二次函数应用2
二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
2.8二次函数的应用(2)
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之 间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
例题解析
例 某小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修 建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总 长为40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC的 边长为x(cm)，花园的面积为y(m2）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取 值范围； (2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出 此时x的值；若不能，说明理由； （3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化 趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？ 最大面积为多少?
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积” 解决问题的过程，你能总结一下解决此类问 题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关 系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
“二次函数应用” 的思路
鲁教版九上·§2.8
2.8 二次函数的应 用（2）
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm, 那么AD边的长度如何表示？
30cm
D
┐ A
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取 何值时,y的最大值是多少?
40cm
B
C
课堂练习
4.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A 出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时， 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动.如 果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回 答下列问题： D C （1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时， Q 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； t为何值时S最小？求出S的最小值. B A P
二次函数的应用(2)(九下)
九（下）教学设计6.4 二次函数的应用（2）葛武初中数学教研组教学目标:1. 体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．2．掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的性质和图象解决实际问题.教学重点: 运用二次函数的性质和图象解决实际问题. 教学难点: 能正确理解题意，找准数量关系．教学方法: 在教师的引导下自主教学.教学过程:一、情境创设在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？分析与反思：先由实际问题抽象转化为数学问题（建立数学模型——图象），再运用数学知识解决问题。
二、例题教学解决课本27页问题2：某喷灌设备的喷头B 高出地面1.2m ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x （m ）与高度y （m ）之间的关系为二次函数 y=a(x-4) +2。
求水流落地点D 与喷头底部A 的距离(精确到0.1m)。
问题1：你能结合实际画出图象吗？问题2：求AD 的距离实际是求 点的坐标？问题3：如何求函数关系式？三、尝试与交流（学生自主学习，相互探究解决问题的方案。
）如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1) 如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2) 若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？四、随堂练习：1. 如果一条抛物线与抛物线y=－31x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是2. 课本28页 练习题3.（选做）如图，抛物线n x x y ++-=52经过点A(1，0)，与y 轴交于点B.⑴ 求抛物线的解析式；⑵ P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标.五、评价与小结：小结本节课你有那些收获？与大家交流六、作业：第30页4.5题。
二次函数的应用2 练习题
二次函数中的利润最大问题练习1.铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x ≤15且x 为整数）时每盒成本为p 元，已知p 与x 之间满足一次函数关系：第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元。
每天的销售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示：（1）求p 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？解：（1）设p =kx +b （k ≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴321725k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，所以p =x +18； （2）1≤x ≤6时，w =10[50﹣（x +18）]=﹣10x +320，6＜x ≤15时，w =[50﹣（x +18）]（x +6）=﹣x 2+26x +192，所以，w 与x 的函数关系式为210320(16)26192(615)x x w x x x -+≤≤⎧=⎨-++<≤⎩， 当1≤x ≤6时，∵﹣10＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x =1时，w 最大为﹣10+320=310，6＜x ≤15时，w =﹣x 2+26x +192=﹣（x ﹣13）2+361，∴当x =13时，w 最大为361，综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元。
2.某“火龙果”经营户有A 、B 两种“火龙果”促销，若买2件A 种“火龙果”和1件B 种“火龙果”，共需120元；若买3件A 种“火龙果”和2件B 种“火龙果”，共需205元．（1）设A ，B 两种“火龙果”每件售价分别为a 元、b 元，求a 、b 的值；（2）B 种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B 种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B 种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B 种“火龙果”的销售利润y （元）与销售单价（x ）元之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B 种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？解：（1）根据题意得：2120{ 32205a b a b +=+= ，解得：a =35，b =50；（2）①由题意得：y =（x ﹣40）[100﹣5（x ﹣50）]∴y =﹣5x 2+550x ﹣14000；②∵y =﹣5x 2+550x ﹣14000=﹣5（x ﹣55）2+1125，∴当x =55时，y 最大=1125，∴销售单价为55元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．3.端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）【答案】小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．解：小慧：设定价为x 元，利润为y 元，则销售量为：410﹣10（x ﹣100）=1410﹣10x，由题意得，y=（x﹣80）（1410﹣10x）=﹣10x2+2210x﹣112800，当y=8580时，﹣10x2+2210x﹣112800=8580，整理，得：x2﹣221x+12138=0，解得：x=102或x=119，∵当x=102时，销量为1410﹣1020=390，当x=119时，销量为1410﹣1190=220，∴若要达到8580元的利润，且薄利多销，∴此时的定价应为102元；小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800=2221186051022x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵价格取整数，即x为整数，∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300．答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．延伸：如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD. 已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边xAB=米，面积为S平方米.（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？或s=-2x2+80x(15≤x≤40)=-2(x-20)2+800答：当AB=20米时，活动区面积最大，为800平方米。
21.4.2二次函数的应用(2)
第2课时二次函数的应用(2)1.图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②).(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.2.跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6m,到地面的距离AO和BD均为0.9m,身高为1.4m的小丽站在距点O的水平距离为1m的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3m,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;(3)如果身高为1.4m的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t m,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,求t的取值范围.3.在一场篮球比赛中,一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如右上图所示的平面直角坐标系,求抛物线对应的函数表达式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问球出手时,他距离地面的高度是多少?4.(2013河北中考)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩:Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.(1)用含x和n的式子表示Q;(2)当x=70,Q=450时,求n的值;(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是-b2a ,4ac-b24a.5.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:(1)设△POQ的面积为y cm2,求y关于t的函数表达式;(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ,试判断点C 是否落在直线AB上,并说明理由.6.(创新应用)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y=-38x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.(1)试确定b,c的值;(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数表达式;(3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?课后演练·能力提升答案：1.解:(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1).设抛物线对应的函数表达式是y=a(x-5)2+5(a≠0),把点(0,1)代入y=a(x-5)2+5,得a=-425.∴y=-425(x-5)2+5(0≤x≤10).(2)由已知,得两景观灯的纵坐标都是4,∴4=-425(x-5)2+5.∴425(x-5)2=1.∴x1=152,x2=52.∴两盏景观灯之间的水平距离为|x1-x2|=152-52=5(m).2.解:(1)小丽头顶处E点的坐标为E(1,1.4),B点的坐标为(6,0.9),代入表达式,得a+b+0.9=1.4,36a+6b+0.9=0.9,解得a=-0.1, b=0.6,∴函数表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9(0≤x≤6).(2)由y=-0.1x2+0.6x+0.9,配方,得y=-0.1(x-3)2+1.8,当x=3时,y=1.8,∴小华的身高为1.8m.(3)当y=1.4时,得-0.1x2+0.6x+0.9=1.4,解得x1=1,x2=5,∴当y>1.4时,1<t<5.3.解:(1)由题图知,顶点为(0,3.5),篮圈坐标为(1.5,3.05),设函数表达式为y=ax2+3.5(a≠0),将(1.5,3.05)代入,得a=-0.2,故篮球运行轨迹所在的抛物线对应的函数表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25,故跳投时,距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2(m).4.解:(1)设W=k1x2+k2nx,则Q=k1x2+k2nx+100.由表中数据,得420=402k1+2×40k2+100,100=602k1+1×60k2+100,解得k1=-110, k2=6.因此Q=-110x2+6nx+100.(2)由题意,得450=-110×702+6×70n+100.解得n=2.(3)当n=3时,则Q=-110x2+18x+100.由a=-110<0可知,要使Q最大,则x=-182×-110=90.(4)由题意,得420=-110[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,解得m%=12,或m%=0(舍去).故m=50.5.解:(1)∵OA=12cm,OB=6cm,由题意得BQ=1×t=t(cm),OP=1×t=t(cm),∴OQ=6-t(cm),∴y=12×OP×OQ=12×t(6-t)=-12t2+3t(0≤t≤6).(2)∵y=-12t2+3t,∴当y有最大值时,t=3.∴OQ=3cm,OP=3cm,即△POQ是等腰直角三角形.把△POQ沿PQ翻折后,可得到四边形OPCQ是正方形.∴点C的坐标是(3,3).∵A(12,0),B(0,6),∴直线AB的表达式为y=-12x+6,当x=3时,y=92≠3,∴点C不落在直线AB上.6.解:(1)由题意,得25=18×32+3b+c,24=1×42+4b+c,解得b=-158,c=592.(2)y=y1-y2=-38x+36-18x2-158x+592=-18x2+32x+132.(3)y=-18x2+32x+132=-18(x2-12x+36)+92+132=-18(x-6)2+11.∵a=-18<0,∴抛物线开口向下.在对称轴x=6左侧y随x值的增大而增大.由题意x<5,∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润为-18(4-6)2+11=212(元).。
22.5二次函数应用(2)(最值)
1 1 1 x(2 x) CQ•PB = AP•PB = S△PCQ＝ 2 2 2 1 2 即S＝ x x (0<x<2） 2
Q
当P在线段AB的延长线上时
1 S△PCQ＝ 2
CQ PB
1 x( x 2) 2
1 2 即S＝ x x 2
(x>2）
C
D
P A B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运
动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系 式； （2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销 售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式； （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润 ＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多少？
例3:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也 为3cm
答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最 大。
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练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方 米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 A D ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） B C
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
第62课时：二次函数应用(2)
x第62课时：二次函数应用（2）主备：王静 雍亚波班级 姓名 学号一、中考考点：在几何图形中构建二次函数，利用二次函数的最值思想从而解决问题。
二、问题探索：（一）基础问题探索：1、用铝合金钢材做一个形状如图所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m ，窗户的透光面积为y m 2，y 与x 的函数图象如图12所示.当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m..2、抛物线过点A （2，0）、B （6，0）、C （1，3），平行于x 轴的直线CD 交抛物线于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD 于点E 、F ，则CE+FD .3、校园要建苗圃，其形状如直角梯形，其两边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的竹篱笆。
则所建苗圃面积的最大值为 。
（二）典型例题： 问题一、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形A B C O 的边O C 落在x 轴的正半轴上，且A B ∥O C ，B C O C ，A B =4，B C =6，O C =8．正方形O D E F 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形A B C O 面积．将正方形O D E F 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形A B C O 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形O D E F 的边长； （2）操作与求解：①正方形O D E F 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S ＞0）的变化情况是 ；A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C②当正方形O D E F顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形O D E F 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．问题二、如图，已知抛物线P ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1） 求A 、B 、C 三点的坐标；（2） 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；（3） 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围．问题三、初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验:图案(1) 图案(2) 图案(3) 图案(4)请根据以上图案回答下列问题:(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB 为1m,长方形框架ABCD 的面积是 m 2;(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB 为x m,长方形框架ABCD 的面积为Ｓ＝ (用含x 的代数式表示)；当AB ＝ m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB 为x m,当AB = m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律． 探索: 如图案(4),如果铝合金材料总长度为l m 共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB 多少时,长方形框架ABCD 的面积最大.初三数学一轮复习 A BCD图1 图2三、课后作业：1、如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园A B C D ，设A B 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．2、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.3、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD 所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、竟都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x ； （2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以 47 200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．4、已知抛物线1)12(22-+-+=n x n x y （n 为常数）（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A 是（1）所确定的抛物线，位于x 轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C . ①当BC ＝1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.5、有一块边长为120cm 的正方形铁皮，现准备利用这块铁皮，把它做成一个开口水槽的横截面积最大．（1）若横截面是矩形，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，写出y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值；（2）若横截面是等腰梯形，且∠AMN=120°，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，，求y 的最大值。
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用（二）1．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时．该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？2．一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．（1）当每件售价130元时，获得的利润为多少元？（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？3．某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为．4．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．5．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？6．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？7．某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）．（1）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（2）如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）．8．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？9．李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？10．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）参考答案1．解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年的增长率为20%．（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：w＝（m﹣30）[200+50×（40﹣m）]＝﹣50（m﹣37）2+2450，∵﹣50＜0，∴当m＝37时，w取得最大值为2450．答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．2．解：（1）当每件售价130元时，135﹣130＝5（元），即降价5元，由题意得：（130﹣100）（100+4×5）＝30×（100+20）＝30×120＝3600（元），∴当每件售价130元时，获得的利润为3600元．（2）由题意得：W＝（135﹣x﹣100）（100+4x）＝﹣4x2+40x+3500＝﹣4（x﹣5）2+3600，∴当x＝5时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．∴每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式为：W＝﹣4x2+40x+3500，要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，最大利润为3600元．3．解：（1）由题意得：y＝（x﹣20）（50﹣）＝﹣x2+70x﹣1360，∵要求每周至少售出35件，∴50﹣≥35，解得：x≤330，又∵售价不低于180元，∴180≤x≤330．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；（2）∵y＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵二次项系数为负，当x≤350时，y随x的增大而增大，又∵180≤x≤330，∴当x＝330时，y＝10850，最大值∴当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；（3）∵每周利润不得低于10400元，∴﹣（x﹣350）2+10890≥10400，∴（x﹣350）2≤4900，解得：280≤x≤420，又∵180≤x≤330，∴280≤x≤330．故答案为：280≤x≤330，且x为10的整数倍．4．解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），把x＝0，y＝3代入上式得，3＝a（0﹣0.4）2+3.32，解得a＝﹣2，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，化简得（x﹣0.4）2＝0.36，解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，∴OD＝1m．5．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000．∵每件的利润不高于成本价的60%．∴20≤x≤20（1+60%），∴20≤x≤32，∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），∴对称轴为直线x＝﹣＝35，又∵a＝﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．6．解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a＝﹣，故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，∴这辆货车能安全通过．7．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵a＝﹣10＜0，20≤x≤20（1+60%），∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，＝﹣10（32﹣35）2+2250＝2160．∴当x＝32时，w最大答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．（2）设小周每月的成本需要p（元），根据题意得：p＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000，∵w＝﹣10x2+700x﹣10000≥2000，∴30≤x≤40，又∵20≤x≤32，﹣200＜0，∴当30≤x≤32时，w≥2000，p随x的增大而减小，＝﹣200×32+10000＝3600．∴当x＝32时，p的值最小，p最小值答：想要每月获得的利润不低于2000元，小周每月的成本最少需要3600元．8．解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∴1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵a＜0∴函数开口向下，有最大值，∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．9．解：（1）∵除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等，且AE＝xm，∴IC＝3ID＝3xm，3AE+3AD+5IC＝120，∴3x+3AD+5×3x＝120，∴AD＝（40﹣6x）m，∴y＝4x（40﹣6x）＝﹣24x2+160x，∵AD＞0，40﹣6x＞0，∴0＜x＜，∴y＝﹣24x2+160x（0＜x＜）；（2）y＝﹣24x2+160x＝﹣24+，∵﹣24＜0，∴x＝时，y取得最大值，最大值是．10．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，把（0，0）代入，得：0＝25a+25，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；当5＜x≤15时，y＝25．综上，y＝；（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习收益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．当0≤x≤5时，Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）＝﹣x2+8x+60＝﹣（x﹣4）2+76．＝76．∴当x＝4时，Z最大当5＜x≤15时，Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．∵Z随x的增大而减小，∴Z＜﹣2×5+85＝75．综上所述，当x＝4时，Z＝76，此时30﹣x＝26．最大∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．。
二次函数的应用(2)
(1.2,0)
.M
(-2,0)
y
.C(0,1) D(1.2,yD） .EE N(2,0) x
A
O
FB
y
.M
(0,3)
.C(2,4) D(3.2,yD） .EE N(4,3)
AO
FB
x
x＝2 (3.2,0)
y
.C
D
x
M.
.EE N
A
O
FBBiblioteka 建立直角坐标系的不同情况：
yC D
. . . M
EN
yC
• 建立直角坐标系来确定二次函数时，以 使问题简单化为原则，注意数形结合；
• 当抛物线刻画的是实际问题时，抛物线上 的点都反映一定的实际现象，因此在解决 此类问题时，往往就是在已知抛物线上一 个点的一个坐标的条件下，求这个点的另 一个坐标.
计算加以说明
y
.C (0,6) . M (－4,2)
.D(2,yD） .E N(4,2)
A
O
F Bx
y
.C(0,6) . M (－4,2)
.D(xD,4） .N
(4,2)
A
O
F Bx
课堂小结
通过学习，你有哪些收获和体会？
实际问题 抽象 数学问题 运用 问题的解
转化
数学知识
返回解释 检验
• 生活中处处有数学，二次函数是描述现 实世界的有效的一个重要模型；
.O D
. . M
EE N x
A O FB x
. y
CD
. . M
EE N
A
FB
yC
.O D x
. . M
EE N
AO
二次函数的应用(2)
解:正确.建立如图所示的直角坐标系, 设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2(a≠0), 把(20,-6)代入,得-6=a·202,解得 a=∴ y=3 2 x. 200
3
3 , 200
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
构建二次函数模型 【例题】 我国新发射的一颗返回式卫星,为便于回收,设计人员将它的 每一个纵切面边缘都设计为抛物线型.如图(1)所示为其中一个切面的边缘 线图形,若切面底面宽度 AB=1.8 m,高度 OC=2.4 m,试建立适当的直角坐标 系,求这条边缘线所在抛物线对应的函数表达式.
1 2 1 2
12
课前预习 1 2
课堂合作 3
当堂检测
(3)由题意知点 B 的横坐标为 2, ∵ 点 B 在抛物线上,∴ 点 B 的坐标为(2,2), 又点 A 的坐标为(4,8), ∴ 点 D 的坐标为(-4,8). 设直线 BD 的函数表达式为 y=kx+b, 2������ + ������ = 2, ∴ -4������ + ������ = 8, 解得 k=-1,b=4. ∴ 直线 BD 的函数表达式为 y=-x+4, 把 x=0 代入 y=-x+4,得点 P 的坐标为(0,4),因此两根支柱用料最省时,点 O,P 之间的距离是 4 m.
5
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
这道题是典型的数形结合的题型,根据几何图形的直观性,解决抽象的代数 问题,使解答简捷、灵活、流畅,体现了数形结合的优越性,激发了学生兴趣, 增强了用数形结合思想指导解题的意向.数形结合的思想是很重要的数学 思想,也是分析问题、解决问题的有力工具.在今后的学习中,我们要逐步加 深对它的理解,并且要学会这种解决问题的方法.
《二次函数的应用2》教学设计
《二次函数的应用2》教学设计
一、教学内容及内容解析
分析实际变量中的二次函数的关系，运用二次函数求出最大（小）值问题.二、教学目标
1．知识与技能：经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值．
2．过程与方法：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
3.情感、态度与价值观：经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．三、教学问题诊断分析
根据教学目标确定重难点如下：
重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．四、教学过程设计（脚本）。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
二次函数在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的二次函数应用场景。
1. 物理学中的自由落体运动自由落体是物理学中常见的运动形式，它的运动规律可以用二次函数来描述。
当一个物体在重力作用下自由下落时，其位移和时间的关系可以通过二次函数来表示。
假设物体的下落轨迹为 y = -4.9t^2 + v0t + h0，其中 t 表示时间，v0 表示初始速度，h0 表示初始高度。
通过二次函数的图像，我们可以计算物体的落地时间、最大高度等物理量，进一步分析自由落体运动的特性。
2. 金融学中的收益率曲线在金融学中，收益率曲线常用来描述不同期限的债券收益率之间的关系。
假设某个债券的收益率与到期期限的关系可以用二次函数表示，那么我们可以通过该二次函数的图像来预测不同期限的债券的收益率。
另外，通过对收益率曲线进行分析，可以评估利率的变动趋势、市场风险等重要的金融指标。
3. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述企业生产成本与产量之间关系的数学函数。
对于某些生产过程，成本函数常常具有二次函数的形式。
例如，某企业的总成本可以表示为 C(q) = aq^2 + bq + c，其中 q 表示产量，a、b、c 是常数。
通过分析该二次函数，可以找到最小成本对应的产量，从而在生产决策中进行合理的成本控制。
4. 工程学中的抛物线天桥设计在工程设计中，抛物线天桥是一种常见的设计形式。
抛物线为二次函数的图像，因此可以通过二次函数来描述天桥的形状和结构。
工程师可以利用二次函数的性质来计算天桥的高度、跨度等参数，确保天桥的结构稳定性和安全性。
总结起来，二次函数的应用十分广泛，涵盖了物理学、金融学、经济学、工程学等多个领域。
通过对二次函数图像的分析和计算，我们可以探索和解决实际问题，提高问题的解决效率和准确性。
二次函数的应用(2)
二次函数与实际问题（二）
1、某种商品每件进价为20元，调查表明：在 某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为 整数）出售，可卖出（30-x）件.若使利润 最大，每件的售价为__若干件，销 售一段时间后发现：当销售为25元时平均 每天能售出8件，而当销售价每降低2元， 平均每天都多售出4件，当每件的定价为 ____元时，该服装店平均每天的销售利润 最大.
3、某商店原来平均每天可销售某种水果200 千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经 市场调查，如果这种水果每千克降价1元， 则每天可多售出20千克. (1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元， 试写出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利960元，则每千克应 降价多少元？
4、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果 树提高果园产量，但是如果多种树，那么 每棵树所受光照会减少，单棵树的产量会 降低。若该果园每棵果树产果y（千克）， 增种果树x（棵），它们之间的函数关系如 图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当增种果树多少棵时，果园的总产量W （kg）最大？最大产量是多少？
6、某电商销售一款夏季时装，进件40元/件， 售价110元/件，每天销售20件，每销售一 件需缴纳电商平台推广费a元（a＞0）.未来 30天，这款时装开展“每天降价1元”的夏 令促销活动，即从第1天起每天的单价均比 前一天降1元.通过调研发现，该时装单价每 降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要 使每天缴纳电商平台费用后的利润随天数t （t为正整数）的增大而增大，a的取值范围 是_______.
5、草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某 水果销售点在草莓销售旺季，试销售成本 为每千克20元的草莓，规定试销售期间单 价不低于成本单价，也不高于每千克40元， 经试销发现，销售量y（千克）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的 函数关系图象. (1)求y与x的函数解析式; (2)设该水果销售点试销 草莓获得的利润为W元， 求W的最大值.
二次函数的应用(2).
复习小结
如何运用二次函数求实际问题中的最 大值或最小值?
首先应当求出函数解析式和自变 量的取值范围，然后通过配方法变形， 或利用公式法求它的最大值或最小值。
注意：在此求得的最大值或最小值对 应的自变量的值必须在自变量的取值范
围内
.
问题1：某商场将进价40元一个的某种商品按50 元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每 个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润， 售价定为多少？最大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售 件数） 设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ （3）销售量可以表示为
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始 后第25分钟时比较，何时学生的注意力 更集中？
t 24t 100 0 t 10 10 t 20 y 240 7t 380 20 t 40
2
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最 集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了 效果较好，要求学生的注意力最低达到180， 那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达 到所需的状态下讲解完这道题目？
问题2： 如图是某公园一圆形喷水池，水流
在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图 所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25）， 水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的 2 +2.25 y= －(x-1) 表达式为 。如果不考虑其他 因素，那么水池的半径至少要____米，才能使 2.5 喷出的水流不致落到池外。
B
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y A 最大,则：AP=2x cm PB=（8-2x ） cm
QB=x cm
中考数学复习 二次函数 第19讲 二次函数的应用(2)试题(含解析)
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第19讲 二次函数的应用(2)1. (2012，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.(1)(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)． ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？【思路分析】 (1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元．由题意，得p ＝y －mx 2，进而得出m 的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n .由表格中的数据，得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y ＝2x ＋10.(2)①设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx 2元．由题意，得p ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，p ＝26代入p ＝2x ＋10－mx 2，得26＝2×40＋10－m ·402. 解得m ＝125.所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p ＝－125x 2＋2x ＋10.②因为a ＝－125＜0，所以当x ＝－b 2a＝－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝25(在5～50之间)时，p 最大＝4ac －b 24a ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125×10－224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝35.所以出厂一张边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．利润问题例 1 (2018，扬州节选，导学号5892921)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？例1题图【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)先由题意得出x 的取值范围，再根据总利润＝销售量×单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240. 解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元， 则w ＝(x －30)·y＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1 000x －21 000＝－10(x －50)2＋4 000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大，w 最大＝－10×(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．针对训练1 (2018，深圳模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若该商场获得的利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？【思路分析】 (1)直接利用待定系数法确定y 与x 之间的函数关系式．(2)根据利润＝销售量×(销售单价－单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w 与销售单价x 之间的函数关系式，再根据x 的取值范围和二次函数的性质求出最大值．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧55k ＋b ＝75，60k ＋b ＝70.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝130.∴y ＝－x ＋130.(2)w ＝(x －50)(130－x )＝－x 2＋180x －6 500＝－(x －90)2＋1 600.由题意，得x ≤50×(1＋50%)，即x ≤75. ∴50≤x ≤75.∵当x ＜90时，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝75时，w 取得最大值，为1 375.所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1 375元．二次函数与几何图形的综合例2 (2018，保定模拟)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝3，P 是AD 边上的一动点(点P 异于点A ，D )，Q 是BC 边上的任意一点，连接AQ ，DQ ，过点P 作PE ∥DQ 交AQ 于点E ，作PF ∥AQ 交DQ 于点F .(1)求证：△APE ∽△PDF ；(2)设AP ＝x ，求四边形EQDP 的面积S (用含x 的代数式表示出来)；当四边形EQDP 的面积等于214时，说明PE 与DQ 的数量关系．例2题图【思路分析】 (1)根据PE ∥DQ ，PF ∥AQ 得出同位角相等即可证得两三角形相似．(2)由PE ∥DQ ，得到△APE ∽△ADQ .根据相似三角形的性质得到S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29.求出S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，于是得到S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2＋3.根据四边形EQDP 的面积等于214，列方程即可得到结论．(1)证明：∵PE ∥DQ ， ∴∠APE ＝∠PDF . ∵PF ∥AQ ，∴∠DPF ＝∠PAE . ∴△APE ∽△PDF . (2)解：∵PE ∥DQ ， ∴△APE ∽△ADQ .∴S △APE S △ADQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AP AD 2＝x 29，AP AD ＝PE DQ. ∵S △ADQ ＝12S 矩形ABCD ＝3，∴S △APE ＝13x 2.∴S ＝S △ADQ －S △APE ＝－13x 2＋3.当四边形EQDP 的面积等于214时，214＝－13x 2＋3.解得x ＝32.∴AP ＝32＝12AD .∴PE ＝12DQ .针对训练2(2018，揭阳一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A →D 方向运动．设AP ＝x ，△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，y ＝S 1＋S 2，则y 与x 之间的关系式是 y ＝－x 2＋3x .训练2题图【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，AD 为BC 边上的高，AP ＝x ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°.∴BD ＝AD ＝2.∴PE ＝AP ＝x ，PD ＝AD －AP ＝2－x .∴y ＝S 1＋S 2＝x ·22＋(2－x )·x ＝－x 2＋3x .一、 选择题1. (2018，马鞍山二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg ；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg.设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为(C )A. y ＝(x －40)(500－10x )B. y ＝(x －40)(10x －500)C. y ＝(x －40)[500－10(x －50)]D. y ＝(x －40)[500－10(50－x )]【解析】 因为销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝(x －40)[500－10(x －50)]．2. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y (件)与销售单价x (元/件)之间的函数关系式为y ＝－4x ＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C )A. 60元/件B. 70元/件C. 80元/件D. 90元/件【解析】 设销售该商品每月所获总利润为w 元，则w ＝(x －50)(－4x ＋440)＝－4x 2＋640x－22 000＝－4(x －80)2＋3 600.∴当x ＝80时，w 取得最大值，最大值为3 600.所以当售价为80元/件时，销售该商品所获月利润最大．3. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，P 是BC 边上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，作PE ⊥AP 交外角∠DCF 的平分线于点E .设BP ＝x ，△PCE 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是(C )第3题图A. y ＝2x ＋1B. y ＝12x －2x 2C. y ＝2x －12x 2D. y ＝2x【解析】 如答图，过点E 作EH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCH ＝ 90°.∵CE 平分∠DCH ，∴∠ECH ＝12∠DCH ＝45°.∵∠CHE ＝90°，∴∠CEH ＝∠ECH ＝45°.∴EH ＝CH .∵四边形ABCD 是正方形，AP ⊥EP ，∴∠B ＝∠CHE ＝∠APE ＝90°.∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠EPH ＝90°.∴∠BAP ＝∠EPH .∴△BAP ∽△HPE .∴AB PH＝BP EH .∴44－x ＋EH ＝x EH .∴EH ＝x .∴y ＝12·CP ·EH ＝12·(4－x )·x ＝2x －12x 2.第3题答图4. (2018，淄博模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，那么四边形APQC 的面积最小时，经过(C )第4题图A. 1 sB. 2 sC. 3 sD. 4 s【解析】 设点P ，Q 同时出发t s 时，四边形APQC 的面积为S mm 2，则S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12·4t ·(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2＋108.∵4＞0，∴当t ＝3时，S 取得最小值．5. (2018，天津武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y ＝－x 2＋70x －800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B )A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元【解析】 ∵y ＝－x 2＋70x －800＝－(x －35)2＋425，∴当x ＝35时，y 取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大．6. (2018，广州南沙区模拟)如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ 的面积最大是(C )第6题图A. 10 cm 2B. 8 cm 2C. 16 cm 2D. 24 cm 2【解析】 设运动时间为t s ．根据题意，得AP ＝2t ，AQ ＝t ，∴S △APQ ＝t 2.易知0＜t ≤4，∴△APQ 的面积最大是16 cm 2.7. 如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E ，F 怎样运动，始终保持AE ⊥EF .设BE ＝x ，DF ＝y ，则y 关于x 的函数解析式是(C )第7题图A. y ＝x ＋1B. y ＝x －1C. y ＝x 2－x ＋1D. y ＝x 2－x －1【解析】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∴∠BAE ＝∠FEC .∴△ABE ∽△ECF .∴AB ∶EC ＝BE ∶CF .∴AB ·CF＝EC ·BE .∵AB ＝1，BE ＝x ，EC ＝1－x ，CF ＝1－y ，∴1·(1－y )＝(1－x )·x .化简得y ＝x 2－x ＋1.二、 填空题8. (导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝16，AB ＝12，E ，F 分别是边BC ，DC 上的点，且EC ＋CF ＝8.设BE 的长为x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数解析式是( y ＝12x 2－10x ＋96 ).第8题图【解析】 ∵BE ＝x ，∴CE ＝16－x .∵CE ＋CF ＝8，∴CF ＝x －8.∴DF ＝20－x .∴y ＝S 矩形ABCD－S △ABE －S △CEF －S △ADF ＝12x 2－10x ＋96.9. (2018，天津和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元．当一个旅行团有 55 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．【解析】设一个旅行团有x人，营业额为y元．根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝－10x2＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．三、解答题10. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润？【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元．根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.∴当x＝50时，W最大，W最大＝4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元．(3)由题意，得－10(x－50)2＋4 000＝3 910.解得x＝53或x＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．11. (2018，承德一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y1与y2关于投资成本的函数解析式；(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】 (1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y1＝kx.由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，∴4＝k·2.解得k＝2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．设y2＝px2.由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．∴2＝p ·22. 解得p ＝12.故种植花卉的利润y 2关于投资成本x 的函数解析式是y 2＝12x 2(x ≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m 万元，则投入种植树木金额(8－m )万元． 根据题意，得W ＝2(8－m )＋12m 2＝12m 2－2m ＋16 ＝12(m －2)2＋14. ∵a ＝12＞0，0≤m ≤8，∴当m ＝2时，W 取得最小值，为14. ∵a ＝12＞0，∴当0≤m <2时，W 随m 的增大而减小；当2<m ≤8时，W 随m 的增大而增大． 在对称轴左侧，当m ＝0时，W 取得最大值，为16. 在对称轴右侧，当m ＝8时，W 取得最大值，为32. ∵16<32，∴当m ＝8时，W 取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．12. 如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2.(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．第12题图【思路分析】 (1)用x 分别表示出PB ，BQ 的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解．(2)把函数解析式整理成顶点式，然后结合实际求二次函数的最值即可．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，BQ ＝x ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0≤x ≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814.∵当x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0≤x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大，y 最大＝20.所以△PBQ 的面积的最大值是20 cm 2.1. 某旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则会相应地减少10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(C )A. 140元B. 150元C. 160元D. 180元【解析】 设每张床位收费提高x 个20元，每天收入为y 元．根据题意，得y ＝(100＋20x )(100－10x )＝－200x 2＋1 000x ＋10 000.当x ＝－b 2a ＝1 000200×2＝2.5时，可使y 有最大值．又x 为整数，则x ＝2时，y ＝11 200；x ＝3时，y ＝11 200.所以为使租出的床位少且租金高，每张床位每天最合适的收费是100＋3×20＝160(元)．2. (2017，湖州，导学号5892921)湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20 000 kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值； (2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m kg ，销售单价为y 元/kg.根据以往经验可知m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20 000（0≤t ≤50），100t ＋15 000（50＜t ≤100），y 与t 之间的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t ≤50和50＜t ≤100时，y 关于t 的函数解析式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)第2题图【思路分析】 (1)由放养10天的总成本为30.4万元，放养20天的总成本为30.8万元可列出方程组进而求得答案．(2)①分0≤t ≤50，50＜t ≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得．②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额－总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.4，20a ＋b ＝30.8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04，b ＝30.(2)①当0≤t ≤50时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1.将(0，15)，(50，25)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1＝15，50k 1＋n 1＝25.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝15，n 1＝15.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝15t ＋15.当50＜t ≤100时，设y 关于t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2.将(50，25)，(100，20)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50k 2＋n 2＝25，100k 2＋n 2＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－110，n 2＝30.∴此时y 关于t 的函数解析式为y ＝－110t ＋30.②当0≤t ≤50时，W ＝20 000⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋15－(400t ＋300 000)＝3 600t .∵3 600＞0，∴当t ＝50时，W 最大，W 最大＝180 000. 当50＜t ≤100时，W ＝(100t ＋15 000)⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋30－(400t ＋300 000)＝－10t 2＋1 100t ＋150 000 ＝－10(t －55)2＋180 250. ∵－10＜0，∴当t ＝55时，W 最大，W 最大＝180 250.综上所述，当t ＝55时，W 最大，最大值为180 250.。
暑假作业第十一课时 二次函数的应用(二)
暑假作业第十一课时二次函数的应用（二）A 热身训练1．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是.2．巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是.3．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引距离x（m）之间的关系为y=﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．5．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为元/平方米．6．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．B例题解析1．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗。
他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD＝EF＝BC＝xm。
(不考虑墙的厚度)(1)若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出．．．．x的取值范围；(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？2．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM 上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取=5）C 课后作业1．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．2．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？3．“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m 的平台（点P在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG=m，与点B的水平距离CF=2m．（1）求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．（2）求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．（3）小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．4．王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）5．如图，一面利用墙，用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S 平方米，平行于院墙的一边长为x 米．（1）若院墙可利用最大长度为10米，篱笆长为24米，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，求S 与x 之间函数关系．（2）在（1）的条件下，围成的花圃面积为45平方米时，求AB 的长．能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，应该怎么围？如果不能请说明理由．（3）当院墙可利用最大长度为40米，篱笆长为77米，中间建n 道篱笆间隔成小矩形，当这些小矩形为正方形，且x 为正整数时，请直接写出一组满足条件的x ，n 的值．6．某跳水运动员进行IOm 跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）．在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103m ，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(l)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．。
二次函数的应用2
即 y=
2π 0.0045
（45r-r）²
（0＜r＜45）
你能说出r为多少时 最大吗 你能说出 为多少时y最大吗？ 为多少时 最大吗？
探究3 探究
一座抛物线形拱桥， 一座抛物线形拱桥，当水面 在ι时，拱顶离水面 ， 时 拱顶离水面2m， 水面宽4m。水面下降1m， 水面宽 。水面下降 ， 水面宽度增加多少？ 水面宽度增加多少？
唐邱中学数学组 金勤平
二次函数的三种解析式
1.一般式y=a x+c a≠0） 1.一般式y=ax2+bx+c （a≠0） 一般式y= 2.顶点式y=a(x-h)2+k 2.顶点式y=a(x顶点式y=
（a≠0） a≠0）
3.双根式y=a(x- )(x3.双根式y=a(x-x1)(x-x2) 双根式y=
（a≠0） a≠0）
2+3x+4的 已知二次函数y= y=3、已知二次函数y=-x +3x+4的
图象如图： 图象如图： 1)方程 方程1)方程-x2+3x+4=0 X=-1,x=4 的解是_____ 的解是_____ 2)不等式 不等式2)不等式-x2+3x+4>0 -1<x<4 的解集是____ 的解集是____ 2+3x+4<0 3)不等式 不等式3)不等式-x X<-1或x>4 或 的解集是____ 的解集是____
（0、0）
o
（2、2）
x
（4、0）
y （0、2）
设抛物线的解析式为 Y=a（x-0）²+2 （ ） ）（x-2） 或y=a（x+2）（ ） （ ）（ ∴y=-0.5x²+2
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1.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10元，你能帮助计算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
2.某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高一元，其销售量相应减少10件，将销售定为多少，才能使每天所收获销售利润最大？最大利润是多少？
作业：
3.在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似6.5 5.9 6.0 6.7
4.5
那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数
Y=（x-6.5）2 +（x-5.9）2+（x-6.0）2+（x-6.7）2+（x-4.5）2
为最小值的x值，整理上式，并求出大麦穗的最佳近似长度。
4.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件。
根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售
单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？。