东校区2008学年第二学期08级《高等数学一》A答案
2008学年第二学期课程表
2008 学年第二学期课程表生物科学与技术系生物科学专业08 年级学生105人礼拜节次2-38:50- 10:204-5 10:30~12:007-9 13:40~16:0010~11 16:10~17:4012~13 18:45~20:10一二生物拉丁文叶创兴1-9 周2~3 节大学计算机基础4-5 节生物拉丁文叶创兴1-9 周10~11 节现代生命科学进展动物学（三）金建华常弘、徐润林第 5、7、9、三动物学（三）常弘、徐润林2-3节高等数学4-5 节何峪E203大学计算机基础实习8-9 节体育10-11 节植物学实验廖文波、刘蔚秋凡强、宋晓虹四植物学（三）廖文波刘蔚秋2~3 节大学英语4~5 节高等数学7-8 节何峪E203中国近现代史大纲10-11 节植物学实验廖文波、刘蔚秋、凡强、宋五植物学（三）廖文波刘蔚秋2~3 节动物学实验1-80 号A40313:40-16:40白庆笙、王英永黄建荣、吴金英动物学实验80 号后（和中山14~15 20:15~21:4511、 13 周12-13 节12-13 节1-----80 号A407晓虹80号后（和中山医合上）A407医合上） A40317:30-20:30白庆笙、王英永黄建荣、吴金英另假期 2 周实习。
2008 学年生物化学系生物技术与应用专业第二学期课程表08年级学生60人礼拜节次2-38:50- 10:204-5 10:30~12:00一二动物学（一）1-12 周3-5 节常弘张丹丹三四五植物学（一）辛国荣高等数学1-12 周3-5 节4-5 节大学英语孙轶民4~5 节D409高等数学7-9 13:40~16:0010~11 16:10~17:4012~13 18:45~20:1014~15 20:15~21:45现代生物技术进展 7-9 节（1-12 周）周世宁等现代生命科学进展金建华第 5、7、9、11、 13 周10-11 节大学计算机基础8~9 节胡岩大学计算机基础实习12~13 节7-8 节孙轶民D409中国近现代体育史大纲10~11 节10-11 节动物学实验（与生技合植物学实验上） A403（与生技合18:00-21:00上）王英永、黄建辛国荣荣石祥刚吴金英、苗素A407英2008 学年第二学期课程表大海学院大海专业08 年级学生78人礼拜节次2-38:50- 10:204-5 10:30~12:007-9 13:40~16:00一二三植物学席贵宾2-3 节前 9 周高等数学4-5 节边连吉D207植物学实现代生物技验席贵宾、凡术进展 7-9大学计算强节（ 1-12下午 1： 00机基础周）开始8~9 节周世宁胡岩第三周开始四动物学（一）苗素英庞虹2-3 节1-16 周大学英语4~5 节高等数学7-8 节边连吉D207五六动物学实验3-6 节A403白庆笙、王英永黄建荣、吴金英现代生命科学进展植物学10~11金建华席贵宾体育16:10~17:40第 5、7、9、10-11 节10~11 节11、 13 周前 9 周10-11 节大学计算动物学12~13机基础实（一）18:45~20:10习苗素英12~13 节1-2 周14~1520:15~21:45中国近现代史大纲10-11 节生物化学系生物技术专业08 年级学生97人礼拜节次2-38:50- 10:204-5 10:30~12:007-9 13:40~16:0010~11 16:10~17:4012~13 18:45~20:1014~15 20:15~21:45一二动物学（一）1-12 周3-5 节大学计算机常弘基础张丹丹4-5 节阮文江现代生物技术进展 7-9 节（1-12 周）周世宁现代生命科学进展金建华第 5、7、9、11、 13 周10-11 节三四高等数学4-5 节大学英语刑瑞香4~5 节D209大学计算高等数学机基础实7-8 节习刑瑞香8~9 节D209阮文江机房中国近现代史纲体育要10-11 节10~11 节动物学实验动物学实验1~80 号81~97 号A40318:00-21:00张丹丹、（与生技应用合庞虹上） A403苗素英、黄建荣、苗素英黄建荣王英永、吴金英五植物学（一）辛国荣1~12 周3-5 节植物学实验8~11 节 (2：30开始 )1------80 号A407辛国荣石祥刚植物学实验81~97 号（与生技应用合上）A407辛国荣石祥刚八年临床专业08年级学生40人礼拜节次一二三四植物学五植物学（三）2-38:50- 10:204-5 10:30~12:007-9 13:40~16:0010~11 16:10~17:40生物拉丁文叶创兴1-9 周10~11 节生物拉丁文叶创兴1-9 周2~3 节大学计算机基础4-5 节阮文江动物学（三）常弘、徐润林2~3 节高等数学4-5 节边连吉D207大学计算机基础实习8~9 节阮文江体育10~11 节（三）廖文波刘蔚秋2~3 节大学英语4~5 节高等数学7-8 节边连吉D207中国近现代史大纲10-11 节廖文波刘蔚秋2-3 节医学史与医学导论7-9 节12~13 18:45~20:1014~15 20:15~21:45现代生命科学进展金建华第 5、7、9、11、 13 周12-13 节动物学（三）常弘、徐润林12-13 节植物学实验动物学实验A407A403（和生科专17:30-20:30业合上）白庆笙、王英廖文波 13-18永周）、（刘蔚秋、黄建荣、吴金凡强、宋晓虹英1-12 周）（和生科专业合上）注：另假期 2 周实习。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷答案解析
2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案 选择题部分一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
1.B 解析: 因为()()()())(cos )1(cos 122x f x x x x x f =+=-+-=-，所以该函数是偶函数，因此选项B 正确。
2.D 解析: 1lim lim 0)0()(lim )0(000-=-==--='---→→→-xxx x x f x f f x x x 1lim lim 0)0()(lim )0(000===--='-++→→→+x x x x x f x f f x x x ，因此)(x f 在点0=x 处连续但不可导，因此选项D 正确。
3.C 解析: 由题意可知，因为022>dx f d ，所以dxdf 单调递增，根据拉格朗日中值定理可得，)(01)0()1(ξf f f '=--，()1,0∈ξ，所以01)0()1(==>->x x dx dff f dx df ，因此选项C 正确。
4.C 解析:根据定义，22y x z +=表示的曲面为圆锥面，因此选项C 正确。
5.A 解析:()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则由罗尔定理得：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()0='ξf ，即：曲线()x f y =上平行于x 轴的切线至少有一条，因此选项A 正确。
非选择题部分二、填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。
6. 21解析: 2121lim 2sin 1lim 00=⋅=→→x x x x x x7. 2 解析: ()()()()2)1(22121lim 2121lim00='=-+=-+→→f x f x f x f x f x x8.x1 解析: 因为()x x f ln 2=，所以令x t 2=，得()2ln ln )2ln(-==t tt f ，因此：()2ln ln -=x x f ，所以()x dx x df 1=9. )3,1(- 解析: 因为曲线为x x x y --=233，所以1632--='x x y ，66-=''x y ，令0=''y ，解得：1=x ，且当1<x 时，0<''y ，函数为凸函数；当1>x 时，0>''y ，函数为凹函数；因此拐点为：)3,1(-10. 211x+ 解析: 依题意可知：C x dx x f +=⎰arctan )(，两边求导后可得：211)(x x f +=11. )(x f - 解析: 根据变限积分函数求导公式可得：())(2x f dt t f dx d x-=⎰12.332π 解析:利用定积分计算的奇偶性性质可得：()ππππ03022322x dx x dx x x ==+⎰⎰-332π=13. ()22sin 2y x x +- 解析: )sin(22)sin(2222y x x x y x x z+-=⋅+-=∂∂14. ()⎰⎰110,ydx y x f dy解析: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==11010),(),(),(yx dxy x f dy dxdy y x f dy y x f dx15. 0224=-+-z y x 解析: 平面∏的法向量为：=→n )2,1,4(-，由点法式可知，该平面方程为：0)1(2)0()1(4=++---z y x ，即：0224=-+-z y x三、计算题：本题共有10小题，每小题6分，共 60分。
2008年高考数学全国一卷试题和规范标准答案
2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题1．函数y =的定义域为（ ）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e- B ．2xeC ．21x e+ D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位A ．B ．C ．D ．C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84C ．60D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；C DE AB（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案1. C.2. A ．3. A.4. D.5. C.6. B.7.D.8.A.9.D ．10.D ．11.B12.B. 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38.16.答案：16. 三、17.解：（Ⅰ）由正弦定理得,sin sin ,sin sin CBc b C A c a ==c A CBB C A A b B a )cos sin sin cos sin sin (cos cos ⋅-⋅=-,1cot tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(cos sin cos sin +-=⋅+-=⋅+-=B A c B A c B A B A B A B A cB A AB B A 依题设得：.4cot tan .531cot tan )1cot (tan ==+-B A c B A c B A 解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得tanA=4tanB,故A 、B 都是锐角，于是tanB>0.,43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B BA B A B A且当tanB=21时，上式取等号。
《高等数学(一)》期 末闭卷考试题参考解答08
西南财经大学2008——2009学年第一学期 《高等数学》期末闭卷考试题参考解答一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：1．设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x ＝1log (1)(1)2a x x ->.2．0limx +→=3．若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.4．.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5．设函数)sin 1ln()(2x x f -=，则=)4('πf – 2 .6．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7．设函数()() ()1n xf x f x x=+、则＝1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8．已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ，则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9．300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设 则44(1)a a +. 10．2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题（每小题2分，共10分）：1．设函数y =的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则()g x =（ ① ）.① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2．“0()x x f x A →当时，－为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要 3．设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x --③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4．1()()()(01).1n f x n R x xθ==<<-的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5．在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =，则一定有（ ④ ）① )()(x g x f =； ② 1)()(+=x g x f ； ③ ⎰⎰='')]([])([x g dx x f ； ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x x x e xe x x→-+.解：2001(1)lim lim sin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0x x f x ax b x ≥⎧⎪=⎨+>⎪⎩在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－7分3.arctan'"y xe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--==＝ 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx x xx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰＝ 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ 6分 l n 1ln x x x x--＝＋C 7分 6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解： 令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7．计算2121sin ()1x xf x dx x -+=+⎰. 解：22112211sin 11()11x xx f x dx dx x x --++-==++⎰⎰ 3分 1211(1)1dx x-=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分 四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++ 1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=， 令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题（5分）：证明：当x > 0时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明 令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分 而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++， 即 xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 0） 2分。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
五、设函数由方程确定，求。
（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。
（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。
(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。
(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。
（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。
B 3。
D 4.B 5。
D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。
6。
分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。
……。
.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。
3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
，所以………….5分。
（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。
（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。
(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。
（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。
2008年数学一试题答案与解析
− 2z + 3z
2
=
= 0, 5,
求
C
上距离
xOy
面最远的点和最近的点。
解 点（x,y,z）到 xOy 面的距离为 z ,故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近
点的坐标，等价于求函数 H= z2 在条件 x2 + y2 − 2z2 = 0 与 x + y + 3z = 5 下的最大 值点和最小值点。
∫= π x2 sin 2xdx 0
∫ = −
x2 2
cos 2x
π 0
+
π
x cos 2xdx
0
∫ = − π 2
2
+
x 2
sin 2x
π 0
−
1 2
π
sin 2xdx
0
=−π2 2
解法 2 取 L1 为 x 轴上从点（π ，0）到点（0，0）的一段，D 是由 L 与 L1 围成的区域
∫ sin 2xdx + 2(x2 −1) ydy L
[A] （8）设随机变量 X ~ N (0,1),Y ~ N (1, 4) ，且相关系数 ρXY = 1 ，则
（A） P{Y = −2X −1} = 1
（B） P{Y = 2X −1} = 1
（C） P{Y = −2X +1} = 1
（D） P{Y = 2X +1} = 1
[D] 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(A)若{xn}收敛，则{ f (xn )} 收敛
(B)若{xn}单调，则{ f (xn )} 收敛
(C)若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛
(D)若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛
07-08(1)高数I(A)参考答案
2007-2008学年第一学期2007级电气、电子、工程管理、机制、教技、土木工程、计算机、农机、网络工程、物理专业高等数学Ⅰ 试卷A 参考答案一、填空题(填对每空得2分，填错或不填每空得0分，计20分) 1．982442424++++x x x x ．2．3-e．3． 3 ． 4． 3 ． 5． （ 0 ，-1 ）． 6．21．7．0144=++y x ．8．51．9． 0 ． 10．14．二、选择题（选对每题得2分，不选、选错或多选每题得0分，计10分） 1．（ D ） 2．（ B ） 3．（ C ） 4．（ A ） 5．（ B ）三、计算题（每小题5分，计20分）1．解： xx x x x x x x sin )sin 21(1lim sin 2cos 1lim 200--=-→→…………………………2分xx xx sin sin 2lim 20→= …………………………………3分 x xx sin 2lim0→=..........................................4分 2=． (5)分2．解：应用洛必达法则得xxx xtd t t x xx 2arctan limarctan lim20-=∞-→∞-→⎰………………………3分x x a r c t a nlim 21∞-→-= ………………………4分 4)2(21ππ=-⨯-=. ………………………5分3．解： ⎰dx xx2sin ⎰-=x xd cot ……………………………………1分 ⎰+-=xdx x x cot cot ， …………………………2分 ⎰+-=dx x x x x sin cos cot ……………………………3分 ⎰+-=x d x x x s i n s i n1c o t ………………………4分c x x x ++-=|s i n |ln cot ．………………………5分4．解： ⎰-+1021xx dx ⎰+=20cos sin cos sin πtt tdt tx ……………………………1分⎰++=202)cos (sin )cos (sin cos πt t dt t t t (2)分⎰+++=202sin 112cos 2sin 21πdttt t……………………3分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=202sin 12cos 121πdt t t ………………………4分 4)2sin 1ln(212120ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=t t ．………………5分四、解答题（每小题5分，计20分） 1．解：)sin ()cos 1(t t ad t ad dxdy --= (1)分ttcos 1sin -=． …………………………………………2分)sin (cos 1sin 22t t ad t t d dxy d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ………………………………………3分)cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos 22t a t t t t ----=……………………………4分23)cos 1(1)cos 1(1cos t a t a t --=--=． …………………5分 2．解： 方程两边同时微分得)()(y x e d xy d += ………………………1分即 )(dy dx e xdy ydx y x +=++ ……………………3分 整理得 ydx dx e dy e xdy y x y x -=-++， …………………4分 从而得 dx ex yedy yx yx ++--=．……………………………5分3．解：令u e x=可得u x ln =，代入已知式得 ……………………………1分 u u f ln )(='， c u u u udu +-=⎰ln ln …………………2分 从而有 0ln )(c u u u u f +-= ……………………………………3分 由0)1(=f 得 10=c ……………………………………………4分 因此 1ln )(+-=x x x x f ． ……………………………………5分4．解：设所求平面的法线向量为0),,(≠=C B A n ，两个已知平面的法线向量分别为)4,2,1(,)2,5,3(21-=-=n n， ……………………………………1分则有n n n n⊥⊥21, 即有 ⎩⎨⎧=+-=-+0420253C B A C B A ………………………2分得 A C A B 1611,87-=-=，0≠A ……………………………………3分 所以所求平面的方程为 0)3(161187)2(=+---z A Ay x A ，………4分整理得所求平面的方程为 065111416=---z y x ． …………………5分五、证明题（6分×2题＝12分） 1．证明：由题设有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→，所以…………………1分hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h )]()5([)()3(lim)5()3(lim 00000000----+=--+→→……………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=→h x f h x f h x f h x f h )()5()()3(lim 00000…………3分hx f h x f h x f h x f h h 5)()5(lim53)()3(lim3000000---+-+=→→……5分)(8)(5)(3000x f x f x f '='+'=． (6)分2．证：设x x x x f -++=)1ln()1()(，则0)0(=f ，………………………1分 又 )1l n ()(x x f +='． ……………………………………………2分 当0>x 时， 0)(>'x f ，函数单调增加， ……………………3分当01<<-x 时， 0)(<'x f ，函数单调减少．………………………4分 从而，当01≠<-x 时有0)(>x f ，且0)0(=f ， ………………………5分因此，当1->x 时，x x x ≥++)1ln()1(． ……………………………6分六、综合应用题（6分×3题＝18分）解：由⎩⎨⎧=+-=022y x x y 得两曲线交点为)4,2(),1,1(-， …………………1分1．图形面积为 ⎰--+=212)2(dx x x A …………………………3分 29312212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x x ， …………………6分2．图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰--+=21222])()2[(dx x x V x π……………………………9分 57251)2(312153ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x ……………………12分3．曲线2x y =交y 轴于点)0,0(，直线02=+-y x 与y 交于点)2,0( ……………………………13分图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰⎰--=4422)2(dy y ydy V y ππ， (15)分 316)2(32423402πππ=--=y y ； ………………………18分。
08级高等数学1试题及答案
华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科08级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2009.1.10题号 一 二三四 五 总分12 3 4 5 6 7 1 2 分值 10 15 7 7777779 98阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)_____ 00 0 2)( 1==⎩⎨⎧≥+<+=a x x x a x e x f x 则处连续，在，，设、_________)21()1( 3)1( 2lim=--='→xx f f f x 则，设、________]3 0[29)( 33=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f ______)]([ ]1 1[)( 411 =+-⎰-dx x f x x x f 则上为偶函数，，在设、 ___________________cos 5的通解为微分方程、x y =''二、选择题(每题 3分，共15分)1D. 2 C. 3 B. 4 A.) C ()2sin 2sin(1lim=+∞→xxx x x 、)A (4 sin 1cos cos 22=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x 得分 评阅人得分 评阅人3633221cos C x C x y ++-=Cx C x C x C x dx x x +-++-+=⎰22222cos 21D. cos 21 C. cos B. cos A.)D (sin 3不定积分、 32D. 31 C. 2 B. 5 A.)B (1 4ππ积为轴旋转一周所得立体体轴围成图形绕及直线、由曲线、y y y y x ==2 D. 1 C. 0 B. 1 A.)C ( 502lim--=⎰-→xdtext x 极限、三、解答题(每题 7分，共49分). 6)12( 12limb a b ax x xx x 、求，设、=---+∞→解)12(2limb ax x x x x ---+∞→1)1()2(2lim-+-++-=∞→x bx b a x a x6=⎩⎨⎧=-+=-61 02b a a3 2-==b a ，].)1ln(11[2lim+-→x x x 求极限、解)1ln()1ln(lim+-+=→x x x x x 原式1)1ln(111lim+++-+=→x xx x x22)1(111)1(1lim++++-=→x x x x1得分 评阅人得分评阅人. )(cos 3sin dy x y x求，设、= 解 两边取对数得x x y cos ln sin ln =x xxx x y ycos sin sin cos ln cos 1-+=' )tan sin cos ln (cos )(cos sin x x x x x y x -=' dx y dy '=dx x x x x x x)tan sin cos ln (cos )(cos sin -=.442dx x x ⎰-求不定积分、解 tdt t dx t x tan sec 2 sec 2==则，令tdt t t ttan sec 2sec 2tan 2⎰=原式dtt ⎰=2tan 2dtt )1(sec 22-=⎰C t t +-=)(tan 2Cx x +--=2arccos 242得分 评阅人得分 评阅人.ln 5 12dx x x e⎰求定积分、 解31 ln 31dx x e ⎰=原式⎰-=e e xd x x x 1 313ln 31)ln (31dxx e e ⎰-= 1 233131e x e 1339131-=9123+=e.]2 1[ln 214 62上的长度，在区间求曲线、x x y -= 解x x y 212-='dxy s ⎰'+=2121dx x x )1(2121+=⎰212)ln 21(21x x +=2ln 2143+= 得分 评阅人得分 评阅人.ln 721的特解满足求微分方程、e y xyx y y x =='=解x yu =令dxx du u u 1)1(ln 1 =-则 dxx du u u ⎰⎰=-1)1(ln 1 C x u ln ln )1ln(ln +=-1+=Cx xe y 通解121===C e yx 得由1 +=x xe y 特解四、综合题(每题 9分，共18分).)( 12拐点的极值及该函数图形的求函数、xxe x f -= 解 xxxeex f 222)(---='210)(=='x x f 得令0)( 21 0)( 21<'>>'<x f x x f x 时，当，时，当121)21( )(21-==e f x f x 极小值为取极小值，时当x x xe e x f 2244)(--+-='' 1 0)(==''x x f 得令 0)( 1 0)( 1>''><''<x f x x f x 时，当，时，当) 1(2-e ，拐点为得分 评阅人得分 评阅人.)1(86 24的通解求微分方程、x e x y y y -=+'-''解 086 2=+-r r 特征方程为4 2 21==⇒r r ，x x e C e C Y y y y 4221086+==+'-''的通解的单根为08642=+-=r r λ x e b ax x y 4)(*+=可设1224 *-=++x b a ax y 代入原方程得把 ⎩⎨⎧-=+=122 14b a a43 41-==b a ， xex x y 4)4341(*-=xx x eC e C e x x y 42214)4341(++-=通解五、证明题(8分)dxx f dx x f x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ]1 0[)( 1ππ证明：上连续，，在设、证dtdx t x -=-=则，令 2π证211limx x x -+→))((cos )(sin 0 22dt t f dx x f ⎰⎰--=ππ112lim++=→x xdxx f ⎰=20 )(cos π1= 得分 评阅人得分 评阅人.211 0 2等价与时，证明当、xx x -+→等价与故211 xx -+。
0708高等数学A(一)答案
高等数学（一）、（二）（上）试题（A ）评分标准与分工一、 填空题（每小题4分, 共24分）1．e . 2． =a －１. 3．)4ln 2,2(+ .4．０ . 5． x e x C C y )(21+=）. 6.21=ξ注：该题评分原则是 非对即错二、选择题 (每小题4分, 共20分) D C BB C 三、（5分）解: 30sin tan sin limx x x x -→30tan sin lim xxx x -=→ x x x x x sin cos 1cos lim 30-=→22021lim xx x -=→21-= -------------------------------- 5分注：该题评分原则 体现方法3分、结果正确2分；主要有以下几种方法 1）洛必达法则、2）等价无穷小替换、3）其他 四、（8分）解: 212)111(22tt t tdtdxdt dy dx dt dt dy dx dy =++-==⋅=； ------------- 4分t t dt dx t dt d dx dy dx d dx y d 412222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=……. ------------- 4分 五、（8分）1）⎰-+x x e e dx ⎰+=xxede 21-------------------------------- 4分 C e x+=arctan -------------------------------- 4分2）. 解: ⎰⎰⎰⎰+=+=ππππ002200222]2cos [2122cos 1cos xdx x dx x dx x x xdx x ………2分 （第一个积分1分；第二个积分3分）⎰⎰⎰-==ππππ22122122122sin 0|2sin 2sin 2cos xdx x x x d x xdx x ………3分=⎰⎰=-=ππππ0022121212cos 0|2cos 2cos xdx x x x xd4361ππ+=∴原式 ……………………………………3分 注：本题主要考察学生对分部积分的内容的掌握情况。
08年高考数学全国卷一试题及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =其中R 表示球的半径球的体积公式，那么 34π3V R =其中R 表示球的半径)n ，1）A ．|0x x ≥B ．}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线1x y +=在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） D ．2-8sin 2y x =的图像（ ） 5π12个长度单位 5π6个长度单位9(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解A ．(10)(1)-+∞ ，，B ．(1)(01)-∞- ，，C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）CDE AB（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA 成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为411<，1()n n a f a +=． 1k a b +>．参考答案一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin = acosB-bcosA=(A CBB C A cos sin sin cos sin sin ⋅-⋅)c =c B A AB B A ⋅+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ⋅+-sin cos cos sin sin cos cos sin=)1cot (tan -cB AtanB>0 的最大值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂足为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 中点， 由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ， 从而∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧面ABC ，又BE ⊂侧面ABE ，所以侧面ABE ⊥侧面ABC 。
2008年考研数学数学一真题答案解析
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+ò，则()f x ¢的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B). 【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x ¢=+×=+．显然()f x ¢在区间(,)-¥+¥上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ¢¢-·=-·<，由零点定理，知()f x ¢至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x¢¢=++>+，恒大于零，所以()f x ¢在(,)-¥+¥上是单调递增的．又因为(0)0f ¢=，根据其单调性可知，()f x ¢至多有一个零点．故()f x ¢有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j-【答案】应选(A). 【详解】因为222211f y y x x x y y ¶==¶++．222221xf x y x y x y y -¶-==¶++．所以(0,1)1fx ¶=¶，(0,1)0f y ¶=¶，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+--=. (B) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢+++=. (C) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢--+=. (D) 440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=.【答案】应选(D). 【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11l =，2,32i l =±，故对应的特征值方程为，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i l l l l l -+-=-+3244l l l =+-- l l l 3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ¢¢¢¢¢¢-+-=．应选(D). （4）设函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B). 【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-¥+¥内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}nf x 收敛．故应选(B). （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】 则下列结论正确的是：则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆. (C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). （6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z æöç÷=ç÷ç÷èø在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y za c+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B). （7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =£=£()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =££==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY r =，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY r =，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =´+，1b =．从而排除(B).故应选故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y ¢+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1yx =．【详解】由dy ydx x=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F ¢=-=¢． 故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ¥=+å在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数0(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为的收敛域为. 【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nnn a x ¥=+å的收敛域为(4,0]-，则0nnna x ¥=å的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ¥=-å的收敛域为(1,5]．(12)设曲面S是224z x y=--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy S++=òò.【答案】 4p ．【详解】作辅助面1:0z S =取下侧．则由高斯公式，有取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy S++òò122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy åå=++-++òòòò2224x y ydV x dxdy W+£=+òòòòò．2222410()2x y x y dxdy +£=++òòd r rdr p q p p 22200116424=·==òò． (13) 设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，10A a =，2122A a a a =+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A a a a a a a a a æö==+=ç÷èø．记12(,)P a a =，因12,a a 线性无关，故12(,)P a a =是可逆矩阵．因此是可逆矩阵．因此0201AP P æö=ç÷èø，从而10201P AP -æö=ç÷èø．记0201B æö=ç÷èø，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．相同的特征值．因为2||(1)01E B l l l l l --==--，0l =，1l =．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. ) (15)(本题满分10分)求极限[]40sin sin(sin )sin lim x x x x x®- 【详解1】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]30sin sin(sin )lim x x x x®-= ＝20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x®-201cos(sin )lim 3x x x®-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x ®=(或2201(sin )2lim 3x x x ®=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x®+=)16=． 【详解2】[]40sin sin(sin)sin lim x x x x x®-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x xx®-= ＝30sin lim t t t t ®-201cos lim 3t t t ®-=2202lim 3t tt ®=（或0sin lim 6t t t ®=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)p的一段．的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò20[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx p=+-ò20sin 2x xdx p=ò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò20cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp=-+-ò22p =-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)p 到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域围成的区域12sin 22(1)L Lxdx x ydy ++-ò2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y éù¶-¶=--êú¶¶ëûòò4Dxydxdy =-òòsin 004xxydydx p=-òò22sin x xdxp=-ò(1cos 2)x x dx p=--ò20cos 22xx xdx pp=-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydyxdx p+-==òò故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy=+-ò212sin 222LLxdx ydy x ydy I I=-+=+ò对于1I，记sin 2,2P x Q y==-．因为P P y x ¶¶==¶¶，故1I 与积分路径无关．与积分路径无关．1sin 20I xdxp==ò．对于2I ，222222sin cos sin 2LI x ydyx x xdxx xdx pp===òòò200cos 2cos 22x x x xdx pp=-+ò2cos 22x xdx pp =-+ò2sin 2sin 2222x x xdx p pp =-+-ò22p =-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-ò22p =-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ì+-=í++=î求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z l m l m =++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy zL x L y L z z x y z x y z l m l m l m ¢=+=ìï¢=+=ïï¢=-++-=++==íïïïî 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=ìíî解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-æö+-=ç÷èø下的最大值点和最小值点．值点．构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x yx y l l æö=+++-+-ç÷èø， 由222520.422(5)0,9422(5)0,93xy L x x x y L y x x y y y y x l l ìæö¢=+-+-=ïç÷èøïïïæö¢=+-+-=+-íç÷èøæö+-=ç÷èøïïïïî得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得解得5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得2cos ,2sin .x z y z q q ì=ïí=ïî 代入35x y z ++=，得，得532(cos sin )z q q =++所以只要求()z z q =的最值．的最值． 令()252(sin cos )()032(cos sin )z q q q q q -+¢==++，得cos sin q q =，解得5,44p p q =．从而．从而5,5,5.x y z ==-ìï=-íïî或1.1,1,z x y =ì=ï=íïî 根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =ò可导，且()()F x f x ¢=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，为周期的周期函数时，证明函数证明函数2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò也是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()lim lim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+D D ®D ®-+D -¢==D D òò0()lim x xxx f t dtx+D D ®=D ò00()lim lim ()()x x f x f f x x x x D ®D ®D ===D【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim lim x xxx x f t dt f x x xx+D D ®D ®+D =D D ò．(II) 【证法1】根据题设，有】根据题设，有2220(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +¢éù¢+=-+=+-êúëûòòò， 22000()2()()2()()xG x f t dt x f t dt f x f t dt ¢éù¢=-=-êúëûòòò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而从而 (2)()G x G x ¢¢+=．因而．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt xf t dt=-òò是以2为周期的周期函数．为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，222222()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--òòòò．对于22()x f t dt +ò，作换元2tu =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有，则有22()(2)()()x xxxf t dt f u du f u du f t dt +=+==òòòò，因而因而 222()()0x xf t dt xf t dt +-=òò．于是于是200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数【证法3】根据题设，有】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+òò，2222()2()()2()xx xf t dt f t dt xf t dt f t dt +=+--òòòò2222()()2()2()xx xf t dt xf t dt f t dt f t dt +=-+-òòòò()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-òò．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=òò．事实上事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=ò，所以所以22()x f t dt C +ºò．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +º=òò．所以所以200(2)2()()()xG x f t dt xf t dt G x +=-=òò．即20()2()()xG x f t dt xf t dt =-òò是以2为周期的周期函数为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x p =-££展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -¥=-å的和．的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x pp-ò2213p æö=-ç÷èø． 02()cos n a f x nxdx p p =ò2002cos cos nxdx x nxdx pp p p éù=-êúëûòò 220cos x nxdxp pp éù=-êúëûò202sin 2sin x nxx nx dxn npppéù-=-êúëûò1222(1)n n p p--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx p -¥¥===-=+=--+åå，0x p ££．令x=0x=0，有，有n n f n p 2121(1)(0)143-¥=-=-+å又(0)1f =，所以n n n p 1221(1)12-¥=-=å．（20）(本题满分10分)设,a b 为3维列向量，矩阵T T A aa bb =+，其中,T Ta b 分别是,a b 得转置．证明：得转置．证明： （I ） 秩()2r A £；（II ）若,a b 线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r aa bb aa bb a b =+£+£+£． 【证法2】因为T TA aa bb =+，A 为33´矩阵，所以()3r A £． 因为,a b 为3维列向量，所以存在向量0x ¹，使得，使得0,0TTa xb x ==于是于是 0TTA x aa x bb x =+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A £．【证法3】因为TT A aa bb =+，所以A 为33´矩阵．矩阵．又因为()00TTTT A a aa bb abb æöç÷=+=ç÷ç÷èø， 所以|||0|00T TaA abb ==故 ()2r A £．（II ）【证法】由,a b线性相关，不妨设k a b=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk ra ab b b b b=+=+££<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中，其中2222212121212a a a a a A a a a a æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷èø，12n x x x xæöç÷ç÷=ç÷ç÷èø，b 100æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø．（I ）证明行列式||(1)nA n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aaD A aa aa ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得按第一行展开得nn n aa aaD aD aa aa 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故(1)nA n a=+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aDa D --==-得，2211221()()n n nnn n n D aDa D aD aD aD a ------=-==-=．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aaA aa aa =22122213121212212na a aa r ar aa aa -3222221301240123321212na a ar ara aaa aa -=n n n a a an r ar n n a n n a n1213012401130111----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ¹时，方程组系数行列式0n D ¹，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aaaaD na a a a a aa aa ---===所以，11(1)n n D ax Dn a -==+． （III ）【详解】【详解】 当0a =时，方程组为时，方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()01100TTx k =+，其中k 为任意常数．为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为密度为1,01,()0,Yy f y 其它其它..£<ì=íî记Z X Y =+．（I ） 求102P Z X æö£=ç÷èø；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】 解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y æöæö£==+£=ç÷ç÷èøèøæöæö=£==£=ç÷ç÷èøèø解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z XP X P Y X P Y P X æö+£=ç÷æöèø£==ç÷=èøæö£=ç÷æöèø==£=ç÷=èø（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{} =P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=£=+£££££££££££+£Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3 ()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+£+++-=ì-<<ï=+++-=éùíëûïî解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-ì-<<ï=+++-=éùíëûïîå其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N m s 的简单随机样本，记å==ni i X n X 11，2211()1ni i S X X n ==--å，221TX S n=-．（1）证明T 是m 2的无偏估计量；的无偏估计量； （2）当m s 0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nn ns m s =+-=+-2m =对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次是统计量．其次()()22111111n ni j k i j k n T X X X X n n n n n =¹=-=---åå，()()1n j k j kn ET E X EX n ¹=-å2m =，对一切,m s 成立．因此T 是2ˆm 的无偏估计量．的无偏估计量． （2）解法2．根据题意，有(0,1)nXN ，22(1)nXc ，22(1)(1)n Sn c --．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n Sn -=-．所以221()D T D XS n æö=-ç÷èø()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n n n =+-=--。
2008年全国考研数学一真题及答案.doc
2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)设函数,则的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)(C)(D)【答案】A。
【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为任意常数为通解的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】由通解表达式可知其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。
【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。
【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，为偶数为奇数，显然不收敛，排除A。
若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。
【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A)(B)1(C)2 (D)3【答案】B。
【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，可知的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。
2008年考研高数一真题(附答案)
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x ⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
DA2007-2008学年第二学期高数试卷A参考答案
2007-2008学年第二学期高数试卷A 参考答案试卷号：A20080630一、1. 0 ；2. 0)2(2)1(4=+-+-z y x ；3. =I ⎰⎰101),(xdy y x f dx ；4. 32a π, ；5、R = 2 。
6、(4)0y y -=。
二、1、 B ； 2、 A ；3、B ；4、 C ；5、 A ；6、（化工、食工做） D ；6、（物理、机电、电气、计算机做） D三．1、令,12t x =+则 212-=t x ，,tdt dx =当0=x 时1=t 。
4=x 时3=t⎰++40122dx x x =⎰⎰+=+-312312)3(21221dt t tdt t t =3221333213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t2、)cos()sin(y x e y x e xzx x -+-=∂∂ ，)cos(y x e y z x --=∂∂ ))cos())cos()((sin(dy y x dx y x y x e dz x---+-=3、令1sin )1(11+-=++n u n n n ππ，111sin)1(2sin )1(lim lim11221<=+-+-=++++∞→+∞→πππππn n u u n n n n n nn n所以原级数收敛且是绝对收敛的。
4、原式=⎰⎰⎰--++-∂+∂-∂-∂aa D dy x y dx y x dxdy yy x x x y )2()())()2((22 =⎰⎰⎰---D aaxdx dxdy )3(=32ab π-5、设长方体得长、宽、高分别为z y x ,,，则)(2xz yz xy S ++=，3a xyz = 令)(),,(3a xyz xz yz xy z y x F --++=λ 则00=-+==-+==-+=xy y x F xz z x F yz z y F z y x λλλ，解得z y x ==，代入3a xyz =得a z y x === ， 2min 6a S =四 )(),(),(2x y y x Q xy y x P ϕ==。
2008年高考数学全国一卷试题和标准答案
200８年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ） 本试卷分第I 卷（选择题)和第I Ｉ卷(非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第ＩI 卷3至9页．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意:ﻩ1．答题前，考生在答题卡上务必用0.５毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．２.每小题选出答案后,用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3.本卷共1２小题，每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式:如果事件A B ，互斥,那么 ﻩﻩﻩﻩ 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ﻩ ﻩﻩﻩ 24πS R =ﻩ如果事件A B ，相互独立，那么ﻩ ﻩﻩﻩ其中R 表示球的半径ﻩ()()()P A B P A P B = ﻩﻩ球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R = ﻩn 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率ﻩ 其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题1.函数y ( ）Ａ．{}|0x x ≥ﻩＢ.{}|1x x ≥ Ｃ．{}{}|10x x ≥ ﻩD.{}|01x x ≤≤ 2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是（ ）３.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．B ．C ．D ．A.2133+b c ﻩB ．5233-c b ﻩ Ｃ.2133-b c ﻩﻩﻩD.1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数,则a =( ）A.2ﻩﻩB ．1 ﻩC ．0ﻩﻩD ．1-5.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =( ）A.138ﻩﻩB ．135ﻩﻩC.９５ﻩ Ｄ.236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( )Ａ.21x e - Ｂ.2x e ﻩ C ．21x e + ﻩD.22x e +7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =( ） A.2 ﻩＢ.12 ﻩC.12-ﻩ Ｄ.2- 8.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ） A ．向左平移5π12个长度单位 ﻩB.向右平移5π12个长度单位 C.向左平移5π6个长度单位 ﻩ Ｄ.向右平移5π6个长度单位 9.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A.(10)(1)-+∞，，B.(1)(01)-∞-，，Ｃ．(1)(1)-∞-+∞，， ﻩD ．(10)(01)-，， １0．若直线1x y a b+=通过点(cos sin )M αα，,则( ) A ．221a b +≤ﻩ B.221a b +≥ﻩﻩＣ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥ １1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A ．13ﻩﻩＢ.3 ﻩ C ．3 ﻩD ．2312.如图,一环形花坛分成A B C D ，，，四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种。
2008广工高等数学A1试卷及答案
.广东工业大学考试试卷( A )课程名称 :高等数学 A(1)试卷满分 100 分考试时间 :2008年 1 月 14 日(第 20 周星期一 )题 号一二三四五六七总分2314： 名 评卷得分姓评卷签名复核得分复核签名线一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）：x 3x号 1. lim.学=x x22. 设 y y( x) 是由方程 y1 xe y所确定的隐函数，则 dy.3. 设 f ( x) 可导 , 则 limf ( 22x) f (2) = .x 0x订4.x(sin x ex 2)dx =.5. 微分方程 yy tan x cos 2x 满足初始条件 y x1的特解为.： 4 2业 二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）专1x 01. 设函数 f ( x)x sin ,0 处连续 , 则 k( ) .x在 x装2x k ,xA ． 1B. 0C ． 1 D. 22. 设函数 f (x) 在 xx 0 处取得极值 , 则有（）.： A ． f (x 0 ) 0B. f ( x 0 )院C ． f(x 0 )0 或 f ( x 0 ) 不存在 D. f ( x 0 ) 不存在学x e t23. 极限 lim1 dt） .的值等于（x 1ln xA . eB.eC ． 1 D. 14．定积分0 2 x 2dxa 2 x 2dx 的值等于（）.a aaA .a2B.a2C ． a2D.a 2425． x 0为 f (x)x的（） .12 e xA . 可去间断点 B. 无穷间断点C ． 跳跃间断点 D. 连续点三、计算题（每小题 7 分，共 28 分）1. 求由参数方程x 3e t所确定的函数的二阶导数d 2y .y2e tdx22．求曲线 y x 2(12 ln x7) 的凹凸区间和拐点 .3. 计算定积分2 ( x 3sin 2x) cos 2xd x .24. 求微分方程 y 8 y 16y e4x的通解 .四、（8 分）证明 : 当 x 0时， 2x ln 2(1 x) 2 ln(1 x) . 五、（ 8分）如果二阶可微函数 f ( x) 满足方程 :f (x)x4 f (t )dt 0 , 且已知 f (0) 1 ,求 f ( x) .六、（7 分）设f ( x) 在[0， ] 上连续 , 在内可导 , 求证 : 存在, 使得（0， ）（0， ）f ( )f ( ) cotx七、（9 分）设 D 是位于曲线 yxa2a(a 1, 0 x ) 下方、x 轴上方的无界区域 .(1) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a) ; ( 2 ) 当 a 为何值时 , V (a) 最小 ? 并求此最小值 .广东工业大学考试答题纸课程名称 :高等数学 A(1) 试卷满分 100 分： 考试时间 : 2008 年 1月 14 日 (第 20一 )名 周 星期姓题 号一二三四五六七总分1234评卷得分线评卷签名复核得分 ： 复核签名号学一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1. e 5dye ydx ;;2. 1xe y 3. 2 f ( 2 ) ;订1 e x 2sin x x cos xC5.ysin x cos x4.2;二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）： 12345业专BCADA装三、计算题（每小题 7 分，共 28 分）dy( 2e t) 2 e 2 t1. 解 : dx( 3e t)3（3 分）：d 2 y d ( dy ) d ( 2e 2t ) dt院dx 2dx dxdt 3dx（5 分）学4 e 2 t 14 e 2 t 1 4 e 3 t3 dx33e t9dt（7 分）.2. 解 :函数的定义域为 : (0, )y24x ln x2 x ,（1 分）11y 24ln x 22, 令 y0 得 x e12（3 分）列表讨论如下 :x11 11 11(0, e12)e12( e12, + )y+y凸11凹18e6（5 分）1111区间 (0,e 12 ] 为曲线的凸区间 , 区间 [ e 12, + ) 为曲线的凹区间 ,1111曲线有拐点 : ( e12,18e6 )（7 分）3. 解:因为 x 3cos x 为 [2，] 上连续的奇函数 ,2所以2 x3 cos xdx（2 分）22(x3sin 2 x) cos 2 x d x =2sin 2 x cos 2 xd x22= 12sin 2 2x d x = 1 2 (1cos4x )d x（5 分）2 4= 1 ( x2 （7 分）1 sin 4x)84 4 04. 解: 特征方程为 :r 28r160 ,特征根 :r1r24齐次方程的通解为 :Y(C1C2 x)e4 x由于 4 为特征方程的二重根,且P m(x )1故可设原方程的一个特解为 :y*Ax 2e4x将其代入原方程得 : 2Ae4 x e4x,解得: A 1 2所以 y* 1 x2e4x,从而求得原方程的通解为2y (C14 x12 4 xC 2 x )e2x e（分）证明:令f ( x)2x ln2(1x)2ln(1 x),f (0) 0四、 8f ( x)12( x ln(1x )) , x令:g(x )x ln(1x), g(0)0当 x 0时,g ( x) 11x0 , 1x1x所以 g( x ) 单调增加,当 x0时 ,g( x )g(0)0因此 f ( x)0 ,f ( x ) 单调增加,故当x0时,f ( x ) f (0)0,即2x ln 2 (1x)2ln(1x)证毕.（3 分）（5 分）（7 分）（2 分）（4 分）（6 分）（8 分）五、（8 分）解 : 所给方程两边对x 求导得 :f (x ) 4 f (x )0(1)（2 分）特征方程为 :r 240, 解之得:r i ,方程 (1)的通解为 : f ( x)C1 cos2 x C 2 sin2x (2)（4 分）又 f (0)1, 代入(2)式得 :C11,所以f ( x)cos2 x C2 sin 2x ,f ( x) 2 sin 2x2C 2 cos2 x(3)（6 分）由题目所给条件知 : f (0)(xf (t )dt )0, 40x 0代入 (3)得 :C20,于是求得 : f ( x)cos2x（8 分）六、（7 分）证明 :设 F ( x) f ( x )sin x ,（3 分）由题目所给条件知 : F( x) 在[0,] 上连续 , 在(0,)内可导, 且F ( ) F (0)0, 所以由罗尔定理 ,至少存在一点(0, ),使得:F()0（5 分）又 F ( )[ f( x )sin x f ( x) cos x] x所以 f ( ) sin f ( ) cos0因为(0,) ,所以 sin0,从而有f ( )cosf () cot证毕（7 分）f ( )sin七、（9 分）解 : (1)所求旋转体的体积为xV (a)xa a dx（2 分）0a xxda aln a0a x a x a2xa a a a dx =（ 5分）ln a ln a ln a（ 2）V (a)2a(ln a1)，ln 3 a令 V (a)0, 得 ln a1,a e（7 分）当 1 a e 时，V (a)0,V (a) 单调减少，当 a e时，V (a) 0, V (a)单调增加，所以当 a e时，V最小，最小体积为e2V (e)e2.（ 9分）ln e。
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08级东校区第二学期高等数学(一)期末考试题A 答案
一.（每小题8分，共64分）
1. 已知 ()sin 21,u x y =+ 求 du
()sin 212cos(21),du y dx x y dy =+++
2. 若()22,xy z f x y e =-，求
.z x ∂∂ 122xy z xf ye f x
∂=+∂ 3．求()122024cos y
I dy x dx =⎰⎰. ()()12
2222
0004cos 2cos sin 4x I dx x dy x x dx ===⎰⎰⎰ 4. 求⎰⎰++=S
dxdy zy dzdx yx dydz xz I 222， 其中S 是由球面2221x y z ++=的外侧 21222220004()sin 5I x y z dxdydz d d r r dr ππθϕϕπΩ
=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5. 求微分方程ln 0xy y y '-=的通解.
ln CX
dy dx y y x y e =∴=
6. 求11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
∑幂级数 的收敛域． 011
11111-1lim 10,12
2n n n R x x x n n ∞→=
=⎛⎫⎛⎫==+++≠+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴∑当和时 发散收敛域为（－1，1）
7. 判断()
11n n ∞=-∑的敛散性, 若收敛, 指明是绝对收敛还是条件收敛?
(
)
(
)
01111,110
1n n n n n n leibiniz n ∞→=∞=∞==∴-+∴-∑∑由判别法收敛 8. 求
2
1
0.I =⎰
2
1
100|0I dx ==⎰ 二.（每小题6分，共24分）
1. 求()(),C I x y dx x y dy =+--⎰ 其中C 为椭圆22
221,x y a b
+= C 取正向. ()()22C
I x y dx x y dy dxdy ab π=+--=-⎰⎰⎰＝－ 2. 求,I xdxdydz Ω
=⎰⎰⎰ 其中Ω为三个坐标面及平面1x y z ++=所围成的闭区域.
1
2011(1)224I xdxdydz x x dx Ω==-=⎰⎰⎰⎰ 3. 求方程 ()20yy y '''-= 的满足条件()()001y y '== 的特解.
()()111212(),0,,001,1,1
c x
x y p y y p y yp p p c y y c y
y c e y y c c y e '''''
=∴=''∴-=∴=∴=∴='==∴==∴=令特解为：
4. 求()21ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
在0x =处的幂级数展开式, 并指出收敛域. ()()211
1
21
1
1ln 2[ln(1)ln(1)]1ln(1)(1)(1,1]ln(1)[1,1)4(1,1)21n n n n n n n x f x x x x x x x n x x x n x f x x n ∞-=∞=+∞=+⎛⎫==+-- ⎪-⎝⎭
+=-∈--=-∈-∴=∈-+∑∑∑
三.（每小题4分，共12分）
1. 求方程4x y y xe ''-= 的通解
12212111,-1
()x x
x x x x
C e C e x Ax B e A B C e C e x x e λλ--++==∴++-解：对应齐次方程的特征根为＝，＝－，所以其通解为：设非齐次方程的特解为：（），代入得：
非齐次方程的通解为：y=
2.
讨论1⎰的收敛性，若收敛, 指明是绝对收敛还是条件收敛? 00000
01101(1)(1)22
0222sin 2
1,|sin |21[],|sin ||sin |1|sin |1211sin ,A n n A n n n n n n n n n n n x dx x
A xdx x
A n x x dx dx x dx x x n xdx A n n n ππππππππ
π+∞
--==∞===≥≤∞=≥≥==⎰⎰∑∑⎰⎰⎰∑∑∑⎰解：进行换元，可得原式＝对于有界。
函数在[1,+]上单调下降趋于0，由狄利克雷法知收敛。
取而发散，故只要充分大1|sin |A x dx x ∴⎰，无界。
条件收敛。
3. 设级数1n n a ∞=∑收敛, 证明011lim n n x x n n a a n ∞
∞→+===∑∑ 1
1011lim n n n x n n n x x n n a a n
a a n ∞=∞=∞∞→+==∴=∑∑∑∑x 1证明：数列{}单调趋于0，且一致收敛，n 由阿贝尔判别法一致收敛，因此满足连续性。