空间直角坐标系》教学设计
《空间直角坐标系》教学设计 (4)
《空间直角坐标系》教学设计目的要求：理解空间直角坐标系、掌握两点间的距离公式重 点：两点间的距离公式难 点：空间直角坐标系的概念教学方法：讲练结合教学时数：2课时教学进程：一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴Oz Oy Ox ,,,这三条数轴的长度单位相同．它们的交点O 称为坐标原点． Oz Oy Ox ,,称为x 轴、y 轴和 z 轴．一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为x 轴，y 轴, z 轴的正方向（图6．1）． Oz Oy Ox ,,统称为坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面． x 轴，y 轴, z 轴可以确定zOx yOz xOy ,,三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限．其中xOy 坐标面之上，yOz 坐标面之前，xOz 坐标面之右的卦限称为第一卦限．按逆时针方向依次标记xOy 坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限．在xOy 坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定其他三个卦限为第六、第七、第八卦限．（图2）图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住z 轴,当右手的四个手指从x 轴正向以 90的角度转向y 轴的正向时，大拇指的指向就是 z 轴的正向．图1 图2二、空间一点的坐标已知M 为空间一点．过点M 作三个平面分别垂直于x 轴，y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交 点分别为Ｐ、Q 、R （图3），这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为z y x ,,．于是空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组z y x ,,．这组数z y x ,,就叫做点M 的坐标，并依次称z y x ,,为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标．坐标为z y x ,,的点M 通常记为),,(z y x M ．图3反过来，有一个序数组z y x ,,，我们在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 与R 分别作x 轴、y 轴与z 轴的垂直平面．这三个垂直平面的交点M 即为以有序数组z y x ,,为坐标的点（图3）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组z y x ,,之间的一一对应关系．三、两点间的距离公式设),,(),,,(22221211z y x M z y x M 为空间内的两个点，由图4可知21,M M 两点间的距离为 2221212M M M N NM =+（12M NM ∆是直角三角形），其中222111(M N M P PN M PN =+∆是直角三角形）， 而,1212y y Q Q PN -==1212PM P P x x ==-，.122z z NM -=，所以21M M 之间的距离为21221221221)()()(z z y y M M -+-+-=χχ．例1 求之间的距离)3,2,1(),0,1,2(21-P -P ．解 22221)03())1(2()2)1((-+--+--=P P 图4 .27＝小结本讲内容： 强调空间直角坐标系、两点间的距离公式作业： P184 1（1）；（2）。
高中数学三维目标教案
高中数学三维目标教案
【教案名称】：三维几何体的性质及计算
【教学内容】：三维空间直角坐标系、向量空间中作直线及平面的方程
【教学目标】：
1. 熟练掌握三维几何体的性质和特点；
2. 掌握在三维空间中方程的求解方法；
3. 提高学生的空间想象能力和几何推理能力。
【教学重点】：
1. 三维几何体的性质；
2. 空间中作直线及平面的方程。
【教学难点】：
1. 学生对于三维空间的直观理解；
2. 三维空间中的方程解题思路。
【教学方法】：教师讲解、示范演练、学生合作探究、小组讨论。
【教学过程】：
1. 引入：通过展示三维几何体的实物，引导学生对三维空间有一个直观的认识。
2. 讲解：教师讲解三维几何体的基本性质和特点，以及在空间中作直线和平面的方程。
3. 示例演练：教师对一些典型例题进行讲解和演练，引导学生掌握解题方法。
4. 学生练习：学生在教师的指导下，进行练习题目的训练，将所学知识运用到实际问题中。
5. 小组合作：学生分成小组，进行合作探究性学习，解决一些较难的问题。
6. 总结：教师带领学生总结本节课的重点和难点，梳理知识点，巩固学习成果。
【课堂检测】：
1. 三维空间中直线和平面的方程解法；
2. 三维空间基础几何体的性质理解。
【教学反馈】：根据学生的表现，及时总结反馈，帮助学生找到自己的不足之处并加以改善。
【拓展延伸】：引导学生通过三维空间的习题来巩固知识点，并鼓励学生独立探索一些有趣的数学问题。
以上即是本节课的教学设计，希望能为教师们的教学提供一定的参考和帮助。
祝您的教学顺利！。
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》教学设计第一课时◆教学目标1、在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示..提升学生的数学抽象素养.2、能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．教学难点：掌握空间向量的坐标运算◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第17-19页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量的坐标与空间直角坐标系第一课时空间中向量的坐标及坐标运算的知识内容．（2）通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 平面向量中,我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量,引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标?这就是本小节我们要研究的内容（板书：空间向量的坐标系与空间直角坐标系第一课时）二、探索新知 第一部分 空间中向量的坐标问题2：如图所示，已知123,,===OA e OB e OC e ,且OADB-CEGF 是棱长为1的正方体,111111-OF E A A DC B 是一个长方体，1A 为OC 的中点，1FO=2,． （1）设1,,==OG a OC b 将向量,a b 都用123,,e e e 表示；（2）如果p 是空间中任意一个向量，怎样才能写出p 在基底{123,,e e e }下的分解式？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：123,=++a e e e 12312,2=-+b e e e 设计意图：问题既是对上一小节空间向量基本定理的检测与巩固,又为引出本小节的空间向量的坐标做了铺垫．追问：根据空间向量基本定理,任意向量p 都可以在基底{123,,e e e }下进行分解;如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标如何表示?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标为（x ，y ，z ）．设计意图：把问题分解,分层次、设梯度来进行研究,培养学生的数学抽象核心素养．2、形成定义一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.三、初步应用例1已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）12323=++p e e e ；（2）1232=-+-q e e e ；（3）232=--r e e ；（4）0师生活动：学生根据所学知识做出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：（1）(2,3,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,2,1)=--r ；（4）（0,0,0）设计意图：通过例题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．练习：已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）13-2=+p e e ；（2）2132=-+-q e e e ；（3）3=-r e ；师生活动：学生根据例1的讲解做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）(-2,0,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,0,1)=-r设计意图：通过练习题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．第二部分.空间向量的运算与坐标的关系问题3：与平面向量的坐标类似,空间向量有了坐标之后,向量的相等以及加法运算与它们对应的坐标之间有什么关系?师生活动：学生先由平面向量的坐标运算猜测空间向量的坐标运算，教师给出答案． 预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ,则121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz设计意图：利用向量的加法、减法、数乘等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念、提出新的数学猜想、发现新的规律起着十分重要的作用,也有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．追问：能否证明上述结论？师生活动：学生先尝试自己证明，教师给出证明过程．预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ，则111213212223,=++=++a x e y e z e b x e y e z e ，则当=a b 时，111213212223++=++x e y e z e x e y e z e 由{123,,e e e }是单位正交基底和空间向量基本定理可知，121212,,===x x y y z z ，反之，结论也成立，这就是说，空间两个向量相等的充要条件是他们的坐标分量相等．111213212223+=+++++a b x e y e z e x e y e z e =112112221323+++++x e x e y e y e z e z e =121122123)()()+++++（x x e y y e z z e ，所以，121212(,,)+=+++a b x x y y z z ．问题4：通过上面的学习，你是否可以得出,||,cos ,⋅〈〉a b a a b 的坐标运算公式？并给出证明？师生活动：学生先尝试自己得出结论并证明，教师给出证明过程．预设的答案：121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x211122cos ,||||⋅〈〉==+++a b a b a b x y z x y 证明：又因为{123,,e e e }是单位正交基底，所以1122331223311,0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=e e e e e e e e e e e e ，因此，⋅=a b 111213212223)()++⋅++（x e y e z e x e y e z e=121112221233122112)⋅+⋅+⋅++⋅（x x e e y y e e z z e e x y x y e e122123122131))++⋅++⋅（（y z y z e e x z x z e e 121212=++x x y y z z设计意图：利用向量的数量积等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念，有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．初步应用例2：已知(2,3,5),(3,3,2)=-=-a b ，求下列向量的坐标；（1）-a b ；（2）2+a b ；（3）5-b师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）-a b =(2,3,5)-(3,3,2)-5,6,3--=（） （2）2+a b =2(2,3,5)(3,3,2)-1,3,12-+-=（）；（3）5-53,3,2(15,15,10)-=-=--（）b设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．例3：已知(1,0,1),(2,2,0)==-a b ，求,〈〉a b ；师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：120(2)102⋅=⨯+⨯-+⨯=a b ，2||10=+=a2||2(=+=b ，所以，21cos ,2||||2⋅〈〉===⨯a b a b a b ，因此，,〈〉a b =60． 设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，也为后面学习直线与平面的夹角、二面角等做准备．培养学生的数学运算数学学科核心素养．练习：在例3的条件下，求：（1）⋅a b ；（2）在a b 上正射影的数量；师生活动：学生根据例题思路尝试自己解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）⋅a b =2；（2）2设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是单位正交基底，单位正交分解，坐标，坐标分量？（2）空间向量的坐标运算有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.（2）121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x21cos ,||||⋅〈〉==+a b a b a b x设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量坐标运算的有关知识． 布置作业：教科书第25页练习A1,2题．五、目标检测设计1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则3a ＋b 为( )A ．(－2，－3，－2)B ．(2,3,2)C ．(－2,3,2)D ．(4,3,2)设计意图：考查学生对空间向量坐标运算的应用．2.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．设计意图：考查学生对空间向量夹角简单应用．3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．设计意图：考查学生对空间向量坐标概念的应用．参考答案：1．B[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]2．120°[由于AB→＝(－2，－1,3)，CA→＝(－1,3，－2)，所以AB→·CA→＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB→|＝14，|CA→|＝14，所以cos θ＝cos〈AB→，CA→〉＝－714×14＝－12，则θ＝120°．]3．(－1,2,3)[p＝(－1,2,3)．。
围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２５围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计围绕核心素养的空间直角坐标系教学设计Һ魏安龙㊀（南京外国语学校仙林分校中学部，江苏㊀南京㊀２１００４６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文是苏教版必修二空间直角坐标系概念课的教学设计，将从教学目标㊁教学过程中的课前准备㊁课堂互动的问题设计等方面，围绕新课程标准的高中数学核心素养进行设计．在教学反思中，联系高中数学核心素养的每个方面，对教学过程的设计思路㊁情境设计和课堂教学等方面进行总结反思．ʌ关键词ɔ空间直角坐标系；核心素养；设计；教学反思写教学设计，就需要我们按照教学设计的标准模式走，要有明确的教材分析㊁学情分析㊁教学目标㊁教学重难点，过程方面需要有合理的引入环节，以及最后的目标达成情况分析等．一㊁教材分析在２０１０年的普通高中数学课程标准中，空间直角坐标系的内容安排在平面解析几何初步的部分，目的是拓展坐标系的知识，但是这样的安排弊大于利．所以在２０１７版的普通高中数学课程标准中，空间直角坐标系的内容就回归到空间向量与立体几何部分，这样能很好地体现学以致用，有利于培养学生直观想象的核心素养．二㊁学情分析学生在学习这部分知识前，已经理解和掌握了平面直角坐标系的有关知识，对坐标㊁象限等概念和联系有了清晰的认识，通过立体几何初步的学习，已经初步形成空间观念，具有一定的空间想象能力．三㊁教学目标㊁重难点设计１．教学目标空间直角坐标系是在学生具备平面直角坐标系知识，学习了立体几何初步后的课程，是学生学习空间向量的基础．依据核心素养的要求，可设计教学目标如下：（１）通过一维到二维知识结构发展的需要以及笛卡尔故事的具体情境，使学生感受学习空间直角坐标系的必要性；（２）通过类比联想，让学生得出空间直角坐标系的概念，并在此基础上知道右手系的概念；（３）结合平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，类比理解在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法；（４）感受二维平面与三维空间的联系，能通过类比探索空间直角坐标系中的有关结论．２．重点与难点理解空间直角坐标系．四㊁课堂教学过程设计１．课前准备（新课引入）（１）数轴是怎样定义的？如何利用数轴确定直线上点的位置？（２）平面直角坐标系是怎样定义的？如何利用平面直角坐标系刻画点的位置？（３）平面直角坐标系中有哪些重要公式？目前研究了哪些曲线的方程？（４）情境问题：笛卡尔的故事．２．课堂互动问题１：如何定义空间直角坐标系？怎样画？（１）空间直角坐标系的概念，右手直角坐标系（见教材）．（２）空间直角坐标系的画法，空间点的坐标表示（见教材）．（３）空间直角坐标系中区域的划分（如图１），三个坐标平面把空间分成八个部分，即八个卦限，每一部分称为一个卦限．图１问题２：空间直角坐标系中怎样画点？例１㊀在空间直角坐标系中，画出点Ｐ（６，４，５）．分析㊀在空间直角坐标系中画出点Ｐ，可按下列步骤进行操作：Ｏ从坐标原点出发，沿ｘ轴正方向移动６个单位ңＰ１从点Ｐ１出发，沿与ｙ轴平行的正方向移动４个单位ңＰ２从点Ｐ２出发，沿与ｚ轴平行的正方向移动５个单位ңＰ．解㊀作空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，并在图中作出点Ｐ１（６，０，０），Ｐ２（６，４，０），最后得出点Ｐ（６，４，５）如图２所示．图２例２㊀在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝８，ＡＡ１＝６．若以点Ａ为坐标原点，以射线ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ１分别为ｘ轴㊁ｙ轴㊁ｚ轴的正半轴建立空间直角坐标系，试求这个长方体各个顶点的坐标．解㊀据题意，可得Ａ（０，０，０），Ｂ（１０，０，０），Ｃ（１０，８，０），Ｄ（０，８，０），Ａ１（０，０，６），Ｂ１（１０，０，６），Ｃ１（１０，８，６），Ｄ１（０，８，６）．例３㊀（１）在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，分别画出三个不共线的点Ａ，Ｂ，Ｃ，并且使这三个点的坐标都满足ｚ＝４，画出图形；（２）写出由Ａ，Ｂ，Ｃ这三个点确定的平面内的点的坐标. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２５应满足的条件．解㊀（１）取三个点分别为Ａ（０，０，４），Ｂ（５，０，４），Ｃ（０，５，４），如图３．图３（２）因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，因此它们可以确定平面ＡＢＣ，平面ＡＢＣ上点的坐标都满足ｚ＝４，如图３．问题３：二维平面中的结论在三维空间中推广可以得出哪些结论？（见下表）平面直角坐标系空间直角坐标系坐标轴上的点ｘ轴ｙ轴坐标轴上的点ｘ轴ｙ轴ｚ轴坐标平面上的点ｘＯｙ平面ｙＯｚ平面ｚＯｘ平面点Ｐ（ｘ，ｙ）关于坐标轴对称ｘ轴ｙ轴原点Ｏ点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）关于坐标轴对称原点Ｏｘ轴ｙ轴ｚ轴点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）关于坐标平面对称ｘＯｙ平面ｙＯｚ平面ｚＯｘ平面中点公式距离公式直线方程圆的方程中点公式距离公式直线方程球面方程例４㊀试求点Ａ（２，－１，－３）关于空间直角坐标系中ｘＯｙ平面㊁ｚＯｘ平面及原点的对称点．解㊀点Ａ（２，－１，－３）关于ｘＯｙ平面的对称点为Ａ１（２，－１，３），关于ｚＯｘ平面的对称点为Ａ２（２，１，－３），关于原点的对称点为Ａ（－２，１，３）．问题４：本节课你学习了哪些知识？学会了解决哪些问题？经学生总结后绘制思维导图（如图４）．图４３．课后作业（略）五㊁教学目标达成及教学反思空间直角坐标系一课的设计，总体想法是参考老教材㊁老课标，围绕新课标㊁新高考进行设计，围绕核心素养开展教学．１．目标达成分析根据学生的课堂反应以及作业完成的准确程度分析，本节课能很好地达到既定的教学目标，特别是数学抽象函数与直观想象的核心素养得到了进一步培养．２．本节课的教学设计思路新课程标准提出的 数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算和数据分析［２］ 等核心素养是本节课设计的主要线索．（１）围绕核心素养的教学目标的确定．重点围绕逻辑推理㊁数学抽象两方面进行目标的制订（见教学目标）．（２）围绕核心素养开展的课堂情境设计．本节课有两个情境，一个是从数学研究的坐标发展方面，另一个是笛卡尔的故事．在这个过程中，渗透了数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象的核心素养．（３）以类比推理为主线发展核心素养，以空间直观想象为重点，以数学抽象㊁数学建模问题为课堂互动．本课以设计问题串的形式，引导学生提出㊁分析㊁解决问题，在问题解决的过程中渗透核心素养．（４）利用不同的教学手段和展示，提高教学效果，将核心素养的要求落到实处．教师规范的板书是对学生潜移默化的影响．思维导图的设计与呈现是引导学生知识升华㊁思维能力提高的重要手段．本节课的板书设计主要有三个区域：例题演示区，重点内容呈现区，临时板书区．重点是思维导图的设计，它发展了学生的抽象概括水平和逻辑推理能力．３．不足与存在的问题对照 高效课堂操作指南 ，对照新课程标准教学建议中的落实 四基 ㊁培养 四能 （基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验简称 四基 ，提高从数学角度发现和提出问题的能力㊁分析和解决问题的能力简称 四能 ）的要求，以及新课程标准教学建议中 教学目标的制订要突出数学学科核心素养；情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养；整体把握教学内容，促进数学学科核心素养的连续性和阶段性发展；既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习 的相关内容，本节课有以下不足：（１）概念的呈现速度快，剖析肤浅，留给学生巩固思考的空间有限；（２）教师的规范给了学生潜移默化的影响，但也可能框住学生的思维，有形的影响不如无痕的渗透；（３）需要进一步提高数学修养，广泛且深入地开展理想教育，加强核心素养在每一个知识点方面的修炼和理解．ʌ参考文献ɔ［１］单墫．普通高中课程标准实验教科书数学：必修２［Ｍ］．南京：凤凰教育出版社，２０１２．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．. All Rights Reserved.。
1.3.1 空间直角坐标系教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.3.1 空间直角坐标系一、教学目标1、了解掌握空间直角坐标系；2、通过类比的方式快速掌握空间直角坐标系及其应用.二、教学重点、难点重点：空间直角坐标系的理解与掌握. 难点：空间直角坐标系的熟练应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题平面向量与平面直角坐标系的关系OA xi y j =+向量a 的坐标表示为(,)a x y =已知1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--布置学生阅读课本1617P P -，思考空间向量与平面向量的类比关系，观察两种向量的关联与区别.（二）阅读精要，研讨新知【类比转化】通过空间向量与平面向量的类比，快速掌握空间向量在空间直角坐标系中空间向量与空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz ，其中{,,}i j k 为单位正交基底，O 为原点，坐标轴为x 轴、y 轴、z 轴，坐 标平面为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，且把空间分成八个部分.本书建立的皆为右手直角坐标系.OA xi y j zk =++点(,,)A x y z 中的x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标.a xi y j zk =++向量a 的坐标表示为(,,)a x y z =【例题研讨】阅读领悟课本18例1（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.） 例1如图 1.3-6， 在长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,2OA OC OD '=== 以111{,,}342i j k 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出,,,D C A B '''四点的坐标；（2）写出向量,,,A B B B A C AC ''''''的坐标.解：（1）因为002OD i j k '=++，所以(0,0,2)D '， 因为040OC i j k =++，所以(0,4,0)C ，点A '在x 轴，y 轴，z 轴上的射影分别为,,A O D ' 且在坐标轴上的坐标分别为3,0,2 所以(3,0,2)A '点B '在x 轴，y 轴，z 轴上的射影分别为,,A C D ' 且在坐标轴上的坐标分别为3,4,2 所以(3,4,2)B '.（2）040(0,4,0)A B OC i j k ''==++=，002(0,0,2)B B OD i j k '=-=+-=-340(3,4,0)A C A D D C i j k ''''''=+=-++=-342(3,4,2)AC AO OC CC i j k ''=++=-++=-. 【小组互动】完成课本18P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1．在空间直角坐标系中，点(2,1,4)P -关于点()2,1,4M --的对称点的坐标是（ ） A ．(0,0,0) B ．214()--，， C ．6312()--，， D ．2312()-，， 解：设所求对称点为,(),P x y z '，则点M 为线段PP '的中点， 类比直角坐标系中的中点坐标公式可得222112442x yz-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩，解得6,3,12x y z ==-=-，故选C2.已知棱长为3的正四面体A BCD -，O 为A 在底面BCD 上的射影，建立如图所示的空间直角坐标系，点B 的坐标是_________．解：由已知BCD ∆为边长为3的正三角形，则BC 33所以01333233360332B B y x =-==-=-， 所以点B 的坐标为33(0)2-，. 答案：33(0)2--， 3.（多选）在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确的是（ ） A ．点P 关于x 轴对称的点的坐标是1(,,)P x y z -；B ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标是2,(,)P x y z --；C ．点P 关于xOy 平面对称点的坐标是3(,,)P x y z -；D ．点P 关于原点对称点的坐标是4(,,)P x y z ---．解：对于A ，(,,)P x y z 关于x 轴对称的点的坐标是()1,,P x y z --，故A 错误； 对于B ，(,,)P x y z 关于yOz 平面对称的点的坐标是()2,,P x y z -，故B 错误； 对于C ，(,,)P x y z 关于xOy 平面对称的点的坐标是()3,,P x y z -，故C 正确； 对于D ，(,,)P x y z 关于原点对称点的坐标是()4,,P x y z ---，故D 正确. 故选CD（四）归纳小结，回顾重点空间向量与空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz，其中{,,}i j k 为单位正交基底，O 为原点，坐标轴为x 轴、y 轴、z 轴，坐 标平面为Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，且把空间分成八个部分.本书建立的皆为右手直角坐标系.OA xi y j zk =++点(,,)A x y z 中的x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标.a xi y j zk =++向量a 的坐标表示为(,,)a x y z =（五）作业布置，精炼双基1.完成课本22P 习题1.3 1、2、32.预习1.4 空间向量的应用五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。
课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。
本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。
结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。
课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。
教学目标重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。
难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。
知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。
能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。
教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。
自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。
考试点：空间中点的确定及坐标表示。
易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。
拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。
教具准备多媒体课件和三角板课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。
一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。
数学空间直角坐标系教学设计
（2）为什么？
不能。住楼上的不能在平面直角坐标系里正确反映。
由现实中的例子将平面直角坐标系推广。
为了准确表示自己的住处。我们需要如何变化坐标系才可以准确表示我们的住处?
在坐标系中加入一个竖着的轴。
引出空间直角坐标系。
1.、现用我们熟悉的单位正方体做模型来建立。（PPT页3）
高一数学
空间直角坐标系
教学知识点：1，空间直角坐标系的建立。
2，空间中任意点的概念，画法。
3，中点，对称点的求法。
教学重难点：空间直角坐标系的建立。
教学流程:
↓
↓
↓
↓
配套：（空间直角坐标系.ppt）
教学过程：
老师
学生
教学意图
引入：现在大家都住在学校附近，以学校及其周边的地面建立平面直角坐标系。大家的住处就能显示在上面了。（PPT页2）
课堂教学总结:
本节课学习了空间直角坐标系的概念及其相关内容，重在使学生熟悉空间直角坐标系，并能灵活运用它来帮助解决实际问题。
重视知识与实际的联系。通过例题讲解，诱导学生自主分析归纳出教学知识，活泼课堂气氛。
重视引导学生，在老师的带领下让学生自然轻松地学会空间直角坐标系及其相关内容。为后面的空间两点间距离公式做准备。
思考，书写。
初步运用空间直角坐标系。
3、例，（PPT页5）已知点M（1，2，3），在空间直角坐标系中画出它的位置。
（介绍空间直角坐标系中点的作法。）
学习，作图。
让学生了解空间中任意点的画法。
练习：已知点N（-2，2，-1），在空间直角坐标系中画出它的位置。
作图。
让学生熟悉空间直角坐标系中任意点的作法。
《空间直角坐标系》教学设计 (3)
《空间直角坐标系》教学设计一、教学目标：1、知识技能目标：（1）能说出空间直角坐标系的构成，特征。
（2）会自己画出空间直角坐标系。
（3）能够在空间直角坐标系下表示点。
2、过程与方法：尝试自己建立空间直角坐标系，在这一过程中体会空间直角坐标系的特点。
3、情感目标：培养学生严谨的学习态度以及勇于探索的学习精神。
说明：教学目标是在进行了学习者的学习需求分析基础上制定的，分析了学习者的现有状态、想要达到的理想状态、以及当前存在的问题，针对这些制定出学习目标。
教学目标分为认知领域、动作技能领域和情感态度领域三维目标。
在制定具体教学目标时，使用行为动词进行表述，这样才可以使教学目标更具有可操作性。
二、教学任务分析1、学生的起点能力：学生已经掌握平面直角坐标系的知识，又学习了立体几何内容，具备了一定的空间想象能力。
2、学习类型与先决条件：本课属于智力技能中的规则学习，先决条件是规则中的有关要领要先行掌握。
课时安排：1课时说明：任务分析是教学目标设计的一个重要组成部分，它是对学生完成任务所允许的条件进行分析。
因此在进行教学目标设计时，需要见其作为目标设计的一部分。
教学重点和难点重点：空间直角坐标系的建立过程难点：空间任意点的坐标如何表示教学方法：探究式教学手段：实物模型，多媒体教学任务：课前准备：学生根据自己的预习制作空间直角坐标系模型由实际问题引出空间直角坐标系，探索空间直角坐标系的建立方法讨论分析空间任意点的坐标表示说明：教学任务的制定采用了“信息加工分析法”将学习过程看作是信息流的流动过程，所以这种方法强调任务分析过程中的连续性。
三、教学过程说明：根据布鲁纳发现学习的教学理论，学习过程分成以下几步：创设问题情境，使学习者在情境中产生矛盾，提出要解决的问题；学习者利用所提供的材料，对问题提出假设，并检验假设，不同观点可以争论；对争论作出总结，得出结论。
这种发现学习的教学顺序，实际上就是从具体到抽象的教学顺序，它有利于激发学习者的智慧潜能，有利于培养学习者的内在动机，学会发现的技巧。
1.3.1空间直角坐标系(教学教学设计)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
- 提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解空间直角坐标系的基本概念和性质。
- 实践活动法：设计小组讨论，让学生在实际操作中加深对坐标系的理解。
- 合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学抽象能力。他们能够通过例题解析和实际问题解决，运用逻辑推理方法，掌握空间直角坐标系的运算规则和解题方法。然而，空间想象能力是学生在学习空间直角坐标系时面临的一大挑战。空间直角坐标系是一个三维的概念，学生需要具备良好的空间想象能力，才能更好地理解和运用空间直角坐标系。
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
其中，r表示点P到原点O的距离。
4. 坐标点的坐标应用
①坐标应用的定义：坐标应用是指在空间直角坐标系中，利用坐标点的坐标值进行实际应用的过程。
作用与目的：
- 帮助学生深入理解空间直角坐标系的基本概念和性质，掌握其在数学中的应用。
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据空间直角坐标系的性质和应用，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
教学实施过程
1. 课前自主探索
教师活动：
- 发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。
- 设计预习问题：围绕空间直角坐标系的概念和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。
2.1.1空间向量的坐标与空间直角坐标系课件
课堂小结，总结提炼
课后作业，巩固提升
教材P96-97页习题3-1A组第1，3，5，6题， B组第1，2题
5.空间向量坐标的应用
已知空间中点 A(x1，y1，z1),B(x2，y2，z2）
作业：
完成课后26页27页28页 习题1-1A、B、C
当建立空间直角坐标系后，
空间中的点M，
M
可以用有序实数（x，y，z）表示．
O
y
x
z
二、空间点的坐标：
1
设点M是空间的一个定点，过点M分别 作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，
依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和
R．
R
C'
B'
M
Q
y
2
设点P、Q 和R 在x轴、y轴和z轴上的坐 标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标
P
A
可以用有序实数组(x，y，z)来表示，(x， y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的
x
坐标，记作M(x，y，z)．
3
其中x叫做点M的横坐标， y叫做点M的纵坐标， z叫做点M的竖坐标
z
三、特殊位置的点的坐标
F•
•C
1
•
E
O•
•B
1
y
观察发现：
坐标轴上的点至少 有两个坐标等于0； 坐标面上的点至少 有一个坐标等于0。
湘教版选择性必修二 第二章 空间向量与立体几何
2.1 空间向量及其运算
2.1.1空间向量的坐标与空间直角坐标系
教学设计
温故知新，提出课题
Q1 看到“空间直角坐标系”，你会联想到什么？
(1) 如何确定一个点的位置？
《空间直角坐标系》教学设计(优质课)
空间直角坐标系（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.（二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示.（三）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x，y)表示。
那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化.让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.概念形成（2）空间直角坐标系该如何建立呢？师：引导学生看图[1]，单位正方体OABC–D′A′B′C′，让学生认识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标原点，坐标轴以体会空间直角坐标系的建立过程.[1] 及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2] 师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组(x，y，z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标.师：如果给定了有序实数组(x，y，z)，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x，y，z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x，y，z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答学生从（1）中感性向理性过渡.应用举例（4）例1 如图，在长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。
高中数学 4.3.1空间直角坐标系教案 新人教A版必修2
空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．） 建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示． 例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． （1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=；zx yz x yAC（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,ABC AB BC ∠===（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，zyx//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1． 利用线面垂直建立空间直角坐标系；2． 把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标； （2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）y例4．如图， 在矩形A B C D 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243A E EB A F F D ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．） （3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2010年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位 置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间 图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等， 来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见． 作业：略．。
认识直角坐标教案小班科学
认识直角坐标教案小班科学一、教学目标。
1. 能够理解直角坐标系的基本概念和用途。
2. 能够在直角坐标系中准确地表示和阅读坐标点。
3. 能够利用直角坐标系进行简单的图形绘制和分析。
二、教学重点。
1. 直角坐标系的基本概念和用途。
2. 坐标点的表示和阅读。
3. 利用直角坐标系进行图形绘制和分析。
三、教学难点。
1. 坐标点的表示和阅读。
2. 利用直角坐标系进行图形绘制和分析。
四、教学准备。
1. 教师准备，直角坐标系的相关知识和教学方法。
2. 学生准备，学生需要准备好纸笔和直尺等绘图工具。
五、教学过程。
1. 导入新课，通过简单的实例引入直角坐标系的概念，让学生了解直角坐标系的基本作用和用途。
2. 讲解直角坐标系的基本概念，教师向学生介绍直角坐标系的概念，包括横纵坐标轴、原点、坐标轴的正方向等。
3. 示范坐标点的表示和阅读，教师通过示范，让学生了解如何在直角坐标系中表示和阅读坐标点。
4. 练习坐标点的表示和阅读，让学生进行简单的练习，巩固坐标点的表示和阅读方法。
5. 讲解直角坐标系的图形绘制和分析方法，教师向学生介绍如何利用直角坐标系进行简单的图形绘制和分析。
6. 示范图形绘制和分析，教师通过示范，让学生了解如何利用直角坐标系进行图形的绘制和分析。
7. 练习图形绘制和分析，让学生进行简单的练习，巩固利用直角坐标系进行图形绘制和分析的方法。
8. 总结本节课的内容，教师对本节课的内容进行简单的总结，让学生对直角坐标系的基本概念和方法有一个清晰的认识。
六、教学反思。
通过本节课的教学，学生能够初步了解直角坐标系的基本概念和用途，能够在直角坐标系中准确地表示和阅读坐标点，能够利用直角坐标系进行简单的图形绘制和分析。
但是在教学中也发现了一些问题，比如部分学生对坐标点的表示和阅读方法理解不够清晰，需要在后续的教学中加强相关的训练和巩固。
同时，教师在示范和讲解过程中需要更加注重学生的实际操作和参与，让学生更加深入地理解和掌握直角坐标系的相关知识和方法。
《空间直角坐标系》教学设计
《空间直角坐标系》教学设计教学设计：空间直角坐标系一、教学目标：1.了解空间直角坐标系的概念，掌握坐标系的构建方法；2.学会在空间直角坐标系中表示一个点；3.能够识别和绘制一个物体在空间中的位置；4.能够用坐标系进行简单的空间运算。
二、教学重难点：1.如何建立空间直角坐标系；2.在坐标系中表示点和物体的位置；3.用坐标进行简单的空间运算。
三、教学准备：1.教学工具：投影仪、白板；2.教学材料：教科书、绘图工具等。
四、教学过程：1.引入新知识（10分钟）教师通过投影仪或板书展示空间直角坐标系的概念和作用，引导学生思考在平面上表示一个点需要多少个坐标，而在空间中表示一个点又需要多少个坐标。
然后，介绍空间直角坐标系的三个坐标轴以及坐标轴的正方向。
2.建立空间直角坐标系（10分钟）教师在白板上以适当的比例，绘制出三个相互垂直的坐标轴，并在坐标轴上标出正方向。
然后，将坐标轴连接起来，形成一个空间直角坐标系。
3.表示点和物体的位置（20分钟）教师通过实际的案例，例如：“请用空间直角坐标系表示出教室中黑板的位置”，引导学生认识到点在坐标系中的表示方法。
然后，教师逐步讲解如何确定点的坐标，并要求学生根据案例自己进行实践。
4.绘制图形（20分钟）教师通过绘制一个简单的立方体图形，引导学生理解如何在空间直角坐标系中表示一个物体的位置。
然后，要求学生根据案例绘制图形。
5.空间运算（20分钟）教师通过实际问题，例如：“请计算点A(2,3,4)与点B(5,6,7)之间的距离”，引导学生认识到在空间直角坐标系中进行简单的空间运算的方法。
然后，教师逐步讲解如何进行坐标的加减法，并要求学生根据案例进行实践。
6.练习与作业（20分钟）教师布置相关的练习题，要求学生巩固所学的知识，并留作业：完成教科书上的相关练习。
五、课后反思：通过这堂课的教学，学生能够建立起空间直角坐标系的概念，掌握如何在坐标系中表示一个点和一个物体的位置，以及进行简单的空间运算。
《空间直角坐标系》示范课教学设计【高中数学】
环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2： 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？ 答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？ 答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3： 在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标； （2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标； （3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？ 答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时 空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容： 我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1： 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1： 平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？ 答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2： 你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案： 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ， 同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2： 在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1： 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2： 这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？ 答案： 显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3： 除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案： 设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1： 两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2： 向量EF 的坐标怎么求？答案： 因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3： 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说， 两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减； 空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标； 空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求： （1）+a b ； （2）6a ； （3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。
空间直角坐标系教学设计
空间直角坐标系教学设计4.3空间直角坐标系高中数学组郭素霞一、教学目标1。
知识和技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示（3）掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法和空间点的坐标表示。
形式和价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.二、教学重点与难点空间直角坐标系中点的坐标表示、空间两点间的距离公式。
三、教学过程（一）新课导入我们可以在平面直角坐标系中做一个圆，那么我们可以在平面直角坐标系中做一个球吗？如果是，怎么做？如果没有，原因是什么？如果我想把球放在坐标系中该怎么办？（引出建立空间直角坐标系）那么应该如何建立空间直角坐标系呢？（2）教授新课程1。
预览和整合①建立空间直角坐标系：从空间某一个定点o引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系o?xyz.点o叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面和zox平面．通常，在纸上绘制空间直角坐标系时，x轴和y轴、x轴和z轴为135，z轴垂直于y 轴。
Y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度是Y轴（或z轴）单位长度的一半。
这样，三个轴的单位长度在直视下大致相等②空间点的坐标表示：对于空间任意一点a，作点a在三条坐标轴上的射影，即经过点a作三个平面分别垂直于x轴与y轴与z轴，它们与x轴与y轴和z轴分别交与p,q,r．点p,q,r在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点a的坐标，记为a(x,y,z)。
其中x叫做点a的横坐标，y叫做点a的纵坐标，z叫做点a的竖坐标。
③ 空间中两点之间的距离公式：已知空间任意两点p12|?1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)，则|pp?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)；p |？RR（如果C（a，a，a）已知），P（x，y，z）和| C是半径的球体。
七年级数学下册14.3直角坐标系中的图形教学设计
七年级数学下册14.3直角坐标系中的图形教学设计一. 教材分析《七年级数学下册14.3直角坐标系中的图形》这一节主要让学生了解直角坐标系中图形的性质，学会在坐标系中描绘和分析图形。
教材通过具体的实例，引导学生感受坐标系中图形的变化，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了坐标系的基本概念，对点的坐标有所了解，但对于如何在坐标系中分析和描绘图形，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生掌握图形在坐标系中的性质和变化。
三. 教学目标1.让学生了解直角坐标系中图形的性质，学会在坐标系中描绘和分析图形。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对图形的分析，让学生感受数学与生活的联系，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生了解直角坐标系中图形的性质，学会在坐标系中描绘和分析图形。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握图形在坐标系中的变化规律。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索和分析图形在坐标系中的性质和变化。
2.利用数形结合法，让学生直观地感受图形的变化，提高学生的空间想象能力。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括图形的变化实例和相关的习题。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和讲解。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如一个点的坐标变化，引导学生回顾坐标系的基本概念。
然后提出问题：“在坐标系中，图形的性质和变化有什么规律？”引发学生的思考。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示一些图形在坐标系中的变化实例，如直线、曲线等。
引导学生观察和分析图形的变化规律，并让学生尝试用自己的语言描述这些规律。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个图形，分析其在坐标系中的性质和变化规律。
然后各组汇报自己的成果，其他组进行评价和补充。
空间直角坐标系教学设计
【设计意图】通过对例3的变形，让学生发现空间直角坐标系的建立可根据题目改变，答案不唯一。通过自己探索得出对称点的坐标关系，发现探索的乐趣，提高了学生的学习自信心。
四、课堂小结
让学生自己归纳总结得出本节课的四个主要内容：
1、空间直角坐标系的建立(三步);
2.空间直角坐标系的划分
问题4.三个坐标轴可确定几个平面？这些平面把空间分成几个部分？学生根据Biblioteka 间几何知识得出，三个平面，八个部分。
教师及时给出卦限概念，并依此给八卦限排序。
【设计意图】通过空间几何知识得出新的概念，使学生产生新的认知结构。
3.空间中点的坐标
问题5.在建立了空间直角坐标系以后如何来确定空间中点的坐标？
问题7.坐标系的原点是否一定要取在O点？可否以立方体中心为原点？此时八个顶点的坐标如何？观察点的位置关系，以及相应坐标，你能得出什么？
学生思考后可发现原点的取值可以任意取，对称点之间的坐标存在一定规律。
教师引导学生发现：点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点:(x,-y,-z)
教学进程（不够请附页）：
一、复习引入
问题1.在初中，我们已经学习过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点如何表示？
（1）数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。
（2）数轴上的点可用与这个点对应的实数X来表示。
问题2.在初中，我们已经学习过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定数轴的因素有哪些？平面直角坐标系上的点如何表示？
（1）平面直角坐标系是由两条原点重合、相互垂直的数轴组成的。
（2）平面直角坐标系上的点用它对应的横纵坐标（x,y）表示。
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《空间直角坐标系》教学设计
（一）教学目标1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想.
（二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示.
（三）教学手段多媒体
（四）教学设计
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入问题情景1
对于直线上的点，我们可以通过数
轴来确定点的位置，数轴上的任意一
点M都可用对应一个实数x表示；对
于平面上的点，我们可以通过平面直
角坐标系来确定点的位置，平面上任
意一点M都可用对应一对有序实数
(x，y)表示；对于空间中的点，我们也
希望建立适当的坐标系来确定点的位
置. 因此，如何在空间中建立坐标系，
就成为我们需要研究的课题.
师：启发学生联想思
考，生：感觉可以
师：我们不能仅凭感
觉，我们要对它的认
识从感性化提升到理
性化.
让学生体
会到点与
数（有序数
组）的对应
关系.培养
学生类比
的思想.
那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢
概念形成问题情景2
空间直角坐标系该如何建立呢
O x X
一维坐标
二维坐标
三维坐标（图）
师：引导学生看
图，单位正方体OABC
–D′A′B′C′，让学生认
识该空间直角系O
–xyz中，什么是坐标
原点，坐标轴以及坐标
平面.
师：该空间直角坐
标系我们称为右手直
角坐标系.
让学生通过
对一维坐
标、二维坐
标的认识，
体会空间直
角坐标系的
建立过程.
问题情景3
建立了空间直角坐标系以后，空间中
任意一点M如何用坐标表示呢
师：引导学生观察
图，
生：点M对应着
唯一确定的有序实数
组(x，y，z)，x、y、z
分别是P、Q、R在x、
通过幻灯片
展示横坐
标、纵坐标、
竖坐标产生
过程，让
学生从图中
横坐标纵坐标竖坐标
图y、z轴上的坐标.师：
如果给定了有序实数
组(x，y，z)，它是否对
应着空间直角坐标系
中的一点呢/
生：（思考）是的
师：由上我们知道了空
间中任意点M的坐标
都可以用有序实数组
(x，y，z)来表示，该数
组叫做点M在此空间
直角坐标系中的坐标，
记M(x，y，z)，x叫做
点M的横坐标，y叫做
点M的纵坐标，z叫做
点M的竖坐标.
师：大家观察一下
图，你能说出点O，A，
B，C的坐标吗生：回
答
由感性向理
性过渡.
P
Q R
O
x
M
y
z
M1
x
R
O
M
y
z
z
Q
O
x
M
y z
y
M
1
P
O
x
M
y
z
x
M1
应用举例例1 如图，在长方体OABC–D′A′B′C′
中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 2.写出
D′、C、A′、B′四点的坐标.
解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它
的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标
y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，
2).点C在y轴上，且O D′ = 4，它的纵
坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都
是零，所以点C的坐标是(0，4，0).
同理，点A′的坐标是(3，0，2).点
B′在xOy平面上的射影是B，因此它的
横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x
与纵坐标y相同.在xOy平面上，点B
横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B′在z
轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′
的竖坐标相同，点D′
的竖坐标z = 2.所点B′的坐标是(3，4，
2)
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，图
是食盐晶胞的示意图(可看成是八个
棱长为1
2
的小正方体堆积成的正方
体)，其中色点代表
钠原子，黑点代表氯
师：让学生思考例
1一会，学生作答，师
讲评。
师：对于例二的讲
解，主要是引导学生先
要学会建立合适的空
间直角坐标系，然后才
涉及到点的坐标的求
法。
生：思考例一、例
二的一些特点。
总结如
何求出空间中的点坐
标的方法。
学生在教
师的指导
下完成，加
深对点的
坐标的理
解，例2更
能体现出
建立一个
合适的空
间直角系
的重要性
原子.如图，建立空间直角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子所在位置的
坐标.
解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，11
(,,0)
22
；
中层的原子所在的平面平行于
xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1
2
，所以，这四个钠原子所在位置的坐标
分别是1111
(,0,),(1,,)
2222
，
1111
(,1,),(0,,)
2222
；
上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，11
(,,1)
22
学以致用
课堂练习
练习1在空间直角坐标系中标出
下列各点A（0,2,4）B（1,0,5）
师：请同学们在课
本上完成练习（P136）
然后上黑板来讲解练
学生在原有
小结的经验
的基础上，
C（0,2,0）D（1,3,4）
练习 2 如图，长方体OABC–
D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| =
3，A′C′于B′D′相交于点P.分别写出点
C、B′、P的坐标.
习2
生：完成
解：C、B′、P各
点的坐标分别是
(0，4，0)，(3，4，3)，
动手操作，
并且锻炼学
生的口才
归纳
总结
今天通过这堂课的学习，你能有
什么收获
生：谈收获
师：总结
让学生的
自信心得
到增强
课外
置疑
课本练习3
师：同学们通过完
成课本练习，你发现了
在求Q点坐标的时候，
是否有规律可循
让学生在
现有基础
上去获取
意外之喜
“空间中
中点坐标
公式”
作业
布置
布置作业见金太阳习案（分层级
完成）
学生独立完成
通过作业
设置，使不
同层次的
学生都可
以获得成
一、教材分析
本节是在学习完直线与圆的位置关系后，又一重要的知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前后呼应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。
二、学情分析
由于高一学生在前面已经学习平面直角坐标系，研究了直线与圆的有关问题，思维停留在二维平面上。
因此，如何引导，启发学生思维的转变，成为本课时的一个重点和难点。
类比和数形结合成了本节课的主要思想方法。
三、教学与学法分析
1.本节教学应突出学生的主体地位，通过学生的自主学习和合作探究，让学生亲自实践，获得感性认识，为后继学习奠定基础。
2.采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动中去，让学生在整个学习过程中有自我展示的机会，增强学生的自信心。
3.注重数学思想方法的应用
4.借助多媒体教学.
5.从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。
通过阅读教材，并结合空间坐标系模型，解决相关问题。
四、教学反思
本节课主要采用了问题探究，启发式教学，积极倡导学生主动参与教学实践活动，运用类比的教学手段引导学生从一维到二维，二维到三维空间的过渡，创设情境，让数学走进生活，让学生感受情境，从感性认识上升到理性认识，在整个教学过程中，以学生为主体，张扬学生的个性，注重基础知识的掌握。