2020年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-3．关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间(k π，)()2k k Z ππ+∈内单调递增4．已知0a >，0b >，则“1a 且1b ”是“2a b +且1ab ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果21()n x x的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．在约束条件：1210x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于( )A ．12 B ．38 C ．14D ．187．已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且241a a =，37S =，则5(S = )A ．152B ．314C ．334D ．1728．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )个． A ．324B ．216C ．180D ．3849．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时，(2)()0x f x -'>，则当24a <<时，有( )A ．(2)a f f <（2）2(log )f a <B ．f （2）2(2)(log )a f f a <<C ．2(log )(2)a f a f f <<（2）D ．f （2）2(log )(2)a f a f <<10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+都与x ，y 无关，则a 的取值区间为( ) A ．[6，)+∞ B ．[4-，6] C ．(4,6)- D ．(-∞，4]- 11．若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b --的最大值为( )A ．10B ．12C ．53D ．6212．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，则PC 的长度范围为( ) A ．[13,19]B ．335[,19]5C ．335[,19]5D ．339[,19]5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13．命题“x N ∀∈，21x >”的否定为 ．14．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．15．设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为 ．16．若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin()cos 64C C π-=．（1）求角C 的大小；（2）若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a 、b 的值．18．（12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3213.8415.0246.63519．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点．（Ⅰ）求证：//CD 平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(2F -0)，2(2F 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论． 21．（12分）已知函数()()f x tx lnx t R =+∈．（1）当1t =-时，证明：()1f x -；（2）若对于定义域内任意x ，2()1x f x x e -恒成立，求t 的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()0,02)4l πρθρθπ-=．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|23||21|f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()5f x 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【思路分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．【解析】：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-，又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，3()11iIm i+∴=-+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题．2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【思路分析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求22221234S =-+-+，计算可得答案． 【解析】：由程序框图知，程序的运行功能是求22221234S =-+-+-⋯可得：当5i =时，不满足条件5i <，程序运行终止，输出2222123410S ==-+-+=． 故选：C ．【总结与归纳】本题考查了循环结构的程序框图，解答此类问题的关键是判断程序框图的功能．3．关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间(k π，)()2k k Z ππ+∈内单调递增【思路分析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．【解析】：对于函数()|tan |f x x =的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A 错误；又()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以()f x 是定义域上的偶函数，B 正确；根据函数()f x 的图象知，()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称，C 正确；根据()f x 的图象知，()f x 在每一个区间(k π，)()2k k Z ππ+∈内单调递增，D 正确．故选：A ．【总结与归纳】本题考查了正切函数的图象与性质的意义问题，是基础题目． 4．已知0a >，0b >，则“1a 且1b ”是“2a b +且1ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】0a >，0b >，“1a 且1b ”可得：“2a b +且1ab ”，反之不成立：取32a =，12b =，即可判断出结论． 【解析】：0a >，0b >，“1a 且1b ”可得：“2a b +且1ab ”，反之不成立：取32a =，12b =，满足2a b +且1ab ，而1a 且1b 不成立．故“1a 且1b ”是“2a b +且1ab ”的充分不必要条件． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．如果21)n x的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【思路分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出n 与r 的关系，即可得到n 的最小值． 【解析】：21)n x的展开式的通项公式为521(1)n r rr r nT C x -+=-，令502n r-=，可得5n r =，0r =，1，2，3，⋯，n ． 展开式中含有常数项，5n r ∴=能成立，则正整数n 的最小值为5， 故选：C ．【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．在约束条件：1210x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于( )A ．12B ．38C ．14D ．18【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【解析】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=．则1222a b ab =+，则18ab 当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7．已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且241a a =，37S =，则5(S = )A ．152B ．314C ．334D ．172【思路分析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得311311(1)710a q a q a q q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩，由此能求出5S ．【解析】：由已知得：311311(1)710a q a q a q qq ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩，解得14a =，12q =， ∴551514(1)(1)31211412a q S q --===--．故选：B ．【总结与归纳】本题考查等比数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )个． A ．324B ．216C ．180D ．384【思路分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果． 【解析】：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：231313343390C A C A C +=种； 当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：23212323343333234C A C C C A C +=种，根据分类计数原理得到共有90234324+=个．故选：A ．【总结与归纳】本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．9．已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时，(2)()0x f x -'>，则当24a <<时，有( )A ．(2)a f f <（2）2(log )f a <B ．f （2）2(2)(log )a f f a <<C ．2(log )(2)a f a f f <<（2）D ．f （2）2(log )(2)a f a f <<【思路分析】由()(4)f x f x =-，可知函数()f x 关于直线2x =对称，由(2)()0x f x -'>，可知()f x 在(,2)-∞与(2,)+∞上的单调性，从而可得答案． 【解析】：函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-， ()f x ∴关于直线2x =对称；又当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()()(2)0xf x f x f x x '>'⇔'->，∴当2x >时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；同理可得，当2x <时，()f x 在(,2)-∞单调递减； ()f x 的最小值为f （2） 24a <<，21log 2a ∴<<，224log 3a ∴<-<，又4216a <<，22(log )(4log )f a f a =-，()f x 在(2,)+∞上的单调递增；2(log )(2)a f a f ∴<，f ∴（2）2(log )(2)a f a f <<，故选：D ．【总结与归纳】本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+都与x ，y 无关，则a 的取值区间为( ) A ．[6，)+∞B ．[4-，6]C ．(4,6)-D ．(-∞，4]-【思路分析】由题意可得|34||349|x y a x y -++--可以看作点P 到直线:340m x y a -+=与直线:3490l x y --=距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解直线340x y a -+=与圆相切时的a 值，则答案可求．【解析】：因为|349||34||349||34|5()55x y x y a x y x y a ---+--+-+=+，所以|34||349|x y a x y -++--可以看作点P 到直线:340m x y a -+=与直线:3490l x y --=距离之和的5倍，|34||349|x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与点P 在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m 平移时，P 点与直线m ，l 的距离之和均为m ，l 的距离， 即此时圆在两直线内部，当直线m 与圆相切时，|34|15a -+=，解得6a =或4a =-（舍去）， 故6a ， 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．11．若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b --的最大值为( ) A ．10B ．12C ．53D ．62【思路分析】利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可． 【解析】：a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则2()()2cos ,4cos ,2cos ,412a b c b a c a b b c b a c a b b c --=--+=<>-<>-<>+， 当且仅当,a c 同向，,a b ，反向，,b c 反向时，取得最大值． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查了向量的数量积的运算，数量积的模的最值的求法，属于基础题． 12．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，则PC 的长度范围为( ) A ．[13,19] B ．335[19] C ．335[19] D ．339[19]【思路分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =，取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =，则平面//DMEN 平面1B FHG ，推导出P 点的轨迹是线段GH ，利用向量法能求出PC 的长度范围．【解析】：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =， 取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =， 则平面//DMEN 平面1B FHG ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，P ∴点的轨迹是线段GH ，(3G ，0，1)，(0H ，0，2)，(0C ，3，0)， (3GH =-，0，1)，1(0GB =，3，2)，∴点C 到线段GH 的距离228335||1[cos ,]191()51910d GC GC GH =-<>=-=， PC ∴的长度的最小值为3353， 19GC =，13HC =，PC ∴长度的最大值为19．PC ∴的长度范围为335[,19]5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查线段长的范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13．命题“x N ∀∈，21x >”的否定为 0x N ∃∈，21x ． 【思路分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解析】：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x N ∀∈，21x >”的否定为0x N ∃∈，201x故答案为：0x N ∃∈，21x 【总结与归纳】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 14．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 360 ．【思路分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解析】：设公差为d ，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02d +，0.022d +，0.023d +，0.024d +，0.023d +，0.022d +，0.02d +，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18161d += 解得0.8216d =， ∴中间一组的频数为：1600(0.024)360d ⨯+=． 故答案为：360．【总结与归纳】本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．15．设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为23． ． 【思路分析】设(,)M m n 到抛物线22y x =的准线12x =-的距离等于d ，由抛物线的定义可得2221||4111||24m MO m n MF m m m -+==++++14m t -=，利用基本不等式可求得最大值． 【解析】：焦点1(2F ，0)，设(,)M m n ，则22n m =，0m >，设M 到准线12x =-的距离等于d ，则由抛物线的定义得2221||4111||24m MO m nMF m m m -+==++++令14m t -=，依题意知，0m >， 若0t >，则2211141399334216162m t m m t t t t -==++++++，13max t ∴=，此时||123()1||3max MO MF =+= 若104t -<<，93162y t t =++单调递减，故1y <-，1(1,0)y ∈-；综上所述，||()||max MO MF =【总结与归纳】本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，属于难题．16．若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为4+ ． 【思路分析】由题意可得14b a=，代入121218*********a a b a a a a+=+=+------，124212()[(44)(41)]214144413a a a a a a =++=+-+-⨯+----，然后利用基本不等式即可求解【解析】：由题意可得14b a =，则121218*********a a b a a a a+=+=+------，124212()[(44)(41)]21414441a a a a a a =++=+-+-⨯+----， 14(41)2(44)1[6]22(64344413a a a a π--=+++++=--4+【总结与归纳】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答的关键是应用 条件的配凑．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin()cos 64C C π-=．（1）求角C 的大小；（2）若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a 、b 的值．【思路分析】（1）利用三角恒等变换化简1sin()cos 64C C π-=，即可求出C 的值；（2）根据向量m 、n 共线，得出sin 2sin B A =，即2b a =①； 由余弦定理得出229a b ab +-=②，①②联立解得a 、b 的值．【解析】：（1）sin()cos (sin cos cos sin )cos 666C C CC C πππ-=-21cos cos 2C C C =-1cos 224C C +=-111sin(2)2644C π=--=， sin(2)16C π∴-=；又0C π<<，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，解得3C π=；（2）向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，2sin sin 0A B ∴-=，sin 2sin B A ∴=，即2b a =①；又3c =，3C π=，222222cos 9c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=②；由①②联立解得a b =【总结与归纳】本题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．18．（12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．0)k【思路分析】（Ⅰ）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；（Ⅲ）ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解析】：（Ⅰ）由列联表得22100(26203034)0.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．⋯（3分）（Ⅱ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为305350⨯=人，“非古文迷”有205250⨯=人． 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人⋯（6分） （Ⅲ）因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．1232353(1)10C C P C ξ===，2132353(2)5CC P C ξ===，33351(3)10C P C ξ===．⋯（9分） 于是123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．⋯（12分） 【总结与归纳】本题考查独立性检验知识的运用，考查随机变量ξ的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点．（Ⅰ）求证：//CD 平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值．【思路分析】（Ⅰ）设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD 为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥．所以1BB ⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，可证CD ⊥平面11A ABB ，再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；（Ⅲ）取11A C 中点F ，连接1B F ，EF ，易知侧面11ACC A ⊥底面111A B C ，1FEB ∠是1B E 与平面11AA C C 所成角，然后构造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，从而求解． 【解答】证明：（Ⅰ）设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ． 因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点，所以1//OD BB 且112OD BB =．又E 是1CC 中点，所以1//EC BB 且112EC BB =，所以//EC OD 且EC OD =．所以，四边形ECOD 为平行四边形．所以//EO CD ． 又CD ⊂/平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ，则//CD 平面1A BE ．（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥．所以1BB ⊥平面ABC ． 因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥． 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥， 所以CD ⊥平面11A ABB ．由（Ⅰ）可知//EO CD ，所以EO ⊥平面11A ABB ． 所以1EO AB ⊥．因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥． 又1EOA B O =，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ，所以1AB ⊥平面1A BE ．（10分）（Ⅲ）解：取11A C 中点F ，连接1B F ，EF ．在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C ．因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11A C 中点，所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A ． 所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影．所以1FEB ∠是1B E 与平面11AA C C 所成角11115.sin 5B F BE F B E ∠==．（14分） 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设边长为2，可求得(0A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)，1(0A ，0，2)，(3,1,0)B ，1(3,1,2)B ，(0E ，2，1)，31(,,0)22D ，31(,,1)22O ． （Ⅰ）易得，33(,,0)22CD =-，33(,,0)22EO =-．所以CD EO =，所以//EO CD ．又CD ⊂/平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ，则//CD 平面1A BE ．（Ⅱ）易得，1(3,1,2)AB =，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,1)A E =- 所以11110,0AB A B AB A E ==． 所以11AB A B ⊥，11AB A E ⊥． 又因为111A BA E A =，1AB ，1A E ⊂平面1A BE ，所以1AB ⊥平面1A BE ．（10分）（Ⅲ）设侧面11AA C C 的法向量为(n x =，y ，)z ，因为(0A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)，1(0A ，0，2)， 所以1(0,2,0),(0,2,2)AC AC ==，1(3,1,1)B E =--． 由100n AC n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00y y z =⎧⎨+=⎩解得00.y z =⎧⎨=⎩不妨令(1n =，0，0)，设直线1B E 与平面11AA C C 所成角为α． 所以111||315sin |cos ,|5||||5n B E n B E n B E α=<>===． 所以直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值为155．（14分）【总结与归纳】此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，第一问此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，难度比较大，计算要仔细．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(2F -0)，2(2F 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论．【思路分析】（1）由椭圆的两个焦点分别为1(2F -0)，2(2F ，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ，列出方程组，能求出椭圆C 的方程．（2）设过M 的直线：(1)y k x kx k =-=-或者1x =，1x =时，代入椭圆，能求出122k k +=；把y kx k =-代入椭圆，得2222(31)6(33)0k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理能求出122k k +=．【解析】：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(2F 0)，2(2F 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ，∴22221c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得3a =1b =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）12k k +是定值．证明如下：设过M 的直线：(1)y k x kx k =-=-或者1x = ①1x =时，代入椭圆，6y =∴令6)A ，6(1,)B ， 162331k -=-，262331k =-，122k k ∴+=．②y kx k =-代入椭圆，2222(31)6(33)0k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，312336223131k k y y k k k -+=-=++，222212121222()31k y y k x x k x x k k =-++=-+， 11123y k x -=-，22223y k x -=-，1221211212126326322(3)(3)y x x y y x x y k k x x --++--+∴+==--． 【总结与归纳】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 21．（12分）已知函数()()f x tx lnx t R =+∈． （1）当1t =-时，证明：()1f x -；（2）若对于定义域内任意x ，2()1x f x x e -恒成立，求t 的范围？【思路分析】（1）当1t =-时，证明：()1f x -，即是证明1lnx x --，设()1g x lnx x =-+，只要证明()g x 的最大值0即可得证．（2）原式子恒成立即21x lnx t e x +-在(0,)+∞恒成立；只要求出函数21x lnx y e x+=-，(0,)x ∈+∞的最小值即可．【解答】（1）证明：即是证明1lnx x --，设()1g x lnx x =-+，1()xg x x-'=；当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()g x g （1）0=，所以1lnx x --得证．（2）解法一：原式子恒成立即21x lnx t e x+-在(0,)+∞恒成立；由（1）可以得到1x lnx +，所以22()121x x x e ln x e lnx x +=++；所以22112x lnx x lnx e x x +++=+所以212x lnx e x+-，当且仅当21x x e =时取=，于是t 的取值范围是(-∞，2]．解法二：设2()(0)x h x xe tx lnx x =-->，原题即()1h x 恒成立；因为21()(21)x h x x e t x '=+--，而221()4(1)0x h x x e x''=++>．所以()h x '单调递增，又因为0x →时，()h x '→-∞，当x →+∞时，()h x '→+∞，所以()h x '在(0,)+∞存在唯一零点，设为0x ．所以020001()(21)0x h x x e t x '=+--=．所以02001(21)x t x e x =+-，且()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增， 于是()h x 的最小值为00222000000()21x x h x x e tx lnx x e lnx =--=--+， 原题即0220211x x e lnx --+． 即0220020x x e lnx +，由此式子必001x <<，022002x x e lnx -，把后面的不等式两边同时取对数整理后得00002(2)()()x ln x ln lnx lnx +-+-．易证明函数y x lnx =+是增函数，所以得002x lnx -，所以0201x e x ． 故由02001(21)x t x e x =+-，得到00011(21)2t x x x +-=．于是t 的取值范围是(-∞，2]．解法三：原式子恒成立即21x lnx t e x+-在(0,)+∞恒成立； 设21()xlnx x e xϕ+=-，2222()x x e lnx x x ϕ+'=，设22()2x Q x x e lnx =+，221()4()0x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且1()04Q <，Q （1）0>；所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0220020x x e lnx +=，所以022002x x e lnx =-． 两边同时取对数得00002(2)()()x ln x ln lnx lnx +=-+-．易证明函数y x lnx =+是增函数，所以得002x lnx =-，所以0201x e x =． 所以由()x ϕ在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，所以020000001211()()2x lnx x x x e x x x ϕϕ+-+=-=-=，于是t 的取值范围是(-∞，2]．【总结与归纳】本题考查了函数的单调性和最值问题，利用导数求函数的最值，属于难题． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()0,02)4l πρθρθπ-=．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．【思路分析】（1）圆O 的极坐标方程化为2cos sin ρρθρθ=+，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为sin cos 1ρθρθ-=，由此能求出直线l 的直角坐标方程． （2）圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．【解析】：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin()42l πρθ-=sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程， 将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)，转化为极坐标为(1,)2π．【总结与归纳】本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|23||21|f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()5f x 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（Ⅰ）零点分段求解不等式即可；（Ⅱ）由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解析】：（Ⅰ）原不等式为：|23||21|5x x ++-，能正确分成以下三类：当32x -时，原不等式可转化为425x --，即7342x --；当3122x -<<时，原不等式可转化为45恒成立，所以3122x -<<；当12x 时，原不等式可转化为425x +，即1324x． 所以原不等式的解集为73{|}44x x -．（Ⅱ）由已知函数342,231()4,22142,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，由()|1|f x m <-的解集非空得：|1|4m ->．解得5m >或3m <-．【总结与归纳】本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2-B ．1-C ．1D ．22．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-3．（5分）关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数 C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间(k π，)()2k k Z ππ+∈内单调递增4．（5分）已知0a >，0b >，则“1a …且1b …”是“2a b +…且1ab …”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．（5分）如果21()nx x的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．66．（5分）在约束条件：1210x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩………下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于( )A ．12B ．38C ．14 D ．187．（5分）已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且241a a =，37S =，则5(S =)A ．152B ．314C ．334D ．1728．（5分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )个． A ．324B ．216C ．180D ．3849．（5分）已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时，(2)()0x f x -'>，则当24a <<时，有( )A ．(2)a f f <（2）2(log )f a <B ．f （2）2(2)(log )a f f a <<C ．2(log )(2)a f a f f <<（2）D ．f （2）2(log )(2)a f a f <<10．（5分）对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+都与x ，y 无关，则a 的取值区间为( )A ．[6，)+∞B ．[4-，6]C ．(4,6)-D ．(-∞，4]-11．（5分）若a r ，b r ，c r满足，||||2||2a b c ===r r r ，则()()a b c b --r r r r g的最大值为( ) A ．10B ．12C．D．12．（5分）点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =u u u r u u u u r，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，则PC 的长度范围为( )A．B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13．（5分）命题“x N ∀∈，21x >”的否定为 ．14．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为 ．15．（5分）设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则||||MO MF 的最大值为 ．16．（5分）若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin()cos 64C C π-=g ．（1）求角C 的大小； （2）若向量(1,sin )m A =r 与(2,sin )n B =r共线，求a 、b 的值．18．（12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据： 20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3213.8415.0246.63519．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点．（Ⅰ）求证：//CD 平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(2F 0)，2(2F 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论． 21．（12分）已知函数()()f x tx lnx t R =+∈． （1）当1t =-时，证明：()1f x -…；（2）若对于定义域内任意x ，2()1x f x x e -g…恒成立，求t 的范围？ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线2:sin()0,02)4l πρθρθπ-=厔?．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|23||21|f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()5f x …的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =，则3()(1iIm i+=+ ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：B ．2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【解答】解：由程序框图知，程序的运行功能是求22221234S =-+-+-⋯可得：当5i =时，不满足条件5i <，程序运行终止，输出2222123410S ==-+-+=． 故选：C ．3．（5分）关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2π。
成都市2020高三一珍数学理科试题及详细解析
〖解析〗1、【考点】①复数的定义与运算；②复数的表示与几何意义。
【解题思路】根据复数的表示与几何意义，得到复数2Z 在复平面上的坐标为（-3，-1），由复数1Z 在复平面上的点与复数2Z 在复平面上的点关于实轴对称可知，复数1Z 在复平面上点的坐标为（-3，1），从而得到复数1Z 的代数形式表示式。
【详细解答】复数2Z =-3-i ，在复平面上的坐标为（-3，-1），复数1Z 在复平面上的点与复数2Z 在复平面上的点关于实轴对称，∴ 复数1Z 在复平面上对应点为（-3，1），⇒1Z =-3+i ，⇒B 正确，∴选B 。
2、【考点】①集合的表示法；②并集的定义、性质与运算方法。
【解题思路】根据集合的表示法，运用并集的运算方法就可得出结果。
【详细解答】A B={-1，0，1，2}，∴m=1或2，⇒D 正确，∴选D 。
3、【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②正切的2倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，由问题条件求出tan θ的值，再运用正切的2倍角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】sin θπ-θθ，∴ tan θ⇒ tan2θ= 22tan 1tan θθ-=⇒C 正确，∴选C 。
4、【考点】①全称命题的定义与判定；②特称命题的定义与性质；③否定命题的定义与性质；④全称命题否定命题确定的基本方法。
【解题思路】根据全称命题否定命题的定义与特征和写出全称命题的否定命题的基本方法，写出原命题的否定命题，从而得出结果。
【详细解答】p ：∀x ∈R ，2x -2x ≥1， ∴⌝p ：∃0x x ∈R ，02x - 20x <1，⇒B 正确，∴选B 。
5、【考点】①频率的定义与性质；②统计条形图的定义与运用；③中位数的定义及组局数列中位数的基本求法。
【解题思路】根据中位数的定义和组距数列中位数的基本求法，先确定中位数所在的组，再运用中位数就是使频率为0.5的数的特征求出中位数。
2020年四川省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜13．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．166．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．20207．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．48．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2020【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2020＞2020时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2020？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2020，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2020，不满足条件i＞2020，有P=﹣1+cos2020π=0，i=2020，满足条件i＞2020，输出P的值为0．故选：C．7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）﹣f（x2），转化为求在x1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）∴0≤x1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为，∴x1+≥，x1≥，∴≤x1＜．∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）﹣f（x2）=x1f（x1）﹣f（x1）2=﹣（x1+）=x12﹣x1﹣，设y=x12﹣x1﹣=（x1﹣）2﹣，（≤x1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[﹣，）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为15．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的平均数是10，∴=（x1+x2+…+x10）=8；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数是：= [（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x10﹣1）]=2×（x1+x2+…+x10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为35．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为T r+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为a．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D 的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为：a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min==1，a=1时，r max==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切，∴圆半径r===，∴a=﹣1时，r min==1，最小圆面积S min=π×12=π，a=1时，r max==，最大圆面积S max==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为[e+1，]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=﹣1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x）=﹣2x+a=，∵x＞0，又a＞0，∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．又f（1）=﹣1+a≥e，∴a≥e+1，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f（e）=a2﹣e2+ae≤3e+2，解得：a≤，又a≥e+1，而e+1＜，∴a的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+ sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ有的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n=2×4n﹣4．不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣4，∴n=1时，a1=2a1﹣4，解得a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4﹣（2a n﹣1﹣4），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n=4×2n﹣1=2n+1．∵数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∵T2+T6=32，∴2b1+1+6b1+×1=32，解得b1=2．∴b n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n=2×2n+1﹣4．∴不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A1（﹣2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A1（﹣2，0），B（0，b）；∴直线BA1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA1的距离为；解得b2=3；∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），则，；∴直线A1P的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx﹣x2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=ln x+﹣（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，即为lnx﹣x2α≤0恒成立，当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x）=﹣2α•x2α﹣1，当x＞时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln﹣，由ln﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）；（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12﹣x1+t），（x2，ln x2），由f′（x）=2x﹣1，得l的方程为y﹣（x12﹣x1+t）=（2x1﹣1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣1）x﹣x12+t．由g′（x）=，得l的方程为y﹣ln x2=（x﹣x2），即y=•x+ln x2﹣1．所以（*）消去x1得ln x2+﹣（t+1）=0 （**）．令F（x）=ln x+﹣（t+1），则F′（x）=﹣==，x＞0．由F'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F（x）min=F（1）=﹣t．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．2020年9月9日。
2020届四川省成都市一诊数学(理科)试卷及答案
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
第 6页（共 19页）
A．72.5
B．75
C．77.5
D．80
【解答】解：由频率分布直方图得：
[50 ， 70) 的频率为： (0.010 0.030) 10 0.4 ，
[70 ， 80) 的频率为： 0.040 10 0.4 ，
③ x 的取值范围为 (0, 4 2 2) ；
④三棱锥 P ABC 体积的最大值为 1 ． 3
第 2页（共 19页）
则正确的结论的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
x y 40
13．（5
分）已知实数
x
，
B． 5 3
C． 5 2
D． 5 2
4．（5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名
同学的得分都在[50 ，100] 内，按得分分成 5 组：[50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ，80) ，[80 ，
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若复数 z1 与 z2 3 i(i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1 (
)
A． 3i
B． 3 i
四川省2020届高三数学一诊模拟考试题 理(无答案)
数学高2020级“一诊模拟”考试（一）试题理科数学（第一卷）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合P Q I 为 （ ） （A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2、复数212i i-+的虚部是（ ） （A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i3、已知5sin cos 3θθ+=-，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49-4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )（A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β （C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=-（C ）()2sin()3f x x π=- （D ）()2sin()66f x x ππ=-14yxO2-27、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) )2,(--∞(B) ),2[+∞-(C) ]2,2[-(D) ),0[+∞8、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-⋅u u u r u u u r u u u r()0OB OC -=u u u r u u u r，则∆ABC 是（） （A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形（D ）以BC 为斜边的直角三角形9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ） （A ）360种 （B ）840种 （C ）600种 （D ）1680种 10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}01234b c ∈、，，，，，记“该方程有实数根12x x 、且满足1212x x -≤≤≤” 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ）（A ）516 （B ）1225 （C ）1425 （D ）1625二、填空题：每小题5分，共25分11、已知数列{}n a 的前n 项和332nn S =-⨯，则n a = ．12、(12)nx +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，则n 等于 ．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=，)54(2，=+，则θcos 等于 ．主视图侧视图俯视图15、定义在(1,1)-上的函数)(x f 满足：对任意,(1,1)x y ∈-，()()()1x yf x f y f xy--=-恒成立．有下列结论：①(0)0f =；②函数()f x 为(1,1)-上的奇函数；③函数()f x 是定义域内的增函数；④若122()1n n na a n a *+=∈+N ，且(1,0)(0,1)n a ∈-U ，则数列{}()n f a 为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是 ．新津中学高2020级“一诊模拟”考试（一）试题 理科数学（第二卷）11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅=u u u r u u u r 且，AB BC u u u r u u u r与的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若2CB AD =u u u r u u u r，且异面直线PC 与AD 的夹角为60︒时，求二面角P CD A --的余弦值．18、（本题满分12分）设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x f（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围.AB19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？20、（本题满分13分）设数列{}n a 为单调递增的等差数列,1,1=a 且1263,,a a a 依次成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）若(),223222+⋅+=nn na a a nb 求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若2121n n a n a c +=-，求证：.312+<∑=n c ni i21．（本小题满分14分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L .。
高2020届成都“一诊” 理科数学试题(含解析)
高2020届成都“一诊”理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+．故选：B ．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2 【答案】D 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( ) A. 5-B.5 C. 5-D.5 【答案】C 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---.故选：C4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80 【答案】A【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A.95 B. 59 C. 53D. 275【答案】D【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n B. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m n C. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥ D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r ()-r x -=r6C ()1r - ()6-2r x ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象. 故选：A ．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3 B. 32 C. 5 D. 52【答案】B【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．10.已知122a =，133b =，3ln2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 【答案】C【详解】∵122a =2=＝68，且133b ==33＝69，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x 的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A. (2,0)(2,)-+∞B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2． ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切． ∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23PP 上滑动，且22P B P C x==，现将1APB∆，3AP C∆分别沿AB，AC折起使点13,P P重合，重合后记为点P，得到三被锥P ABC-.现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P ABC-的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为(0,422)-；④三棱锥P ABC-体积的最大值为13.则正确的结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PA⊥PB、PA⊥PC，在①中，由PA⊥PB，PA⊥PC，且PB PC P=，所以AP⊥平面PBC成立，故①正确；在②中，当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝1x=，得外接球的半径R2246x x++=，所以外接球的表面积为2264462S Rπππ⎛==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P的边长为2，所以(0,2)x∈，2BC x=，312PC PB PB PC x====-，在CPB∆中，由边长关系得2x-+22x x->，解得(0,42)x∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P的边长为2，且22P B P C x==，则2PB PC x==-，所以()()222111sin223263P ABC A PBCxV V CP BP CPB AP x---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,42)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6【详解】作出实数x，y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y=+得y＝﹣12x+12z，平移直线y＝﹣12x+12z，由图象可知当直线y＝﹣12x+12z经过点A时，直线y＝﹣12x+12z的截距最大，此时z最大．由40220x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案：6．14.设正项等比数列{}n a满足481a=，2336a a+=，则na=_______.【答案】3n【详解】在正项等比数列{}n a中，481a=，2336a a+=，得312118136a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解得133aq=⎧⎨=⎩，∴a n＝11na q-⋅＝3•3n﹣1＝3n.故答案为：3n15.已知平面向量a，b满足||2a=，||3b =，且()b a b⊥-，则向量a与b的夹角的大小为_______.【答案】6π【详解】∵平面向量a，b满足||2a=，||3b=，且()b a b⊥-，∴2()0b a b b a b⋅-=⋅-=，∴2b a b⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则 2•3•cosθ＝23，求得 cosθ＝32，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π.故答案为：6π．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______. 【答案】3【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【详解】（1）∵22223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝423bc ，∴cos A ＝223， ∴在△ABC 中，sin A 21cos A -＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=2abc ++=.18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯=19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3， 由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3，EC ＝1，所以PE 2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB ＝（2，﹣1，0）， 由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（1，2，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC ＝（2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,33311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >--【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增； 综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.（2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立，即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y-=== 所以四边形OAHB 的面积12121||2SOH y y y y =⋅-=-=， 2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t =1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--， 令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--① 由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===-- 则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O 的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=， ∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos 1).66AB ππρρ∴=-=-= 又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin 3h π== MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅=23.已知函数() 3.f x x =-（1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+- 【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n +=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-。
2020年四川省成都市高考数学一诊考试(理科)试题Word版含解析
2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣207．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣311．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣112．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（I）若直线l1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=（）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，A={x|﹣1≤x≤2}，则∁U故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．故选：A．【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，∴|PF1|=13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，∵sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，故选B．【点评】本题考查二倍角的正弦函数，平方关系，以及三角函数值的符号，属于基础题．6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥、几何体的三视图的性质及构造法的合理应用．8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A【点评】本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1【分析】由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，由f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=|cosπx|在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，故选：A【点评】本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，数形结合是解决本题的关键，属中档题12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ﹣2 ．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．【点评】此题考查了梯形的面积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC 中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD 中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求∠ACB 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列； （Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．【分析】（I ）数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，a n+1+4=2（a n +4），即可得出．（II ）由（I ）可得：a n +4=2n ，可得a n =2n ﹣4，当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0，可得n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n ．【解答】（I ）证明：∵数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，∴a n+1+4=2（a n +4），∴数列{a n +4}是等比数列，公比与首项为2．（II ）解：由（I ）可得：a n +4=2n ，∴a n =2n ﹣4，∴当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0， ∴n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n =2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n ﹣4） =﹣4（n ﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n =2n+1﹣4n+2．n ∈N *．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南一模）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，甲校的合格率P1乙校的合格率P==96%．2可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=0+1×+2×+3×=．【点评】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．且斜率为k的直线l1（I）若直线l的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．【分析】（I ）由题意，直线l 1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k AM =k MN ，A ，M ，N 三点共线．【解答】解：（I ）由题意可知：右焦点F （1，0），E （5，0），M （3，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由直线l 1的倾斜角为，则k=1，直线l 1的方程y=x ﹣1，即x=y+1， 则，整理得：9x 2+8﹣16=0．则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，△ABM 的面积S ，S=•丨FM 丨•丨y 1﹣y 2丨=丨y 1﹣y 2丨==，∴△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）证明：设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1）， 则，整理得：（4+5k 2）x 2﹣10k 2x+5k 2﹣20=0．则x 1+x 2=，x 1x 2=，直线BN ⊥l 于点N ，则N （5，y 2）， 由k AM =，k MN =，而y 2（3﹣x 1）﹣2（﹣y 1）=k （x 2﹣1）（3﹣x 1）+2k （x 1﹣1）=﹣k[x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5]， =﹣k （﹣3×+5），=0， ∴k AM =k MN ，∴A ，M ，N 三点共线．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于a＞，令h（x）=，x≥0，唯一转化为求出a＞h（x），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最小值min即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），∴g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，此时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当2﹣a＜0即a＞2时，由g′（x）＞0，得x＞e a﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜e a﹣2﹣1，此时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；a＞2时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，（Ⅱ）由f（x）＜0，得（x+1）a＞xln（x+1）+x+2，当x≥0时，上式等价于a＞，令h（x）=，x≥0，，由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只需a＞h（x）min∵h′（x）=，令u （x ）=ln （x+1）+x ﹣，显然u （x ）在[0，+∞）递增，而u （0）=﹣＜0，u （1）=ln2﹣＞0，故存在x 0∈（0，1），使得u （x 0）=0，即ln （x 0+1）=﹣x 0，又当x 0∈[0，x 0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，当x ∈[x 0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，故x=x 0时，h （x ）有极小值（也是最小值），故h （x ）min =，故a ≥=，x 0∈（0，1），而2＜＜3，故a 的最小整数值是3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α≠）的直线l 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣4sin θ=0．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （1，0）．若点M 的极坐标为（1，），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l 的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值。
2020年四川省高考模拟试卷数学理科答案(1)
2020年四川省高考模拟试卷(一)数学（理科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBBCBDCDCB1.2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为（ ） A.1150 B.1380 C.1610 D.1860依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610=人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C. 2若复数z 满足2+=ii z，则||=z （ ） A.55- B.55C.5-D.5 由2+=ii z，得|2|||||+=i i z ，||5=z ，故选D. 3.某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ）A.360=n ，14=mB.420=n ，15=mC.540=n ，18=mD.660=n ，19=m 某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=，青年人为636060=n n ，2686060++=⇒+=n nm m ，代入选项计算，C 不符合，故选C.4.()221(1)+-axax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ）A.2B.-2C.22D.22-22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，，故选B.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24836149++=+a a a a a ，则149=SS （ ）A.14 9B.73C.32D.2设{}na的公差为d，由24836149++=+a a aa a，1=≠a d，1141419914()1415729()91032+⨯===+⨯a aS da aS d，故选B.6.已知函数sin=a xyx在点(,0)Mπ处的切线方程为1-+=x b yπ，则（）A.1=-a，1=b B.1=-a，1=-b C.1=a，1=b D.1=a，1=-b由题意可知2cos sin-'=ax x a xyx，故在点(,0)Mπ处的切线方程为1()-=-=-+ay x x bπππ，则11=⎧⎨=⎩ab，故选C.7.函数2cos2()1=+x xf xx的图象大致为（）A. B. C. D.由()f x为奇函数，得()f x的图象关于原点对称，排除C，D；又当04<<xπ时，()0>f x，故选B.8.如图，在四棱锥-P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且1=AB，2=BC，60︒∠=ABC，⊥PA平面ABCD，⊥AE PC于E.下列四个结论：①⊥AB AC；②⊥AB平面P AC；③⊥PC平面ABE；④⊥BE PC.正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4已知1=AB，2=BC，60︒∠=ABC，由余弦定理可得2222cos603︒=+-⋅=AC AB BC AB BC，所以222+=AC AB BC，即⊥AB AC，①正确；由⊥PA平面ABCD，得⊥AB PA，所以⊥AB平面P AC，②正确；⊥AB平面P AC，得⊥AB PC，又⊥AE PC，所以⊥PC平面ABE，③正确；由⊥PC平面ABE，得⊥PC BE，④正确，故选D.9.已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z为（）A.-iB.iC.0D.1+i由程序框图得0=z ，第一次运行011=+=a ，101=+=z ，011=+=n ；第二次运行0=+=b i i ，1=+z i ，112=+=n ；第三次运行， ，故(1111)()0=-++-+-+-=L L z i i i ，故选C.10.双曲线2222:1(0,0)-=>>x y E a b a b的一条渐近线方程为2=y x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若V OAF 的面积是25（O 为原点），则双曲线E 的实轴长是（ ） A.4 B.22 C.1 D.2因为双曲线E 的一条渐近线方程为2=y x ，所以2=b a ，2215==+=c b e a a，由V OAF 的面积是25，得21252⋅=b a，所以24=b ，2=b ，所以1=a ，双曲线的实轴长为2，故选D. 11. 已知函数()-=-xxg x e e ，()()=f x xg x ,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a,b,c 的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a依题意，有()()g x g x -=-，则()e e x x g x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数．当0x >时，有()(0)g x g >且()0g x '>，所以()()()f x g x xg x ''=+(0)0g >=，即()f x 在(0)+∞，上递增，所以355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ． 12.已知圆221:4+=O x y ，直线:(0)=+≠l y kx b k ，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：①当k 为常数，b 为变数时，sin()+αβ是定值；②当k 为变数，b 为变数时，sin()+αβ是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin()+αβ是定值. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3设点11(),E x y ，22(),F x y ，由三角函数的定义得111cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y αα，221cos 21sin 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ββ，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx b x y ，得2221(1)204+++-=k x kbx b ，由韦达定理得122212221141⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩kb x x k b x x k ，所以211221121212sin()sin cos cos sin 444()4()84()+=+=+=+++=++x y x y x kx b x kx b kx x b x x αβαβαβ22221882411⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-++k b kb k k k ，因此，当k 是常数时，sin()+αβ是常数，故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314 1516答案8π582322195+=x y 13.已知||1=r a ，||8=r b ，()3⋅-=r r r a b a ，则向量ra 与向量rb 的夹角是____.由()3-=r r r a b a ，得3⋅-⋅=r r r r a b a a ，即4⋅=r r a b ，故1cos ,2||||⋅〈〉==⋅r r r r r ra b a b a b ，则向量r a 与rb 的夹角为3π. 14.数列{}n a 的前n 项和2(0)=+≠n S An Bn A ，若11=a ，1a ，2a ，5a 成等比数列，则3=a ________.由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1，1+d ，14+d 成等比数列，故2(1)14+=+d d ，即220-=d d ，解得0=d 或2=d ，若0=d ，1=n a ，=n S n ，与0≠A 矛盾，故2=d ，3125=+=a d .15.如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为________. 正八面体上半部分的斜高为3，高为2，则其体积为22282233⨯⨯⨯=. 16已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的左、右焦点，以1F 为圆心，1F ，2F 为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P .若椭圆C 的离心率为23，且1215=V PF F S ，则椭圆C 的方程为________.依题意，112||||2==PF F F c，由椭圆的定义可得2||22=-PF a c，所以22112||1112cos 1||224-⎛⎫∠===-= ⎪⎝⎭PF a c PF F F F c e ，从而2115sin 4∠=PF F ，因为离心率23=c a ，所以1222122111515sin ()224=⋅⋅∠=-=V PF F S PF F F PF F c a c c ，又1215=V PF F S ，解得24=c ，所以29=a ，25=b ，故椭圆C 的方程为22195+=x y . 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次、其中，徒步方队15个为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行徒步方队队员，男性身高普遍在175 cm 至185 cm 之间：女性身高普遍在163 cm 至175 cm 之间，这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184 cm 至190 cm 之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169 cm ”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.5.女子身高直方图 注：身高代码1~13分别对应身高163~175（单位：cm ） （1）求直方图中a ，b 的值；（2）估计这个阵营女子身高的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 解：（1）由已知得(0.110.065)20.5++⨯=b ，故0.075=b . （3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)=-⨯++++a ，∴0.125=a . （6分） 法二：1()10.50.5-=-=P C ，∴2(0.050.075)0.5⨯++=a ，∴0.125=a . （6分） （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=， （10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=（cm ）. （12分） 18.在锐角V ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，cos (2)cos 0+-=b C c a B . （1）求角B ；（2）若1=a ，求+b c 的取值范围. 解：（1）∵cos (2)cos 0+-=b C c a B ，∴cos cos 2cos +=b C c B a B ， （1分） 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C A B ， （2分）sin()sin()sin 0+=-=≠B C πA A ， （3分）∴2cos 1=B ，1cos 2=B ， （5分） 又B 是V ABC 的内角，∴3=πB . （6分） （2）∵V ABC 为锐角三角形，3=πB ，1=a ，∴23+=A C π，62<<ππA ， （7分）由正弦定理得1sin sin sin ==b cA B C， ∴2sin sinsin sin 33sin sin sin sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+ππA B C b c A A A A（8分） 31cos sin 333cos 13(1cos )1222sin sin 2sin 2sin 22sin 2++=+=+⋅+=+A AA A A A A A A ， （9分） ∵62<<ππA ，∴+b c 关于A 为减函数， （10分） ∴31cos 31cos 112622sin 2sin 26⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+ππb c ππ2， （11分） ∴31322+<+<+b c ，即+b c 的取值范围是31,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. （12分） 19.如图，在三棱锥P-ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为V ABC的外接圆圆心.（1）证明：平面⊥PAC 平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P-BC-M 的余弦值为53333，试求λ的值.（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ， （1分） 由题意，得222BC AB AC +=，则ABC △为直角三角形， 点O 为ABC △的外接圆圆心． （2分） 又点P 在平面ABC 上的射影为ABC △的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ， （3分）又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （4分） （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， （5分） 则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，0()10A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AP A AM P M λλλλ=∈=-u u u u u u u r r u u u r，，，，，，，，，(110)BC =-u u u r ，，，(101)PC =-u u u r ，，，(20)MC λλ=--u u u u r，，. （6分） 设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则00m BC m MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r g u r g u u u r u u u u r ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，，． （8分）设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由00n BC n PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩g g u u u r r u u u r r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，， （9分） 22533cos 33||||22(2)23n m n m n m λλλλ-+-+〈〉===u r u r u r r r g g g r，， （10分） 解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为PA 的中点． （12分） 20.已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中∈R k .（1）当1=-k 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[1,2]∈k 时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值. 解：（1）1=-k ，2()(1)=---xf x x e x ，令()2(2)00'=--=-+=⇒=xxf x xe x x e x ， （2分） 故(,0)∈-∞x ，()0'>f x ；(0,)∈+∞x ，()0'<f x （3分）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞. （4分）（2）()2(2)'=-=-xxf x kxe x x ke ， 令2()0ln [0,ln 2]'=⇒=∈f x x k，其中[1,2]∈k . （5分） 令2()ln=-g x x x，[1,2]∈x ， 211()21102⎛⎫'=⋅--=--< ⎪⎝⎭x g x x x， （6分） 故()g x 在[1,2]上单调递减， 故2()(1)ln 210ln ≤=-<⇒<g x g k k， （7分） 故20,ln⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k ，()0'<f x ；2ln ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k k ，()0'>f x ，从而()f x 在20,ln⎛⎫ ⎪⎝⎭k 上单调递减；在2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k 上单调递增， （8分） 故在[0,]k 上，函数max ()max{(0)=f x f ，()}max{=-f k k ，2(1)}--k k k e k ，[1,2]∈k . （9分）由于2()(0)(1)[(1)1]-=--+=--+k kf k f k k e k k k k e k ，令()(1)1=--+xh x x e x ，[1,2]∈x ， （10分）()10'=->x h x xe ，对于[1,2]∀∈x 恒成立，从而()(1)0≥=h x h ，即()(0)≥f k f ，当1=k 时等号成立， （11分）故2max ()()(1)==--k f x f k k k e k . （12分）21.已知抛物线2:=E y x 的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D .（1）证明：90︒∠=ADB ；（2）若V ABD 的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围. （1）证明：依题意有10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，直线1:4=+l y kx ， （1分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214⎧=⎪⎨=+⎪⎩y x y kx 消去y ，化简得2104--=x kx ， （2分） 所以，12+=x x k ，1214=-x x . （3分） 又因为2'=y x ，所以直线1l 的斜率112=k x .同理，直线2l 的斜率222=k x ， （4分） 所以，121241==-k k x x ， （5分）所以，直线12⊥l l ，即90︒∠=ADB . （6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(,)P x y 是圆上的一点，则0⋅=u u u r u u u rPA PB ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0--+--=x x x x y y y y ， （7分） 又因为12+=x x k ，1214=-x x ，21212111442+=+++=+y y kx kx k ，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， （8分） 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩x y kx k y y x ， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x kx ，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ， （9分）若方程2104--=x kx 与2304++=x kx 方程有相同的实数根0x ，则20020020010114032404⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩x kx kx x x kx ，矛盾， （10分） 所以，方程2104--=x kx 与方程2304++=x kx 没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030⎧+>⎪⎨->⎪⎩k k ，3⇔>k 或3<-k ， （11分）综上所述，3>k 或3<-k . （12分）22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系.直线l 的参数方程是cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线t 与线相交于A ，B 两点，且||34=AB ，求直线的斜率k . 解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin =ρθ，得直角坐标方程为226+=x y y ， 即22(3)9+-=x y . （3分）（2）把直线l 的参数方程cos 2sin =⎧⎨=+⎩x t y t θθ（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9+-=t t θθ，化简得22sin 80--=t t θ. （5分）设A ，B 两点对应的参数分别是1t ，2t ，则122sin +=t t θ，128=-t t ， （6分） 故22121212()44sin 3234=-=+-=+=|AB||t t |t t t t θ， （8分）得2sin 2=±θ， （9分） 得1=±k . （10分） 23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知,,+∈R a b c ，且2++=a b c .求证：（1）134633++≥+a b c；（2）2222++≥c a b a b c . 证明：（1）由柯西不等式，得2 134********()633 22⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c a b ca b c a b c a b c，所以134633++≥+a b c. （5分）（2）由柯西不等式，得222222211()()222⎛⎫⎛⎫++=++++≥++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b c a ba b c c a ba b c a b c，所以2222++≥c a ba b c. （10分）11。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2. 已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23. 若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.9 5B.59C.53D.2756. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7. (x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58. 将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6)B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6)D.f(x)=sin(8x−π3)9. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5D.5210. 已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12. 如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为(0, 4−2√2)；④三棱锥P−ABC体积的最大值为13．则正确的结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x，y满足约束条件{x+y−4≤0x−2y+2≥0y≥0，则z＝x+2y的最大值为________．设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝________．已知平面向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|=√3，且b→⊥(a→−b→)，则向量a→与b→的夹角的大小为________．已知直线y＝kx与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23bc．(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m+4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．参考答案与试题解析2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知可得复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】因为A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，A，B本身含有元素−1，0，1，2，根据元素的互异性m≠−1，0，求出m即可．【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图求出[50, 70)的频率为0.4，[70, 80)的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.4×10=72.(5)5.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出(x−1x)6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】(x−1x)6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项须6−2r＝0或者6−2r＝−2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin(2x−π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x+π6)的图象，9.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x＝−1，设M(x, y)，N(x′, y′)，由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x′+p＝x+x′+2＝5，中点的横坐标为32，线段MN的中点到y轴的距离为：32，10.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c<(1)【解答】∵a=√2=√86，b=√33=√96，∴1<a<b．c＝ln32<(1)∴c<a<b．故选：C．11.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−(1)的函数单调性及图象，然后根据f(2−x)＝f(2+x)可知函数f(x)关于x＝2对称．即可画出函数y＝f(x)的大致图象．一次函数y＝k(x−2)+e−(1)很明显是恒过定点(2, e−1)．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好在(1, −1)处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x>2时也同理可得．【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC=√2，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以PA，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P−ABC的外接球与以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P−ABC的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2−x，而BC=√2x，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×(√22=12√x 4−8x 3+8x 2设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f max ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 【答案】 6【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y −4=0x −2y +2=0 ，解得A(2, 2)， 代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6 【答案】 3n【考点】等比数列的通项公式 【解析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ， 解得{a 1=3q =3， ∴ a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ， 【答案】 π6【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a →与b →的夹角的大小． 【解答】∵ 平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴ b →⋅(a →−b →)=b ⋅a →−b →2=0，∴ a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则 2⋅√3⋅cosθ＝3，求得 cosθ=√32，故θ=π6，【答案】 √3【考点】双曲线的离心率 【解析】取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′，可得四边形AF ′BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca=√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】（1）∵b2+c2−a2=4√23bc，∴由余弦定理可得2bccosA=4√23bc，∴cosA=2√23，∴在△ABC中，sinA=√1−cos2A=13．（2）∵△ABC的面积为√2，即12bcsinA=16bc=√2，∴bc＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得√2b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】（1）∵b2+c2−a2=4√23bc，∴由余弦定理可得2bccosA=4√23bc，∴cosA=2√23，∴在△ABC中，sinA=√1−cos2A=13．（2）∵△ABC的面积为√2，即12bcsinA=16bc=√2，∴bc＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．【答案】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列独立性检验【解析】(Ⅰ)根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．【答案】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ， 又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC =√3，EC ＝1，所以PE =√2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ， 则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)，设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)， 由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ； (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可 【解答】（1）如图，连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60∘，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ， 又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC =√3，EC ＝1，所以PE =√2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ， 则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)，设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．【答案】（1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x ≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增； （2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增； 函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1，欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1， 即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立，所以当a<−1时，任意x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；(Ⅱ)欲证明不等式f(x)>−a−a2成立，即证明−a−a2<(a−1)ln(−a)−a−1，设新函数ℎ(x)＝lnx−x+ 1(x≥1)，利用其单调性求出ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，进而得证．【解答】（1）f′(x)=a−1x +1−ax2=x2+(a−1)x−ax2=(x−1)(x+a)x2，因为x>0，a∈R，所以当a≥0时，x+a>0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a<0时，0<−a<1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a＝−1时，f′(x)=(x−1)2x2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a<−1时，−a>1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a<−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a−1)ln(−a)−a−1，欲证明不等式f(x)>−a−a2成立，即证明−a−a2<(a−1)ln(−a)−a−1，即证明a2+(a−1)ln(−a)−1>0，因为a<−1，所以只需证明ln(−a)<−a−1，令ℎ(x)＝lnx−x+1(x≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，因为a<−1，所以−a>1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a+1<0，即当a<−1时，ln(−a)<−a−1成立，所以当a<−1时，任意x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．【答案】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB的方程：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，与抛物线联立(m2+2)y2+2my−1＝0，因为△＝4m2+4(m2+2)>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2−41yy2=2√2√1+m22+m2，所以四边形OAHB的面积S=12|OH|⋅|y1−y2|＝|y1−y2|=2√2⋅√1+m22+m2，令t=√1+m2≥1，S=2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0<S≤√2，所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y22−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2 y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB的方程：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，与抛物线联立(m2+2)y2+2my−1＝0，因为△＝4m2+4(m2+2)>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2−41yy2=2√2√1+m22+m2，所以四边形OAHB的面积S=12|OH|⋅|y1−y2|＝|y1−y2|=2√2⋅√1+m22+m2，令t=√1+m2≥1，S=2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0<S≤√2，所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y22−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．【考点】圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1−ρ2|，再求出M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32，代入三角形面积公式求△MAB 的面积．【解答】（1）由题意，点Q 的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆， 则曲线C 2：(x −2)2+y 2＝4，∵ ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， ∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2， ∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sin π6−cos π6|=2(√3−1)．又∵ M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32．∴ △MAB 的面积S =12|AB|⋅ℎ=9−3√32． [选修45：不等式选讲]【答案】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号，又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，分段讨论求出即可；(II)根据绝对值的性质求出|x +32|−f(x)≤92，m +n ≥92，证明即可． 【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号，又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
成都市2020届高三上学期第一次检测数学(理)试卷附答案详析
)
C． 5
D． 5
1
8．将函数
y
sin(4x
6Leabharlann )图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平
移
6
个单位长度，得到函数
f
(x)
的图象，则函数
f
(x)
的解析式为(
)
A． f (x) sin(2x ) 6
B． f (x) sin(2x ) 3
16．已知直线
y
kx
与双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 相交于不同的两点
A, B ， F
为双曲线 C 的左焦点，
且满足 | AF | 3 | BF | ， | OA | b （ O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为_______.
三、解答题
17．在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 b2 c2 a2 4 2 bc . 3
A． 72.5 B． 75 C． 77.5 D． 80
【答案】A
【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.
【详解】
在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率， 中位数为：
70
0.5
0.0110 0.0310 0.04 10
10
72.5
.
故选：A
【点评】
本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为 1，
tan 2
1
2
tan tan2
2020-2021学年四川省成都市高三高考第一次模拟考试数学(理)试卷有答案
2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={x||x −1|<3,x ∈N}，则A ∩B =( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{x|−1<x <4} D.{x|−2<x <4}2. 复数z =1+2i i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( )A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i3. 若等比数列{a n }满足a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，则a 6=( ) A.−32 B.−8C.8D.644. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是:x 1¯，x 2¯分别表示甲乙两组数据的平均数；S 1，S 2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( ) A.x 1¯=x 2¯，S 1>S 2 B.x 1¯>x 2¯，S 1>S 2 C.x 1¯<x 2¯，S 1>S 2 D.x 1¯>x 2¯，S 1<S 25. 若函数f(x)=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,0)∪(4,+∞)B.(−∞,−8)∪(0,+∞)C.[0,4]D.(−8,0)6. 若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为( ) A.1 B.12C.−12D.−17. 设a =log 2020√2021，b =ln √2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a8. 若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，则l//m 是n//m的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知平行于x轴的一条直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于P,Q两点，|PQ|=4a，∠PQO=π3（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为()A.√62B.√52C.√6D.√510. 已知锐角φ满足√3sinφ−cosφ=1.若要得到函数f(x)=12−sin2(x+φ)的图象．则可以将函数y=12sin2x的图象()A.向左平移7π12个单位长度 B.向左平移π12个单位长度C.向右平移7π12个单位长度 D.向右平移π12个单位长度11. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，P(0,−72)．若PB⊥AB，则|AF|=()A.3 2B.2C.52D.312. 已知函数f(x)=x+ln(x−1)，g(x)=x ln x．若f(x1)=1+2ln t，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)ln t的最小值为()A.1 e2B.2eC.−12eD.−1e二、填空题(√x−1x)7的展开式中x−1的系数是________．（用数字作答）若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x −y ≤0，则z =2x −3y 的最小值为________.数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +2S n =3n .数列{b n }满足3b n =12(3a n+2−a n+1)(n ∈N ∗)，则数列{b n }的前10项和为________.在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2．三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为________；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为________． 三、解答题在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan ∠ABM =√35，tan ∠BMC =−√32． (1)求角A 的大小；(2)若BM =√21，求△ABC 的面积．一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员“中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1)根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d)，其中n =a +b +c +d ．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1,AA1的中点．(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM,△BOP的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围．已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1.(1)求不等式f(x)+|x−m|>2的解集；(2)若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】首先化简集合A ，B ，再求交集即可. 【解答】解：∵ A ={x|x 2−3x −4<0}={x|−1<x <4}， B ={x||x −1|<3,x ∈N}={−1,0,1,2,3}， ∴ A ∩B ={0,1,2,3}. 故选B . 2.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 共轭复数【解析】将复数的分母实数化即可. 【解答】 解：复数z =1+2i i=2+1i =2−i ，所以z 的共轭复数为z ¯=2+i . 故选D . 3.【答案】 A【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项与性质，得q =−2,a 2=−2，再利用a 6=a 2q 4得解. 【解答】解：设等比数列的公比q ， 由a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，得a 2(1+q )=2，a 2(1−q 2)=6， 两式相除得q =−2，a 2=−2，所以a 6=a 2q 4=(−2)(−2)4=−32. 故选A. 4.【答案】 B【考点】众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差【解析】求出甲乙两组数据的平均数，再利用数据的分散程度得到S 1>S 2. 【解答】 解：x 1¯=110(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5，x 2¯=110(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2， ∴ x ¯1>x ¯2，S 1=(1.52+0.52+1.52+0.52+0.52+1.52 +1.52+0.52+0.52+2.52)×110=(1.52×4+0.52×5+2.52)×110=1.65， S 2=[0.82×3+0.22×6+1.22]×110=0.36， ∴ S 1>S 2. 故选B . 5.【答案】 A【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 【解析】先求导，利用导数的正负判断函数的单调性， 进而得函数的极值，因为函数只有一个零点， 应用极值列出不等式，即可求解. 【解答】解：函数f (x )=x 3−3x 2+a ， f ′(x)=3x 2−6x =3x(x −2).当x <0或x >2时，f ′(x )>0，则f (x )是增函数， 当0<x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是减函数，所以f (x )的极大值为f (0)=a ，f (x )的极小值为f (2)=−4+a . 因为函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且只有一个零点， 即图像与x 轴只有一个交点， 所以f (0)<0或f (2)>0， 即a <0或−4+a >0， 所以a <0或a >4，即实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(4,+∞). 故选A . 6.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 向量的投影 【解析】由题意得到a →⋅b →=1，再利用b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|即可得到答案.【解答】解：(a →+2b →)⋅a →=6， ∴ a →2+2a →⋅b →=6， 即4+2a →⋅b →=6， ∴ a →⋅b →=1，∴ b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|=12.故选B . 7. 【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】求出a ，b ，c 的范围，进行比较即可. 【解答】解：a =log 2020√2021=12log 20202021∈(12,1)， b =ln √2=12ln 2∈(0,12)， c =202112020>20210=1，∴ c >a >b . 故选C . 8.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用线面平行的判定和性质结合充分必要条件即可得到答案.【解答】解：α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，若l//m，m⊂γ，l不在平面γ，∴l//γ，又l⊂β，γ∩β=n，∴l//n，∴m//n，故充分性成立；同理，由n//m，可以得到l//m，故必要性成立，故l//m是n//m的充要条件.故选C.9.【答案】D【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由已知求出双曲线上点的坐标，代入到双曲线方程中，根据离心率的定义求得，属于基础题.【解答】解：由题意，设点P在第一象限，则点P坐标为(2a,2√3a),因为点P在双曲线上，则4a 2a2−12a2b2=1,解得b 2a2=4，故双曲线离心率e=ca =√1+b2a2=√5.故选D.10.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用【解析】利用三角函数的变换得得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，解得φ=π3.再利用三角函数的变换得解.【解答】解：由题设√3sinφ−cosφ=1，得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，∴φ−π6=π6，解得φ=π3.∴ f(x)=12−sin 2(x +π3)=12cos (2x +2π3)=12cos 2(x +π3)， y =12sin 2x =12cos (2x −π2)=12cos 2(x −π4)，∴ π3−(−π4)=712π，故可将函数y =12sin 2x 的图象向左平移7π12个单位长度得到函数图象. 故选A . 11. 【答案】 D【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质 【解析】利用抛物线的几何性质与向量的数量积解得x 2=±√2，又x 1x 2=−p 2=−4，再利用|AF |=y 1+p2=3.【解答】解：由题设抛物线的焦点F (0,1)， 设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224)，由PB ⊥AB ， 得AB →⋅PB →=0⇒BF →⋅PB →=0，所以得x 22+(x 22−44)(x 22+144)=0，解得x 2=±√2.设直线AB 为：y =kx +1， 由{y =kx +1,x 2=4y,得x 2−4kx −4=0， ∴ x 1x 2=−4， 得x 1=±2√2，y 1=2， 所以|AF |=y 1+p2=3. 故选D . 12.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】利用函数的单调性与最值进行求解即可. 【解答】解：由题设得f (x 1)=x 1+ln (x 1−1)=1+2ln t ，所以(x 1−1)+ln (x 1−1)=ln t 2=ln [e x 1−1⋅(x 1−1)]，所以e x 1−1(x 1−1)=t 2>0.f (x 2)=x 2ln x 2=t 2=e ln x 2⋅ln x 2，因为y =xe x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，x 1−1=ln x 2，所以(x 1x 2−x 2)⋅ln t =x 2(x 1−1)⋅ln t=x 2⋅ln x 2⋅ln t =t 2ln t ，令g (t )=t 2ln t (t >0)，g ′(t )=2t ln t +t ，令g ′(t )=0，得t =e −12，当t ∈(0,e −12)时，g ′(t )<0,g(t)单调递减；当t ∈(e −12,+∞)时，g ′(t )>0,g(t)单调递增，当t =e −12时，g (t )取得极小值，也是最小值.g (e −12)=(e −12)2⋅ln e −12=−12e. 故选C .二、填空题【答案】−35【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】先求出二项展开式的通项，再令x 的次数为−1，求出r ，即可得到答案.【解答】解：(√x −1x )7展开式的通项为C 7r x 7−r 2(−1)r x −r =C 7r (−1)r x 7−3r 2，令7−3r 2=−1，可得r =3，∴ x −1的系数为C 73(−1)3=−35.故答案为：−35.【答案】−5【考点】求线性目标函数的最值【解析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图，z =2x −3y 变形为y = 23x − 13z ， 当此直线经过图中B(−1, 1)时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为2×(−1)−3×1=−5.故答案为：−5.【答案】65【考点】等差数列的前n 项和数列递推式【解析】由题设得a n +2S n =3n ,a n−1+2S n−1=3n−1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)，解得b n =n +1，利用等差数列求和得解. 【解答】解：由题设得a n+2+2S n+2=3n+2，a n+1+2S n+1=3n+1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)， 解得b n =n +1，故S n =2+3+ (11)10(2+11)2=65.故答案为：65.【答案】√32,2√63 【考点】球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ AB ⊥BC ，AB =1，AC =√2，∴ BC =1.由题意，将三棱锥P −ABC 补成棱长为1的正方体如图所示，三棱锥P −ABC 的外接球及为正方体的外接球，设球心为O ，即为PC 中点，半径为R ，PC =√12+12+12=√3，R =12PC =√32. 设O ′是△ABC 外接圆圆心，连接OO ′，OM ， ∵ OO ′=12PA =12，MO ′=13BO ′=13×√22=√26， ∴ OM =(12)(√26)=√116，ON =13OA =13×√32=√36. 作NH//OO ′，∴ NH =23OO ′=23×12=13，O ′H =13AO ′=13×√22=√26， ∴ MH =√(√26)2+(√26)2=13，∴ MN =√(13)2+(13)2=√23. 作OG ⊥MN ，∵ cos ∠NOM =ON 2+OM 2−MN 22⋅ON ⋅OM=(√36)2+(√116)2−(√23)22×√36×√116=√3311， ∴ sin ∠NOM =(√3311)=2√2211， ∴ 12ON ⋅OM sin ∠NOM =12MN ⋅OG ，∴ √36×√116×2√2211=√23OG ，∴ OG =√36， ∴ DE =2GE =2√OE 2−OG 2=2(√32)(√36)=2√63， 故DE 长度为2√63. 故答案为：√32；2√63. 三、解答题【答案】 解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32．∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴ △ABM 的面积S △ABM =12⋅BM ⋅AB ⋅sin ∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32． ∵ 点M 在边AC 上，CM =3MA ，∴ △ABC 的面积S △ABC =4S △ABM =6√3．【考点】 解三角形 两角和与差的正切公式正弦定理【解析】无无【解答】解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32． ∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴△ABM的面积S△ABM=12⋅BM⋅AB⋅sin∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32．∵点M在边AC上，CM=3MA，∴△ABC的面积S△ABC=4S△ABM=6√3．【答案】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P(ξ=0)=C20C42C62=615=25，P(ξ=1)=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C22C40C62=115，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P (ξ=0)=C 20C 42C 62=615=25， P (ξ=1)=C 21C 41C 62=815， P (ξ=2)=C 22C 40C 62=115，∴ ξ的分布列为∴ ξ的数学期望E (ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【答案】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF→|m →||AF →||=5×3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】【解答】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF →|m →||AF →||=√5×√3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【答案】解：(1)∵ f (x )=(x −2)e x −a 2x 2+ax ，a ∈R ，∴ f ′(x )=(x −1)e x −ax +a =(x −1)(e x −a ).①当a ≤0时，令f ′(x )<0，得x <1，∴ f (x )在(−∞,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >1，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递增．②当0<a <e 时，令f ′(x )<0，得ln a <x <1，∴ f (x )在(ln a,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x <ln a 或x >1，∴ f (x )在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增． ③当a =e 时，f ′(x )≥0在x ∈R 时恒成立，∴ f (x )在R 上单调递增． ④当a >e 时，令f ′(x )<0，得1<x <ln a ，∴ f (x )在(1,ln a )上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >ln a 或x <1，∴ f (x )在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 当0<a <e 时，f (x )在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增； 当a =e 时，f (x )在R 上单调递增；当a >e 时，f (x )在(1,ln a )上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f (x )+(x +1)e x +a 2x 2−2ax +a >0，等价于(2x −1)e x >a (x −1)． ①当x =1时，0<e ，则a ∈R ．②当x ∈(1,+∞)时，a <(2x−1)e xx−1．当x∈(1,32)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减；当x∈(32,+∞)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．∴g(x)min=g(32)=4e32，∴a<4e32．③当x∈(−∞,1)时，a>(2x−1)e xx−1．设函数ℎ(x)=(2x−1)e xx−1，则ℎ′(x)=x(2x−3)e x(x−1)2．当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，此时ℎ(x)单调递减；当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)单调递增．∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，∴a>1．综上，a的取值范围为(1,4e 3 2)．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R，∴f′(x)=(x−1)e x−ax+a=(x−1)(e x−a).①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增．②当0<a<e时，令f′(x)<0，得ln a<x<1，∴f(x)在(ln a,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x<ln a或x>1，∴f(x)在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增．③当a=e时，f′(x)≥0在x∈R时恒成立，∴f(x)在R上单调递增．④当a>e时，令f′(x)<0，得1<x<ln a，∴f(x)在(1,ln a)上单调递减；令f′(x)>0，得x>ln a或x<1，∴f(x)在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,ln a)上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0，等价于(2x−1)e x>a(x−1)．①当x=1时，0<e，则a∈R．②当x∈(1,+∞)时，a<(2x−1)e xx−1．当x ∈(1,32)时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减； 当x ∈(32,+∞)时，g ′(x )>0，此时g (x )单调递增． ∴ g (x )min =g (32)=4e 32， ∴ a <4e 32．③当x ∈(−∞,1)时，a >(2x−1)e x x−1． 设函数ℎ(x )=(2x−1)e x x−1，则ℎ′(x )=x (2x−3)e x (x−1)2． 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x )<0，此时ℎ(x )单调递减； 当x ∈(−∞,0)时，ℎ′(x )>0，此时ℎ(x )单调递增． ∴ ℎ(x )max =ℎ(0)=1，∴ a >1．综上，a 的取值范围为(1,4e 32)．【答案】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22，∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √a 2+b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． 由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0，即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k +1−km (4km 2k +1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立， ∴ 线段AB 的中点M (−2km 2k 2+1,m 2k 2+1)．当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ，得x p 2=12k 22k +1，y p 2=32k +1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S 1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】无无【解答】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22， ∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √1a 2+1b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0， 即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k 2+1−km (4km2k 2+1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立，∴ 线段AB 的中点M (−2km2k 2+1,m 2k 2+1)． 当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ， 得x p 2=12k 22k 2+1，y p 2=32k 2+1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【答案】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>13，符合题意．3,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；，符合题意．当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>133,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．。
2020年四川省成都市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.设集合{}{}|2,1,0,1,2,3A x x B =<=-,则A B =I ( ) A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-2.定义运算,,a bad bc c d =-，若21,2i,iz =，则复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期在8月C.2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳4.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a = ( )A. 0B. 2C. 4D. 145.已知,a b r r均为单位向量，若23a b -r r a r 与b r 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π36.函数3()e ex xx f x -=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7.()()6222a b a b +-的展开式中44a b 的系数为（ ） A ．320B ．300C ．280D ．2608.5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．12B ．36C ．72D ．1209.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A ．B ．C ．6D ．10.将函数π()3sin(4)6f x x =+图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴是( ) A.π12x =B.π6x =C.π3x =D.2π3x =11.设3a log 0.4=，2b log 3=，则( ) A ．ab 0>且a b 0+> B ．ab 0<且a b 0+> C ．ab 0>且a b 0+<D ．ab 0<且a b 0+<12.过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2二、填空题13.已知||4a =r ，1b r ||=，2a b ⋅=r r ，则向量2a b -r r在b r 方向上的投影为__________．14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若6,2,3b ac B π===,则ABC △的面积为_________. 15.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且AB =,14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC △的面积为__________.16.以抛物线C ：22(0)y px p =>的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点.已知||AB =||DE =，则p 等于__________． 三、解答题17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，238a a +=，981S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若314,,m S a S 成等比数列，求2m S .18.每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率；（2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg /亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为320.01m -⨯（元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；ABCD //AB DC 4AB =2AD DC CB ===BCD ∆BD 'BC D △的位置，使得平面'BC D ⊥平面ABCD .（1）求证：'AD BC ⊥；（2）求二面角'B AC D --的余弦值.20.已知点()1,0F -，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点H ，且11022PF PH PF PH ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线AB 与MN 分别交轨迹C 于A B M N ，，，四点.求AB MN +u u u v u u u u v的取值范围.21.已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标.23.选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.参考答案1.答案：C解析：由已知可得，221,21i 2i 1i,i z ==⨯-=-12-（，），在第二象限，故选：B ． 3.答案：C解析：由2015年1月至2017年12月期间月接待游客量的折线图得： 在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确； 在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2015年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确。
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2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。