理想气体任意准静态过程的热容量

理想气体任意准静态过程的热容量和热量
热容量的计算公式 设系统处在p − V图上A点状态，现讨论A点附近任意准静态微元过程摩尔热容Ci 的大小。令过A点的任意过程为p = p(V)， � dQ = CV dT + pdV dQ = dU + pdV → � pV = RT pdV + Vdp = RdT dQ = Ci dT → Ci = CV + � pdV � dT i (3) (1) (2)
得
γ−n C 1−n V 这说明多方过程的摩尔热容量为一常量， 即随体积单调增大时， 要么一致吸热， 要么一致放热， 不存在吸放热的转变点。 Q = � dQ = � Cn dT = � (γ − n) Cn dp γ − n CV Cn p p (pdV + Vdp) = � � + � � � VdV = � [1 − n] VdV = � pdV R R V dV i 1−n R V γ−1

例题：在给一摩尔单原子理想气体加热时，得到压强与绝对温度的关系T = a + bp，求该过程的摩尔热容量 解答：联立热力学状态方程和过程方程 � dp p pV = RT → (a + bp)R = pV → bRdp = pdV + Vdp → � � = T = a + bp dV i bR − V p bR� − 1 1 bR − V aR V V ∙ R = CV + = CV + = CV + = CV − 1 p dp bR� bR bP 1+ +� � V bR� − 1 V dV i V CV = aR bP
的摩尔热容量Cn
pV n = 常量
摩尔热容量
Cn = CV + 引入热容比
p p (CV + R) − nCV Cp − nCV R V ∙ R = CV + p V p R = CV + = = dp p 1 − n 1−n 1−n − n +� � V V V dV i γ = Cp ⁄CV ，Cp − CV = R → γ − 1 = Cn = R CV
讨论：要考虑吸热过程（非单调过程，存在吸热转变点） ，即要求Ci > 0，这时
p 3−V 5 21 − 12V V V = + = p dp 2 3−V−1 6 − 4V +� � V V dV i
热量 Q 吸热 = � dQ = ��
7⁄4
21 − 12V 7 3 >0且V<2→V< ， <V<2 6 − 4V 4 2

总结：只要知道p − V图上A点的热力学运动轨迹p = p(V)，则准静态过程的热容量和热量计算极为方便
dQ = Ci dT =
Ci Ci p dp (pdV + Vdp) = � + � � � VdV R R V dV i
例题： （200 道物理学难题第 135 题）一个高为152cm的下半部封闭的直玻璃管中充满了空气。它的上半部是水银并且 玻璃管的顶部是敞开的。气体被缓慢地加热，到所有的水银被推出管子外面时传递给气体的热量是多少？（大气压是 760mm 汞柱）
于是摩尔热容量
Ci = CV +
吸放热的转变点Ci = 0，即
解答：考虑系统处在p − V图上状态，设任意中间状态是：水银面距玻璃管敞口的距离为760x(mm)，这时气体压强 p= 760 + 760x 760 + 760x = = 1 + x(标准大气压） p0 760 V V ≡ =2−x 760S D V0
气体体积
于是在单位(p0 , V0 , T0 )
在任意过程中，单位摩尔理想气体都满足热力学第一定律和状态方程
单位摩尔理想气体在这个准静态微元过程的摩尔热容的定义
将(1), (2)代入(3)得
Ci = CV + � 热量的计算公式
p pdV V � R = CV + ∙R dp p pdV + Vdp i +� � V dV i
(4)
利用(3)式可知任意准静态微元过程的净热量
7⁄4 2 p dp 21 − V 3 − V � Ci � + � � � VdV = �� + � � ∙� − 1� VdV V dV V i 3⁄2 1 3⁄2 6 − 4V 2
1பைடு நூலகம்
+�

例题：多方过程
= ��
1
7⁄4
+� �
3⁄2
2
21 − 12V 27 dV = 2 16
解答：多方过程 pV n = 常量 → V n dp + npV n −1 dV = 0 → � dp p � = −n dV n V
V = (1520 − 760x)S → v ≡D p=3−V
单位摩尔封闭气体压强单位为p0 = 1 标准大气压，体积单位为V0 = 760S，简便计，由初始条件得到初始温度为2个温度 单位T0 PV = RT → 2RT0 = 2 ∙ 1 → T0 = 1 R
即在单位(p0 , V0 , T0 )摩尔热容量（双原子分子CV = 5⁄2） Ci = CV +