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的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
ˆ 依概率收敛于 , 即 0 , lim P (| ˆ | ) 0
n
ˆ 是总体参数 的一致(或相合)估计量. 则称
一致性估计量仅在样本容量 n足够大时,才显示其优越性.
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概率论与数理统计
关于一致性的两个常用结论
概率论与数理统计
7.2 点估计量的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
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概率论与数理统计
7.2.1 无偏性
定义 若 E (ˆ )
ˆ 是 的无偏估计量 则称
k i
1 n k 1 n k E( Ak ) E( X i ) E( X i ) n i 1 n i 1 1 n k k n
3
概率论与数理统计
特别地 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的无偏估计 量
1 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体二阶 n i1
1 (1) 设常数 ci i 1,2, , n. n
n
c 1.
i 1 i
n
证明
ˆ1 ci X i 是 的无偏估计量.
i 1 n
ˆ1 ci X i 更有效. ˆX 比 (2) 证明
i 1
ˆ1 ) ci E ( X i ) ci 证 (1) E (
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概率论与数理统计
例3 设 ( X1, X 2 ,, X m ) 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p2 的无偏估计量. 解 由于样本原点矩是总体原点矩的无偏估 计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体原点矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参 数的估计量即为无偏估计量. 令
i 1 2 i
n
1i j n
(c
2 i
c ) n c
2 j i 1
n
2 i
1 c n i 1
n 2 i
1 2 ˆ ) D( ˆ1) D( n
结论
算术均值比加权均值更有效.
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概率论与数理统计
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
1 e 例7 X ~ f (x; ) 0

x
x 0, x0
0 为常数
则 X 是 的一致估计量. 证 由例5 知 X 是 的无偏估计量，且
lim D ( X ) lim
n

2
n
n
0
所以 X 是 的一致估计量, 证毕.
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定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
2
概率论与数理统计
例1, X 2 , , X n ) 是总体 X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n Ak X ik 都是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ) k i 1,2, , n 因而
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概率论与数理统计
例5 设总体 X 的密度函数为 x 1 x 0, e f ( x; ) 0 x0
0 为常数
由例4可知, X 与 n min{ X 1 , X 2 , , X n } 都 是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 解
D( X )
1 1 2 2 2 证 前已证 ( X i X ) X i X n i 1 n i 1
n
n
E( X i ) E( X ) , D( X i ) D( X ) 2 E ( X ) E ( X ) , D( X ) n
2
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概率论与数理统计
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
由大数定律证明
ˆ 是 的无偏估计 2. 设 量, 且 lim D (ˆ ) 0 , 则
n
ˆ 是 的一致估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量 在一定条件下, 最大似然估计具有一致性
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概率论与数理统计
X E( X ) np
1 2 2 2 X i E( X ) (np) np(1 p) m i 1
m
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概率论与数理统计
故
1 2 (n n) p X i X m i1
2 2
m
因此, p2 的无偏估计量为
1 1 m 2 p 2 Xi X n n m i 1
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( Xi X ) E( Xi ) E( X ) n i1 n i1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 ( Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i1
1 X i ( X i 1) m i 1 n ( n 1)
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2
m
概率论与数理统计
例4 设总体 X 的密度函数为
x 1 x 0, e f ( x; ) 0 为常数 0 x0 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的一个样本
i 1 i 1
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n
n
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(2)
而
2 2 2 ˆ D( 1 ) ci D( X i ) ci i 1
n
n
2 1 ci ci 2 ci c j i 1 i 1 1i j n n n
2
i 1
c
2 1 ˆ1 X1 X 2 3 3 1 3 ˆ2 X1 X 2 4 4 1 1 ˆ3 X1 X 2 2 2
由例6(2) 知
都是 的无偏估计量
ˆ3 最有效.
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概率论与数理统计
7.2.3 一致性(相合性) ˆ ˆ( X , X ,, X ) 是总体参数 定义 设 1 2 n
n
1 P( X 1 z)P( X 2 z) P( X n z)
故 n Z 是 的无偏估计量.
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概率论与数理统计
7.2.2 有效性
ˆ ( X , X ,, X ) 定义 设 1 1 1 2 n
ˆ2 2 ( X 1 , X 2 , , X n )
都是总体参数 的无偏估计量, 且 ˆ1 ) D( ˆ2 ) D ( 则称 ˆ1 比 ˆ2 更有效.
z 0 0 nz 1 (1 P ( X i z )) i 1 1 e z 0 z0 0 f Z ( z ) n nz e z0 n 即 Z ~ E E (Z ) E ( nZ ) n
证明 X 与 n min{ X 1 , X 2 , , X n } 都是 的无偏 估计量 证 故 E(X ) E(X )
1 X ~ E E( X )
X 是 的无偏估计量.
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概率论与数理统计
令 Z min{ X 1 , X 2 , , X n } FZ ( z ) 1 P ( X 1 z , X 2 z , , X n z )

2
n
D(n min{X1, X 2 ,, X n})
2
所以, X 比 n min{ X 1 , X 2 , , X n } 更有效.
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概率论与数理统计
例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
( X 1 , X 2 , , X n ) 为总体 X 的一个样本
原点矩
n
2 E ( X )
2
的无偏估计量
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概率论与数理统计
例2 设总体 X 的期望与方差存在, X 的样本为 (X1, X2 ,, Xn ) (n > 1) . 证明 n 1 2 2 (1) Sn (Xi X) 不是 D( X )的无偏估量; n i1
n 1 2 2 ( Xi X ) 是 D( X ) 的无偏估计量. (2) S n 1 i1