第7章图_3数据库

普里姆(Prim)算法的实现： 在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集 合：已落在生成树上的顶点集 U 和尚未落在生成树上 的顶点集V-U ，则应在所有连接洽U中顶点和V-U中顶
点的边中选取权值最小的边。
V-U U
第七章 图
设置一个辅助数组，对当前V－U集中的每个顶点， 记录和顶点集U中顶点相连接的代价最小的边(包括U中 的顶点和权值)：
data indegree firstarc
例： A D F
0 A 0 1 B 2 ^ 2 C 1 3 D 2
adjvex info nextarc
3
2
1
^
B C E
4
1 ^ ^
4
4 E 3 ^ 5 F 0
4
3 ^
第七章 图
算法实现 1.初始化一个栈S； 2.扫描表头向量，让所有入度为0的顶点进栈。 3.输出点的计数器count=0; 4.while(栈S不空){ 弹出栈顶元素i，并输出之，并使count+1；在邻接 表中查找Vi的直接后继Vk，把Vk的入度减1；若Vk的入 度变为0，则进栈。
第七章 图
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法： 设连通网N=(V,{E})，求最小生成树
1. 初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图 T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量。
2. 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T
中不同的连通分量上，则将此边加入到T中；否则，
舍去此边，选取下一条代价最小的边。
第七章 图
AOV网：用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关 系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。 若<Vi,Vj>是图中有向边，则Vi是Vj的直接前驱； Vj 是Vi的直接后继。
AOV网中不允许有回路，若有回路，则这意味着某项活
动以自己为先决条件。
例 V1 V3 G1 V2 V4 V4 V3 G2 V5
第七章 图
有向图的一个拓扑序列：设有向图有n个顶点，
P1,P2,P3,……,Pn ; 顶点的一个序列Pj1, Pj2, … Pjn叫做
该图的拓扑序列，如果满足对于∀ 1<i ,k<=n , i<k 有
Pji不是Pjk的后继，j1,j2,……jn是1，2，3，…，n的一
设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
第七章 图
6 V2 3 V5 5 6 V1 1 V3 4 5 5 V4 V1
V1 1
V3
V1 1
2
V6 V1
V3
4 V6 V1
6
V1 1 V4 4 V2 5
1 V3
V4
V2 3 V5
1 5 V3 4
V4 2 V6
V3
2 V6
4
2 V6
第七章 图
个排列。 例： A D F B C E
A，F，D，C，B，E H，A，C，D，E，B
A
B
D
F
C
E
第七章 图
C4 C2 C1 C12 C9 C10 C11 C6 C3 C7 C8
C5
课程代号
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
课程名称 程序设计基础 离散数学 数据结构 汇编语言 语言的设计和分析 计算机原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
V1
7
V2
第七章 图
V1
13 17 V3 9 V5 7 7
V2
5 24 V6 10 V4 13 V3 V2 5 V6
V1
V2 7
5 V6 10 V4
9 V5
12
18
V1
9 13 V3 V5
7
10
V4
最小生成树可以不惟一！！
第七章 图
算法1:普里姆(Prim)算法: 从一个顶点u0出发构造连通网的最小生成树。 1. 令U={u0}, (u0V) , TE= ； 2.在所有uU,vV-U的边(u,v)E中，找一条代价最小 的边（u ′,v ′）； 3.将（u ′,v ′）并入集合TE，同时v ′并入U中； 4.重复第2、3步直至U=V为止；此时，TE中必有n-1条 边，T=(V,{TE})为N的最小生成树。
} } 继续向生成树上添加顶点; closedge[j].lowcost == 0说明第j个顶点已纳入U
第七章 图
k = minimum(closedge); // 求出加入生成树的下一个顶点(k)
printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]);
// 输出生成树上一条边
1
2
V1 V1 1 6 V3 0 5 V3 0 5 V3 0 5 0
0
0
V1 5 V1 V3 6 5 V6 V3 6 2 V3 0 6 V2 0 3 0 0

V3 4 0 0
{V2,V3, 2 V4,V5,V6} {V2,V4, 5 {V1,V3} V5,V6}
{V1,V3,V6}{V2,V4,V5} 3 {V1,V3,V6, {V2, V5} V4} {V1,V3,V6, { V5 } V4,V2} {V1,V3,V6, { } V4,V2,V5} 1
拓扑排序:求一个有向无环图的拓扑序列的过程叫拓 扑排序。
第七章 图
拓扑排序(求拓扑序列）的方法: 1.在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出
2.从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。 3.重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中 不存在无前驱的顶点为止。（后一种情况则说明有向图 中存在环）
头结点结构
5
4 5 6 6 6
0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0
第七章 图
比较两种算法
算法名
时间复杂度 适应范围
普里姆算法 克鲁斯卡尔算法
O(n2) 稠密图
O(eloge) 稀疏图
第七章 图
7.5 有向无环图及应用 7.5.1 拓扑排序
判断一个无向图是否存在环：可深度优先遍历 图，如果在遍历的过程中取到的邻接点是一个不是其 双亲的已访问过的顶点，则说明存在环。 对于有向图怎样来判断其是否存在环呢？可以 用求拓扑排序来判断。 例 V1 V2
struct { VertexType adjvex; // U集中的顶点序号 VRType lowcost; // 边的权值 } closedge[MAX_VERTEX_NUM];
第七章 图
例 V2 3 V5 V1 V1 1 V3 V1 1 V3 4 V1 V6 1 V3 4 6 5 6 V3 4 6 V6 V1 5 5 V4 2 V1 0 V2 1
closedge[k].lowcost = 0;
// 第k顶点并入U集
for (j=0; j<G.vexnum; ++j) //修改其它顶点的最小边
if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)
closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
第七章 图
7.4.3 (连通网的）最小生成树
问题： 7 5 9 13 假设要在 n 个城市之间 24 V6 V5 10 建立通讯联络网，则连通 n 17 12 个城市只需要修建 n-1条线 V3 V4 18 路（可能有n(n-1)/2条线路)， 如何在最节省经费的前提下 算法1:普里姆(Prim)算法 建立这个通讯网？ 算法2：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 该问题等价于： 构造网的一棵最小生成树，即：在 e 条带权的边中 选取 n-1 条边（不构成回路），使“权值之和”为最 小。
先修棵
无 C1 C1,C2 C1 C3,C4 C11 C3.C5 C3,C6 无 C9 C9 C1,C9,C10
拓扑序列:C1--C2--C3--C4--C5--C7--C9--C10--C11--C6--C12--C8
或：C9--C10--C11--C6--C1--C12--C4--C2--C3--C5--C7--C8
5.重复上述操作直至栈空为止。若栈空时输出的顶点个 数不是n，则返回不存在拓扑序列即图有环的标志。否 则，拓扑排序完毕，返回存存在拓扑序列
第七章 图
例： A D
Top Top Top 5 0 S 5出栈 Top 0
B C E
0 A 0 1 0 1 B 2 ^
3
输出： F 4
2
1 ^ ^
1
^
A C B D E
data indegree firstarc
表结点结构
adjvex info nextarc
第七章 图
c
a
g b
d e f a
c
d
h
b
g
f hea源自b h c d g fe
没有前驱的顶点：就是入度为零的顶点 删除顶点及以它为尾的弧 ：就是让弧头顶点的入度减1
第七章 图
以邻接表作存储结构 头结点结构 表结点结构
3. 重复第2步，直至T中所有顶点都在同一连通分量上 为止。
第七章 图
例 V2 3 V5 6 5 6 V3 V1 1 5 5 V4 2
4
6
V6
V1 V2 3 V5 5 5 V4 4 2
1 V3
V6
第七章 图
算法描述：
例 6 1 5 2 5 1 5 4 3 3 6 4 2 6 5 6 1 2 5 3 5 1 3 4 4 2 6
V1 V2 5 1 V4 3 V3 4 2 V6 V5
V4 2
V6
V3 4
V4 2
V6