12.3.2等边三角形

已知： 已知：⊿ABC中，AB＝AC=BC。 中 ＝ 。 求证： 求证：∠A＝∠B＝∠C ＝ 60° ＝ ＝ °
B
A
C
证明： 已知) 证明：∵ AB＝AC (已知 ＝ 已知 等边对等角) ∴∠B＝∠C (等边对等角 ＝ 等边对等角 同理 ∠A＝∠B ＝
数学格式： 数学格式：
∵AB=AC=BC ∴∠A= ∠ B=∠C= 60 ∴∠ ∠
A
E
F
B
D
C
类比：
图形
等腰三角形 （腰≠底） 底
两边相等的三角形 轴对称图形（1条） 两个底角相等 三线合一
等边三角形
三边都相等的三角形 轴对称图形（3条） 三个角都相等，各内角都是60º 三线合一
定义 性 质
等边三角形一定是等腰三角形，等腰含有板有 °的三角尺如图摆 放在一起你能借助这个图形,找到 找到Rt△ 放在一起你能借助这个图形 找到 △ABC 的直角边BC与斜边 之间的数量关系吗? 与斜边AB之间的数量关系吗 的直角边 与斜边 之间的数量关系吗
A
关于AC轴对称 ∵△ABC与△ADC关于 轴对称 与 关于 ∴AB＝AD,△ABD是等边三角形 ＝ △ 是等边三角形 又∵AC⊥BD ⊥ ∴BC＝DC＝1/2AB ＝ ＝
归纳： 归纳：
B C D
在直角三角形中，30° 在直角三角形中，30°角 所对的直角边等于斜边的一半。 所对的直角边等于斜边的一半。
12.3.2
等边三角形
地调学校数学教研组
1、等腰三角形定义： 等腰三角形定义： 有两边相等的三角形是等腰三角形； 有两边相等的三角形是等腰三角形； 2、等腰三角形的性质： 、等腰三角形的性质： ①等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形是轴对称图形 ②等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角” ③等腰三角形的顶角平分线， 等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和底边上的高互相重合. 底边上的中线和底边上的高互相重合. 3、等腰三角形的判定： 、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 简写成：等角对等边 简写成 等角对等边
三个角都相等的三 角形是等边三角形 有一个角是60° 有一个角是 °的等腰 三角形是等边三角形
结合边和角来看, 结合边和角来看,会 有什么新的结论吗? 有什么新的结论吗?
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
A
方法一：三角形的三边相等； 方法一：三角形的三边相等； 方法二：三角形的三角相等； 方法二：三角形的三角相等；
等腰三角形的性质定理和判定定理 互为逆命题
等边三角形定义： 等边三角形定义： 定义
等腰三角形
等边三角形
在等腰三角形中， 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角 三条边都相等的三角形 形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三 三条边都相等的三角形， 角形叫做等边三角形(equilateral triangle). 角形叫做等边三角形 把等腰三角形的性质用于等边三角形， 把等腰三角形的性质用于等边三角形， 能得到什么结论？ 能得到什么结论？一个三角形满足什么条件 就是等边三角形？ 就是等边三角形？
B
C
∵ ∠ B=∠C ∠ ∴ AB=AC ∴AB=AC=BC
写题步骤 ∵ ∠A= ∠ B=∠C ∠
∴ AB=AC=BC
有一个角是60 判定2 有一个角是 判定2：
已知： 已知： AB=AC ∠A= 60 求证： 求证： AB=AC=BC A
。
。
的等腰三角形是等边三角形
已知： 已知： AB=AC ∠B= 60 求证： 求证： AB=AC=BC 证明： 证明：
边的性质： 边的性质： 三边都相等 角的性质： 三个内角都相等,并且 角的性质： 三个内角都相等 并且 每一个角都等于60° 每一个角都等于 °. 对称性： 等边三角形是轴对称图形， 对称性： 等边三角形是轴对称图形， B 它有三条对称轴。 它有三条对称轴。
）60° 60° （ C
等边三角形一个角的平分线与 三线合一” “三线合一”： 对边上的高线、中线互相重合。 对边上的高线、中线互相重合。
B C
方法三：有一个角等于60° 方法三：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 60
你能说明 理由吗？ 理由吗？
判定1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知： ∠A= ∠ B=∠C 已知： ∠
A
求证： 求证： AB=AC=BC 证明： 证明： ∵ ∠A= ∠ B ∴ AC=BC
9. 解:(1)∵△ABC是等边三角形 是等边三角形, ∵ 是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. ∴∠ ∠ ∠ ° ∵∠BED是△BEC的外角 的外角, ∵∠ 是 的外角 ∴∠BED=∠2+∠BCE. ∴∠ ∠ ∠ ∵∠2=∠ 又∵∠ ∠3, ∴∠BED=∠3+∠BCE=∠ACB=60°. ∴∠ ∠ ∠ ∠ ° ∴∠BEC=180°-∠BED=120°. ∴∠ °∠ ° (2)∠BEC的度数没有改变 还是 的度数没有改变,还是 ∠ 的度数没有改变 还是120°. ° 证明同上,略 证明同上 略.
2. 三个角都相等的三角 A 形是等边三角形. 形是等边三角形.
等边三角形 B C
有一个角是60 60° 3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形. 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角形 是等边三角形
例题讲解
如图， ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ 如图，△ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ＢＣ， 是等边三角形，ＤＥ 交ＡＢ，ＡＣ于Ｄ，Ｅ． ＡＢ，ＡＣ于 求证： ＡＤＥ是等边三角形 是等边三角形． 求证： △ＡＤＥ是等边三角形． 证明：∵ △ＡＢＣ是等边三角形 ＡＢＣ是等边三角形 证明 ∴∠A＝∠B＝∠C ＝ 60° ∠ ＝ ＝ ° ∵ＤＥ∥ＢＣ ＤＥ∥ ＤＥ ∴ ∠AＤＥ＝∠B ＝ 60° ， ° ∠AＥＤ＝∠C ＝ 60° ° ∴ ∠A ＝∠AＤＥ＝∠AＥＤ＝ 60° ∠ ° ∴ △ＡＤＥ是等边三角形（ 三个角都相等的三角形是等边三角形） ＡＤＥ是等边三角形 是等边三角形（
有一个角是60° 有一个角是 °的等腰三角形是等边三角形 ）
B C D A
E
∴ ∠AＤＥ＝∠B， ∠AＥＤ＝∠C
练习
如图，等边三等边 上的高， 如图，等边三等边ABC中，AD是BC上的高， ∠ BDE 中 是 上的高 图中有哪些与BD相等的线段 相等的线段？ ＝ ∠ CDF＝600，图中有哪些与 相等的线段？ ＝
等边三角形知识点总结
1.等边三角形的性质： 1.等边三角形的性质： 等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等， 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都 等于60 等于600 。 等边三角形的判定： 2、等边三角形的判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。 3.三角形重要的边角关系： 3.三角形重要的边角关系： 三角形重要的边角关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它 所对的直角边等于斜边的一半。 所对的直角边等于斜边的一半。
。
∴ ∠A＝∠B＝∠C ＝ ＝ (三角形内角和为 ° ∵ ∠A+∠B+∠C＝180°三角形内角和为 ∠ ∠ ＝ °三角形内角和为180°) ° ∴ ∠A＝∠B＝∠C ＝ 180° ＝ 60°. ＝ ＝ ° 3
探究性质
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么? 等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?
。
B 证明： 证明：
C 1 2 ∠A=
∵AB=AC ∠B= 60 。 ∴∠B= ∠C= 60 ∴∠ 。 ∴ ∠A=180 －∠B 。 － ∠C= 60 ∴∠A= ∠ B=∠C ∴∠ ∠ ∴ AB=AC=BC
。
60 ∵AB=AC 。 ∴∠B＝ ∴∠ ＝∠C＝ (180 写题步骤 ＝ 。 ∵AB=AC ∠A= －∠A)= 60 ∴ AB=AC=BC ∴∠A= ∠ B=∠C ∴∠ ∠ ∴AB=AC=BC
A
结论: 结论:
B C 等边三角形每条边上的中线 每条边上的中线, 等边三角形每条边上的中线,高和所对
角的平分线都三线合一 角的平分线都三线合一。它们交于一点,这点叫 都三线合一。 三角形的中心.
探究性质
3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴? 等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
A
B
C
A
满足什么条件的三角 形是等腰三角形? 形是等腰三角形?
方法1 方法 1: 有两边相等的三角 形是等腰三角形. 定义) 形是等腰三角形.(定义)
方法2 方法2:有两个角相等的三角形 是等腰三角形. 判定定理) 是等腰三角形.(判定定理)
满足什么条件的三角 形是等边三角形
？
三条边都相等的三角形 是等边三角形(定义 定义) 是等边三角形 定义
下图是屋架设计图的一部分,点 是斜梁 的中点,立柱 是斜梁AB的中点 下图是屋架设计图的一部分 点D是斜梁 的中点 立柱 BC、 DE垂直于横梁 垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 、 垂直于横梁 ＝ ∠ ＝ ° BC 、 DE要多长 要多长? 要多长
B D A E C
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 2BC＝AB, 2DE＝AD ∴BC＝1/2 ×7.4＝3.7(m) 又 AD＝1/2 AB ∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×3.7＝1.85(m) 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
B D E A