第7讲电路的暂态分析
《电力系统暂态分析》课程教学大纲(第七章)
第七章电力系统暂态稳定第一节概述暂态稳定是指电力系统在某个正常运行方式下，突然受到某种大的干扰后，经过一段暂态过程，所有发电机能否恢复到相同速度下运行，能恢复则称系统在这种运行方式下是暂态稳定的。
暂态稳定与运行方式和扰动量有关。
因此不能够泛泛地说电力系统是暂态稳定或不稳定的，只能说在某种运行方式和某种干扰下系统是暂态稳定或不稳定的。
在某种运行方式下和某种扰动下是稳定的，在另一种运行方式和另一种扰动下可能就是不稳定的。
所谓的运行方式，对系统而言，就是系统的负荷功率的大小，或发电功率的大小；对输电线路而言，就是输送功率的大小。
功率越大，暂态稳定性问题越严重。
所谓大干扰一般指短路故障、切除大容量发电机、切除输变电设备、切除或投入大负荷。
一般短路最为严重，多数情况研究短路故障干扰。
短路故障扰动量的大小与短路地点、短路类型、短路切除时间有关。
短路可能发生在输电线路上，也可能发生在母线或变压器上。
一般发生在母线上较为严重。
短路发生在输电线路上，一般靠近电源侧的较为严重。
短路分为单相接地短路、两相短路、两相接地短路、三相短路。
一般三相短路较为严重，次之两相接地短路，单相接地短路最轻。
这里所说的短路是单重故障，如果有多种故障，一般多重故障较为严重。
发生短路后，借助断路器断开，将故障的线路、或母线或变压器隔离，保证非故障部分继续运行。
短路切除时间越短，对暂态稳定越有利。
短路切除时间包括继电保护装置和断路器动作的时间。
装有自动重合闸的输电线路，被隔离的输电线路会重新投入运行，如果是瞬时性故障，重合就成功，电网恢复原有状态；如果是永久性故障，重合不成功，故障线路再次被隔离。
重合成功对暂态稳定有利，重合不成功对暂态稳定更不利。
一般用短路故障来检验系统是否暂态稳定。
我国颁布的《电力系统安全稳定导则》规定：①发生单相接地故障时，要保证电力系统安全稳定运行，不允许失负荷；②发生三相短路故障时，要保证电力系统稳定运行，允许损失少量负荷；③发生严重故障时，系统可能失稳，允许损失负荷，但不允许系统瓦解和大面积停电，应尽快恢复正常运行。
电路的暂态分析
电路的暂态分析(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第8章电路的暂态分析含有动态元件L和C的线性电路，当电路发生换路时，由于动态元件上的能量不能发生跃变，电路从原来的一种相对稳态过渡到另一种相对稳态需要一定的时间，在这段时间内电路中所发生的物理过程称为暂态，揭示暂态过程中响应的规律称为暂态分析。
本章的学习重点：暂态、稳态、换路等基本概念；换路定律及其一阶电路响应初始值的求解；零输入响应、零状态响应及全响应的分析过程；一阶电路的三要素法；阶跃响应。
换路定律1、学习指导（1）基本概念从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态需要一定的时间，在这一定的时间内所发生的物理过程称为暂态；在含有动态元件的电路中，当电路参数发生变化或开关动作等能引起的电路响应发生变化的现象称为换路；代表物体所处状态的可变化量称为状态变量，如i L和u C就是状态变量，状态变量的大小显示了储能元件上能量储存的状态。
（2）基本定律换路定律是暂态分析中的一条重要基本规律，其内容为：在电路发生换路后的一瞬间，电感元件上通过的电流i L和电容元件的极间电压u C，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。
此规律揭示了能量不能跃变的事实。
（3）换路定律及其响应初始值的求解一阶电路响应初始值的求解步骤一般如下。
①根据换路前一瞬间的电路及换路定律求出动态元件上响应的初始值。
②根据动态元件初始值的情况画出t=0＋时刻的等效电路图：当i L(0＋)=0时，电感元件在图中相当于开路；若i L(0＋)≠0时，电感元件在图中相当于数值等于i L(0＋)的恒流源；当u C(0＋)=0时，电容元件在图中相当于短路；若u C(0＋)≠0，则电容元件在图中相当于数值等于105106u C (0＋)的恒压源。
根据t = 0＋时的等效电路图，求出各待求响应的初始值。
2、学习检验结果解析（1）何谓暂态何谓稳态您能说出多少实际生活中存在的过渡过程现象解析：在含有动态元件电容的电路中，电容未充电，原始储能为零时是一种稳态，电容充电完毕，储能等于某一数值时也是一种稳态。
电路的暂态分析全篇
解：(1)
由t
=
0-电路求
uC(0–)、iL
t=
(0–)
0
-等效电路
换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；
由t = 0-电路可求得： 电感元件视为短路。
iL(0 )
R1 R1 R3 R
U R1 R3
4
4
4
2
U 4
4
1A
R1 R3
44
例2：
R
+ 2
U
_
8V
i1
t =0 ic
R1 4
uL(0 ) u1(0 ) U (uL(0 ) 0) u2(0 ) 0
例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
R
R
+ 2
U
_
8V
i1
t =0 iC
R1 4
u+_C
R2 iL R3 + 2 i1
4
4
U
+ u_ L
_ 8V
iC
R2 iL R3
4 4
R41 u+_C C
+ u_ L L
换路: 电路状态的改变。如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变
产生暂态过程的原因： 由于物体所具有的能量不能跃变而造成
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
∵
C
储能：WC
1 2
CuC2
∵
L储能：WL
1 2
LiL2
\ uC 不能突变
\ i L不 能 突 变
4.产生过渡过程的电路
电阻电路
K
+ E
电感电路：iL (0 ) iL (0 )
第七章 动态电路的暂态分析
（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。
A u C (0 ) 3
微分方程的特解为
uC Ae 3e
t 2
t 2
V
t 0
（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流
t uC 3 2 i e A 2 2
第七章 动态电路的暂态分析
第一节 第二节 换路定律与初始值的计算 一阶电路的零输入响应
第三节
第四节
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第五节
第六节
一阶电路的三要素法
RLC串联电路的零输入响应
第七章小结
电路
电阻性电路 ：仅含有电阻性元件（包括独立 电源和受控电源）的电路。 动态电路 ：含有动态元件（即储能元件） 的电路。
iC (0 ) iL (0 ) 2 A u L (0 ) R3iC (0 ) u C (0 ) u2 (0 ) 6 (2) 8 8 V 12 V
初始值的计算步骤
（1）由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件 的电流iL，确定它们在t＝0－时的值uC (0－)和iL (0－) 。 （2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始 值uC (0＋)和iL (0＋) 。
（1）换路前：开关合于位置1，电路 处于稳态，电容元件已充电，其电压 为U0（U0=US）。开关合至位置2的最 初瞬间，由于电路中的电流不是不穷 大，电容元件的电压不能跃变，电容 元件中的电压仍保持为U0，即uC (0＋) =U0 。 （2）换路后：电路脱离电源，电容元 件两极上的正负电荷不断的地中和， 直至电容元件两极上的电荷全部中和， 电路中电压均为零时，电路暂态过程 告以结束，电路进入稳态。 换路后电路所经历的物理过程，实际 上就是电容元件的放电过程。
电路的暂态分析
电路的暂态分析电路的暂态分析是对电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态时中间经受的过渡状态的分析。
电路中产生暂态过程的缘由是由于电路的接通、断开、短路、电路参数转变等——即换路时，储能元件的能量不能跃变而产生的。
(1)换路定则与电压、电流初始值的确定换路定则用来确定暂态过程中电压、电流的初始值，其理论依据是能量不能跃变。
在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变否则将使功率达到无穷大设t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。
则换路定则用公式表示为：电压与电流初始值的确定* 作出t=0–的等效电路，在此电路中，求出和。
* 由换路定则得到和。
* 作出t=0+的等效电路换路前，若储能元件没有储能，则在t=0+的等效电路中，可将电容短路，而将电感元件开路；若储能元件储有能量，则在t=0+的等效电路中，电容可用电压为的抱负电压源代替，电感元件则可用电流为的抱负电流源代替。
*在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值。
(2)RC电路的响应在t=0时将开关S合到1的位置依据KVL，t≥0 时电路的微分方程为设换路前电容元件已有储能，即，解上述微分方程，得t=RC单位是秒，所以称它为RC电路的时间常数。
这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应，称为RC 电路的全响应。
若换路前电容元件没有储能，即，则初始储能为零，由外加电源产生的响应，称为RC电路的零状态响应。
uC随时间变化曲线时间常数t=RC，当t=t时，uC= 63.2%UuC由初始值零按指数规律向稳态值增长，电路中其他各量要详细分析才能确定。
若在t=0 时将开关S由1合到2的位置，如下图。
这时电路中外加激励为零，电路的响应由电容的初始储能引起的，故常称为RC 电路的零输入响应。
电容两端的电压uC由初始值U0向稳态值零衰减，这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为在零输入响应电路中各电量均由初始值按指数规律向稳态值零衰减。
《电工电子》第3章电路的暂态分析
预测直流电路中的故障
利用暂态分析可以预测直流电路中的短路、断路等故障，从而及时采取维修措施，避免故障扩大 。
优化直流电路的控制策略
通过暂态分析可以了解直流电路在不同控制策略下的响应特性，从而选择最优的控制策略，提高 电路的控制精度和稳定性。
在暂态过程中，电阻的电压和电流会发生变 化，但电阻本身不会储存能量，因此电阻的 暂态响应是被动的，取决于外部电路的变化 。
电阻的阻值决定了电路中电流的大小， 因此在暂态过程中，电阻的阻值会影 响电流的变化速率。
电容的暂态特性
电容的充电和放电过程
当电容两端的电压发生变化时，电容会进行充电或放电， 这个过程需要一定的时间，因此电容的暂态过程相对较长。
稳态过程
电路在稳定状态下的工作过程， 此时电路中各处的电压、电流等 物理量均保持恒定或呈周期性变 化。
暂态分析的重要性
01
02
03
理解电路行为
通过暂态分析，可以深入 了解电路在开关操作、电 源变化等条件下的行为特 性。
优化电路设计
暂态分析有助于优化电路 设计，提高电路的稳定性 和可靠性，减少不必要的 能量损失和电磁干扰。
分析仿真与实验结果之间存在的误差，探 讨误差产生的原因，如元件参数不准确、 测量误差等。
改进建议
总结与反思
根据误差分析结果，提出相应的改进建议 ，如优化仿真模型、提高测量精度等，以 提高暂态分析的准确性。
对整个暂态分析的仿真与实验验证过程进行 总结与反思，总结经验教训，为后续的电路 设计与分析提供参考。
阻尼比与振荡性质
阻尼比是描述振荡衰减快慢的参数。根据阻尼比的大小，二阶电路的振荡可分为过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼三种情况。在欠阻尼情况下，电路将呈现持续的振荡现象。
电路的暂态分析基础知识讲解
E
u2 R2
u2 (0) uC (0) 0 V
i2
i2(0) 0A u1(0) E
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第2章 电路的暂态分析
u1 i1
R1
S
iC
E
u2 R2 C
uC
i 2
iC () 0
E i1() i2 () R1 R2
uC
()
u2 ()
E
R2 R1 R2
u1 ( )
E
uC / V iL / A
4
1
4
1
iC / A uL / V
00
1 11
3
3
换路瞬间，uC、iL 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。
第2章 电路的暂态分析
2.5 一阶电路暂态分析的三要素法
一阶电路:凡是含有一个储能元件或经等效简化 后含有一个储能元件的线性电路，在进行暂态分析 时，所列出的微分方程都是一阶微分方程式。
者在内部储能的作用下产生的电压和电流。
响应分类：
产生 原因
零输入响应 零状态响应
全响应
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
激励 波形
阶跃响应 ——阶跃激励
u
正弦响应 脉冲响应
0, t 0 U u(t) U , t 0 O
t
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第2章 电路的暂态分析
2.2 换路定律
电容电压、电感电流在换路瞬间不能突变。
+ u_c
R
R2 iL R3 + 2 i1
4
4
U
C
+ u_ L L
_ 8V
电路的暂态分析
电路的暂态分析电路的暂态分析指的是对电路在瞬间输入或变化时的瞬态响应进行分析。
在电路设计、故障诊断等领域都有着广泛的应用。
本文将从理论模型、暂态响应的特点以及常见的分析方法三个方面来介绍电路的暂态分析。
理论模型在进行电路的暂态分析前，需要先建立电路的理论模型。
这包括对电路的电学特性进行建模以及对电路元件的特性进行分析。
电学特性模型电路的电学特性主要包括电阻、电容、电感等基本元件的特性。
其中，电阻和电容的特性模型比较简单，可以用欧姆定律和电容充放电公式进行描述。
而对于电感元件，需要利用基尔霍夫电压定律以及利用长度为l的线圈的感性L和匝数n之间的关系公式来进行描述。
在建立电路理论模型时，还需要考虑电源特性以及信号源电压的特性。
其中，电源特性可以用理想电压源或者理想电流源进行模拟；而对于实际应用中的非理想电源，需要通过实验或者仿真获取其精确的电源特性。
元件特性分析在进行电路暂态分析时，还需要考虑不同元件的特性。
例如，对于电容元件，如果其充放电速度过快，可能会导致电容器击穿或者损坏。
而对于电感元件，由于其自身存在的电感作用，可能会对电路的瞬态响应产生影响。
因此，在电路模型建立时，需要充分考虑每个元件的特性，以便更准确地描述和分析电路。
暂态响应的特点对于电路来说，其暂态响应有着以下几个特点：瞬时响应在电路遭受瞬间输入或变化时，电路会出现瞬时响应。
在瞬间输入或变化后，电路各元件的电压和电流瞬间变化，并在一定时间内达到最终稳定状态。
频率响应与频率响应不同的是，瞬态响应表示电路在瞬间输入或变化后的响应。
在瞬间输入或变化后，电路会出现瞬变，一般在几个时间常数内达到最终稳态。
这个过程可以看做是一个低通滤波器，对于高频信号的衰减比较快。
强迫响应强迫响应是指电路的强制响应，是由于电路中有源元件的作用产生的响应。
强迫响应是由电路中的输入信号和有源元件共同确定的。
常见的分析方法在进行电路暂态响应的分析时，有多种方法可供选择。
电路的暂态过程常微分方程分析
3、LCR 电路
L
C 1
R
电路图如右图所示：
2
1 当开关打到 1 时： ○
L∗ 即： L∗
2 当开关打到 2 时： ○
������������ ������ + ������������ + = ������ ������������ ������
������ 2 ������ ������������ ������ + ������ ∗ + = ������ ������������ 2 ������������ ������ ������������ ������ + ������������ + = 0 ������������ ������
L∗ 即： L∗
������ 2 ������ ������������ ������ + ������ ∗ + =0 2 ������������ ������������ ������
������ 2 ������ ������
方程的解取决于阻尼度λ =
.
利用 LCR 电路的变化性质，可用于无线电信号发射端，信号过滤，实现音箱的立体声效 果等。
三、 总结 以上讨论的三种电路的常微分解看似并不起眼， 但是它们在电子电路中却有着极其重要 的意义。
四、 参考资料 1、 吴泽华、陈治中、黄正东，浙大出版社， 《大学物理》中册； 2、 赵凯华，陈熙谋，高等教育出版社， 《电磁学》 ；
解得方程的通解为：i = ������ + C ∗ ������ −������ ������ 初值条件������0 = 0，代入得，i = (1 − ������ −������ ������ );
电路的暂态分析
第五章电路的暂态分析第一节学习指导一、学习目的和要求1．稳态和暂态的概念2．换路定理与电压和电流初始值的确定。
3．一阶线性RC、RL电路零输入响应。
4．一阶线性RC、RL电路零状态响应。
5．一阶线性RC、RL电路全响应及三要素法求解。
6．微分电路与积分电路二、内容简介1．稳态和暂态的概念稳态是指电路中的电压和电流在给定的条件下已达到某一稳态值（对交流来讲是其幅值达到稳定）我们把直流电路、电压(电流)和呈周期性变化的交流电路称为稳态电路。
暂态是指电路在过渡过程(过渡过程的外部条件是换路即开关接通、断开，电路的参数变化，电源电压变化等。
电路产生过渡过程的根本原因系统中的能量不能发生跃变。
电路中的电场能和磁场能不能发生跃变是)中的工作状态即指两种稳定状态的中间转换过程。
2．换路定理与电压和电流初始值的确定。
(如表5-1所示)表5-1 换路定理与电压和电流初始值的确定1293．一阶线性RC、RL电路零输入响应、零状态响应、全响应及三要素法求解。
（如表5-2所示）表5-2 一阶线性RC、RL电路零输入响应、零状态响应、全响应及三要素法1301311321334．用“三要素法”求解一阶暂态电路的简要步骤如下：（1）稳态值)(∞f ：取换路后的电路，将其中的电感元件视作短路，电容视作开路，获得直流电阻性电路，求出各支路电流和各元件端电压，即为它们的稳态值)(∞f 。
（2）初始值)0(+f ：① 若换路前电路处于稳态，可用求稳态值的方法求出电感中的电流)0(-L i 或电容两端的电压)0(-C u ,其他元件的电压、电流可不必求解。
由换路定则有),0()0(),0()0(-+-+==L C L L u u i i 即为它们的初始值。
② 若换路前电路处于前一个暂态过程中，则可将换路时间0t 代入前一过程的)(t i L 或)(t u C 中，即得)(0-t i L 或)(0-t u C ，由换路定则有)()(00-+=t i t i L L 或)()(00-+=t u t u C C ，即为它们的初始值。
电路基础原理电路的稳态与暂态特性分析
电路基础原理电路的稳态与暂态特性分析电路基础原理：电路的稳态与暂态特性分析电路是电子学的基础，是现代科技发展中不可或缺的组成部分。
掌握电路的基础原理对于电子工程师来说至关重要，其中电路的稳态与暂态特性是电路分析的重要内容之一。
本文将从理论和实践的角度介绍电路的稳态与暂态特性分析。
一、电路的稳态特性稳态是指电路在长时间内，电压、电流、功率等基本参数达到稳定的状态。
电路的稳态特性是通过分析电路中的电阻、电容、电感等元件的作用来理解和解释的。
1. 电阻的稳态特性电阻是电路中常见的元件，它能够阻碍电流流过。
在直流电路中，电阻的稳态特性可以通过欧姆定律来描述：当电阻两端有电压差时，通过电阻的电流与电压成正比，即I = V/R，其中I为电流，V为电压，R为电阻值。
2. 电容的稳态特性电容是电路中常见的元件，它能够储存电荷并且随时间的推移释放电荷。
在直流电路中，电容的稳态特性可以通过电容的充电和放电过程来理解。
当电容两端接入电源时，在初始时刻，电容不导电，电压为0。
随着时间的推移，电容会逐渐充电，电流逐渐减小，并最终达到稳态，电压达到电源的电压。
稳态时电容对稳定电流具有阻断作用。
3. 电感的稳态特性电感是电路中常见的元件，它能够储存磁场能量并且随时间的推移释放能量。
在直流电路中，电感的稳态特性可以通过电感的充电和放电过程来理解。
当电感两端接入电源时，在初始时刻，电感通过电感的磁场储存能量，并且阻碍电流的变化。
随着时间的推移，电感的磁场能量会逐渐释放，电流逐渐增加，并最终达到稳态，电感对稳定电流具有阻碍作用。
二、电路的暂态特性暂态是指电路在初始时刻或者在电路发生改变时，不同于稳态的状态。
电路的暂态特性是通过分析电路中的瞬时响应来理解和解释的。
1. 回路分析法当电路发生瞬态响应时，可以通过回路分析法来分析电路中电压和电流的变化。
回路分析法是通过建立回路方程和初始条件，利用基尔霍夫定律和欧姆定律，求解电路中各节点和分支的电压和电流。
第7章电路的暂态过程
7.7 单位阶跃信号
电路中电流变化规律为
1 duC (t） US RC t i(t ) C e （t） dt R
令τ=RC，具有时间的量纲，反映了RC电路中过渡过
程进行的快慢程度，是描述过渡过程特性的一个重要的物理 量，其大小由电路本身的结构所决定，与外界的激励无关。
τ越大，过渡过程持续时间就越长，电流、电压衰减得 就越慢； τ越小，过渡过程持续时间就越短，电流、电压衰减得 就越快。
则 ， uC (0 ) uC (0 ) 12V ， 这样 ：
U S uC (0 ) i1 (0 ) 0 R1
uC (0 ) i2 (0 ) 1.5A R2
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5A
7.2 RC电路的暂态过程
前面几章讨论的由电阻元件和电源构成的电路，称为电 阻电路，其电路特性一般由代数方程描述。 如果电路中含有电容或电感元件，那么这样的电路称为
将uC(0+)、iC(0+)和代入式(7-22)、式(7-24)式中得
uC (t ) 20e50t V
iC (t) 4 103 e50t A
(2) uC(t)=8V时， 20e50t 8 ，解此式得
t=0.018s (3)由 u (t ) 20e C
1 t RC
得：R=
由换路定则确定了独立的初始值后，电路中非独立初始值 可按下列原则确定： (1)换路前的瞬间，将电路视为一稳态，即电容开路、电 感短路。 (2)换路后瞬间，电容元件被看作恒压源。 如果uC(0-)=0，那么uC(0+)=0，换路时，电容器相当 短路。 (3)换路后瞬间，电感元件可看作恒流源。
当iL(0-)=0时，iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当 于开路。
电路的暂态分析_一阶线性电路的响应
电路的暂态分析_一阶线性电路的响应一阶线性电路是指由一个电感或一个电容元件和一个电阻元件组成的电路。
它是最简单的电路之一，能够在时间域上进行暂态分析，研究电路在输入信号变化时的响应情况。
暂态分析是研究电路在初始条件改变或外部输入信号有突变时的过程。
对于一阶线性电路来说，它的时间响应可以通过求解微分方程或使用拉普拉斯变换进行分析。
首先我们来看一阶线性电路的微分方程。
假设电路由一个电感元件、一个电阻元件和一个电压源组成，电感元件的电压为v(t)，电阻元件的电压为Ri(t)，电压源的电压为Vs(t)，根据基尔霍夫电压定律，可以得到微分方程：L di(t)/dt + Ri(t) = Vs(t)其中L是电感的感应系数。
我们可以通过对该微分方程进行求解，得到电流i(t)对时间t的函数关系。
这样我们就可以通过已知的输入信号Vs(t)和初始条件来计算电流i(t)在暂态过程中的变化。
对于电压源来说，输入信号可以是一个脉冲、斜坡、正弦波等等。
具体的分析方法则会有所不同。
对于脉冲输入信号，我们可以将输入信号表示为一个单位阶跃函数u(t)与输入信号幅值的乘积，即Vs(t)=A*u(t)。
这样我们可以将微分方程改写为：L di(t)/dt + Ri(t) = A*u(t)对该微分方程进行求解，可以得到电流i(t)的函数表达式。
对于斜坡输入信号，我们假设输入信号为一个线性函数，逐渐上升到其中一固定值再保持不变。
此时我们可以直接将输入信号带入微分方程求解。
对于正弦波输入信号，我们可以将输入信号表示为一个复指数函数，即Vs(t)=A*e^(jωt)。
通过将复指数函数转化为正弦和余弦函数的线性组合，可以将微分方程改写为两个实数形式的微分方程：L dI(t)/dt + RI(t) = A*sin(ωt)L dQ(t)/dt + RQ(t) = A*cos(ωt)其中I(t)和Q(t)分别是i(t)的实部和虚部。
对于一阶线性电路的响应，可以从暂态响应和稳态响应两个方面来进行分析。
电路的暂态分析_换路定则与电压、电流初始值的确定
iC(0 )
uC(0 ) 8 2mA
R2
4
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
S (t=0) R1 iC
+ Us−
R2
C
+ −uC
R1 iC(0+)
+ Us−
R2 C −+uC(0+)
t＝0+时的等效电路
第三章 电路的暂态分析
第三章 电路的暂态分析
1. 稳态与暂态 稳态：电压、电流不随时间变化或周期性重复变化。
过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的 中间过程。
暂态：在电路中，过渡过程往往非常短暂，故也称为暂 态过程，简称暂态。
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
2S R i
uC
Us−+
从t=0－到t=0+的瞬间，电容的电压和电感的电流不会发生
跃变，即：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
注意：
（1）只有uC 、 iL受换路定则的约束，电路中其他电 压、电流都可能发生跃变。
（2）换路定则仅适用于换路瞬间。
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
iC(0 ) 0 ) iC(0 ) ？
+
Us −
iC (0 ) 0 A
R1 R2
iC(0−)
+ uC(0−)
−
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
暂态电路分析
36.8%时所需要的时间。 时间常数的大小反映放电快慢，越大说明放电越慢。
理论上，只有 t 放电结束，实际工程上，时间经过 3 ~ 5 认为放电结束。
其波形为： uC
US
0.368U S 0
同理，其它响应为：
t
t
uR (t) USe
iC (t)
US R
t
e
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3.3 一阶电路的响应
R3
iL +
R2
L
u
-
L
L
diL dt
(R2
R3 )iL
0
代入数值方程为：
0.2 diL dt
8iL
0
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3.3 一阶电路的响应
该方程为一阶常系数微分方程，其解为：
代入初始值，有
iL (t)
Ae
t 2.5105
t
iL (t) 1.25e mA 2.5105
R2
以下利用等效电源的方法求 uL 。等效电路为：
4. 一阶RL零输入响应
S 1
3
2
例题：电路如下图所示，已知US 10 V，R1 2 KΩ， R2 R3 4 KΩ， L 200 mH。换路前电路处于稳态，
求换路后 u L 和 iL 。
+
US
-
t0
S R2
R3
iL +
L -uL
分析：换路前电路处于稳态，电 感元件有初始储能，换路后电路
R1
1.电容器和电容元件
i
+
q
++ + +
u
q
-
电工学电路的暂态分析
分析RC电路旳零输入响应，实际上就是分析它旳放电过程。
1S i
t=0 +
+2 U -
R -uR +
C -uC
图所示是一RC串联电路，当电容元件充 电到uC=U0时，即将开关S从位置1合到 2， 使电路脱离电源，输入为零。此时电容元 件上电压旳初始值uC(0+)=U0，于是电容元 件经过电阻 R 开始放电。
+
u-L L
t=0+ 旳电路
R1 i
2
+U -6V
iC + uC-
R2 4
C
iL
R3 4
+
u-L L
iL(0+)iL(0-)0 uC(0+)uC(0-)0
i(0+) iC(0+)1A uL(0+)4V
3·3 RC电路旳响应
3·3·1 RC电路旳零状态响应
所谓RC电路旳零状态响应，是指换路前电容元件末有能量， uC(0-)=0。在此条件下，由电源鼓励所产生旳电路旳响应，称为 零状态响应。
C
6 6
3 3
10310001012
2106s
所以 uC 3(1et / ) 2106 V 3(1e5105t ) V
3·3 RC电路旳响应
3·3·2 RC电路旳零输入响应
所谓RC电路旳零输入响应，是指无电源鼓励，输入信号为零。 由电容元件旳初始状态 uC(0+) 所产生旳电路旳响应，称为零输入 响应。
1 2
Cu2
不能跃变，这反应在电容元件上
旳电压 uC不能跃变：
可见：
电路旳暂态过程是因为储能元件旳能量不能跃变而产生旳。
3·2 储能元件和换路定则
线性电路的暂态分析
实验七 线性电路的暂态分析一、实验目的1. 观察R-C 一阶电路中电阻和电容两端电压随时间变化的规律及电容充、放电的暂态过程；2.了解微分电路和积分电路的条件，以及电路参数对电路波形的影响；3.了解电路时间常数的意义；4.观察和分析R-L-C 串联电路振荡和非震荡的特点和性质；5.学习示波器和信号发生器的使用。
二、实验原理当电路中含有储能元件时，因为储能元件能量的积累与释放都需要一个时间过程，在一般情况下，能量是不能突变的，因此当含有储能元件电路的参数或结构发生变化时，电路的工作状态要经过一暂态过程变化到新的工作状态。
利用电路的暂态过程，适当地选择电路参数，可以获得输入电压和输出电压的特定关系。
例如在图7-1所示的电路中，输入电压采用周期方波信号，如果R-C 一阶电路的时间常数τ远小于输入电压信号的脉冲宽度T P ，即<<T P （一般取 T P =（5~10）τ），并且以电阻两端电压作为输出量，u o =u R ，则输出量与输入量之间具有微分关系 ： dtduRC dt du RiR u u i C R ====0 这种电路称为微分电路。
微分电路可以用于将输入的矩形波变换为尖脉冲输出，以传送信号的变化量。
如果R-C 一阶电路的时间常数τ远大于输入电压信号的脉冲宽度T P ，即τ >>T P （一般取 τ =（5~10）T P ），并且以电容两端电压作为输出量，u o =u C ，则输出量与输入量之间具有积分关系：dt u RC dt R u C idt C u u i R C ⎰⎰⎰≈===1110 这种电路称为积分电路。
它不能传送信号的变化量，但能反映信号的作用时间和累积信号的输出量。
三、实验内容与要求本实验中，外加激励信号u i 为信号发生器提供的方波信号（如图7-2），要求电压幅值为1V ，脉冲宽度T P 为0.5ms ，频率为1000Hz ，信号发生器的使用说明见上篇第三章第四节。
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i
uC
duC U Ri uC RC uC dt
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若 微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
5.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法
(一) 经典法: 用数学方法求解微分方程；
(二) 三要素法: 求
初始值 稳态值 时间常数
……………...
本节重点
一、 经典法
起点
f (0 )
t
“三要素法”例题 R =2k 1
R2=3k
例1
+
_ U=10VC=1F
u R1
iC uC
t=0 K
uC () U 10V 3 6 3 R1C 2 10 110 2 10 S
10 6 10e
R2 3 10 6V uC (0 ) uC (0 ) U R1 R2 23
WL
不能突变
iL 不能突变
*
从电路关系分析 K + _U R uC i 若 c 发生突变，
C
K 闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
u
duC U iR uC RC uC 不可能！ dt duC 所以电容电压 (i C ) 不能突变 dt
i
一般电路
5.2.2 初始值的确定
uC uC () uC (0 ) uC () e
t / 2103
t /
10 4e
500t
V
R1=2k + _ U=10VC=1F
R2=3k
u R1
iC uC
t=0 K
uC 10 4e
500t
V
V
10V 6V 4V 2mA
uR1 U uC 4e
制分量。所以该电路的特解为：
在电路中，通常取换路后的新稳态值
u'C (t ) uC () U
将此特解代入方程，成立 +
K t=0 R C
i
uC
duC RC uC U dt
_U
2. 求齐次方程的通解 ——
u"C
的解。
t RC
duC 通解即： RC uC 0 dt
其形式为指数。设：
500t
uC
u R1 4e 500t iC 2e 500t mA R1 2
K
L V
U
uV
iL
R
iL (0 ) iL (0 ) 20 mA
uV (0 ) iL (0 ) RV
20 10 500 10 10000 V
3 3
注意:实际使用中要加保护措施
小结
1. 换路瞬间， 能突变，变不变由计算结果决定；
uC、iL 不能突变。其它电量均可
diL iL R2 L 0 dt
3. 非0起始态的R-C电路的过渡过程 K t=0 R u (0 )
i
C
U0
+
_U 叠加方法
C
uC
根据换路定理
uC (0 ) U 0
uC () U
状态为0，即U0=0
输入为0，即U=0
t
uC1 U Ue
uC 2 U 0 e
t /
uc (0 ) uc (0 ) 8V
uC ( ) 0
例3
U
K t=0 R
uR
解:
根据换路定理
iL
L
uL
iL (0 ) iL (0 ) 0 A
换路时电压方程 :
已知: R=1kΩ,
L=1H , U=20 V、 开关闭合前 i 0 A L 设 t 0 时开关闭合
t=0 + _U K R
1. 一阶R-C电路的充电过程
i
uR C
duC u C RC uC U dt
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
u'C 方程的特解 u"C 对应齐次方程的通解
即：
一阶常系数 线性微分方程
uC (t ) u 'C u"C
1. 求特解 —— u'C
uC () 作特解，故此特解也称为稳态分量或强
uC uC1 uC 2 U (U 0 U )e
t /
K t=0 R
+ _U
i
C
uR
uC
uC (0 ) U 0
uC () U
t /
uC U (U 0 U )e
uC () uC (0 ) uC () e
稳态值 一般形式：
t /
2. 换路瞬间，若
电容相当于短路； uC (0 ) 0， 电容相当于恒压源 u ( 0 ) U 0 0， 若 C
3. 换路瞬间， iL (0 ) 0
，电感相当于断路；
iL (0 ) I 0 0
电感相当于恒流源
§5.3 一阶电路过渡过程的分析
t=0 K + _U R C
t RC
U (1 e
t / RC
)
时间常数
t=0 + K R
i
uC
_U
uR C
uC (t ) U (1 e U (1 e
t t
RC
)
)
时间常数
RC
过渡过程曲线
uC
t
uC (t ) U (1 e
当
)
U
t
0
时:
t
uC ( ) U 63.2 0
t /
t /
)
uR (t ) U uC (t ) Ue
u R (t ) U t / i (t ) e R R
uC (t ) U Ue
U
t
1
2
3
0.632U
1 2 3
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
稳态所需要的时间越长。
uC
U
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其 大小为：
1 2 WC uidt cu 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电 容的电路存在过渡过程。
R-L电路
K + t=0
R iL
U R
iL
t
U
_
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：
1 2 WL uidt Li 0 2
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
求解要点：换路定理 1.
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
例1： t=0
K
R
i
uC
在t=0+时，电容 相当于短路 在t=时，电容 相当于断路
1 2 3
t
2. 一阶R-L电路的过渡过程 （“充电”过程） K uR
U
U R
uR
diL U L uL L uL dt 0 t diL iL (0 ) iL (0 ) 0 iL R L U dt U i L ( ) L U R t / iL (1 e ) R R uR uL U
iL
V R
U 20V、R 1k、L 1H 电压表内阻 RV 500 k
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求: K打开的瞬间,电压表两端 的电压。
换路前 换路瞬间
U 20 i L (0 ) 20mA R 1
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
(大小,方向都不变)
+Leabharlann _U 设：uR C
uc (0 ) 0V
则根据换路定理：uc (0
) uC (0 ) 0V
u R (0 ) U uC (0 ) U
u R (0 ) U i (0 ) R R
uC () U ? i ( ) 0 ?
例2： t=0 K +
R1 R2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电 感的电路存在过渡过程。
§5.2 换路定理
5.2.1 换路定理 换路: 电路状态的改变。如：
1 . 电路接通、断开电源 2 . 电路中电源的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变
…………..
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
K
+ _
“稳态”与 “暂态”的概念:
R
+
R U _
U
uC
uC
C 电路处于新稳态
电路处于旧稳态
过渡过程 : 旧稳态 新稳态
产生过渡过程的电路及原因? 电阻电路
K + _ U R 无过渡过程 t=0 I
I
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化， 不存在过渡过程。
R-C电路
K + _U R uC C
duC Ri uC 0, i C dt
u R uC 0
t /
uR U t / i e R R
一阶R-C电路的 放电过程曲线 + U -