23.3_圆中的计算问题_教(学)案

23.３圆中的计算问题23.3.1 弧长和扇形的面积一、素质教育目标（一）知识储备点让学生经历探索弧长和扇形的面积公式的过程；并能熟练掌握和应用这两个公式计算扇形的弧长或面积．（二）能力培养点通过亲身经历探索弧长和扇形面积公式的过程，提高学生探索问题和解决问题的能力．（三）情感体验点经历探索弧长和扇形面积公式的过程，让学生体验成功的喜悦．二、教学设想1．重点：扇形的弧长与面积的求法．2．难点：经历探索弧长和面积公式的过程．3．疑点：熟练、灵活地运用公式．4．课型与基本教学思路：新授课．•从实际问题──圆弧形铁轨的长度的计算着手，按照从特殊的圆心角到一般圆心角的过程，探索出圆心角为n•°的扇形的弧长的计算公式；接着，按照同样的思路，探索扇形的面积公式．三、媒体平台1．教具、学具准备：画圆的基本学具．2．•多媒体课件构思：设计一个输入任意一个圆心角就会跟着改变弧长的扇形图（底图是虚线图，扇形是实线），点击鼠标可得到弧长是圆周长的几分之几和实际长度或扇形面积是所在圆的面积的几分之几和实际面积．四、课时安排1课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入如图所示为圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨所在圆的半径为100m，圆心角为90°，你能求出这段铁轨的长度吗？（ 取3．14）2．课前热身（1）这段铁轨的长度与它所在圆的周长有什么关系？ （2）已知圆的半径为r ，圆的周长与面积分别是多少？（3）从刚才的实例中，你是否已感觉到：已知圆的半径，•若要求出这个圆中某一段弧的长度，关键要知道什么？ 3．合作探究 （1）整体感知通过对课前热身中的几个问题的回答，整体感知弧长与它所在的圆的周长有关，要想求出弧长，还必须要知道这条弧所对的圆心角． （2）四边互动师生与教材互动1：完成教材第66页的“探索”中的空白．（5分钟） 互动1观察填写后的结果，你有何发现？生：弧所对的圆心角与圆周角360°的比值等于弧长与圆的周长的比值．师：若弧长为L ，圆心角为n °，圆的半径为r ，那么弧长L 的计算公式是怎样的呢？ 生：L=360n ·2πr=180n rπ 明确 弧长与它所在圆的半径和它所对的圆心角有关，弧长的计算公式．师生与教材互动2•：我们规定：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形．请完成教材第68页的“探索”中的空白． 互动2观察填写后的结果，你有何发现？生：弧所对的圆心角与圆周角360°的比值等于扇形的面积与圆的面积的比值． 师：若扇形的面积为S ，圆心角为n °，圆的半径为r ，•那么扇形面积的计算公式是怎样的呢？生：S=2360n r π师：很好！，此公式能变形吗？能用弧长来表示扇形的面积吗？明确 扇形面积的两种计算公式． 互动3师：我们来看这道题：“圆心角为60°的扇形的弧长为2，•求这个扇形的面积与周长”．先请同学们互相讨论或交流一下：要想求出扇形的面积，必须要先知道什么？ 生：可先由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求出面积．明确 本节课所学的两个公式的灵活运用及扇形的周长的概念，要强调周长不是弧长． 4．达标反馈 （1）填空题：①若扇形的圆心角是230°，则这个扇形的面积等于它所在圆的面积的2336；•它的弧长等于这个扇形所在圆的周长的2336． ②扇形的面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°. ③扇形的圆心角是60°，半径为10cm ，这个扇形的周长是20+103πcm ． ④扇形的面积是S ，半径是r ，这个扇形的弧长是2S r． （2）已知圆弧的半径为50cm ，圆心角是60°，求此圆弧的长度． 【答案】503πcm （3）若扇形的面积为6，弧长为2，求它的圆心角的度数． 【答案】 60° 5．学习小结 （1）容总结 ①弧长公式：L ＝180n rπ ②扇形的面积公式：S=2360n r π=180n r π×2r =2Lr（2）方法归纳：在推导扇形的弧长及面积公式的时候，•其实我们运用了数学中的转化的思想．由于扇形是圆的一部分，我们可将我们所不熟悉的扇形的问题转化成我们所熟悉的圆的问题，从而得到问题的答案．（二）拓展延伸1．生活钟面上的分针的长是5cm，经过20分钟，•分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？ 2．实践探索巩固练习（1）火车机车上的主动轮的直径为1.2m，若主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？【答案】 28.8m（2）如果两个扇形的圆心角相等，大扇形的半径是小扇形的2倍，那么大扇形的面积是小扇形的面积的多少倍？【答案】 4（3）若扇形的面积为3π，弧长为π，求它的半径和圆心角的度数．【答案】 r=6，θ=30°（4）已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，求此扇形的面积和周长．【答案】 s=3π，c=2π+6（三）板书设计六、资料下载转化思想在本节课的教学──圆弧的长度和扇形的面积公式的推导过程中，我们紧紧抓住了弧或扇形都是圆的一部分这一特点，将我们所不熟悉的弧长或扇形的面积问题转变为我们已非常熟悉的圆的周长和面积问题，从而使问题得以解决．这种处理问题的思路就是数学中的转化思想．“化复杂为简单，化未知为已知，化一般为特殊……”这一转化思想，在数学中有着广泛的应用．如代数中的“减去一个数，等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数……”，几何中的“多边形的角和与相关性质的推导”等等无不体现了转化思想．数学源于生活，数学思想其实也是生活经验的推广与延伸．转化思想在生活中也有着广泛的应用．科技的发展、生产力水平的提高，都是人们根据以往的经验和现行的水平探索着未知的领域，从而人类社会才得以不断进步．23.3.2 圆锥的侧面积和全面积一、素质教育目标（一）知识储备点了解圆锥及其相关概念；了解圆锥的侧面展开图，并会计算其侧面积和全面积．（二）能力培养点通过亲身经历圆锥的侧面展开的过程，培养学生的空间观念．（三）情感体验点经历探索问题的过程，让学生体验成功的喜悦．二、教学设想1．重点：让学生经历圆锥侧面展开的过程，圆锥的侧面积和全面积的求法．2．难点：空间观念的建立．3．疑点：旋转体的有关概念．4．课型与基本教学思路：新授课．先通过事先折好的圆锥的教具演示，•了解圆锥及其相关概念；通过分组活动，将圆锥侧面展开，让学生体验圆锥沿其侧面展开后是一些什么图形，最后进一步探求圆锥的侧面积和全面积的计算方法．三、媒体平台1．教具、学具准备：投影胶片：用硬纸折好的一些圆锥；小剪刀．2．多媒体课件构思：可以制作一个圆锥展开的动态画面的课件，•让学生更能清晰地体验其展开后的结果．四、课时安排1课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入出示投影胶片：①陀螺；②锥形的烟囱帽；③锥形的粮屯；④辣椒；⑤胡萝卜．以上这些实物图形，给了我们一个什么形象？（出示圆锥模型并画出圆锥的平面图形，介绍圆锥及其相差的一些概念；母线、高、侧面与底面，如图所示）2．课前热身（将事先折好的一些圆锥分发给每小组的同学） （1）圆锥的底面是一个什么图形？（2）沿着圆锥的母线，用小剪刀将你们手中的圆锥剪开，看一看，•剪开后是一个什么图形？3．合作探究 （1）整体感知通过对课前热身中的几个问题的操作与回答，整体感知：圆锥的底面是一个圆；圆锥的侧面是一个扇形，而这个扇形的半径就是圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长．（2）四边互动 互动1师；通过刚才的操作，你有什么感悟？生：圆锥的底面是一个圆；圆锥的侧面是一个扇形．师：很好！圆锥侧面的这个扇形的半径与弧长与原来的圆锥有什么关系呢？明确 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形半径与弧长分别等于圆锥的母线长和底面圆的周长． 互动2师：如果一个圆锥的底面圆的半径是1，母线长是4，你能求它的侧面积吗？应怎样求？ 生：能；因为圆锥的侧面积就是它的侧面展开图的扇形的面积，而这个扇形的半径等于其母线长4，扇形的弧长等于它的底面圆的周长2πr=2π，所以S=2Lr=4π． 师：它的全面积呢（解释一下圆锥的“全面积”） 生：全面积就是侧面积与底面积的和，等于4π+π=5π．师：很好！如果圆锥底面圆的半径是r ，母线长是a ，请用r 、a 来表示S 侧与S 全． 生：S 侧=12×2πr ×a=πra ；S 全=S 侧+S 底=πra+ πr 2明确 圆锥的侧面积与全面积的求法． 互动3师：将如图所示的直角△ABC沿着它的一条直角边AC旋转一周，•得到一个什么图形？生：得到一个圆锥．师：若AC=4，BC=3，那么这个圆锥的底面圆的半径r，母线长a分别等于多少？生：r=3，a=5．明确平面图形旋转→立体（空间）图形（旋转体）．4．达标反馈（1）想一想：如图所示的圆柱的侧面展开图是什么形状？•展开后的图形的相应的边长与原来的圆柱的高h和底面圆的半径r有什么关系？【答案】矩形，其长、宽分别为2πr，h（2）已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都是3米，高都是4米，•它们的侧面积相差多少？侧面积的比值为多少？【答案】 9π，5 8（3）如图所示的直角三角形，若以其一边为轴旋转一周，•分别得到一个什么图形？并计算所得到的图形的全面积．（提示：要分成三种情况）【答案】圆锥．绕AC旋转，S=24π；绕BC旋转，S=36π；绕AB旋转，S=56425π．5．学习小结（1）容总结①圆锥的侧面展开图；②圆锥的侧面积与全面积：S侧=12×2πr×a=πra；S全=S侧+S底=πra+ πr2③圆柱的侧面展开图．（2）方法归纳在本节课的学习中，我们仍然运用了数学中的转化思想．化复杂为简单，化未知为已知，把没学过的空间图形的有关问题转化为我们已经熟知的平面图形来解决．（二）拓展延伸1．生活请列举生活中的一些外形是圆锥或圆柱的实物．2．实践探索（1）实践活动一把雨伞（假定撑开后成一圆锥），你能计算它需要多少尼龙布吗？要想解决这个问题，你应怎样做？（2）巩固练习：①若圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，•求它的侧面积和全面积．【答案】 S侧=300，S全=400②一个圆柱形水池的底面半径为4m，池深1.2m，在池的壁与底面抹上水泥．若每平方米需要水泥0.001吨，问此项工程需要多少吨水泥？【答案】 0.025 6π吨③已知一个矩形的长为4cm，宽为3cm．若以这个矩形的某一边为轴旋转一周，得到一个什么图形？并求出这个图形的侧面积和全面积．（提示：要分成两种情况）【答案】③圆柱，222456S cmS cmππ⎧=⎪⎨=⎪⎩侧全或222442S cmS cmππ⎧=⎪⎨=⎪⎩侧全（三）板书设计2．圆锥的侧面积和全面积3．圆柱的侧面展开图与侧面积、全面积．1．圆锥的侧面展开图．2．圆锥的侧面积和全面积的求法．六、资料下载多面体与旋转体几何图形可分为平面图形和空间图形，而空间图形──几何体又可分为多面体和旋转体．由若干个平面多边形面围成的几何体，叫做多面体．如：棱柱、棱锥．再如：圆柱、圆锥、球等等，这些几何体已不是由若干个平面图形围成，它们可以分别看做一个平面图形绕着同一平面的一条直线旋转形成的，所以这些几何体统称为旋转体．如图2所示，以矩形的一边所在的直线为轴旋转一周形成圆柱；以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥；那么，以半圆的直径为轴旋转一周能形成什么图形呢？。