ＝5， 所以点P 的坐标为(5，0)． 解 (1)由)21,1(C 得A (1，2)，代入反比例函数x my =中，得m ＝2．∴反比例函数解析式为).0(2>=x xy 点B 的坐标同时满足2521+-=x y 及y ＝x 2．由xx 22521=+-化简得x 2－5x ＋4＝0．解 得x 1＝4，x 2＝1．经验验，x 1＝4，x 2＝1是原方程的解． 所以B 点的坐标为).21,4((2)无论P 点在AB 之间怎样滑动，△PMN 与△CAB 总能相似．因为B ，C 两点纵坐标相等，所以BC ∥x 轴，又因为AC ∥y 轴，所以△CAB 是直角三角形．同时△PMN 也是直角三角形，AC ∥PM ，BC ∥PN ． ∴△PMN ∽△CAB ． 解 (1)由题意可知m (m ＋1)＝(m ＋3)(m －1)． 解 得m ＝3．∴A (3，4)，B (6，2)． ∴k ＝4×3＝12． (2)存在两种情况，如图7－12．①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为(x 1，0)，N 1点坐标为(0，y 1)．图7－12∵四边形AN 1M 1B 为平行四边形， ∴点A 对应点N 1，点B 对应点M 1．∵点A 的横坐标为3，点B 的纵坐标为2．∴线段N 1M 1可看做由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． ∴N 1点的坐标为(0，4－2)，即N 1(0，2)； M 1点的坐标为(6－3，0)，即M 1(3，0)．设直线M 1N 1的函数表达式为y ＝k 1x ＋2，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴直线M 1N 1的函数表达式为x y 32-=＋2．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为(x 2，0)，N 2点坐标为(0，y 2)．∵AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称． ∴M 2点坐标为(－3，0)，N 2点坐标为(0，－2)．设直线M 2N 2的函数表达式为y ＝k 2x －2，把x ＝－3，y ＝0代入，解得322-=k ．∴直线M 2N 2的函数表达式为x y 32-=－2．综上所述，直线MN 的函数表达式为x y 32-=＋2或232--=x y ． 参考答案第七讲 一次函数及反比例函数1．B ． 2．B ． 3．D ． 4．A ． 5．D ． 6．B ． 7．x ＞－2． 8．⋅539．6 10．解：(1)当x ＝a 时，ay 2=， ∴A 点坐标为)2,(aa ．∵AB ∥x 轴， ∴A 、B 两点纵坐标相等，2,12a x x a =∴=．∴B 点坐标为)2,2(a a ．∵AC ∥x 轴，∴A 、C 两点横坐标相等，ay a x 1,==∴，∴C 点坐标为)1,(a a ．(2)∵CD ∥x 轴，∴C 、D 两点纵坐标相等，x a 21=．∴x ＝2a ．∴D 点坐标为)1,2(aa ∵,112,22a a a AC a a a AB =-==-=CD ＝a ，∴S 四边形ABCD ＝⋅=+431)2(21a a a11．解：(1)∵点A (－3，0)，C (1，0)，3443tan ,4=⨯=∠⋅==∴BAC AC BC AC ，B 点坐标为(1，3)．设过点A ，B 的直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧+=+-⨯=bk b k 3,)3(0得⋅==49,43b k∴直线AB 的函数表达式为⋅+=4943x y (2)如答图7－1，过点B 作BD ⊥AB ，交x 轴于点D ．答图7－1在Rt △ABC 和Rt △ADB 中，∵∠BAC ＝∠DAB ，∴Rt △ABC ∽Rt △ADB ． ∴D 点为所求．又tan ∠ADB ＝tan ∠ABC ＝34，49tan =∠=∴ADB BC CD ．⋅=+=∴)0,413(,413D CD OC OD (3)这样的m 存在．①在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝5 如答图7－1，当PQ ∥BD 时， △APQ ∽△ABD ． 则413341335+-+=mm ，解得⋅=925m②如答图7－2，当PQ ⊥AD 时，△APQ ∽△ADB ．答图7－2则4133+m.54133m-+= 解得36125=m ．925=∴m 或36125时，△APQ 与以A ，D ，B 为顶点的三角形相似．。