2014 数值分析课件

合集下载

数值分析全册完整课件

0
解：将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法；有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰，黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社；

数值分析第一章PPT

1.1.2 计算数学与科学计算现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等

取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天，需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。

数值分析学习课件

对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然，若不然，则存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }，，两两（使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交，和两两带权）正交，改进：改进：对角阵！就化为对角阵则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造：正交多项式的构造：多项式的构造取为k 多项式，为简单起见，将正交函数族中的ϕk 取为阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小尽可能小。这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。常见做法：常见做法：
m
不可导，不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义最佳平方逼近：即连续型逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近平方逼近逼近，

数值分析课件

辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适应数值积分方法，能够根据函数性质自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过逐步逼近的方式求解近似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造龙格-库塔曲线来逼近解。
03
阿达姆斯-图灵方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造阿达姆斯-图灵曲线来逼近解。
04
自适应步长控制方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长控制方法，能够根据误差自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，同时也可以帮助我们更好地理解和应用数学理论。

第一章数值分析(计算方法)课程介绍

则有方程设人龟起初相距 S ，两者的速度分别为 V 和 v ，
Vt vt S
易得人追上龟所花的时间是
（1）
S t* V v
School of Math. & Phys.
16
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
数
值
分
刘敬刚
析
主讲：
School of Math. & Phys.
1
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
引例考虑如下线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 或者： Ax b
J. G. Liu
参考书目：
1 谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，2011 2 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 3 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000.
4 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.
5 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
6 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
（若是更高阶的
方程组呢？）
若行列式用按行（列）展开的方法计算，用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: (n 1)(n 1)n! 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑:

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

数值分析课件第1章

解：
(s ) l (d ) d (l )
110 (0.1) 80 (0.2) 27( m 2 )
r
(
s
)
(s)
s
(s)
ld
27 0.31% 8800
2、函数误差当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用
函数的泰勒展开式进行估计。
工科研究生公共课程数学系列
（f (x)） f (x)（x）.
例1-4 设x0,x的相对误差为，求lnx的误差。
解：
lnx*
-lnx
1 x*
(x*
-
x), 即有
e(lnx) er(x)
进而有(ln(x)) 。
工科研究生公共课程数学系列
机动上页下页首页结束
1.3 误差定性分析与避免误差危害
一、几种定性分析误差的方法 1、概率分析法：考虑到误差分布的随机性，用概率统计的
二、数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存上实现。
• 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
工科研究生公共课程数学系列
机动上页下页首页结束
三、数值分析的学习方法初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。
• 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。

数值分析第一章基础知识优秀课件

16 周二 3课时第八章常微分方程初值问题数值解法[1] 17 周二 3课时第八章常微分方程初值问题数值解法[2] 18 周二 3课时习题课 19 周二 3课时总复习
注：数值算法演示主要用Matlab和C语言实现，有时采用
Mathematica
实8/7现6 。课郑后州实大验学题201可4-用20任15何学年一硕种士计研算究生工课具程完成数值。分析 Numerical Analysis
4/76
郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程数值分析 Numerical Analysis
预备知识
➢ 微积分和常微分方程； ➢ 线性代数； ➢ 数值计算程序设计
（C/Matlab和Mathematica）
5/76
郑州大学2014-2015学年硕士研究生课程数值分析 Numerical Ana.1 教学内容时间安排
周次 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
课次周二周二周二周二周二周二周二周二周二周二
课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时 3课时
教学内容第一章基础知识第二章代数插值[1] 第二章代数插值[2] 第三章数据拟合的最小二乘法[1] 第三章数据拟合的最小二乘法[2] 第四章数值微分与数值积分[1] 第四章数值微分与数值积分[2] 习题课第五章解线性代数方程组的直接法[1] 第五章解线性代数方程组的直接法[2]
参考教材
教材
李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第五版).北京:清华大学出版社,2008 李清善，宋士仓. 数值方法. 郑州：郑州大学出版社，2007.
参考资料
1.关治，陈景良. 数值计算方法. 北京：清华大学出版社，1990. 2.周铁，徐树方等. 计算方法. 北京：清华大学出版社，2006. 3.徐翠微，孙绳武. 计算方法引论. 北京：高等教育出版社，2005. 4.John H.Mathews, Kurtis D.Fink. 数值方法(MATLAB版). 北京：电子

数值分析课件第一章

４.减少运算次数减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有误差, 而在计算过程中舍入误差不增长, 则称此算法是数值稳定的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0

并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果

《数值分析》课程PPT (2)

数值分析
第二章矩阵分析基础
第一节线性空间第二节赋范线性空间第三节内积空间第四节矩阵代数基础第五节矩阵的三角分解第六节矩阵的正交分解第七节矩阵的奇异值分解
数值分析
数值分析
第一节线性空间
一、线性空间的定义二、线性空间的性质三、线性空间的基与维数四、元素在给定基下的坐标五、线性空间的同构六、基变换公式与过渡矩阵七、坐标变换公式八、线性空间的子空间
f ( x) C[a, b], R
数值分析
数值分析
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
例６正实数的全体，记作 R ，在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
P[ x]n 对运算封闭.
数值分析
数值分析
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间. 0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
数乘
A (aij )mn Rmn , R
所以Rmn是线性空间。
数值分析
数值分析
例2 次数不超过n的多项式的全体,记作P[ x]n ,即
P[ x]n { p( x) an xn a1 x a0 an , , a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
数值分析
数值分析
(3)Rn中定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条公理：
1. x y y x

数值分析课件(第1章)

计算机专业基础课程: 计算方法
使用教材:数值分析华南理工大学出版社韩国强林伟健等编著
数值分析
林伟健
制作
华南理工大学计算机学院
本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。
《数值分析》目录
第 1 章误差第 2 章代数插值与数值微分第 3 章数据拟合第 4 章数值积分第 5 章解线性代数方程组的直接法第 6 章解线性代数方程组的迭代法第 7 章非线性方程和非线性方程组的数值解第 8 章矩阵特征值和特征向量的数值解法第 9 章常微分方程初值问题的数值解法
2
从而得到
p n 3
而
3.1415 0.31415101 p 1
近似值 3.1415 的误差限为该值小数点后
第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，
具有4位有效数字。顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效
数字。
4. 有效数字与误差限的关系
设准确值 x 的近似值为 x* ，且将 x* 表示为
x 0.1 2 m 10 p（p为整数，1,2,,m
3.1416 1 104
2 3.14159
1 105
2
2
这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差
限是它末位的半个单位。
可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。
定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，
例如， 0.045678 0.0457 3 位具有3 位有效数字又如， 8.0005 8.00 3 位具有3位有效数字
例1-2 若的近似值为 3.141，5 则有多少位有效数字?

《数值分析》课件-第三章

数值分析
数值分析
A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ;
2 AAT AT A E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
正交矩阵的性质
(1) A是正交阵,则A是非奇异的,det( A) 1;
(2) A是正交阵,则AT A1也是正交阵，且同阶正交阵的乘积仍是正交阵；
( , ) 由Schwarz不等式可以证明内积范数公理中的三角不等式.
证明：三角不等式
证：在内积空间V中, , V , 有 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 ( )2 所以
数值分析
数值分析
定理2-6 : (Cauchy Schwarz不等式)
设 , 是内积空间V中任意两个向量,则有 ( , )2 ( , )( , )
等号只有当且仅当和是线性相关时才成立.
证明 : 任取实数k, 考虑内积
( k , k ) ( , ) 2k( , ) k 2( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k (k R,非零),显然定理中等号成立;反之, 如果等号成立,则 , 必线性相关.因为若 , 线性无关,则k R, 非零, 都有 k 0.从而( k , k ) 0 所以等号不成立,矛盾.
数值分析
第三章
数值分析
数值分析
第一节内积空间与内积空间中的正交系

一、内积和内积空间的基本概念
定义2-12:设V是实数域R上的线性空间,如果α,β V

数值分析第二章代数插值

5/168
求出未知量a0,…,an代入(2.1)即得所求轮廓线. ■
郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程数值分析 Numerical Analysis
§2.1 代数插值问题
代数插值问题：设函数 y=f (x)定义在区间[a, b]上，而
x0,x1,…,xn是在[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为 yi=f (xi),i=0,1,…n. 求一个次数不超过n次的多项式Pn(x)，使它满足
1
2
( x0 x1 )(x0 x2 )
类似可得
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l1 ( x) l 2 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
14/168 郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程数值分析 Numerical Analysis
n次插值基函数
n次插值
由抛物插值中构造性方法启发，解决一般的n次代数插值问题.
分别构造x0 , x1, …, xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), …, ln(x),满足
x0 1 0 x1 0 1 x2 0 0 … xn 0 0
i j 0,1, 2, 1, li ( x j ) ij 0， i j
设计思路
2/168 郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程数值分析 Numerical Analysis
§2.1 代数插值问题
例2.1.1 设计某工件的外形，要求其轮廓线是光
滑的，且必须过n+1个互异的点(xi,yi)(i=0,1,…,n).
轮廓线应如何设计呢？

数值分析：第一章绪论PPT课件

x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用
第3页/共44页
应用问题举例
第4页/共44页
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
第27页/共44页
二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
第24页/共44页
我们仅仅是幸运吗?

数值分析第一章PPT课件

= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%，这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x

《数值分析》ppt课件

7.
er

a b

er
(a)

er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er

e x

x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er

e x
.
❖定义近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr

|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)

数值分析20141105(广东工业大学课件)

则称
是线性无关的.
§3.2 函数的最佳平方逼近
§3.2 函数的最佳平方逼近
进一步推广：
Hale Waihona Puke 特例• 若取则法方程为
• 例设
求f(x)在区间
[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.
解设
由于
故法方程为
解得
• 平方误差为
用正交函数系作最佳平方逼近
§3.3 正交多项式
• 性质1利用Cramer行列式可得。性质2证明：
用向量内积形式表示,上式可记
其矩阵的形式为这个方程组称为法方程组或正规方程组。
由于向量组最小平方误差为：
是线性无关,故上述方程组的系数行列式，因而上述方程组存在唯一解：
3.5.2 用多项式进行最小二乘曲线拟合
例3.5 试分别用二次和三次多项式以最小二乘拟合表中的数据，并比较优劣。
• 插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用哪种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.
第3章函数逼近与曲线拟合
在实际问题中，常会遇到用各种方式定义的函数。例如，用积分或无穷级数作为定义函数的表达式，这样的函数表达式，优点：对于确定和分析函数的性质特别有效；缺点：不方便用来计算函数值。
定义3.3 内积的函数空间称为内积空间。
将它推广到任何内积空间中就得到函数的欧几里得范数的定义。
函数的欧几里得范数性质：
在n维空间中两个向量正交的定义可推广到内积空间。
正交函数族
线性相关和线性无关的函数系
• 定义3.6 设函
数
,
如果存在一组不全为零的数使

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2 （R） 220 10 300 5 0.0411( A) 90000 所以 I 0.7333 0.0411( A)
r ( I )
0.0411 6% 0.7333
机动
工科研究生公共课程数学系列
上页
下页
首页
结束
例 1- 3 已测得某场地长 l 的值为 l 110 m，宽d的值为d 80m,已知 l - l 0.2m ， d - d 0.1m。试求面积 s ld 的绝对误差限与相对误差限。
若 x 具有 n 位有效数字，则其相对误差限为
r
（1） 1 10 ( n 1)，则 x 至少具 2(a1 1)
反之，若 x 的相对误差限 r 有 n 位有效数字。
定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了
相对误差限的求法。
工科研究生公共课程数学系列机动
上页
工科研究生公共课程数学系列
数值分析电子课件
辽宁科技大学理学院任课教师：熊焱
第1章绪论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性分析与避免误差危害
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
1.1 数值分析研究对象与特点
一、数值分析研究对象计算机解决科学计算问题时经历的过程实际问题
例 1- 2 若电压 V 220 5V，电阻 R 300 10, 求电流 I 并计算其误差限及相对误差限。
V * 220 解： I * 0.7333( A) R 300 由题意知， (V )=5(V )， (R )=10()

于是， (I )

V ( R ) R (V )
解：
187.93
0.037 856
8.0000
2.7183
再例下列各数都是经过四舍五入原则得到的近似数指出它们有几个有效数字？ x1 1.1021
解：
x1 五位
x 2 56.430
x2 五位
x 3 0.031
x3 二位
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系绝对误差与相对误差：由两者定义可知。
x 10, x 1; y 1000, 。 y 1
2、相对误差与相对误差限
定义1-2 近似值的误差 e 与准确值 x 的比值 e x x x x 称为近似值 x 的相对误差，记作 er。它可正可负。
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
的一个上界，这个上界称为近似值 x* 的误差限，记为ε*。它
是正数，有量纲的。
工科研究生公共课程数学系列机动
上页
下页
首页
结束
误差限的三种表示：（1）对于一般情形 x x （2）x x x （3）工程中常表示为：x x 例如，有两个量 x 10 1, y 1000 1, 则

介于x, x之间，
f ( )
2 假定 f ( x ) 与 f ( x ) 的比值不太大，可忽略 ( x ) 的高阶项，
2 ( x )
于是可得计算函数的误差限
f ( x )）（ f ( x ) （x） .
• 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 • 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
三、数值分析的学习方法
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
3、截断误差数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。
例如：函数 f ( x) 用泰勒 (Taylor) 多项式 f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn (x) f (0) x x x 1! 2! n! 近似代替，则数值方法的截断误差是泰勒余项。
两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ( x1 ) 及 ( x2 )，则它们进行
加、减、乘、除运算得到的误差限分别满足不等式
工科研究生公共课程数学系列机动
上页
下页
首页
结束
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 ); x1 ( x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( ) ， 2 x2 x 2 x2 0
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
有效数字与相对误差限
定理1-1 设近似数 x 表示为 x 10m (a1 a2 101 其中 ai (i 1, 2, al 10 (l 1) ) , l ) 是 0 到 9 中的一个数字，a1 0, m为整数。 1 10 ( n 1) 2a1
工科研究生公共课程数学系列
机动
上页
下页
首页
结束
1.2 数值计算的误差
一、误差的来源在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。 1、模型误差在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。
2、测量误差数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。
e er x
， r

| x* |
绝对误差与有效数字：
绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。
即，近似数 x 表示为 x 10m (a1 a2 101 1 具有 n 位有效数字，则 x x 10mn1 2 an 10 ( n1) )
4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差。例如：用 3.14159 近似代替，产生的误差 R 3.14159 0.0000026
工科研究生公共课程数学系列机动
上页
下页
首页
结束
误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。
二、绝对误差、相对误差与有效数字
1、绝对误差与绝对误差限
定义1-1 设 x 为准确值，x 为 x 的一个近似值，称 e x x 为近似值 x 的绝对误差，简称误差,记为 e。
误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。误差一般无法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的误差绝对值
下页
首页
结束
注：近似数 x 表示为 x 10m (a1 a2 101
证明：由（ 1）可得 a1 10m x (a1 1) 10m , 当 x 有 n 位有效数字时 x x x

al 10(l 1) )
r
反之，由
0.5 10m n 1 1 n 1 10 ; m a1 10 2a1
初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 • 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 • 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 • 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 • 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 • 为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。
解：
* 设取 n 位有效数字，由定理1， r
1 10 n 1。 2a1
由于 20 4.4
, 知 a1 4, 故只要取 n 4, 就有
r 0.125 103 103 0.1%
即只要对 20 的近似值取 4 位有效数字，其相对误差限就小于 0.1%。
三、数值运算的误差估计 1、四则运算
模型设计
算法设计
程序设计实例求
2
上机计算
问题的解牛顿法
1 2 xk 1 ( x K ) 2 xK
方程求根 x 2
2
程序设计
工科研究生公共课程数学系列
上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动
上页
下页
首页
结束
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
在计算中，由于真值x总是不知道的，通常取 e x x e 。 x x 相对误差限相对误差的绝对值上界叫相对误差限，记作 r ,即