三角函数的不定积分

三角函数有理式的不定积分
由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.
⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x
,可把他化为有理函数的不定积分。

这是因为
Sinx=
2222122tan
12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=2
22
2
2222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t
2
12
+ 所以dt t t t t t R dx x x R 2
22212
)11,12(
)cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10） 例3 求dx x x x
⎰
++)
cos 1(sin sin 1
解 令t=tan 2
x
,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式，
dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t
t t t t t t 2
2
22212)111(12121+∙+-++++
⎰ =)ln 22
(21)12(212
t t t dt t t ++=++⎰+C
=C x
x x +++2
tan ln 212tan 2tan 412
注意 上面所用的交换t=tan 2
x
对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，
但并不意味着在任何场合都是简便的.
例4 求)0(cos sin 2
222≠+⎰
ab x
b x a dx
解 由于
,t a n )
(t a n t a n s e c c o s s i n 2222222
2222
⎰⎰⎰+=+=+b
x a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有
,t a n )
(t a n t a n s e c c o s s i n 2
222222
2222
⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx =
C b
at
ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。

三 某些无理根式的不定积分
1.dx d cx b ax x R ),
(⎰++型不定积分（ad-bc ≠0）.对此只需令t=,d
cx b
ax ++就可化为有理函数的不定积分。

例5 求dx x x x 2
2
1-+⎰
解 令t=,22-+x x 则有x=,)
1(8,1)1(22
222dt t t
dx t t --=-+ dt t t t dx x x x ⎰⎰
+-=-+)
1)(1(4221222, =dt t
t )12
12(2
2+--⎰ =ln
C t t t
+--+arctan 211 =C x x x x x x +-+--+-++2
2
arctan
22
2
2
21ln . 例6 求⎰-++2
2)1(x
x x dx
解 由于
,21)1(12)1(1
2
2
x
x
x x x x -++=
-++
故令t=,21x x
-+则有x=,16,1122
22dt t
t dx t t +=+-
⎰-++2
2)
1(x x x dx =dx x
x
x -++⎰
21)1(12
=dt t
dt t t t t ⎰⎰=+⋅+22222232
)1(69)1( =.123232C x
x C t ++--=+-
2.
dx c bx ax x R ),(2⎰
++型不定积分（a>0时.2b -4ac o ≠时，)042
>-ac b 由于 ,44)2(2
222
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++=++a b ac a b x a c bx ax 若记u=,2a b x +
,442
22
a b ac k -=则此二次三项式必属于以下三种情形之一： ).(),(),(222222u k a k u a k u a -++
因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:
du k u u R ),
(22⎰±,
.),
(22du u k u R ⎰-
例7 求⎰
--=4
22
x x x dx I
解 【解法一】 按上述一般步骤，求的 I=
⎰
⎰+=--)
14
)1(2u du
x x
dx （ x=u+1） =⎰
⋅+θ
θθ
θtan 2)1sec 2tan sec 2d θ (u=2sec θ)
=dt t t
t d ⎰⎰+-+=++
2
2
221112cos 2θθ (t=)2tan θ C +=
)2tan 3
1
arctan(
3
2θ
由于 θ
θ
θθθs e c 1t a n c o s 1s i n 2t a n +=+=
=,1
3
212
)2(212+--=+-x x x u u
因此
I=,13
2arctan 3
2
2+--x x x
【 解法二】 若令则,322t x x x -=--可解出
,)1(23
2,)1(232
22dt x t t dx t t x +--=-+=
.)
1(2)322()1(2332222
----=--+=--t x t t t t x x
于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分：
I= 注1 可以证明
,3)
1(332a r c t a n 332a r c t a n
22π
-+--=---x x x x x x 所以两种方法得结果是一致的。

此外，上述结果对x<0同样成立。

注 2 相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理式（而解法一通过三次换元才化为有理式）。

如果改令
,322t x x x +=--
显然有相同效果———两边各自平方后能消去2x 项，从而解出x 为t 得有理函数。

一般地，二次三项式c bx ax ++中若a>0,则可令 ;2t x a c bx ax ±=++
若 c>0,还可令
c xt c bx ax ±=++2
这类变换称为欧拉变换.
至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法。

需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数得形式把这个不定积分 表示出来。

在这个意义下，并不是任何初等函数得不定积分都能“求
出”来的。

例如
)10(s i n 1,s i n ,ln ,22
22
<<-⎰⎰⎰
⎰±k xdx k dx x
x x dx dx e x 等等，虽然没他们都存在，但却无法用初等函数来表示（这个结论证明起来是非
常难的，刘纬尔（liouville ）于1835年做出过证明）。

因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数。

在下一章将会知道。

这类非出等函数可采用定积分形式来表示。

最后顺便指出，再求不定积分时,换可利用现成的积分表.在积分表中所有的积分公式是按被积函数分类编排的人们只要根据被积函数的类型，或经过适当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可。

此外，有些计算器（例如TI-92型）和电脑软件（例如Mathemetica,Maple 等）也具有求不定积分的使用功能.但对于初学者来说，首先应该掌握各种基本的积分方法.
在附录Ⅲ中列出了一份容量不大的积分表，他大体上是典型例题和习题的总结.列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程提供方便.。