基本的计数原理
基本计数原理和排列组合
附录一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。
分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。
考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。
二.排列以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。
一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。
可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。
从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。
用符号m n A 。
为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是一种统计学理论，它提出了一种新的方法来解决复杂的问题，
并且在互联网领域有着广泛的应用。
基本计数原理的核心思想是，通过对一组数据进行统计，可以得出有用的信息，从而解决复杂的问题。
它的基本原理是，通过统计一组数据中的每个元素出现的次数，可以得出有用的信息。
在互联网领域，基本计数原理可以用来解决复杂的问题，比如搜索引擎的排名
算法，社交网络的用户关系分析，以及广告投放等。
搜索引擎的排名算法，可以通过统计搜索引擎中每个关键词出现的次数，来确定搜索结果的排名。
社交网络的用户关系分析，可以通过统计用户之间的关系，来分析用户之间的关系，从而更好地推荐内容。
广告投放，可以通过统计用户的行为，来确定最佳的广告投放策略。
基本计数原理的应用，使得互联网领域的问题变得更加容易解决，也使得互联
网领域的发展变得更加迅速。
它的应用，不仅可以提高互联网领域的效率，还可以提高互联网领域的用户体验。
总之，基本计数原理是一种有效的统计学理论，它在互联网领域有着广泛的应用，可以有效地解决复杂的问题，提高互联网领域的效率和用户体验。
计数原理-拔高难度-讲义
计数原理知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．典型例题一．选择题（共1小题）1．（2018•蚌埠三模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是98．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类A，B，C三门课都不选，有C73=35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72=63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．故答案为：98．三．解答题（共9小题）3．（2018春•南阳期末）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N=C64+C63C61+C62C62=360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41=116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42=36（个）．4．（2018•江苏）设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t 时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．5．（2017秋•涞水县校级期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．6．（2017春•宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种7．（2016•东城区一模）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少8．（2016春•秀英区校级期末）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？【解答】解：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种．（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种，（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）A1010．9．（2016春•九龙坡区校级期中）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C54种；②取3个红球1个白球，C53C61种；③取2个红球2个白球，C52C62种，∴C54+C53C61+C52C62=215种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C52C63+C53C62+C54C61=381种．（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C53C62=150种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32=72根据分步计数原理可得，150×72=10800．10．（2016春•江阴市期中）将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，∴共有55=3125种放法．（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2．先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法．∴由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法．（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（﹣+﹣）=44，∴满足条件的放法数为：A55﹣C51×9﹣5!（﹣+﹣）=120﹣45﹣44=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51C41=20种放法．11．（2016春•江阴市期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比4301大的四位数有多少个？（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答．【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A53=60个第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C21=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．把三步相乘，共有2×4×12=96个最后，两类相加，共有60+96=156个（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A42=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个（3）（1+2+3+4+5）×A53×103+（1+2+3+4+5）×C41A42×（102+10+1）=15×65328=979920。
第一节 计数的基本原理
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
计数原理公式
计数原理公式下面是一些基本的计数原理公式：1.乘法法则假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能的结果，那么这两个事件的组合就有m某n种可能的结果。
例如，如果你想选择一件衣服和一双鞋子，如果你拥有3件衣服和2双鞋子，那么你有3某2=6种不同的组合。
2.加法法则假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能结果，但这两个事件并不会同时发生，那么这两个事件的总可能性就是m+n。
例如，如果你想知道你在使用餐厅的时间段内将拿到桌子的可能性，这个时段有两个可能的时间段可供使用，分别为12：00-14：00和18：00-20：00，那么你将有2种可能的结果：如果这两个时间段使用同一个概率，则总共有2种可能的结果，这就是加法法则。
3.圆排列公式假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序放在一个圆中，那么圆排列的数量为(n-1)。
例如，在一个由4个数字组成的圆排列中，你会发现只有三个点不同，因为第四个点可以通过选择前三个点的反向来获得。
这意味着这个圆排列可以通过3!种方式重新排列，所以总共有(4-1)!3!=6个不同的排列序列。
4.全排列公式假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序排列，那么全排列的数量为n。
例如，在一个由4个数字组成的全排列中，有4种可能性来选择第一个数字，3种选择来选择第二个数字，2种选择来选择第三个数字，以及1种选择来选择最后一个数字。
因此，总数为4某3某2某1=24，也就是4。
5.组合公式将n个不同的对象分成k个无序的组合，组合的数量为C(n,k)=n!/k!(n-k)。
例如，你有8个人要参加晚宴，但你只有6张餐桌可以使用。
你想在这些人中选择6个人参加这个晚宴。
这意味着你需要从8个人中选择6个人的组合数量。
利用组合公式，你可以得出C(8,6)=8!/6!(8-6)!=28。
6.二项式公式二项式公式告诉我们，如果一个事件之前已发生k次，而事件完成的概率是p，那么发生事件恰好k次的概率是：P(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决这些问题提供了重要的方法和思路。
让我们先来了解一下加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路线可以选择，分别是路线 1、路线 2 和路线 3。
那么，你从 A 地到 B 地一共有多少种走法呢？答案很简单，就是这三条路线的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
假设你周末想去图书馆看书，图书馆有数学、语文、英语、历史和地理这五类书籍。
你决定只看一本，那么你有多少种选择呢？这里，因为你只能选择其中的一类书籍，而每一类书籍都算是一种选择，所以总的选择方法就是这五类书籍的总和，即 5 种。
接下来，我们说一说乘法原理。
假如你要从 A 地去 C 地，但是中间必须经过 B 地。
从 A 地到 B 地有 2 条路可以走，从 B 地到 C 地有 3条路可以走。
那么，从 A 地经过 B 地到 C 地一共有多少种走法呢？答案是 2×3 ＝ 6 种。
这就是乘法原理的体现。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
为了更好地理解乘法原理，我们再举一个例子。
你要参加一个活动，需要选择一套服装。
上衣有 3 种款式，裤子有 2 种款式。
计数原理公式
计数原理公式计数原理是概率论中非常重要的一部分，它是指通过对事件发生的次数进行计数，从而得出概率的方法。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，不同元素的顺序不同就是不同的排列。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，不考虑元素的顺序。
在计数原理中，有一些基本的公式和定理，下面我们来逐一介绍。
1. 排列的计数公式。
在排列中，我们常用的计数公式是阶乘。
阶乘的定义是n的阶乘（n!）等于123...n。
因此，从n个不同元素中取出m个元素进行排列的方法数可以表示为P(n,m) = n!/(n-m)!。
2. 组合的计数公式。
在组合中，我们常用的计数公式是组合数。
组合数C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方法数，计算公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。
3. 二项式定理。
二项式定理是指对任意实数a、b和非负整数n，都有(a+b)^n = C(n,0)a^n +C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n。
这个定理在概率论和组合数学中有着广泛的应用。
4. 多项式定理。
多项式定理是指对任意实数a1、a2、...、an和非负整数n，都有(a1+a2+...+an)^n = Σ C(n,k)a1^(n-k)a2^k，其中k的取值范围是0到n。
5. 康托展开。
康托展开是指将一个排列映射为一个自然数的过程，它在计算排列的逆序数时有着重要的应用。
康托展开可以将一个排列映射为一个唯一的自然数，从而实现排列的编码和解码。
通过以上介绍，我们可以看到计数原理在概率论和组合数学中有着广泛的应用。
掌握好计数原理的公式和定理，可以帮助我们更好地理解概率和组合问题，提高解题的效率和准确性。
总之，计数原理是概率论中的重要内容，它通过对事件发生的次数进行计数，从而得出概率的方法。
在计数原理中，排列和组合是基本概念，而排列的计数公式、组合的计数公式、二项式定理、多项式定理和康托展开等公式和定理都是我们在解决概率和组合问题时的重要工具。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。
1.基本计数原理
6.直线m 上有7个点，直线n上有8个 点，则通过这些点中的两点一共有 多少条直线？ m
7 8 2 58
n
7.用五种不同的颜色给图中的四个 区域涂色，若相邻区域不能同色， 共有多少种涂法？
5 4 3 4 240
2
1 3 4
练习：
8.三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？ 6 729 3 ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多 少种不同的方法？ 6 5 4 120 ３）每项１人，每人参加的项数不限，有多 少种不同的方法？ 3
分类计数原理与分步计数原理有什么不同？
分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事
的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：
用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存， 只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，
例题讲解
• 例1 书架的第1层放有4本不同的计算 机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少 种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1 本书，有多少种不同的取法？
解：1）由分类计数原理，不同取法的总数 N=4+3+2=9种。 2）由分步计数原理，不同取法的总数 N=4*3*2=24种。
4 2 3 1 23
排列组合也允许查
14. 3人坐在一排8个座位上,如 果每人左右两边都有空座位, 则有多少种坐法? √ √ √
4 3 2 1 24
3.有数字 0，1，2，3，4可以组成 多少个三位数？（数字允许重复）
百位 数字 十位 数字 个位 数字
《基本计数原理》课件
分布乘法计数原理的公式为
$n(A) = n(A_1) times n(A_2 | A_1) times n(A_3 | A_1, A_2) times ldots$
分布乘法计数原理的实例
假设有一个班级有30名学生，其中10名是男生，20名是女生。现在要选择一个 由3名学生组成的代表队，要求其中必须有1名男生和2名女生，问有多少种不同 的选择方式？
分类加法计数原理的数学表达式
$M = |A_1| + |A_2| + ldots + |A_n|$，其中$M$表示完成这件事情的总方法数 ，$|A_i|$表示第$i$个分类的方法数。
分类加法计数原理的实例
分类加法计数原理在排列组合中的应用
在排列组合中，分类加法计数原理常用于计算不同元素分组的方法数。例如，计算从$n$个不同元素中取出$k$ 个元素（不考虑顺序）的分组方法数，可以按照元素的性质进行分类，然后利用分类加法计数原理计算。
统计学
在统计学中，计数原理用于描述和预测数据 分布。
PART 02
分类加法计数原理
分类加法计数原理的概述
分类加法计数原理定义
对于具有两个或多个互斥的分类$A_1, A_2, ldots, A_n$，若完成一件事情，则 该事情可以由$A_1, A_2, ldots, A_n$中的某一类单独完成。因此，完成这件事 情的方法数等于各个分类方法数的和，即$n$个互斥的分类方法数之和。
随机试验
计数原理可以用于分析随机试验中的结果数量，例如在抛硬币试验中，可以用计数原理计算出现正面 的次数。
在组合数学中的应用
排列组合
计数原理是组合数学中的基本原理，可 以用于计算排列和组合的数量。例如， 通过计数原理可以计算从n个不同元素中 取出r个元素的组合数。
高中理科数学-计数问题(排列组合)
理科数学复习专题统计与概率排列组合一．基本计数原理1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。
例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出几种号码？练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。
（1）活动只需一人参加，有几种选法？（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？题型总结※重排问题（元素可以重复选取）例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?C B AD ※选取问题（优先安排“全能者”）例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。
从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。
总共有几种选取方案？练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。
总共有几种选取方案？※涂色问题例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法练：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是_______二、排列：例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？总结：从n 个元素中选出m 个进行排列，总共有几种选法？1． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n nA n n n n =--⋅=L （叫做n 的阶乘） 题型总结※ 计算排列数计算：42128642A A A A -++※ 用排列解决的计数问题（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．练：3个男生4个女生站成一排（1） 甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边排列问题 综合练习1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ ）A 、333A ⨯B 、333)(3A ⨯ C. 433)(A D. 99A4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ）A 、36种B 、72种C 、108种D 、120种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共有 （ ）A 、12B 、24C 、36D 、486、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（ ）A 、15种B 、24种C 、360种D 、480种7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）A 、6种B 、36种C 、72种D 、120种8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____A ．72 B.96 C.108 D.1449、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）A.12种B.18种C.24种D.96种11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法有__种14、A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，若A 在B 的前面且D 在E 的前面，则有_____种不同的排法.15、安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有________种。
基本计数原理概念及例题
111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mAA C A A A 基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照．．一定顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=Λ 5、公式：，11--=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+ 8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r +-==101() 10、二项式系数C nr 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角：()（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n nn n 012+++= （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n C n n n n2112+⎛⎝ ⎫⎭⎪+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+121211212 排列组合例题1．(2010?山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70[答案] B[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种[答案] C[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个[答案] C[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人[答案] A[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种[答案] C[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A ．24种B ．36种C ．38种D ．108种[答案] B[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！×(n－r)！＝n×(n－1)！r×(r－1)！×[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12?A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12?A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2010?四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22?C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33?A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2010?北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16?A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49?C25?C33＝1260(种)排法．13．(2010?江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44＝1 080种．14．(2010?山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．三、解答题15．(1)计算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20×(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)×(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈Z，所以n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当m>n2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2010?东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33?A33＝C412?C48?C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66?A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18?A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010种排法．。
数学 计数原理
数学计数原理
在数学中，计数原理是一种常用的方法，用于计算由多个步骤组成的任务的总数目。
计数原理有两个基本原则，分别是乘法原理和加法原理。
乘法原理是指，如果一个任务可以分解为n个相互独立的步骤，且每个步骤都有m种选择，则整个任务的总数目为n乘以m。
例如，假设要组合一个四位数密码，其中每位数字可选取的范围是0到9。
根据乘法原理，总的密码组合数为：10乘以10
乘以10乘以10，即10的四次方，等于10000种可能的密码
组合。
加法原理是指，如果一个任务可以通过两个或多个互不相交的子任务完成，其中第一个子任务有n种可能，第二个子任务有m种可能，则整个任务的总数目为n加m。
例如，假设要在一个菜单中选择主菜和甜点，菜单中提供了3
种主菜选择和2种甜点选择。
根据加法原理，总的餐点组合数为：3加2，等于5种可能的餐点组合。
计数原理在组合数学、概率论、统计学等领域中有广泛应用。
通过应用计数原理，我们可以解决各种问题，如排列组合、概率计算、统计分析等。
计数原理与二项式定理
计数原理与二项式定理一、计数原理计数原理是数学中的一种基本方法，用于计算事件发生的可能性和计数问题。
这一原理主要包括排列、组合和分配原理。
1.排列原理排列是指在一组元素中取出若干个元素按照一定顺序排列的方法。
排列原理是指，对于一个有n个元素的集合，从中取出m个元素进行排列时，可以得到的不同排列数为：P(n,m)=n!/(n-m)！其中n!表示n的阶乘，即n！=n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*12.组合原理组合是指在一组元素中取出若干个元素，不考虑顺序的方法。
组合原理是指，对于一个有n个元素的集合，从中取出m个元素进行组合时，可以得到的不同组合数为：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)3.分配原理分配原理是指，将n个物体分配给r个不同的盒子中去，每个盒子中可以有0个或多个物体，要求所有物体都要分完的方法。
分配原理可以用斯特林数或简单的计算方法得到。
二项式定理是数学中的一个重要定理，描述了一个二项式的乘积的展开式。
具体表述如下：对于任意实数a和b，以及正整数n，有以下的等式成立：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+…+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数。
二项式定理的展开式被称为二项式展开式，展开后的每一项被称为二项式系数，可以由组合数的形式表示。
二项式定理的表述非常简洁，但具有广泛的应用。
它可以用于计算多项式的幂、二项式系数的求解、概率论等多个领域。
总结：计数原理是一种重要的数学方法，用于解决计数问题。
它包括排列原理、组合原理和分配原理。
排列原理用于计算在有限集合中从中取出若干元素进行排列的不同可能性。
组合原理用于计算在有限集合中从中取出若干元素进行组合的不同可能性。
分配原理用于将若干物体分配给一组盒子中，每个盒子可以为空或包含多个物体。
计数原理基本知识点
计数原理基本知识点1.分类计数原理：做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中,任取m m n ≤个元素这里的被取元素各不相同按照一定的顺序．．．．．排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中,任取m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC1．二项式定理及其特例：101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈, 21(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表杨辉三角()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等∵m n m n n C C -=．直线2n r =是图象的对称轴．2增减性与最大值：当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时,中间两项12n n C -,12n nC +取得最大值． 3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++特别提醒1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r r r n T C a b -+=,注意()n a b +与()nb a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的,所以我们一定要注意顺序问题;另外二项展开式的二项式系数与该项的字母系数是两个不同的概念,前者只是指r n C ,而后者是指字母外的部分;2．在使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=时,要注意：1通项公式是表示第r ＋1项,而不是第r 项.2展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同.3通项公式中含有a ,b ,n ,r ,T 1+r 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程或方程组.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n .。
基本计数原理的应用问题
基本计数原理的应用问题问题描述在日常生活和工作中，我们经常会遇到一些与计数相关的问题。
例如：一个班级有多少学生？一个月有多少天？某个商品的销售数量是多少？这些问题涉及到的都是数量的计算和统计。
在面对这些问题时，我们可以借助基本计数原理来解决。
基本计数原理基本计数原理是指根据“乘法原理”和“加法原理”来进行计数的方法。
乘法原理乘法原理是指如果一个事件有 m 种方式发生，另一个事件有 n 种方式发生，那么这两个事件同时发生的方式就有 m × n 种。
加法原理加法原理是指如果一个事件有 m 种方式发生，另一个事件有 n 种方式发生，那么这两个事件发生的方式一共有 m + n 种。
应用问题下面我们来看几个基于基本计数原理的应用问题。
问题一：班级学生数某班级有 4 个年级，每个年级有 6 个班级，每个班级有 30 名学生。
请问该班级共有多少学生？解答：根据乘法原理，某班级共有 4 × 6 × 30 = 720 名学生。
问题二：任务分配某个项目需要分配给 3 个团队来完成，其中团队 A 有 5 人，团队 B 有 4 人，团队 C 有 6 人。
假设每个团队只能完成一个任务，请问该项目有多少种分配方式？解答：根据乘法原理，该项目有 5 × 4 × 6 = 120 种分配方式。
问题三：选择题某次考试有 5 道选择题，每道题有 4 个选项。
请问该次考试共有多少种答题方式？解答：根据乘法原理，该次考试共有 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024 种答题方式。
问题四：每月天数我们知道一年有 12 个月，那么一年有多少天？解答：根据加法原理，一年有 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 365 天。
总结基本计数原理是解决数量计算问题的基础方法之一。
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３.某外语组共有９人，每人至少会英语和日语中的 一门．其中７人会英语，３人会日语，从中选出会英 语与会日语的各１人，共有 种不同的选法． ４.某班新春联欢会原定的５个节目已排成节目单， 开演前又增加了２个新节目，如果将这两个新节目 插入原节目单，那么不同的插入方法有 种． ５.现有４件不同款式的上衣与３条不同颜色的长 裤，如果一条长库与一件上衣配成一套，则不同的 配法数为 ６.多项式(a1 a2 … an ) (b1 b2 … bm )(c1 c2 … ck ) 的展开式共有 项。 ７.直线l上有７个点，直线m上有８个点，则通过这 些点中的两个点最多可以确定 条直线。
(1)从书架上任取一本书,共有多少种不同的取法? (2)从书架上任取三本书,其中数学书、语文书、英语 书各一本，有多少种不同的取法？ 例2.用0，1，2，3，4，这五个数字可以组成多少 个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
例3.我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值 的一面叫反面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出 的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列， 如“正，反，反，反，正”。问一共可以得到多少 个不同的这样的序列？ 例4.小王到邮局寄信。现在他手中有5封不同的信件， 要投到4个不同的邮筒里，每封信可以随意地投进任 何一个邮筒，共有多少中不同的投递方法？ 变式：
分步乘法计数原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第பைடு நூலகம்个步骤有
m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2 种不同的方法，
…，做第n个步骤有 mn 种不同的方法。那么完成这件 事共有 N m1× m2 × …× mn 种不同的方法。
例1.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书,中层 放有3本不同的语文书,下层放有2本不同的英语书.
例6.从{-3，-2，-1，0，1，2，3}中任取3个不同的
2 y = ax + bx + c 的系数，如果抛物线 数作为抛物线
过 原点且顶点在第一象限，问这样的抛物线共有多 少条？ 课堂练习 １.书架上原有６本不同的书，现在再插入３本不同的书， 但要保持原有书的顺序不变，共有 种不同的插入 方法．
基本计数原理
汽车１ 汽车２
汽车３
Ａ
火车１ 火车２ 飞机１ 飞机２
Ｂ
汽车１
Ａ
汽车２
Ｃ
火车１
Ｂ
火车２
分类加法计数原理：
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2中不同的方法． …，在第n类办法中有 mn 种不同的方法。那么完成这 件事共有 Ｎ＝ m1 m2 … mn种不同的方法。
８.如图的电路图中，从Ａ到Ｂ共有 路可通电。
条不同的线
A
B
９.如图，沿着长方体的棱，从一个顶点到它相对的 另一个顶点的最近路线共有 条。
5名高中毕业生报考3所重点院校，每人报且只报 一所院校，则不同的报考方法共有几种？
例5.给如图的四个正方形图案涂色，每个方格涂一种 颜色，要求想邻的方格颜色不同，现有5种颜色 可供 选择，共有多少种不同的涂色方式？
变式一：
若将上述图形改为下面的图形，结果又如何？
（ 1） （ 2）
变式二：
将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同 一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供 使用，求不同的染色方法总数。