2019-2020学年人教A版必修三单元质量评估试卷(二)含解析-(高一数学)
2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)期末试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学期末试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，是自然数集，则( )A.B.C.D.2. 已知均为正实数，则“”是“”的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 已知是第二象限角，若，则＝（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中，真命题是（ ）A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={−2,−1,0,1,2}{0,1,2,3}{0,1,2}{1,2}()αsin(−α)=−π213sin α−22–√3−131322–√3∀x ∈R ln ≥02A.，B.，C.，D.，5. 为了得到函数的图像，可将函数的图像( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度6. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：在四个函数模型（，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝7. 不等式有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.根据表格中的数据，可以断定：方程的一个根所在的区间是( )∀x ∈R ln ≥0x 2∀x ∈R −1≤≤11sin x ∃∈R x 0≤1e x 0∃∈R x 0cos =2x 0y =cos 2x y =sin(2x −)π6π6π3π6π3x 123458y 0.51.52.082.52.823.5a b x y y a +bxy a +b xy a +xlog b y a+x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2a [−1,+∞)(−∞,−4−4ln 2)∪[−1,+∞)(−∞,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)(−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)−x −2=0e x x −10123A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9. 下列四个等式其中正确的是（ ）A.B.C.D.10. 某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：则下列结论中正确的有A.调整后房地产业的利润有所下降B.调整后医疗器械的利润增长量最大C.调整后生物制药的利润增长率最高D.调整后金融产业的利润占比最低11. 在同一直角坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是( )e x0.371 2.727.3920.09x +212345(1，2)(0，1)(2，3)(−1，0)=1tan 22.5∘1−tan 222.5∘tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√−=cos 2π8sin 2π82–√2−=41sin 10∘3–√cos 10∘f (x)=kx +b g(x)=x log bA.B.C.D.时，卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 求值：________．13. 已知扇形的圆心角的弧度数为，其弧长也是，则该扇形的面积为________．14. 函数，的单调递减区间是________．15. 函数的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求、；（2）若＝，求实数的取值范围．17. 已知（，且为常数）．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间内，存在，且时，使不等式成立，求的取值范围．18. 已知函数＝．k <0,0<b <1k >0,b >1f ()g(1)>0(x >0)1xx >1f (x)−g(x)>0lo 15−lo 25=g 312g 322y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2f (x)=2x −x +1−−−−−√A {x |−2<x <7}B {x |a ≤x ≤3a −2}a 4A ∪B (A)∩B ∁R A ∪B A a f(x)=1+ln xax a ≠0a f(x)(1,+∞)，x 1x 2≠x 1x 2|f()−f()|x 1x 2≥k|ln −ln |x 1x 2k f(x)（1）求函数的最小正周期，以及在，]上的单调性．（2）已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，＝，＝，且恰是函数在，]上的最大值，求和．19. 年，随着中国第一款手机投入市场，技术已经进入高速发展阶段．已知某手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其成本为，其中固定成本为万元，并且每生产万台的生产成本为万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入万元满足，（1）将利润表示为产量万台的函数；（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20. 在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 21. 设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围．f(x)f(x)[0a b c ABC A a 1c f(A)f(x)[0A b 20195G 5G 5G x(0≤x ≤10)G(x)80011000R(x)R(x)={ −400+4200x,0≤x ≤5x 22000x −3800,5<x ≤10f(x)x x S a ∈R f(x)=+a 2x +12x a f(x)f(x)a +22x ∈R a参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合，是自然数集，所以.故选.2.【答案】C【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】代入特殊值，判断不是充分条件，再根据基本不等式判断必要条件．【解答】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“的必要不充分条件．故选：．3.A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={0,1,2}C a =100,b =2=<2ab a +b 200102ab =200>16≤2ab a +bab ≤16ab ≤16≤=≤2ab a +b ab 2ab −−√ab −−√2a =b =4ab ≤16≤2ab a +b ≤2ab a +b ab ≤16C【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】是第二象限角，若可得，所以．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：，当时，，故错误；，当时，无意义，故错误；，当时，显然成立，故正确；，，故错误.故选.5.【答案】D【考点】αsin(−α)=−π213cos α=−13sin α==1−co αs 2−−−−−−−−√22–√3A x =12ln <0x 2A B x =01sin x B C =0x 0≤1e x 0C D cos ∈[−1,1]x 0D C函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式将函数名化相同，根据三角函数图象平移变换规律可得答案．【解答】解：∵，∴将函数的图象向左平移个单位可得．故选．6.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由表格中的数据作出散点图，结合图象得答案．【解答】由表格中数据作出散点图：由图可知，是关于的增函数，且递增的比较缓慢，7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，讨论，，，可得方程的解为和，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．y =cos 2x =sin(2x +)=sin[2(x +)−]π2π3π6y =sin(2x −)π6π3D y x x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2a <2a =2a >213a【解答】不等式，即为，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数的图象恒过点，又过，当时，横坐标为的点满足题意，可得，解得；当，两图象无交点；当时，横坐标为的点满足题意，可得：，且，解得，则的范围是，8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，由表知，，∴方程的一个根所在的区间为．故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9.【答案】B,C,D【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2y =−+(2−a)x +2a x 2(2,0)(−a,0)a <21ln 1≤−1+(2−a)+2a a ≥−1a =2a >234ln 4>−+4(2−a)+2a 423ln 3<−+3(2−a)+2a 32−4−4ln 2<a <−3−3ln 3a (−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)f(x)=−x −2e x f(1)=2.72−3<0f(2)=7.39−4>0−x −2=0e x (1，2)A利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：，，故，故错误；，，故，故正确；，，故正确；，，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】A,B,C【考点】对数函数的图象与性质一次函数的性质与图象【解析】由的图象可得故不正确，再由故不正确，则答案可求．【解答】解：由直线方程可知，，故不正确；而，故不正确；A =tan tan 22.5∘1−tan 222.5∘1245∘=12=tan 22.5∘1−tan 222.5∘12B tan 60∘=tan(+)==25∘35∘tan +tan 25∘35∘1−tan tan 25∘35∘3–√tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√C −=cos =cos 2π8sin 2π8π42–√2D −=1sin 10∘3–√cos 10∘cos −sin 10∘3–√10∘sin cos 10∘10∘===42cos(+)60∘10∘sin 1220∘2sin 20∘sin 1220∘BCD f (x)k >0,0<b <1A ，B g(1)=0C k >0，0<b <1A ，B g(1)=0C f(x)>g(x)由图象可知，当时，，，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】直接利用对数的运算性质即可求解．【解答】＝＝．13.【答案】【考点】扇形面积公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．【解答】由弧长公式可得＝，解得＝．∴扇形的面积＝．14.【答案】【考点】正弦函数的单调性x >1f(x)>g(x)f (x)−g(x)>0D ABC 1lo 15−lo 25=15−5g 312g 3log 3log 33log 31122r r 1S =lr =×2×112121[0,π]23【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．15.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，利用换元法可将函数的解析式换元为： .结合二次函数的性质可知当 时函数取得最小值.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】＝时，集合＝＝，＝＝＝，所以＝；又＝，所以＝；y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]23−178t =，t >0x +1−−−−−√x =−1t 2g(t)=2(−1)−t =2−t −2(t >0)t 2t 2t =14g()=−−2=−141814178−178a 4A {x |−2<x <2}(−2B {x |a ≤x ≤3a −3}{x |4≤x ≤10}[4,10]A ∪B (−2,10]A ∁R (−∞,−2]∪[7A ∩B ∁R [8,10]A ∪B A B ⊆A由＝，得，①当＝时，；②时，应满足，解得，即；综上知，实数的取值范围是．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．A ∪B A B ⊆A B ∅a >3a −2B ≠∅4≤a <3a a <3∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e【考点】函数奇偶性的性质与判断不等式的证明利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的证明．【解答】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．18.【答案】由题意可得：＝＝+＝），所以函数的周期为＝＝，∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e f(x)x+cos 2sin x cos x+sin 2x+sin(2x++3f(x)T π令，解得，，因为，]，则令＝可得，]，故函数在区间，]上单调递增]上单调递减；由（1）知：＝），又恰是函数在，]上的最大值，所以＝，解得＝，则在三角形中，由余弦定理可得：＝，即＝，解得＝或，故＝，＝或．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】7kπ−≤2x+k k ∈Z x ∈[0k 0x ∈[0f(x)[0f(x)sin(2x++2f(A)f(x)[02A+A ABC a 2+−2bc cos A b 4c 252+8−2b×b 2b 17A b 13G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600f(x)R(x)−G(x)（1）根据＝得出解析式；（2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值．【解答】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．20.【答案】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；【解答】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．21.【答案】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；f(x)R(x)−G(x)G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S rr =S −−√θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S r r =S −−√f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2xa −1(x)a +2对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）由在上为奇函数，可得＝，解方程可得的值，检验即可；（2）由题意可得即为恒成立，等价为，即有，讨论＝，，，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到的范围．【解答】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．f(x)a +22x ∈R +a 2x+12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]f(x)R f(0)0a +a 2x +12x a +22a −1+12x a 22(a −1)<a(+1)2xa 0a >0a <0a f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2x a −1f(x)a +22x ∈R +a 2x +12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a 0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2020版高一数学 课时作业全册(含解析) 新人教A版必修3
20203目录[课时作业1] 算法的概念 (3)[课时作业2] 程序框图与算法的顺序结构、条件结构 (7)[课时作业3] 循环结构及应用 (14)[课时作业4] 输入语句、输出语句和赋值语句 (22)[课时作业5] 条件语句 (29)[课时作业6] 循环语句 (37)[课时作业7] 算法案例 (47)[课时作业8] 简单随机抽样 (52)[课时作业9] 系统抽样 (55)[课时作业10] 分层抽样 (59)[课时作业11] 用样本的频率分布估计总体分布 (65)[课时作业12] 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (72)[课时作业13] 变量间的相关关系 (79)[课时作业14] 随机事件的概率 (86)[课时作业15] 概率的意义 (90)[课时作业16] 概率的基本性质 (95)[课时作业17] 古典概型 (101)[课时作业18] (整数值)随机数(random numbers)的产生 (106)[课时作业19] 几何概型 (110)[课时作业20] 均匀随机数的产生 (116)[课时作业1] 算法的概念[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．算法的有限性是指( ) A ．算法必须包含输出B ．算法中每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上说法均不正确解析：一个算法必须在有限步内结束称为算法的有穷性． 答案：C2．给出下面一个算法： 第一步，给出三个数x ，y ，z . 第二步，计算M ＝x ＋y ＋z . 第三步，计算N ＝13M .第四步，输出M ，N . 则上述算法是( ) A ．求和 B ．求余数C ．求平均数D ．先求和再求平均数解析：由算法过程知，M 为三数之和，N 为这三数的平均数． 答案：D3．已知一个算法： 第一步，m ＝a .第二步，如果b <m ，则m ＝b ，输出m ；否则执行第三步． 第三步，如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a ＝3，b ＝6，c ＝2，那么执行这个算法的结果是( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．m解析：当a ＝3，b ＝6，c ＝2时，依据算法设计，执行后，m ＝a ＝3<b ＝6，c ＝2<3＝m ，则c ＝2＝m ，即输出m 的值为2.答案：C4．一个算法的步骤如下：第一步，输入x 的值； 第二步，计算x 的绝对值y ； 第三步，计算z ＝2y－y ； 第四步，输出z 的值．如果输入x 的值为－3，则输出z 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析：根据算法的步骤计算： 第一步，输入x ＝－3. 第二步，计算x 的绝对值y ＝3. 第三步，计算z ＝2y －y ＝23－3＝5. 第四步，输出z 的值为5. 答案：B5．对于解方程x 2－5x ＋6＝0的下列步骤： ①设f (x )＝x 2－5x ＋6；②计算判别式Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0； ③作f (x )的图象；④将a ＝1，b ＝－5，c ＝6代入求根公式x ＝－b ±Δ2a ，得x 1＝2，x 2＝3.其中可作为解方程的算法的有效步骤为( ) A ．①② B．②③ C ．②④ D．③④解析：解一元二次方程可分为两步：确定判别式和代入求根公式，故②④是有效的，①③不起作用．故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分) 6．给出下列算法： 第一步，输入x 的值．第二步，当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则计算y ＝4－x . 第三步，输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝________. 解析：∵x ＝0<4，∴y ＝4－x ＝2. 答案：27．已知A (－1,0)，B (3,2)，下面是求直线AB 的方程的一个算法，请将其补充完整：第一步，________.第二步，用点斜式写出直线AB 的方程y －0＝12[x －(－1)]．第三步，将第二步的方程化简，得到方程x －2y ＋1＝0.解析：该算法功能为用点斜式方法求直线方程，第一步应为求直线的斜率，应为“计算直线AB 的斜率k ＝12”．答案：计算直线AB 的斜率k ＝128．下面给出了解决问题的算法：S 1，输入x .S 2，若x ≤1，则y ＝2x －3，否则y ＝x 2－3x ＋3. S 3，输出y .当输入的值为________时，输入值与输出值相等．解析：该算法的作用是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋3，x >1，2x －3，x ≤1的函数值．因为输入值与输出值相等，所以当x >1时，x 2－3x ＋3＝x ，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，当x ≤1时，2x －3＝x ，解得x ＝3(舍去)．答案：3三、解答题(每小题10分，共20分) 9．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法． 解析：算法一：第一步，移项，得x 2－2x ＝3.① 第二步，①式两边同时加1并配方，得(x －1)2＝4.② 第三步，②式两边开方，得x －1＝±2.③ 第四步，解③得x ＝3或x ＝－1.算法二：第一步，计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0. 第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x ＝－b ±b 2－4ac2a ，得x 1＝3，x 2＝－1.10．请设计一个判断直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)是否垂直的算法．解析：算法如下： 第一步，输入k 1，k 2的值． 第二步，计算u ＝k 1·k 2.第三步，若u ＝－1，则输出“垂直”；否则，输出“不垂直”．[能力提升](20分钟，40分)11．能设计算法求解下列各式中S 的值的是( ) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n 为确定的正整数)．A ．①② B．①③ C ．②③ D．①②③解析：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解．易知①③能设计算法求解． 答案：B12．一个算法的步骤如下： 第一步，令i ＝0，S ＝2.第二步，如果i ≤15，则执行第三步；否则执行第六步． 第三步，计算S ＋i 并用结果代替S . 第四步，用i ＋2的值代替i . 第五步，转去执行第二步． 第六步，输出S .运行该算法，输出的结果S ＝________.解析：由题中算法可知S ＝2＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝58. 答案：5813．从古印度的汉诺塔传说中演变出一个汉诺塔游戏：如图有三根杆子A ，B ，C ，A 杆上有三个碟子(自上到下逐渐变大)，每次移动一个碟子，要求小的只能叠在大的上面，最终把所有碟子从A 杆移到C 杆上．试设计一个算法，完成上述游戏．解析：第一步，将A 杆最上面的碟子移到C 杆上． 第二步，将A 杆最上面的碟子移到B 杆上． 第三步，将C 杆上的碟子移到B 杆上． 第四步，将A 杆上的碟子移到C 杆上． 第五步，将B 杆最上面的碟子移到A 杆上． 第六步，将B 杆上的碟子移到C 杆上．第七步，将A 杆上的碟子移到C 杆上．14．给出解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为实数)的一个算法． 解析：算法步骤如下：第一步，当a ＝0，b ＝0，c ＝0时，解集为全体实数； 第二步，当a ＝0，b ＝0，c ≠0时，原方程无实数解； 第三步，当a ＝0，b ≠0时，原方程的解为x ＝－c b； 第四步，当a ≠0且b 2－4ac >0时，方程有两个不等实根 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；第五步，当a ≠0且b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a ；第六步，当a ≠0且b 2－4ac <0时，方程无实根．[课时作业2] 程序框图与算法的顺序结构、条件结构[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．条件结构不同于顺序结构的特征是含有( ) A ．处理框 B ．判断框 C ．输入、输出框 D ．起止框解析：由于顺序结构中不含判断框，而条件结构中必须含有判断框，故选B. 答案：B2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，x 2＋1，x >0的函数值．其中需要用条件结构来描述算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：其中①③④都需要对条件作出判断，都需要用条件结构，②用顺序结构即可．故选C.答案：C3．运行如图所示的程序框图，输出的结果为11，则输入的x 的值为( )A．6 B．5C．4 D．3解析：依题意，令2x－1＝11，解得x＝6，即输入的x的值为6.答案：A4．已知M＝ln 2，N＝lg 10，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A．1 B．ln 10C．ln 5 D．ln 2解析：依题意，可得M<N，故输出的S＝M＝ln 2，故选D.答案：D5．某市的出租车收费办法如下：不超过2千米收7元(即起步价7元)，超过2千米的里程每千米收2.6元，另每车次超过2千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填( )A ．y ＝7＋2.6xB ．y ＝8＋2.6xC ．y ＝7＋2.6(x －2)D ．y ＝8＋2.6(x －2) 解析：当x >2时，2千米内的收费为7元， 2千米外的收费为(x －2)×2.6， 另外燃油附加费为1元，所以y ＝7＋2.6(x －2)＋1＝8＋2.6(x －2)． 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．如图，该程序框图的功能是________．解析：该程序框图表示的算法是先输入五个数，然后计算这五个数的和，再求这五个数的平均数，最后输出它们的和与平均数．答案：求五个数的和以及这五个数的平均数7．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序框图后，输出y 的值为4，则输入的实数x 的值为________．解析：由程序框图，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥02x，x <0，若y ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x ＋2)2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x <02x＝4，解得x ＝0.答案：08．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥22－x ，x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图，则①②处分别应填写________．解析：程序框图中的①处就是分段函数解析式的判断条件，故填写“x <2？”，②处就是当x ≥2时的函数解析式，故填写“y ＝log 2x ”．答案：x <2？，y ＝log 2x三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知半径为r 的圆的周长公式为C ＝2πr ，当r ＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．解析：算法如下： 第一步，令r ＝10. 第二步，计算C ＝2πr . 第三步，输出C . 程序框图如图所示：10．为了节约能源，培养市民节约用电的良好习惯，某省居民生活用电价格将实行三档累进递增的阶梯电价：第一档，月用电量不超过200千瓦时，每千瓦时0.498元；第二档，月用电量超过200千瓦时但不超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.548元；第三档，月用电量超过400千瓦时，超出的部分每千瓦时0.798元．(1)写出电费y (元)关于月用电量z (千瓦时)的函数关系式； (2)请帮助该省政府设计一个计算电费的程序框图． 解析：(1)所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.498×200＋(x －200)×0.548，200<x ≤4000.498×200＋200×0.548＋(x －400)×0.798，x >400，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.498x ，0≤x ≤2000.548x －10，200<x ≤4000.798x －110，x >400.(2)程序框图为[能力提升](20分钟，40分)11．阅读如图程序框图，如果输出的值y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[0,2]解析：由题意得：2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1且x ∈[－2,2]，解得x ∈[－2,0]．答案：B12．阅读如图所示的程序框图，写出它表示的函数是________．解析：由程序框图知，当x >3时，y ＝2x －8；当x ≤3时，y ＝x 2，故本题框图的功能是输入x 的值，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)的函数值．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8(x >3)x 2(x ≤3)13．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <0，x 2＋1，0≤x <1，x 3＋2x ，x ≥1，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．解析：算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x <0，那么y ＝2x －1，然后执行第四步；否则，执行第三步． 第三步，如果x <1，那么y ＝x 2＋1；否则，y ＝x 3＋2x . 第四步，输出y . 程序框图如图所示．14．如图所示的程序框图，其作用是：输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，求这样的x 值有多少个？解析：由题可知算法的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值，要满足题意，则需要⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x 2＝x (解得x ＝0或x ＝1)或⎩⎪⎨⎪⎧2<x ≤5，2x －3＝x (x ＝3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，1x＝x ，(x＝±1，舍去)∴满足条件的x 的值有3个．[课时作业3] 循环结构及应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列关于循环结构的说法正确的是( )A．循环结构中，判断框内的条件是唯一的B．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行C．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”D．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去解析：由于判断框内的条件不唯一，故A错；由于当型循环结构中，判断框中的条件成立时执行循环体，故B错；由于循环结构不是无限循环的，故C正确，D错．答案：C2.如图所示程序框图的输出结果是( )A．3 B．4C．5 D．8解析：利用循环结构求解．当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝2；当x＝2，y＝2时，满足x≤4，则x＝2×2＝4，y＝2＋1＝3；当x＝4，y＝3时，满足x≤4，则x＝2×4＝8，y＝3＋1＝4；当x＝8，y＝4时，不满足x≤4，则输出y＝4.答案：B3．如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为( )A．n≤5? B．n≤6?C．n≤7? D．n≤8?解析：2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6？”．答案：B4．执行程序框图如图，若输出y的值为2，则输入的x应该是( )A．2或 3 B．2或± 3C．2 D．2或－ 3解析：由程序框图可得：当x<0时，y＝x2－1，∴x2－1＝2，即x2＝3，∴x＝－ 3.当x≥0时，y＝2x－2，∴2x－2＝2，∴2x＝4＝22.∴x＝2，综上所述，x＝2或－ 3.答案：D5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6解析：执行第一次循环的情况是：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；执行第二次循环的情况是：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2，执行第三次循环的情况是：a＝2，b＝4，a ＝6，s＝16，n＝3，执行第四次循环的情况是：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.根据走出循环体的判断条件可知执行完第四次走出循环体，输出n值，n值为4.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．解析：第一次运算：S＝2－1，i＝1<3，i＝2，第二次运算：S＝3－1，i＝2<3，i＝3，第三次运算：S＝1，i＝3＝n，所以S的值为1.答案：17．根据条件把图中的程序框图补充完整，求区间[1，1 000]内所有奇数的和，(1)处填________；(2)处填________．解析：求[1,1 000]内所有奇数和，初始值i ＝1，S ＝0，并且i <1 000，所以(1)应填S ＝S ＋i ，(2)应填i ＝i ＋2.答案：(1)S ＝S ＋i (2)i ＝i ＋28．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于________．解析：当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件．n ＝2，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件． n ＝3，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件． n ＝4，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件． 故输出的n 值为4. 答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．设计一个算法，求1×2×3…×100的值，并画出程序框图．解析：算法步骤如下： 第一步，S ＝1. 第二步，i ＝1. 第三步，S ＝S ×i . 第四步，i ＝i ＋1.第五步，判断i 是否大于100，若成立，则输出S ，结束算法；否则返回执行第三步． 程序框图如图．10．如图所示程序框图中，有这样一个执行框x i ＝f (x i －1)，其中的函数关系式为f (x )＝4x －2x ＋1，程序框图中的D 为函数f (x )的定义域． (1)若输入x 0＝4965，请写出输出的所有x i ；(2)若输出的所有x i 都相等，试求输入的初始值x 0. 解析：(1)当x 0＝4965时，x 1＝4x 0－2x 0＋1＝1119，而x 1∈D ，∴输 出x 1，i ＝2，x 2＝4x 1－2x 1＋1＝15，而x 2＝15∈D ，∴输出x 2，i ＝3，x 3＝4x 2－2x 2＋1＝－1，而－1∉D ，退出循环，故x i 的所有项为1119，15.(2)若输出的所有x i 都相等，则有x 1＝x 2＝…＝x n ＝x 0，即x 0＝f (x 0)＝4x 0－2x 0＋1，解得：x 0＝1或x 0＝2，所以输入的初始值x 0为1或2时输出的所有x i 都相等．[能力提升](20分钟，40分)11．考拉兹猜想又名3n ＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则乘3再加1；如果它是偶数，则除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：当a ＝10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝5，i ＝2；当a ＝5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值满足“a 是奇数”，故a ＝16，i ＝3；当a ＝16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝8，i ＝4；当a ＝8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝4，i ＝5；当a ＝4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝2，i ＝6；当a ＝2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a 值不满足“a 是奇数”，故a ＝1，i ＝7；当a＝1时，满足退出循环的条件，故输出结果为7.故选D.答案：D12．下列四个程序框图都是为计算22＋42＋62＋…＋1002而设计的．正确的程序框图为________(填序号)；图③输出的结果为________________(只需给出算式表达式)；在错误的程序框图中，不能执行到底的为________(填序号)．解析：将每一个程序框图所表示的算法“翻译”出来，即可判断．答案：④22＋42＋62＋ (982)13．某高中男子体育小组的50米短跑成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5.设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于 6.8 s 的成绩，并将这个算法用程序框图表示出来．解析：算法如下：第一步，输入a.第二步，若a<6.8成立，则输出a，否则执行第三步．第三步，若没有数据了，则算法结束，否则返回第一步．程序框图如图所示：14．设计一个算法，求1×22×33×…×100100的值，并画出程序框图(分别用直到型循环结构和当型循环结构表示)．解析：算法步骤如下(直到型循环结构)：第一步，S＝1.第二步，i＝1.第三步，S＝S×i i.第四步，i＝i＋1.第五步，判断i>100是否成立．若成立，则输出S，结束算法；否则，返回第三步．该算法的程序框图如图所示：算法步骤如下(当型循环结构)：第一步，S＝1.第二步，i＝1.第三步，判断i≤100是否成立．若成立，则执行第四步；否则，输出S，结束算法．第四步，S＝S×i i.第五步，i＝i＋1.该算法的程序框图如图所示：[课时作业4] 输入语句、输出语句和赋值语句[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列语句正确的个数是( )①输入语句INPUT a＋2；②赋值语句x＝x－5；③输出语句PRINT M＝2.A．0 B．1C．2 D．3解析：①中输入语句只能给变量赋值，不能给表达式a＋2赋值，所以①错误；②中x ＝x－5表示变量x减去5后再将值赋给x，即完成x＝x－5后，x比原来的值小5，所以②正确；③中不能输出赋值语句，所以③错误．答案：B2．下列程序运行的结果是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由赋值语句的功能知：M＝1，M＝1＋1＝2，M＝2＋2＝4，输出M的值为4，故选D.答案：D3．输入a＝5，b＝12，c＝13，经下列赋值语句运行后，a的值仍为5的是( )解析：对于选项A，先把b的值赋给a，a的值又赋给b，这样a，b的值均为12；对于选项B，先把c的值赋给a，这样a的值就是13，接下来是把b的值赋给c，这样c的值就是12，再又把a的值赋给b，所以a的值还是13；对于选项C，先把a的值赋给b，然后又把b的值赋给a，所以a的值没变，仍为5；对于选项D，先把b的值赋给c，这样c的值是12，再把a的值赋给b，于是b的值为5，然后又把c的值赋给a，所以a的值为12.于是可知选C.答案：C4．给出下列程序：若输出的A的值为120，则输入的A的值为( )A．1 B．5C．15 D．120解析：该程序的功能是计算A×2×3×4×5的值，则120＝A×2×3×4×5，故A＝1，即输入A的值为1.答案：A5．下列程序执行后，变量a，b的值分别为( )A．20,15 B．35,35C．5,5 D．－5，－5解析：a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15，再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．阅读如图所示的算法框图，则输出的结果是________．解析：y＝2×2＋1＝5，b＝3×5－2＝13.答案：137．下面程序的功能是求所输入的两个正数的平方和，已知最后输出的结果是3.46，试据此将程序补充完整．解析：由于程序的功能是求所输入的两个数的平方和，且最后输出的结果是3.46，所以3.46＝1.12＋x22.所以，x22＝2.25.又x2是正数，所以x2＝1.5.答案：1.58．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试根据平面几何中的中点坐标公式设计一个程序，要求输入A，B两点的坐标，输出它们连线中点的坐标．现已给出程序的一部分，请在横线处把程序补充完整：解析：应填入中点坐标公式．答案：(x1＋x2)/2 (y1＋y2)/2三、解答题(每小题10分，共20分)9．给出程序框图，写出相应的程序语句．解析：程序如下：10．阅读下面的程序，根据程序画出程序框图．解析：程序框图如图所示．[能力提升](20分钟，40分)11．给出下列程序：此程序的功能为( )A．求点到直线的距离B．求两点之间的距离C．求一个多项式函数的值D．求输入的值的平方和解析：输入的四个实数可作为两个点的坐标，程序中的a，b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m，n分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s是横、纵坐标之差的平方和，d 是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．答案：B12．阅读下列两个程序，回答问题．①②(1)上述两个程序的运行结果是①____________；②________；(2)上述两个程序中的第三行有什么区别：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.解析：(1)①中运行x＝3，y＝4，x＝4，故运行结果是4,4；同理，②中的运行结果是3,3；(2)程序①中的“x＝y”是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；程序②中的“y＝x”是将x的值3赋给y，赋值后y的值变为3.答案：(1)①4,4②3,3(2)程序①中的“x＝y”是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；程序②中的“y＝x”是将x的值3赋给y，赋值后y的值变为313．已知函数y＝x2＋3x＋1，编写一个程序，使每输入一个x值，就得到相应的y值．解析：程序如下：14．某粮库3月4日存粮50 000 kg,3月5日调进粮食30 000 kg,3月6日调出全部存粮的一半，求每天的库存粮食数，画出程序框图，写出程序．解析：程序框图如图所示．程序：[课时作业5] 条件语句 [基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )A．9 B．3C．10 D．6解析：因为a＝3<10，所以y＝2×3＝6.答案：D2．运行下面程序，当输入数值－2时，输出结果是( )A．7 B．－3C．0 D．－16解析：该算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x >0，2x ＋1，x ＝0，－2x 2＋4x ，x <0，当x ＝－2时的函数值，∴y ＝－16. 答案：D3．下列程序语句的算法功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：由程序语句可知，当比较a ，b 的大小后，选择较大的数赋给a ；当比较a ，c 的大小后，选择较大的数赋给a ，最后输出a ，所以此程序的作用是输出a ，b ，c 中最大的数．答案：A4．为了在运行下面的程序之后输出y ＝25，键盘输入x 应该是( )A ．6B ．5C ．6或－6D ．5或－5解析：程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2，x <0，(x －1)2，x ≥0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，(x ＋1)2＝25，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，(x －1)2＝25，得x ＝－6或x ＝6.答案：C5．已知程序如下：如果输出的结果为2，那么输入的自变量x 的取值范围是 ( )A ．0B ．(－∞，0]C ．(0，＋∞) D．R解析：由输出的结果为2，则执行了ELSE 后面的语句y ＝2，即x >0不成立，所以有x ≤0. 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．将下列程序补充完整．判断输入的任意数x 的奇偶性．解析：因为该程序为判断任意数x 的奇偶性且满足条件时执行“x 是偶数”，而m ＝x MOD 2表示m 除2的余数，故条件应用“m ＝0”．答案：m ＝07．如图，给出一个算法，已知输出值为3，则输入值为________．解析：本题的程序表示一个分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －1，x≥0，log 2(x ＋5)，x<0，∵输出值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －1＝3，x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x ＋5)＝3，x<0，∴x＝4，∴输入值x ＝4.答案：48．阅读下面程序(1)若输入a＝－4，则输出结果为________；(2)若输入a＝9，则输出结果为________．解析：分析可知，这是一个条件语句，当输入的值是－4时，输出结果为负数．当输入的值是9时，输出结果为9＝3.答案：(1)负数(2)3三、解答题(每小题10分，共20分)9．编写求函数y＝|x|的值的程序．解析：程序如下：10．给出如下程序(其中x满足：0<x<12)．(1)该程序用函数关系式怎样表达？(2)画出这个程序的程序框图．解析：(1)函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0<x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x <12.(2)程序框图如下：[能力提升](20分钟，40分)11．阅读下面的程序：程序运行的结果是( )A．3 B．3 4C．3 4 5 D．3 4 5 6解析：本题主要考查了条件语句的叠加，程序执行条件语句的叠加的过程中对于所有的条件都要进行判断，依次验证每一个条件，直到结束．在本题中共出现四次条件判断，每一个条件都成立，故输出结果为3 4 5 6.答案：D12．如下程序要使输出的y 值最小，则输入的x 的值为________．解析：本程序执行的功能是求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2(x ≥0)，(x ＋1)2(x <0)的函数值．由函数的性质知，当x ＝1或x ＝－1时，y 取得最小值0.答案：－1或113．设计判断正整数m 是否是正整数n 的约数的一个算法，画出其程序框图，并写出相应的程序．解析：程序框图：程序为：14．到某银行办理跨行汇款，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取手续费；超过5 000元，一律收取50元手续费，画出描述汇款额为x 元，银行收取手续费y 元的程序框图，并写出相应的程序．解析：由题意，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0<x ≤100，0.01x ，100<x ≤5 000，50，x >5 000.程序框图如图所示：程序如下：[课时作业6] 循环语句 [基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列程序运行后，输出的i的值等于( )A．9 B．8C．7 D．6解析：第一次：S＝0＋0＝0，i＝0＋1＝1；第二次：S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第三次：S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3；第四次：S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4；第五次：S＝6＋4＝10，i＝4＋1＝5；第六次：S＝10＋5＝15，i＝5＋1＝6；第七次：S＝15＋6＝21，i＝6＋1＝7，因此S＝21>20，所以输出i＝7.答案：C2．下列循环语句，循环终止时，i等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：当i<3时，执行循环体，因此，循环终止时i＝3.答案：B3．如果以下程序运行后输出的结果是132，那么在程序中LOOP UNTIL后面的“条件”应为( )A．i>11 B．i>＝11C．i<＝11 D．i<11解析：该程序中使用了直到型循环语句，当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环，由于输出的是132,132＝12×11，故选D.答案：D4．下列程序执行后输出的结果是( )A．3 B．6C．10 D．15解析：由题意得，S＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝15.答案：D5．图中程序是计算2＋3＋4＋5＋6的值的程序．在WHILE后的①处和在s＝s＋i之后的②处所填写的语句可以是( )A．①i>1②i＝i－1B．①i>1②i＝i＋1C．①i>＝1 ②i＝i＋1D．①i>＝1 ②i＝i－1解析：程序框图是计算2＋3＋4＋5＋6的和，则第一个处理框应为i>1，i是减小1个，i＝i－1，从而答案为：①i>1②i＝i－1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．阅读下面程序，输出S的值为________．解析：S＝1，i＝1；第一次：T＝3，S＝3，i＝2；第二次：T＝5，S＝15，i＝3；第三次：T ＝7，S ＝105，i ＝4，满足条件， 退出循环，输出S 的值为105. 答案：1057．下列程序表示的表达式是________(只写式子，不计算)．解析：所给程序语句为WHILE 语句，是求12i ＋1的前九项和．所以表达式为13＋15＋…＋117＋119. 答案：13＋15＋…＋117＋1198．已知有如下两段程序：程序1运行的结果为________，程序2运行的结果为______．解析：程序1从计数变量i ＝21开始，不满足i ≤20，终止循环，累加变量sum ＝0，这个程序计算的结果是sum ＝0；程序2从计数变量i ＝21开始，进入循环，sum ＝0＋21＝21，i ＝i ＋1＝21＋1＝22，i >20，循环终止，此时，累加变量sum ＝21，这个程序计算的结果是sum ＝21.答案：0 21三、解答题(每小题10分，共20分)9．编写程序，计算并输出表达式11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋119＋20的值．解析：利用UNTIL 语句编写程序如下 ：10．分别用WHILE 语句和UNTIL 语句编写程序，求出使不等式12＋22＋32＋…＋n 2<1 000成立的n 的最大整数值．解析：方法一 利用WHILE 语句编写程序如下：方法二 利用UNTIL 语句编写程序如下：[能力提升](20分钟，40分)11．如下所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中横线处可填入的语句为( )A ．i>＝8B ．i>＝7C ．i<7D ．i<8解析：因为n ＝2，i ＝1，第1次循环：S ＝0＋12＝12，n ＝4，i ＝2；第2次循环：S ＝12＋14＝34，n ＝8，i ＝3；第3次循环：S ＝34＋18＝78，n ＝16，i ＝4；第4次循环：S ＝78＋116＝1516，n ＝32，i ＝5；第5次循环：S ＝1516＋132＝3132，n ＝64，i ＝6；第6次循环：S ＝3132＋164＝6364，n ＝128，i ＝7.此时输出的S ＝6364，故可填i >＝7.答案：B12．下面是利用UNTIL 循环设计的计算1×3×5×…×99的一个算法程序．请将其补充完整，则横线处应分别填入①________②________.解析：补充如下：①S＝S*i ②i>99答案：①S＝S*i ②i>9913．高一(4)班共有60名同学参加数学竞赛，现已有这60名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀的同学的平均分输出的程序(规定89分以上为优秀)．解析：程序如下：14．意大利数学家菲波那契在1202年出版的一本书里提出了这样的一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图，并编写相应的程序．解析：由题意可知，第一个月有一对小兔，第二个月有一对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和．设第N个月有F 对兔子，第N－1个月有S对兔子，第N－2个月有Q对兔子，则F＝S＋Q.第N＋1个月时，式中变量S的新值应变为第N个月兔子的对数(F的旧值)，变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值)，这样，用S＋Q求出变量F的新值就是第N＋1个月兔子的对数，以此类推，可以得到一列数，这列数的第12项就是年底应有兔子的对数．我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造—个循环结构，让表示“第x个月”的i从3逐次增加1，一直变化到12，最后一次循环得到的F就是所求结果．程序框图如图所示．程序如下：。
2019-2020学年高中数学人教版必修三阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二） （A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6. 10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12. 答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43，s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57，∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定．16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10M＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2， b ^＝－－＋－－＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．（B卷能力素养提升）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( )A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是( )A．总体B．个体C ．样本D ．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是( )A ．1,2，…，106B ．0,1,2，…，105C ．00,01，…，105D ．000,001，…，105解析：选D 由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s 甲＝3，s 乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②③④解析：选D 运用计算公式x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n ，则n ×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n ＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9. 答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？解：(2)(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487，(1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17xiyi －7x － y－∑i ＝17x2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75.a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－＋0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．。
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(三)直线与方程(含解析)新人教A版必修2
阶段质量检测（三） 直线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°.2．已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3．已知直线nx －y ＝n －1和直线ny －x ＝2n 的交点在第二象限，则实数n 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，知当n ＝1时，两直线平行，当n ＝－1时，两直线重合，故n ≠±1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －y ＝n －1，ny －x ＝2n ，得x ＝nn －1，y ＝2n －1n －1.∴n n －1＜0且2n －1n －1＞0，解得0＜n ＜12. 4．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3解析：选C 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3.5．若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，解得12≤m ≤1.6．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C 由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.7．两点A (a ＋2，b ＋2)和B (b －a ，－b )关于直线4x ＋3y ＝11对称，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－1，b ＝2 B ．a ＝4，b ＝－2 C ．a ＝2，b ＝4D ．a ＝4，b ＝2解析：选D A 、B 关于直线4x ＋3y ＝11对称，则k AB ＝34，即b ＋2－(－b )a ＋2－(b －a )＝34，①且AB 中点⎝⎛⎭⎪⎫b ＋22，1在已知直线上，代入得2(b ＋2)＋3＝11，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.8．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ，直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程，得b ＝－83.9．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的路程为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点A (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 的路程即A ′B 的长，|A ′B |＝(－5－10)2＋(－3－2)2＝510.10．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：选D 本题考查欧拉线方程，∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D.11．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 12 D ．[0,2]解析：选A 直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2，所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．12．若直线l 1：y －2＝(k －1)x 和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0)解析：选C ∵l 1：kx ＝x ＋y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y －2＝0，得l 1恒过定点(0,2)，记为点P ，∴与l 1关于直线y ＝x ＋1对称的直线l 2也必恒过一定点，记为点Q ，且点P 和Q 也关于直线y＝x ＋1对称．令Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋22＝m 2＋1，n －2m ×1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，即Q (1,1)，∴直线l 2恒过定点(1,1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：1014．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.答案：－2315．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：316．在△ABC 中，已知C (2,5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC 边上的高所在的直线方程是y ＝2x －1，则顶点B 的坐标为________．解析：依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2,5)关于直线y ＝x 的对称点C ′(5,2)在边AB 所在的直线上， 所以边AB 所在的直线方程为y －1＝2－15－1(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0.又边BC 上的高所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以边BC 所在的直线的斜率为－12，所以边BC 所在的直线方程是y －5＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －12＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝52，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1)，且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2，求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y －1＝x ＋2，即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行， 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0，由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2，即|c －3|＝2，解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，点C 到直线y ＝3x 的距离为d ， 则12d ·2d ＝10，∴d ＝10. ∵直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，∴直线l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设直线l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则直线l ′与l 的交点就是C 点， 设直线l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， ∴|m |32＋(－1)2＝10，∴m ＝±10，∴直线l ′的方程是3x －y ±10＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫125，－145或⎝⎛⎭⎪⎫－285，－345.20．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.21．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：(1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72.又因为a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116， 所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； (2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．解：(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 故折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12. 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12.(2)当k ＝0时，折痕的长为2.当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，k 2＋12.则|NE |2＝22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3. 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：章末质量检测第三章 直线与方程 含解析
如图所示，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于PB的斜率，所以直线l的斜率k≥kPA＝ 或k≤kPB＝－ ，即k≥ 或k≤－ .
答案： ∪
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
章末质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为()
A．45°B．135°
C．90° D．60°
解析：∵A(2,0)，B(5,3)，∴直线AB的斜率k＝ ＝1.
∴直线l的方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0.
20．(12分)求直线l1：x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线l2的方程．
解析：由 得 ∴l1与l相交，且交点坐标为 ，则此点也在直线l2上．
在l1上取一点P(0，－2)，设它关于直线l的对称点为Q(x0，y0)，
则 解得
∴点Q(－3，－1)，
∴m＝1，n＝7.
(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.
又8×(－1)－n·m≠0，则 或
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－ ＝－1，∴n＝8，
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
22．(12分)(1)已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0，求证：不论m为何实数，此直线必过定点；
设直线AB的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，
2019-2020年高中生物 章末质量检测卷(二)新人教版必修2
2019-2020年高中生物章末质量检测卷（二）新人教版必修2一、选择题(共15小题，每小题5分，共60分)1．一百多年前，人们就开始了对遗传物质的探索历程。
对此有关叙述错误的是(D)A．最初认为遗传物质是蛋白质，是因为推测氨基酸的多种排列顺序可能蕴含遗传信息B．摩尔根用假说演绎法论证了基因位于染色体上C．探究减数分裂中染色体变化的实验用到模型建构的方法D．将S型菌的DNA和DNA酶混合加入含R型菌的培养基中，培养基中将产生S型菌2．下面是噬菌体侵染细菌实验的部分步骤示意图，对此过程的有关叙述，正确的是(A) A．选用噬菌体作为实验材料的原因之一是其成分只有蛋白质和DNAB．被35S标记的噬菌体是通过将其接种在含有35S的培养基中培养而获得的C．若混合保温时间偏短，且其他操作正常，会使得上清液放射性偏高D．该实验证明了噬菌体的遗传物质是DNA而不是蛋白质3．如图表示一个DNA分子的片段，下列有关表述正确的是(B)A．④代表的物质中储存着遗传信息B．不同生物的DNA分子中④的种类无特异性C．转录时该片段的两条链都可作为模板链D．DNA分子中A与T碱基对含量越高，其结构越稳定4．一个用15N标记的DNA分子有1200个碱基对，其中腺嘌呤700个。
该DNA分子在无放射性标记的溶液中复制2次，则(C)A．复制完成后，具有放射性的腺嘌呤共有1400个B．复制完成后，不含15N的DNA分子总数与含15N的DNA分子总数之比为3∶1C．复制过程中，共消耗胞嘧啶脱氧核苷酸1500个D．含有放射性的DNA分子的两条链都有放射性5．在遗传信息的传递过程中，一般不可能发生的是(C)A．DNA复制、转录及翻译过程都遵循碱基互补配对原则B．核基因转录形成的mRNA穿过核孔进入细胞质中进行翻译过程C．DNA复制、转录都是以DNA一条链为模板，翻译则是以mRNA为模板D．DNA复制、转录和翻译的原料依次是脱氧核苷酸、核糖核苷酸、氨基酸6．下列叙述正确的是(D)A．细胞中的tRNA共有64种B．RNA聚合酶是在细胞核内合成的C．反密码子是位于mRNA上相邻的3个碱基D．叶绿体中的DNA能控制某些蛋白质的合成7．测定某mRNA分子中尿嘧啶占26%，腺嘌呤占18%，以这个mRNA反转录合成的DNA 分子中，鸟嘌呤和胸腺嘧啶的比例分别是(B)A．18%、26%B．28%、22%C．26%、18% D．44%、8%8．下列属于核DNA复制、转录和翻译的共同之处的是(C)A．时期相同B．场所相同C．都需要消耗能量D．原料相同9．下列有关图示的生理过程(图中④代表核糖体，⑤代表多肽链)的叙述中，不正确的是(D)A．图中所示的生理过程主要有转录和翻译B．图中所示的全过程可发生在原核细胞中C．遗传信息由③传递到⑤需要RNA作媒介D．图中①在该过程中起模板作用10．有相邻两块田，一块田种的是野生品种水稻，因受到微生物感染，有60%枯死，但有40%未受影响。
第2章 一元二次函数、方程和不等式高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版
若 ，则角 不为直角 ，有可能 是直角，所以必要条件不成立，“ 不是直角三角形”是“ ”的充分不必要条件
答案选A
【点睛】命题真假的判断也可通过逆否命题进行判断
4．（2020·浙江高一单元测试）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（ ）
故选：D
8．（2021·浙江）已知函数 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】 ，即
当 时，不等式恒成立， ；
当 时， ，则
令 ，则
即 ，解得
故选：B
9．（2020·全国高一单元测试）已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.
22．（2021·全国高一单元测试）已知不等式 的解集为 ．
（1）解不等式 ；
（2）b为何值时， 的解集为R？
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：73 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1. 已知，则( )A.B.C.D.2. 在中，，，分别是角，，的对边，设，则的值为（参考公式：）（ ）A.B.C.D.3. 若，则( )A.B.C.=3sin α+cos αsin α−cos αsin(2α−)=π472–√1045352–√10△ABC a b c A B C a +c =2b tan ⋅tan A 2C 2sin A +sin C =2sin cos A +C 2A −C 22123133sin +2sin =cos(−φ)75∘15∘13−−√75∘tan φ=2332−233D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法错误的是( )A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则，若，则都成立D.在中，5. 若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为( )A.B.C.D.6. 对任意的实数、，下列等式恒成立的是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7. 下列各式的值计算正确的是（ ）A.B.C.D.8. 下列命题中，正确的是( )−32△ABC A B C a b c △ABC a :b :c =sin A :sin B :sin C△ABC sin 2A =sin 2B a =b△ABC sin A >sin B A >B A >B sin A >sin B △ABC =a sin A b +c sin B +sin C x =a f(x)=sin x g(x)=cos x M N |MN |12–√3–√2αβ2sin α⋅cos β=sin(α+β)+sin(α−β)2cos α⋅sin β=sin(α+β)+cos(α−β)cos α+cos β=2sin⋅sin α+β2α−β2cos α−cos β=2cos ⋅cos α+β2α−β2sin cos =030∘0∘−+π=−1sin 2π6cos 276(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘=1−cos 60∘2−−−−−−−−−√12α=−mA.若角在第二象限，且，，则B.无论为何角，都有C.总存在一个角，使得D.总存在一个角，使得卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9. 在中，，分别为，，的对边，若，则为________三角形． 10. 根据及，若，且，，计算________．11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12. 临沂泰盛广场最大的亮点建设在楼顶的空中摩天轮，距地最高米相当于层楼高，城市繁华尽收眼底，百万点阵聚合而成的电子屏幕与城市灯光交相辉映；该摩天轮直径约米，摩天轮的圆周上均安装了个透明座舱，每个座舱最多乘坐人，整个摩天轮可同时共余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟．小明自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？若小明在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰城市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果．13. 在 中，，，分别为角，，的对边，且有 .求角；若的内切圆面积为，当 的值最小时，求 的面积.14. 在中，若．αsin α=m cos α=n tan α=−m nαα+α=1sin 2cos 2αsin α+cos α=1αsin α=cos α=12△ABC a b c ∠A ∠B ∠C cos B +cos C =sin B +sin C△ABC sin α+sin β=2sin cos α+β2α−β2cos α−cos β=−2sin sin α+β2α−β2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√3θ∈(0,π)μ∈(0,π)θ−μ=△ABC A B C a b c +=14tan A 3tan B 3c b 120408036828030(1)5(2)100△ABC a b c A B C A+cos 2cos A cos(C −B)=sin B sin C (1)A (2)△ABC π⋅AB →AC →△ABC △ABC sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C（1）求的度数；（2）在中，若角所对的边，试求内切圆半径的取值范围．15. 已知函数，，且的最大值为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边、、，若，且，试判断的形状．∠C △ABC C c =1r f(x)=sin(2x +)+sin(2x −)+cos 2x −m π3π33–√x ∈R f(x)1m f(x)△ABC A B C a b c f(B)=−13–√a =b +c 3–√△ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）1.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的和差化积公式运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.∴.故选.2.【答案】D【考点】三角函数的和差化积公式==3sin α+cos αsin α−cos αtan α+1tan α−1tan α=2sin(2α−)=sin 2αcos −cos 2αsin π4π4π4=(sin 2α−cos 2α)2–√2=()2–√22sin αcos α−α+αcos 2sin 2α+αsin 2cos 2=()=2–√22tan α−1+αtan 2α+1tan 272–√10A【解析】利用正弦定理将条件进行化简，结合三角函数的和差化积公式以及二倍角公式进行化简即可．【解答】解：∵，∴由正弦定理得，即，在三角形中，∴，即，即，即，即，故选：3.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的和差化积公式【解析】因为，所以 .【解答】解：因为，a +c =2b sin A +sin C =2sin B =2sin(A +C)2sin cos =4sin cos A +C 2A −C 2A+C 2A +C 2sin ≠0A +C 2cos =cos A −C 2A +C 2cos αcos +sin sin =2cos cos −2sin sinA 2C 2A 2C 2A 2C 2A 2C 23sin sin =cos cos A 2C 2A 2C 2=sin sin A 2C 2cos cosA 2C 213tan ⋅tan =A 2C 213D 3sin +2sin =3sin +2cos =(sin +cos )=cos(−φ)75∘15∘75∘75∘13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘tan φ==313−−√213−−√323sin +2sin =3sin +2cos 75∘15∘75∘75∘=(sin +cos )=cos(−φ)13−−√313−−√75∘213−−√75∘13−−√75∘φ==3所以 . 故选. 4.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的和差化积公式【解析】在中，由正弦定理可得，，，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．【解答】解：选项，在中，由正弦定理可得，，，故有，故正确；选项，若，等价于，或，可得，或，所以不一定成立，故错误；选项，若，则，，，，.，，.又，，.若成立，则有.，，成立，故正确；选项，由，，故正确.故选．5.【答案】B【考点】三角函数的和差化积公式【解析】tan φ==313√213√32B △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C A △ABC a =2R sin A b =2R sin B c =2R sin C a :b :c =sin A :sin B :sin C A B sin 2A =sin 2B 2A =2B 2A +2B =πA =B A +B =π2a =b B C sin A >sin B sin A −sin B =2cossin >0A +B 2A −B 2∵0<A +B <π∴0<<A +B 2π2∴cos >0A +B 2∴sin >0A −B 2∵0<A <π0<B <π∴−<<π2A −B 2π2sin >0A −B 2∴>0A −B 2∴A >B A >B a >b ∵a =2R sin A b =2R sin B ∴sin A >sin B C D ===2R a sin A b sin B c sin C =b +c sin B +sin C 2R sin B +2R sin C sin B +sin C =2R =a sin A D B F(x)=|sin x −cos x |可令求其最大值即可．【解答】解：由题意知：，，令，当，，，即当时，函数取到最大值.∴的最大值是.故选．6.【答案】A【考点】三角函数的和差化积公式两角和与差的余弦公式求两角和与差的正弦【解析】把所给的两个角的和与差的正弦公式，展开整理，合并同类项以后得到结果．【解答】解：，故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.【答案】C,D【考点】两角和与差的正切公式两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用F(x)=|sin x −cos x |f(x)=sin x g(x)=cos x F(x)=|sin x −cos x |=|sin(x −)|2–√π4x −=+kππ4π2x =+kπ3π4k ∈Z a =+kπ3π4F(x)2–√|MN|2–√B sin(α+β)+sin(α−β)=sin αcos β+cos αsin β+sin αcos β−cos αsin β=2sin αcos βA【解析】【解答】解：因为，所以错误；因为，所以错误；因为，所以，所以，所以正确；因为，所以正确．故选．8.【答案】B,C【考点】三角函数的和差化积公式正弦函数的定义域和值域任意角的三角函数【解析】分别根据三角函数公式和性质即可得到结论．【解答】解：．若角在第二象限，且，，则，故错误；. 无论为何值，都有，故正确；．∵，∴总存在一个角，使得，故正确；．若，则，故错误．故选.三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9.【答案】sin cos =sin =30∘0∘30∘12A −+π=−=sin 2π6cos 276cos 2π6sin 2π612B tan ==30∘tan −tan 55∘25∘1+tan ⋅tan 55∘25∘3–√3(tan −tan )=1+tan ⋅tan 3–√55∘25∘55∘25∘(tan −tan )−tan ⋅tan =13–√55∘25∘55∘25∘C =sin =1−cos 60∘2−−−−−−−−−√30∘12D CD A αsin α=m cos α=n tan α==≠−sin αcos αm n m n A B αα+α=1sin 2cos 2B C sin α+cos α=sin(α+)∈[−，]2–√π42–√2–√αsin α+cos α=1C D sin α=cos α=12α+α=+=≠1sin 2cos 2141412D BC直角【考点】三角函数的和差化积公式【解析】要判断三角形的形状，须从已知入手利用三角函数的和差化积公式化简，得到正切值为，根据角的范围和特殊角的三角函数值得到等于，求出，得到三角形的形状．【解答】解：由得到两边同除以得即，由，，得到，所以即，所以，则为直角三角形．故答案为：直角10.【答案】【考点】三角函数的和差化积公式【解析】根据题中已知的公式把等式化简，因为与，根据特殊角的三角函数即可得到的值．【解答】解：因为，而代入到等式得所以，因为，，所以，解得．故答案为：．11.【答案】【考点】B +C 21B +C 2π4A =π2cos B +cos C =sin B +sin C 2coscos =2sin cos B +C 2B −C 2B +C 2B −C 22cos B −C 2sin =cos B +C 2B +C 2tan =1B +C 20<B <π0<C <π∈(0,π)B +C 2=B +C 2π4B +C =π2A =π2△ABC −π23θμ∈(0,π)θ−μsin θ+sin μ=2sincos θ+μ2θ−μ2cos μ−cos θ=−2sin sin μ+θ2μ−θ2sin θ+sin μ=(cos μ−cos θ)3–√32sin cos =−2×sin sin θ+μ2θ−μ23–√3μ+θ2μ−θ2tan =−θ−μ23–√θ∈(0,π)μ∈(0,π)=−θ−μ2π3θ−μ=−2π3−2π32–√正弦定理三角函数的最值三角函数的和差化积公式【解析】由已知化切为弦可得＝，结合正弦定理可得＝，得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．【解答】解：由，得，∴，∴，即，由正弦定理，得，∴．∵，∴，则当时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12.【答案】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.3sin C sin B(sin A −cos A)3c b(sin A −cos A)=sin A −cos A 3c b+=14tan A 3tan B +=14cos A sin A 3cos B sin B 4cos A sin B +3cos B sin A =sin A sin B 3sin(A +B)+cos A sin B =sin A sin B 3sin C =sin B(sin A −cos A)3c=b(sin A −cos A)=sin A −cos A =sin(A −)3c b 2–√π40<A <π−<A −<π4π43π4A −=π4π2sin(A −)2–√π42–√3c b 2–√2–√(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15π所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.【考点】在实际问题中建立三角函数模型已知三角函数模型的应用问题【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意如图.设距地面高度，则所以，.由题意.由时，得，所以当时，，即分钟后小明距离地面米．由得,得.又，所以，解得，即摩天轮转动一周能有分钟会有最佳视觉效果.13.t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010(1)h =A sin(ωt +φ)+B (A >0,ω>0){A +B =120,−A +B =40,A =40B =80ω==2π30π15t =0h =40φ=−π2t =5h =40sin(5×−)+80=60π15π2560(2)h =40sin(t −)+80≥100π15π240sin(t −)≥20π15π2cos ≤−πt 15120≤t ≤30≤≤2π3πt 154π310≤t ≤2010，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为 的内切圆，，为切点，可得 ，，，由余弦定理知，，于是 ，化简得 ，所以 或，，所以，，当且仅当时，的最小值为 .此时三角形的面积 .【考点】诱导公式三角形求面积余弦定理三角函数的和差化积公式平面向量数量积【解析】此题暂无解析cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc −−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√，，，，，.，.由题意知，的内切圆半径为，如图，设圆为 的内切圆，，为切点，可得 ，，，由余弦定理知，，于是 ，化简得 ，所以 或， ，所以 ， ，当且仅当 时，的最小值为 .此时三角形的面积 .14.【答案】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径cos A[cos A +cos(C −B)]=sin B sin C cos A[−cos(B +C)+cos(C −B)]=sin B sin C cos A2sin B sin C =sin B sin C ∵sin B sin C ≠0∴2cos A =1∴cos A =12∵0<A <π∴A =π3(2)△ABC 1Ⅰ△ABC D E AI =2，AD =AE =3–√b +c −a =23–√a =b +c −23–√=+−bc a 2b 2c 2(b +c −2=+−bc 3–√)2b 2c 24+bc =4(b +c)≥83–√3–√bc−−√bc ≥12bc ≤43b >,c >3–√3–√bc ≥12∴⋅=bc ∈[6,+∞)AB →AC →12b =c ⋅AB →AC →6ABC =bc sin A =×12×sin =31212π33–√sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC．∴内切圆半径的取值范围是．【考点】三角函数的和差化积公式【解析】（1）利用和差化积和积化和差公式化简，解方程可求的度数；（2）由（1）知是直角三角形，可以表示出、，求内切圆半径的表达式，然后求其取值范围．【解答】解：（1）∵，∴．在中，．∴．∴，．∵，∴．（2）设中，角和角的对边分别是、，则有，．∴的内切圆半径．∴内切圆半径的取值范围是．15.【答案】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B ∠C △ABC a b r sin C(cos A +cos B)=sin A +sin B2sin C cos ⋅cos =2sin ⋅cos A +B 2A −B 2A +B 2A −B 2△ABC −<<π2A −B 2π2cos ≠0A −B 22sin =sin C 2cos 2C 2C 2cos =C 22–√20<C <π∠C =π2Rt △ABC A B a b a =sin A b =cos A △ABC r =(a +b −c)=(sin A +cos A −1)1212=sin(A +)−≤2–√2π412−12–√2△ABC r 0<r ≤−12–√2f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…【考点】三角形的形状判断三角函数的和差化积公式三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】（1）由和差角公式可得，从而可得，可求，要求函数的单调递增区间，只要令，即可求解（2）因为，可求，，由已知结合正弦定理可可求，即可求解，从而可判断【解答】解：（1）…，所以，…令，单调增区间为…（2）因为，则，∵∴…又，则，∴…∴∴，∴，所以，故为直角三角形…sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m −+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2f(B)=−13–√B A +C a =b +c 3–√sin A A f(x)=1sin 2x +cos 2x −m =2sin(2x +)−m 3–√π3f(x =2−m )max m =1−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π3π2(kπ−，kπ+)k ∈Z 5π12π12f(B)=−13–√2sin(2B +)−1=−1π33–√sin(2B +)=π33–√20<B <πB =π6a =b +c 3–√sin A =sin B +sin C 3–√sin A =+sin(−A)=+sin cos A −sin A cos 3–√125π6125π65π6cos A −sin A +=0123–√212sin(A −)=π612A =π3C =π2△ABC。
高中数学 章末检测试卷(一)(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题
章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是( ) A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合答案 D解析任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．2．下面一段程序执行后的结果是( )A．6B．4C．8D．10答案 A解析由程序知a＝2,2×2＝4,4＋2＝6，故最后输出a的值为6，故选A.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的条件为( )A．k≥31B．k≥15C．k＞31D．k＞15答案 B解析依题意k＝1，S＝0，进入循环，循环过程依次为：S＝0＋1＝1，k＝2×1＋1＝3；S＝1＋3＝4，k＝2×3＋1＝7；S＝4＋7＝11，k＝2×7＋1＝15，终止循环，输出S＝11.结合选项知，M处可填k≥15.4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s为( )A．7B．12C．17D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．1B．3C．7D．15答案 C解析由程序框图得S＝0＋20＝1，k＝1；S＝1＋21＝3，k＝2；S＝3＋22＝7，k＝3，输出S的值为7.6．运行如图所示的程序，当输入的数据为75,45时，输出的值为( ) INPUT “输入两个不同正整数m，n＝”；m，nDOIF m＞n THENm＝m－nELSEn＝n－mEND IFLOOP UNTIL m＝nPRINT mENDA．24B．18C．12D．15答案 D解析由程序语句知，此程序是用更相减损术求75,45的最大公约数．7．执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出S的值为( )A.54B.45C.65D.56 答案 D解析 第一次循环，S ＝0＋11×2＝12，k ＝2； 第二次循环，S ＝12＋12×3＝23，k ＝3；第三次循环，S ＝23＋13×4＝34，k ＝4；第四次循环，S ＝34＋14×5＝45，k ＝5；第五次循环，S ＝45＋15×6＝56，此时k ＝5不满足判断框内的条件，跳出循环， 输出S ＝56，故选D.8．若如图所示的程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，则在空白的执行框中应该填入( )A ．T ＝T ·(i ＋1)B ．T ＝T ·iC ．T ＝T ·1i ＋1D ．T ＝T ·1i答案 C解析 程序框图的功能是计算1×12×13×14×15的结果，依次验证选项可得C 正确．9．如图所示的程序运行时，从键盘输入－3，则输出值为( ) INPUT “x＝”；x IF x ＞0 THEN y ＝1 ELSEIF x ＝0 THENy ＝0 ELSEy ＝－1 END IF END IF PRINT y END A ．－3B ．3C ．1D ．－1 答案 D解析 由程序知，当x >0时，y ＝1；否则，当x ＝0时，y ＝0；当x <0时，y ＝－1. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.10．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63 答案 B解析 由程序框图可知：①S ＝0，k ＝1；②S ＝1，k ＝2；③S ＝3，k ＝3；④S ＝7，k ＝4；⑤S ＝15，k ＝5，输出k ，此时S ＝15≥p ，则p 的最大值为15，故选B.11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内实数m 的取值X 围是( )A ．(2,6]B ．(6,12]C ．(12,20]D ．(2,20] 答案 B解析 由程序框图，知第一次循环后，S ＝0＋2＝2，k ＝2； 第二次循环后，S ＝2＋4＝6，k ＝3； 第三次循环后，S ＝6＋6＝12，k ＝4.∵输出k ＝4，∴循环体执行了3次，此时S ＝12，∴6＜m ≤12，故选B.12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的取值的集合是( )A．{1,2,3,4,5}B．{1,2,3,4,5,6}C．{2,3,4,5}D．{2,3,4,5,6}答案 C解析若输入a＝1，则a＝2×1＋3＝5，i＝0＋1＝1，因为5＞13不成立，所以继续循环；a ＝2×5＋3＝13，i＝1＋1＝2，因为13＞13不成立，所以继续循环；a＝2×13＋3＝29，i＝2＋1＝3，因为29＞13成立，所以结束循环，输出的结果为3，不为2，所以a≠1，排除A，B，若输入a＝6，则a＝2×6＋3＝15，i＝0＋1＝1，因为15>13成立，所以结束循环，输出的结果为1，不为2，所以a≠6，排除D，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．答案 3解析第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a<b；第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a<b；第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3.14．将二进制数110101(2)化成十进制数，结果为________，再将该结果化成七进制数，结果为________．答案53 104(7)解析110101(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝53，然后用除7取余法得53＝104(7)．15．执行如图所示的程序框图，则输出结果S＝________.答案1010解析根据程序框图知，S＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2019＋2020)＝1010，故输出的S 的值为1010.16．阅读下面的程序，该算法的功能是_____________________．S＝0t＝1i＝1DOS＝S＋it＝t*ii＝i＋1LOOP UNTIL i＞20PRINT S，tEND答案求S＝1＋2＋3＋…＋20，t＝1×2×3×…×20三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．解辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，所以282与470的最大公约数为94.更相减损术：470与282分别除以2得235和141.235－141＝94，141－94＝47，94－47＝47，所以470与282的最大公约数为47×2＝94.18．(12分)下面给出一个用循环语句编写的程序：(1)指出程序所用的是何种循环语句，并指出该程序的算法功能；(2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来．解(1)本程序所用的循环语句是WHILE循环语句，其功能是计算12＋22＋32＋…＋92的值．(2)用UNTIL语句改写程序如下：19．(12分)下列是某个问题的算法，将其改为程序语言，并画出程序框图． 算法：第一步，令i ＝1，S ＝0.第二步，若i ≤999成立，则执行第三步； 否则，输出S ，结束算法． 第三步，S ＝S ＋1i.第四步，i ＝i ＋2，返回第二步． 解 程序如下： i ＝1 S ＝0WHILE i<＝999 S ＝S ＋1/i i ＝i ＋2 WEND PRINT S END程序框图如图：20．(12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题： i ＝1 S ＝0DOS ＝S ＋ii ＝i ＋1LOOP UNTIL i ＞＝99PRINT SEND(1)程序中是否有错误？若有，请加以改正；(2)把程序改成另一种类型的循环语句．解 (1)错误有两处：第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句LOOPUNTIL i ＞＝99应改为LOOPUNTIL i ＞99.(2)改为当型循环语句为：i ＝2S ＝0WHILE i ＜＝99S ＝S ＋ii ＝i ＋1WENDPRINT SEND21．(12分)输入x ，求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2的值的程序框图如图所示．(1)指出程序框图中的错误之处并写出正确的算法步骤；(2)重新绘制程序框图，并回答下面提出的问题．①要使输出的值为7，则输入的x 的值应为多少？②要使输出的值为正数，则输入的x 应满足什么条件？解 (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥2，－2，x ＜2是分段函数，其程序框图中应该有判断框，应该有条件结构，不应该只用顺序结构．正确的算法步骤如下所示：第一步，输入x .第二步，判断x ≥2是否成立．若是，则y ＝3x －2；否则y ＝－2.第三步，输出y .(2)根据(1)中的算法步骤，可以画出程序框图如图所示．①要使输出的值为7，则3x －2＝7，故x ＝3，即输入的x 的值应为3.②要使输出的值为正数，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，3x －2＞0，得x ≥2.故当x ≥2时，输出的值为正数．22．(12分)为了节约用水，学校改革澡堂收费制度，开始实行计时收费，30min 以内每分钟收费0.1元，30min 以上超过部分每分钟收费0.2元，编写程序并画出程序框图，要求输入洗澡时间，输出洗澡费用．解 用y (单位：元)表示洗澡费用，x (单位：min)表示洗澡时间，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ，0＜x ≤30，3＋0.2x －30，x ＞30.程序如下：INPUT xIF x ＜＝30 THENy ＝0.1*xELSEy ＝3＋0.2*x －30END IFPRINT yEND程序框图如图所示．。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章函数概念与性质单元检测试卷
《第三章 函数的概念与性质》检测试卷一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．126．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R 上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－x 37．(2021·合肥高一检测)设奇函数f (x )在[－3，3]上是减函数，且f (3)＝－3，若不等式f (x )＜2t ＋1对所有的x ∈[－3，3]都成立，则t 的取值范围是( ) A.[－1，1]B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x 元/枝)在x ∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p (x )＝500x －4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( ) A ．9 B ．11 C ．13 D ．15二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)210．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象过原点 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______．14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 15．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．16.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2. (1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性； (2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝xx －1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ).答案解析一、单选题(每小题5分，共40分)1．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，能表示集合A 到集合B 的函数关系的是( )分析选D.A 不是函数(一个x 对应两个y )，排除；B 中y ∈[0，2]，不是集合A 到集合B 的函数关系，排除；C 不是函数(x ＝1时对应两个函数值)，排除；D 符合要求． 2．函数f (x )＝1＋x ＋1x的定义域是( )A.[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R分析选C.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0， 即x ≥－1且x ≠0.3．若函数f (x )满足f (x )＝x ＋3x ＋2，则f (x )在[1，＋∞)上的值域为( ) A ．(－∞，1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 分析选D.f (x )＝x ＋3x ＋2 ＝1＋1x ＋2， 因为y ＝1x ＋2在[1，＋∞)上单调递减， 所以y ＝1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 . 所以1＋1x ＋2 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 ， 所以f (x )在[1，＋∞)上的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 . 4．函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )分析选A.函数y＝4xx2＋1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f(x)＝4xx2＋1，则f(－x)＝－4xx2＋1＝－f(x)，则函数y＝f(x)为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f(x)＞0，故排除B.5．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1 B．1 C．6 D．12分析选C.由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 6．(2020·菏泽高一检测)下列函数中，既是定义在R上的偶函数，又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A．y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1C．y＝x＋1 D．y＝－x3分析选A.A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是增函数，满足条件；B，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，则f(x)是偶函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件；C，f(－x)＝－x＋1≠x＋1＝f(x)，则f(x)不是偶函数，不满足条件；D．f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，则f(x)是奇函数，函数在(－∞，0)上是减函数，不满足条件．7．(2021·合肥高一检测)设奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则t的取值范围是( )A.[－1，1] B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)分析选B.因为奇函数f(x)在[－3，3]上是减函数，且f(3)＝－3，所以f(x)max＝f(－3)＝3，若不等式f(x)＜2t＋1对所有的x∈[－3，3]都成立，则3＜2t＋1，解得t＞1.8．某品种鲜花进货价5元/枝，据市场调查，当销售价格(x元/枝)在x∈[5，15]时，每天售出该鲜花枝数p(x)＝500x－4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为____元．( )A ．9B ．11C ．13D ．15 分析选D.设每天的利润为y 元， 则y ＝(x －5)·500x －4 ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －4 ，5≤x ≤15，显然此函数是增函数，故当x ＝15时，y 取得最大值．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)2分析选BD.令t ＝2x －1，则x ＝t ＋12.f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 2＝(t ＋1)2，故f (x )＝(x ＋1)2，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确． 10．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (3)＝0，则下列选项中属于不等式f （x ）－f （－x ）2＞0的解集的是( ) A ．(－∞，－3) B ．(－3，0) C ．(0，3)D ．(3，＋∞)分析选BD.因为f (x )为奇函数且f (3)＝0， 所以f (－3)＝－f (3)＝0，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以f （x ）－f （－x ）2＝f (x )＞0，当x ＞0时，x ＞3；当x ＜0时，－3＜x ＜0， 故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞). 11．关于函数f (x )＝xx －1，下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象过原点B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数 分析选AC.函数f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1 ＝1＋1x －1，f (0)＝0，A 正确； 图象关于(1，1)点对称，B 错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上是减函数，整个定义域上不是减函数，故C 正确，D 错误．12．已知狄利克雷函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数0，x 是无理数 ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )定义域为RC ．f (x ＋1)＝f (x )D ．f (x )是奇函数分析选BC.根据分段函数的定义域为每段函数的并集可知，函数的定义域为全体有理数与无理数的并集即R ，故函数的定义域为R ，故B 正确；值域为{1，0}，故A 错误； 当x 为有理数时，x ＋1也为有理数， 则f (x ＋1)＝f (x )＝1，当x 为无理数时，x ＋1也为无理数，则f (x ＋1)＝f (x )＝0，从而有f (x ＋1)＝f (x )，故C 正确；当x 为有理数时，f (x )＝1，f (－x )＝1，不满足f (－x )＝－f (x )，故D 错误． 三、填空题(每小题5分，共20分)13．幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)且f (a －1)＜1，则a 的取值范围是______． 分析因为幂函数f (x )＝x n的图象过点(2，8)， 所以2n ＝8，所以n ＝3，所以幂函数f (x )＝x 3，因为f (a －1)＜1，所以(a －1)3＜1，所以a －1＜1，所以a ＜2. 答案：(－∞，2)14．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值，则f (x )的最大值是______． 分析因为f (x )取y ＝2x －1，y ＝－2x ＋3两个函数中的最小值， 故函数f (x )的图象如图中加粗线条所示：由图易得f (x )的最大值是1. 答案：115．已知函数f (x －1)＝x 2＋(2a －2)x ＋3－2a .(1)若函数f (x )在区间[－5，5]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________； (2)若f (x )在区间[－5，5]上的最小值为－1，则a 的值为______．分析令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，f (t )＝(t ＋1)2＋(2a －2)·(t ＋1)＋3－2a ＝t 2＋2at ＋2， 所以f (x )＝x 2＋2ax ＋2.(1)因为f (x )图象的对称轴为x ＝－a ，由题意知－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞). (2)当a >5时，f (x )最小值＝f (－5)＝27－10a ＝－1， 解得a ＝145(舍去)；当－5≤a ≤5时，f (x )最小值＝f (－a )＝－a 2＋2＝－1，解得a ＝±3 ； 当a <－5时，f (x )最小值＝f (5)＝27＋10a ＝－1， 解得a ＝－145 (舍去).综上a ＝±3 .答案：(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞) (2)±316.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示)，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长、宽之比为______时，围出的饲养场的总面积最大．分析如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB ＝x ，宽为AD ＝y ，则4x ＋6y ＝1，所以y ＝16 (1－4x )，则饲养场的总面积S ＝3xy ＝12 x (1－4x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18 2＋132 ， 故当x ＝18 ，y ＝112，即长、宽之比为18 ∶112＝3∶2时，饲养场的总面积最大．答案：3∶2四、解答题(共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.(1)求f (f (3 ))的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值． 分析(1)因为－1<3 <2，所以f (3 )＝(3 )2＝3. 又因为3≥2，所以f (f (3 ))＝f (3)＝2×3＝6. (2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2. 又因为f (a )＝3，所以a ＝1(舍去)； 当－1<a <2时，f (a )＝a 2.又因为f (a )＝3，所以a ＝±3 ，其中负值舍去， 所以a ＝3 ； 当a ≥2时，f (a )＝2a .又因为f (a )＝3，所以a ＝32 (舍去).综上所述a ＝3 .18．(12分)已知函数f (x )＝2x5x ＋5.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值．分析(1)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (2)＝2×125×12＋5 ＋2×25×2＋5 ＝25 . (2)因为函数f (x )＝2x5x ＋5. 所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x 5x ＋5 ＋2x 5x＋5＝2x 5x ＋5 ＋25x ＋5 ＝25 ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 020 ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019 ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝2 019×25 ＋25＋5 ＝4 0395. 19．(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km 以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km 的上空为y ℃，求a ，x ，y 间的函数关系式； (2)问当地表的温度是29℃时，3 km 上空的温度是多少？分析(1)由题设知，可设y －a ＝kx (0≤x ≤12，k ＜0)，即y ＝a ＋kx .依题意，当x ＝12时，y ＝－55， 所以－55＝a ＋12k ，解得k ＝－55＋a12 .所以当0≤x ≤12时，y ＝a －x12(55＋a )(0≤x ≤12).又当x ＞12时，y ＝－55.所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 12（55＋a ），（0≤x ≤12），－55，（x ＞12）.(2)当a ＝29，x ＝3时，y ＝29－312 (55＋29)＝8，即3 km 上空的温度为8℃.20．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－2a . (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．分析(1)根据题意，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＋3－2a ＝x 2－ax ＋3－2a ＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2＋ax －3＋2a (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋3－2a ，x >00，x ＝0－x 2＋ax －3＋2a ，x <0.(2)若f (x )是R 上的单调函数，且f (0)＝0， 则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0－a 2≤0 ，解得0≤a ≤32 ，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 . 21．(12分)已知函数f (x )的定义域为(－2，0)∪(0，2)，当x ∈(0，2)时，函数f (x )＝ax －1x －2.(1)若a ＝0，利用定义研究f (x )在区间(0，2)上的单调性；(2)若f (x )是偶函数，求f (x )的解析式．分析(1)当a ＝0时，f (x )＝12－x， 设x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12－x 1 －12－x 2 ＝x 1－x 2（2－x 1）（2－x 2）， 因为x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＞0，2－x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝12－x在区间(0，2)上单调递增． (2)令x ∈(－2，0)，则－x ∈(0，2)，所以f (－x )＝a －x －1－x －2 ＝1x ＋2 －a x， 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝1x ＋2 －a x，所以函数 f (x )在(－2，0)∪(0，2)上的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1x －2，0＜x ＜21x ＋2－a x ，－2＜x ＜0. 22．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝x x －1 . (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在R 上的图象；(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)(其中a ∈R ). 分析(1)令x ＞0，则－x ＜0，依题意得f (－x )＝－x －x －1 ＝x x ＋1， 所以f (x )＝－f (－x )＝－xx ＋1 (x >0)，又f (0)＝0， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －1，x <00，x ＝0－x x ＋1，x >0. (2)图象如图所示．(3)解关于x 的不等式f (ax 2－x )＞f (ax －1)， 由图象可知，函数f (x )在R 上单调递减， 所以所求不等式等价于ax 2－x ＜ax －1，即ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0，即(ax －1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，解得x ＞1；当0＜a ＜1时，解得1<x <1a ；当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a <x <1；当a ＜0时，解得x ＞1或x <1a .。
高中数学 单元素养评价(三)(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1.(2020·某某高一检测)下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1000lnxC.y=x1000D.y=1000·2x【解析】选A.在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快；指数函数中，底数越大，增长速度越快.2.= ( )A. B. C. D.【解析】选C.====.3.若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：x2 2.5 2.25 2.375 2.3125 2.28125 f(x)的近-0.36910.3340-0.01190.16240.07560.0319似值那么方程x-3+log3x=0的一个近似根(精确度0.1)为( )B.2.249【解析】选C.根据题意，方程x-3+log3x=0的根就是函数f(x)=log3x+x-3的零点，由表格可得：f(2.25)≈-0.0119，且f(2.28125)≈0.0319，有f(2.25)·f(2.28125)<0且|2.28125-2.25|=0.03125<0.1，则函数f(x)的零点在区间(2.25，2.28125)中，即方程x-3+log3x=0的一个近似根在区间(2.25，2.28125)中，分析选项：只有C选项的数值在区间(2.25，2.28125)中，则方程x-3+log3x=0的一个近似根为2.26.4.函数y=a x-2019+2018(a>0且a≠1)的图象必经过点( )A.(2019，2019)B.(2018，2018)C.(2018，2019)D.(2019，2018)【解析】选A.对于函数y=a x-2019+2018(a>0且a≠1)，令x-2019=0，求得x=2019，当x=2019时，y=2019，可得它的图象必经过点(2019，2019).5.(2020·某某高一检测)今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.0 7.5 12 18.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A.y=2x-2B.y=C.y=2x-1D.y=log2x【解析】选B.由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C.6.(2020·枣庄高一检测)围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3361种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列最接近的是(lg3≈0.477) ( )A.10-26B.10-35C.10-36D.10-25【解析】选C.令10x=，即10x+208=3361，两边同时取以10为底的对数，得lg10x+208=lg3361，即x+208=361×lg3≈361×0.477=172.197，则x=-35.803，所以四个选项中最接近的是10-36，故选C.7.已知a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，则a，b，c的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a【解析】选B.因为a=log52，b=log0.50.3，c=0.50.3，所以a=log52<log5==0.5<c=0.50.3<0.50=1，b=log0.50.3=lo>lo=log23>log22=1，所以a<c<b.8.若函数f(x)=在(1，3)上是增函数，则关于x的不等式a x-1>1的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0}【解析】选A.令y=2x2-3x+1，则其对称轴是x=，开口向上，故函数在(1，3)上递增，而f(x)在(1，3)上递增，根据复合函数同增异减的原则，a>1，则a x-1>1=a0，故x-1>0，解得：x>1.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.设f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值可以是( )A. B.1C.-1D.2【解析】选AB.作出函数f(x)=的图象如图：又f(x)-a=0有三个不同的实数根，所以函数f(x)=与直线y=a有三个交点，由图象可得：0<a≤1.所以a 可以取，1.10.已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3，则下列选项中正确的是( )A.f(4)=-3B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C.函数y=f(x)的最小值为-4D.函数y=f(x)的最大值为4【解析】选ABC.由f(x)=(log2x)2-log2x2-3，得f(4)=(log24)2-2log24-3=-3，即选项A正确，令(log2x)2-log2x2-3=0，即(log2x)2-2log2x-3=0，解得log2x=3或log2x=-1，即x=8或x=，即选项B正确，由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4，即函数f(x)的最小值为-4，无最大值，即选项C正确，选项D错误.11.若a，b是实数，其中a>0，且a≠1，则满足log a>1的选项是( )A.a>1，b>0B.a>1，b<0C.0<a<1，0<b<aD.0<a<1，b<0【解析】选BC.当a>1时，a-b>a，所以b<0；当0<a<1时，0<a-b<a，所以0<b<a.12.已知函数f=g=f+x，若g有且仅有一个零点，则a 的取值可以是( )A.-3B.-2C.0D.1【解析】选CD.g(x)有且仅有一个零点等价于f=-x有且仅有一个根，如图，结合y=f，y=-x的图象可知，e0+a≥0，a≥-1，故a的取值可以是0，1.故选CD.光速解题：本题可以用逐一代入a的值，作图验证的方法解题.三、填空题(每小题5分，共20分)13.若100a=5，10b=2，则2a+b=_______.【解析】由题意知，a==lg5，b=lg2，所以2a+b=lg5+lg2=1.答案：114.函数f=的值域为_______.【解析】当x<1时，0<f<2；当x≥1时，f≤0.故函数的值域为.答案：15.函数f=1+log a x的图象恒过定点A，则点A的坐标为_______，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则+的最小值为_______.【解析】函数恒过定点A，故m+n=2，=×=≥×=2.答案： 216.已知函数f=lnx+e x-m，函数f在区间上是_______(填“增”或“减”)函数，若函数f在区间上有零点，则m的取值X围是_______.【解析】因为在区间上随着x的增大，lnx，e x均增大，故函数f是增函数；由题意知<0，解得e<m<1+e e.答案：增四、解答题(共70分)17.(10分)计算下列各式的值：(1)-++.(2)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【解析】(1)原式=+1-1++e-=+e.(2)原式=lg5+lg102+lg23-lg5-lg26+50(lg10)2=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=52.18.(12分)(2020·某某高一检测)已知函数f(x)=x2-2ax，g(x)=log a(4-x)(a>0，a≠1).(1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(x)的最小值；(2)当a=2时，求使不等式log a f(x)-g(x)>0成立的x的取值X围.【解析】(1)f(x)=(x-a)2-a2，定义域为[0，1]时，当0<a<1时，f(x)min=f(a)=-a2；当a>1时，f(x)min=f(1)=1-2a.(2)当a=2时，不等式可化为log2(x2-4x)>log2(4-x)，即得x<-1，综上，x的取值X围是(-∞，-1).19.(12分)已知函数f(x)=log a(-x2+ax-9)(a>0，a≠1).(1)当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；(2)若f(x)存在单调递增区间，求a的取值X围.【解析】(1)当a=10时，f=log10=log10，设t=-x2+10x-9=-+16，由-x2+10x-9>0，得x2-10x+9<0，得1<x<9，即函数的定义域为，此时t=-+16∈，则y=log10t≤log1016，即函数的值域为，要求f的单调减区间，等价为求t=-+16的单调递减区间，因为t=-+16的单调递减区间为，所以f的单调递减区间为.(2)若f存在单调递增区间，则当a>1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6舍去，当0<a<1时，函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式Δ=a2-36>0，得a>6或a<-6，此时a不成立，综上实数a的取值X围是a>6.20.(12分)已知函数f(x)=2-x，g(x)=log3x.(1)请在给定的同一个坐标系中画出f(x)和g(x)函数的图象.(2)设函数h(x)=f(x)-3，求出h(x)的零点.(3)若g(x)<，求出x的取值X围.【解析】(1)图象如图所示，(2)令h(x)=0，得f(x)=3，即2-x=3，解得x=lo3，故h(x)的零点是lo 3.(3)g(x)的定义域为(0，+∞)，由g(x)<得log3x<，即log3x<log3，即log3x<log3.因为g(x)=log3x在定义域内单调递增，故得0<x<.21.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知函数f(x)=(1)在给定的直角坐标系内直接画出f(x)的图象.(2)写出f(x)的单调区间，并指出单调性(不要求证明).(3)若函数y=t-f(x)有两个不同的零点，某某数t的取值X围.【解析】(1)由题意知，函数f(x)大致图象如图：(2)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知函数f(x)在[-1，0]上单调递增，在(0，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增.(3)根据(1)中函数f(x)的大致图象，可知①当t<-1时，直线y=t与y=f(x)没有交点；②当t=-1时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；③当-1<t≤1时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；④当1<t<2时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑤当2≤t<3时，直线y=t与y=f(x)有2个交点；⑥当t=3时，直线y=t与y=f(x)有1个交点；⑦当t>3时，直线y=t与y=f(x)没有交点.综上可知，当y=t-f(x)有两个不同的零点时，t的取值X围为：-1<t≤1或2≤t<3. 22.(12分)已知函数f(x)=(1)计算f的值.(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+c，若函数g(x)有三个零点，某某数c的取值X围.【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.所以f=f(1)=1+1=2.(2)当x≤0时，f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.根据抛物线的性质知，f(x)在区间(-∞，-1)上单调递增，在区间[-1，0]上单调递减；当x>0时，f(x)=x+1，显然f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(-∞，-1)和(0，+∞)，单调减区间是[-1，0].(3)作出f(x)的图象，如图：函数g(x)有三个零点，即方程f(x)+c=0有三个不同实根，又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c，word所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时，函数g(x)有三个零点. 数形结合得，c满足：1<-c<3，即-3<c<-1.因此，函数g(x)有三个零点，实数c的取值X围是(-3，-1).- 11 - / 11。
2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版(2019)同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：208 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）1. 已知函数在区间上恰有个最大值点和个最小值点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.2. 一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．如由， 知可以表示为的二次多项式．对于，通过运算，我们可以得到，从而得到的切比雪夫多项式．根据已知结论计算的值( )A.B.C.D.3. 已知，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）A.f (x)=sin ωx (sin ωx +cos ωx)−(ω>0)12(0,π)11ω(,)78118(,]78118(,]7898(,)7898n (t)P n cos nx =(cos x)P n (t)P n cos 2x =2x −1cos 2cos 2x cos x cos 3x cos 3x =4x −3cos x cos 3cos 3x sin 18∘−6–√2–√4−15–√4+15–√8−12–√−−−−−−√A(1,4)3–√OA →O π3OB →B 33–√25–√B.C.D.4. 已知函数的一条对称轴为，且，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数＝，且对任意的，，则（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝6. 已知，，若，则函数的最小正周期（ ）A.B.C.D.7. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A.53–√2112132f(x)=a sin x +cos x 3–√x =π6f ()⋅f ()=−4x 1x 2f (+)=x 1x 2−3–√3–√−22f(x)2sin()cos()(|φ|<)x +φ2x +φ2π2x ∈R f(x)≤f()π6f(x)f(x +π)f(x)f(x +)π2f(x)f(−x)π3f(x)f(−x)π6=(x,−1)OA →cos 2=(1,x +sin 2x)(x ∈R)OB →sin 23–√f(x)=⋅OA →OB →f(x)π2π2π4π(0,π)ωB. C. D.8. 若函数的最小正周期为，则下列正确的是A.它在区间上单调递增B.它的图象关于直线对称C.它的图象关于点对称D.它的最大值为9. 已知函数＝在区间内单调递减，则的最大值是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）10. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．若角满足，则的值为________．11. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是________．f (x)=2sin ωx cos ωx +2ωx (x ∈R)3–√cos 2π( )(−,)π6π6x =−π12(,0)5π122f(x)1−2(ωx +)(ω>0)sin 2π6[,]π6π2ω12352334αO x P (−,−)3545βsin(α+β)=513cos βf(x)=4sin ωx −(+)−2ωx(ω>0)sin 2ωx 2π4sin 2[−,]π43π4[0,π]ω(α+)=π12. 若，则13. 已知函数＝）的最小正周期为，若存在，使得，则实数的取值范围为________．14. 若，，则________．15. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则________．16. 函数（）的最大值是________．三、 解答题 （本题共计 16 小题 ，每题 10 分 ，共计160分 ）17. 设函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；当时，求函数的最大值．18. 设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．19. 已知，，．求关于的表达式，并求的最小正周期；若当时，的最小值为，求的值．20. 已知函数．求的周期及其对称轴所在直线方程；在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的最大值．21. 已知在中，内角，，所对的边分别为 ，且.求角的值；tan α=−1tan(α+)=π4f(x)4cos ωx ⋅sin(ωx−(ω>0)4t ∈[0,2]f(t)−m ≤0m cos(α+β)=13cos(α−β)=15tan α⋅tan β=△ABC A B C a b c a =5b =32–√cos C =22–√3sin B =f(x)=x +cos x −sin 23–√34x ∈[0,]π2f(x)=2cos x(cos x +sin x)(x ∈R)3–√(1)y =f(x)(2)x ∈[0,]π2f(x)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 212f(x)△ABC A B C a b c a =2b =3–√f(C)=12△ABC =(sin x,cos x)a →3–√=(cos x,cos x)b →f (x)=2⋅+2m −1(x,m ∈R)a →b →(1)f (x)x f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)5m f (x)=sin x ⋅sin(x +)π6(1)f (x)(2)△ABC A B C a b c f ()=A 23–√2a =4△ABC △ABC A B C a,b,c a cos C +c =b 3–√2(1)A (2)c −2b3–√若，求的取值范围 22. 已知函数．求函数的最小正周期和对称轴方程；求函数在上的最大值．23. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．（1）求证：；（2）若角，点在边上，且，求．24. 已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；当时，求函数的值域．25. 设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求的面积的最大值． 26. 求证：；已知函数，写出函数图象的对称中心坐标及对称轴方程．27. 已知函数，满足，且当时，在取得最大值为．（1）求函数在的单调递增区间；（2）锐角的三个角，， 所对的边分别为，，，且，求的取值范围．28. 已知的定义域为求的最小值．在中，已知为锐角且，求角大小及的面积．29. 已知函数，.若在区间上单调递增，求的最小值；(2)a =1c −2b 3–√.f(x)=sin 2x cos −cos 2x sinπ5π5（I ）f(x)（II ）f(x)[0,]π2△ABC A B C a b c −=cos 2A 2sin 2B 2c 2bA ≠B B =π2C =π3E AC AE :EC =3:5cos ∠ABE f(x)=2sin x sin(x +)π6(1)f(x)(2)x ∈[0,]π2f(x)f(x)=sin(2x +)−2x π6sin 2f(x)△ABC A B C a b c f(B)=12b =3–√△ABC S (1)=1−2sin 2x cos 2x 2x −2xcos 2sin 21−tan 2x1+tan 2x (2)f (x)=2sin(2x +)+1π6f(x)=2a sin x cos x +2b x +c(a >0,b >0)cos 2f ()=0π2x ∈[0,π]f(x)x =π652f(x)x ∈[0,π]△ABC A B C a b c f(C)=53++a 2b 2c 2+−a 2b 2c2f (x)=(x −x)−cos(2x +)3–√cos 2sin 2π2[0,]π2(1)f (x)(2)△ABC A f (A)=1,b =3,a =62–√B △ABC f (x)=cos(x −)π4x ∈R (1)f (x)(m,0)m =+22求函数的值域．30. 在中，角，，的对边分别为，，，.求角；若，，求.31. 已知函数.求的最小正周期和单调递增区间；若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．32. 已知函数．求函数的单调增区间；的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值．(2)y =+[f (x −)]π62[f (x +)]π22△ABC A B C a b c 2c =a +2b cos A 3–√(1)B (2)c =7bsinA =3–√b f(x)=2(+x)−cos 2xsin 2π43–√(1)f(x)(2)x f(x)−m =2x ∈[,]π4π2m f(x)=sin x cos(x +)π6(I)f(x)(II)△ABC A B C a b c f(C)=14a =2△ABC 3–√c参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）1.【答案】B【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin （ωx+φ）的性质正弦函数的图象【解析】无【解答】解：，由得，因为在上恰有个最大值点和个最小值点，所以，解得．故选．2.【答案】B【考点】三角函数的化简求值三角函数中的恒等变换应用【解析】f (x)=sin ωx (sin ωx +cos ωx)−12=+sin 2ωx−1−cos 2ωx 212=sin(2ωx −)122–√2π4x ∈(0,π)2ωx −∈(−,2ωπ−)π4π4π4f (x)(0,π)11<2ωπ−≤3π2π45π2<ω≤78118B 2sincos=4−3cos∘∘3∘∘利用，可得，解方程求出的值．【解答】解：由诱导公式可知，，，（负值舍去）．故选．3.【答案】B【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】根据题意，设的坐标为，设，由的坐标计算可得，，分析可得：，由和角公式分析可得，计算可得的值，即可得答案．【解答】根据题意，设的坐标为，，则，设，则，，将绕坐标原点逆时针旋转至，则，则有，即，解可得：；4.【答案】A【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】sin =cos 36∘54∘2sin cos =4−3cos 18∘18∘cos 318∘18∘2sin 18∘sin =cos 36∘54∘∴2sin cos =4−3cos 18∘18∘cos 318∘18∘∴4+2sin −1=0sin 218∘18∘∴sin =18∘−15–√4B B (x,y)∠XOA =θA cos θ=17sin θ=43–√7sin(θ+)=π3y 7sin θcos +cos θsin =×+×==π3π343–√712173–√253–√14y7y B (x,y)A(1,4)3–√|OA |=7∠XOA =θcos θ=17sin θ=43–√7OA →O π3OB →|OB |=|OA |=7sin(θ+)=π3y 7sin θcos +cos θsin =×+×==π3π343–√712173–√253–√14y7y =53–√2此题暂无解析【解答】解：由，得，有，而，所以可令，，则．故选．5.【答案】C【考点】正弦函数的图象三角函数中的恒等变换应用【解析】利用二倍角公式化简函数，根据得出是函数的最大值，求出的值，得出解析式，从而判断出正确的选项．【解答】函数＝＝，若对任意的，，则等于函数的最大值，即＝，，则＝，，又，∴，∴＝，∴的周期为＝，、错误；又的对称轴是，，正确，错误．6.【答案】B【考点】f(0)=f ()π3=a +⇒a =13–√3–√23–√2f(x)=2sin(x +)π3f ()⋅f ()=−4x 1x 2+=+2πx 1π3π2k 1+=−+2πx 2π3π2k 2f (+)=2sin(−+2π+2π)=−x 1x 2π3k 1k 23–√A f(x)f(x)≤f()π6f()π6φf(x)f(x)2sin()cos()x +φ2x +φ2sin(x +φ)x ∈R f(x)≤f()π6f()π6+φπ62kπ+π2k ∈Z φ2kπ+π3k ∈Z |φ|<π2φ=π3f(x)sin(x +)π3f(x)T 2πA B f(x)x =+kππ6k ∈Z C D平面向量数量积的性质及其运算三角函数中的恒等变换应用【解析】，根据平面向量数量积运算，求解出化简，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】，，那么：＝＝．函数的最小正周期，7.【答案】A【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A【考点】三角恒等变换综合应用正弦函数的周期性正弦函数的对称性正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用f(x)=⋅OA →OB →f(x)=(x,−1)OA →cos 2=(1,x +sin 2x)OB →sin 23–√f(x)=⋅=x −x −sin 2x OA →OB →cos 2sin 23–√cos 2x −sin 2x 3–√2cos(2x +)π3f(x)T ==π2π2【解析】利用三角恒等变换求出函数的解析式，再利用函数的性质求解即可.【解答】解：.∵的最小正周期为，∴，，∴.，当，，显然函数在此区间单调递增，故正确；，，∴它的图象不关于直线对称，故错误；，， 它的图象不关于点对称，故错误；，当时，函数取最大值，最大值为，故错误.故选.9.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】根据函数的单调性求出函数的 单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【解答】＝，由，，得，即函数的单调递减区间为，，若在区间内单调递减，则满足得，f (x)=2sin ωx cos ωx +2ωx3–√cos 2=sin 2ωx +cos 2ωx +13–√=2sin(2ωx +)+1π6f(x)π=π2π2ωω=1f (x)=2sin(2x +)+1π6A x ∈(−,)π6π62x +∈(−,)π6π6π2A B f (−)=2sin(−+)+1=1π12π6π6x =−π12B C f ()=2sin(+)+1=15π125π6π6∴(,0)5π12C D 2x +=+2kπ(k ∈Z)π6π23D A f(x)cos(2ωx +)π32kπ≤2ωx +≤2kπ+ππ3k ∈Z −≤x ≤+kπωπ6ωkπωπ3ω[−,+]kπωπ6ωkπωπ3ωk ∈Z f(x)[,]π6π2 −≤kπωπ6ωπ6+≥kπωπ3ωπ2 ω≥6k −1ω≤2k +23−=T 2π同时，则，则当＝时，，当＝时，不等式无解，故的最大值为，二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）10.【答案】或【考点】两角和与差的余弦公式任意角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用三角函数的定义和三角函数关系式的角的恒等变换的应用求出结果．【解答】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．所以，．角满足，所以.当时，；当时，．故答案为：或．11.【答案】ω3ω2≥−=T 2π2π6π3≥2π2ωπ3ω≤3k 00<ω≤23k 1ω23−56651665αO x P (−,−)3545sin α=−45cos α=−35βsin(α+β)=513cos(α+β)=±1213cos(α+β)=1213cos β=cos(α+β−α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=−5665cos(α+β)=−1213cos β=cos(α+β−α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1665−56651665,]12【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】由正弦函数可知，，则是函数含原点的递增区间．根据正弦函数图象的性质解答即可．【解答】，即：，∴是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵，∴，又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知，，即函数在处取得最大值，可得，∴，综上，可得．12.【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的恒等变换及化简求值恒等变换的概念[,]1223f(x)=2sin ωx [−,]π2ωπ2ωf(x)=4sin ωx −(+)−2ωx sin 2ωx 2π4sin 2=4sin ωx −−2ωx 1−cos(ωx +)π22sin 2=2sin ωx(1+sin ωx)−2ωx sin 2=2sin ωx f(x)=2sin ωx [−,]π2ωπ2ω[−,]π43π4[−,]⊇[−,]π2ωπ2ωπ43π4 −≤−π2ωπ4≤3π4π2ω ω≤2ω≤23ω>00<ω≤23[0,π]ωx =2kπ+π2k ∈Z x =+2kπωπ2ω0≤≤ππ2ωω≥12ω∈[,]1223【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．【解答】【解析】因为，所以13.【答案】，【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】利用两角和与差的三角函数将转化成正弦型函数，再利用整体思想做题．【解答】＝）＝（＝＝＝）-．∴最小正周期＝＝＝，∴＝（）-．当时，，]，∴（），，∴，]，，使，只需即可．即，∴，即，．14.【答案】【考点】tan α=−1tan(α+)==0π4tan α+11−tan α[−2+∞)f(x)f(x)4cos ωx ⋅sin(ωx−4cos ωx ⋅sin ωx−cos ωx)2sin ωx cos ωx −2ωx cos 2sin 2ωx−(1+cos 2ωx)2sin(2ωx−T 4f(x)2sin x−t ∈[0,2]t−∈[−sin t−∈[−1]f(t)∈[−22−∃t ∈[0,2]f(t)−m ≤0f(t −m ≤0)min −2−m ≤0m ≥−2m ∈[−2+∞)−14三角函数中的恒等变换应用【解析】利用两角和与差的余弦函数展开，求出，，然后求出的值．【解答】∵，∴，①∵，∴，②从①②两式中解得：，，两式相除得∴．15.【答案】【考点】正弦定理三角函数中的恒等变换应用余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，，所以，则．因为，所以.因为，cos αcos β=415sin αsin β=−115tan αtan βcos(α−β)=15cos αcos β+sin αsin β=15cos(α+β)=13cos αcos β−sin αsin β=13cos αcos β=415sin αsin β=−115tan αtan β=−146–√3a =5b =32–√cos C =22–√3=+−2ab cos Cc 2a 2b 2=25+18−2×5×3×=32–√22–√3c =3–√cos C =22–√3sin C =13=b sin B c sin C=.3×–√1所以故答案为：.16.【答案】【考点】三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用【解析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：，令且，则，当时，，即的最大值为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 16 小题 ，每题 10 分 ，共计160分 ）17.【答案】解：，的最小正周期为，令，解得，的单调递增区间是，；∵，∴，∴，sin B =b sin C c ==.3×2–√133–√6–√36–√31f(x)=x +cos x −=1−x +cos x −sin 23–√34cos 23–√34cos x =t t ∈[0,1]y =−+t +=−(t −+1t 23–√143–√2)2t =3–√2f(t =1)max f(x)11(1)f(x)=2x +2cos x sin x cos 23–√=1+cos 2x +sin 2x3–√=1+2sin(2x +)π6∴f(x)T ==π2π2−+2kπ≤2x +≤+2kππ2π6π2−+kπ≤x ≤+kππ3π6∴f(x)[−+kπ,+kπ]π3π6k ∈Z (2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6sin(2x +)∈[−,1]π612(x)=2sin(2x +)+1π∴的最大值是．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为＝的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出的最大值．【解答】解：，的最小正周期为，令，解得，的单调递增区间是，；∵，∴，∴，∴的最大值是．18.【答案】解：（1），62f(x)=2sin(2x +)+1π63y A sin(ωx +φ)x ∈[0,]π2f(x)(1)f(x)=2x +2cos x sin x cos 23–√=1+cos 2x +sin 2x 3–√=1+2sin(2x +)π6∴f(x)T ==π2π2−+2kπ≤2x +≤+2kππ2π6π2−+kπ≤x ≤+kππ3π6∴f(x)[−+kπ,+kπ]π3π6k ∈Z (2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6sin(2x +)∈[−,1]π612f(x)=2sin(2x +)+1π63f(x)=sin 2x +−=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)3–√21+cos 2x 2123–√212π6−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)πππ−+kπ,+kπ](k ∈Z)ππ，单调增区间为．（2），．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：（1），，单调增区间为．（2），．19.【答案】解：，的最小正周期为．，，当，即时，函数取得最小值是．，．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算∴−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π6π2[−+kπ,+kπ](k ∈Z)π3π6f(C)=sin(2C +)=⇒C =π612π3=ab sin C =⋅2⋅⋅=S △ABC 12123–√3–√232f(x)=sin 2x +−=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)3–√21+cos 2x 2123–√212π6∴−+2kπ≤2x +≤+2kπ(k ∈Z)π2π6π2[−+kπ,+kπ](k ∈Z)π3π6f(C)=sin(2C +)=⇒C =π612π3=ab sin C =⋅2⋅⋅=S △ABC 12123–√3–√232(1)f (x)=2sin x cos x +2x +2m −13–√cos 2=sin 2x +cos 2x +2m3–√=2sin(2x +)+2mπ6∴f (x)π(2)∵x ∈[0,]π2∴2x +∈[,]π6π67π6∴2x +=π67π6x =π2f (x)2m −1∵2m −1=5∴m =3三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：，的最小正周期为．，，当，即时，函数取得最小值是．，．20.【答案】解： ,由，∴的周期为由，，∴,，∴的对称轴方程为 ，.∵，∴ ，∵，∴∴，∴ 中，由余弦定理得，∵，∴，∴，∴，得：，(1)f (x)=2sin x cos x +2x +2m −13–√cos 2=sin 2x +cos 2x +2m 3–√=2sin(2x +)+2m π6∴f (x)π(2)∵x ∈[0,]π2∴2x +∈[,]π6π67π6∴2x +=π67π6x =π2f (x)2m −1∵2m −1=5∴m =3(1)f (x)=x +sin x cos x 3–√2sin 212=×+sin 2x 3–√21−cos 2x 214=sin 2x −cos 2x +143–√43–√4=sin(2x −)+12π33–√4T ==π2π2f (x)π2x −=+kππ3π2k ∈Z x =+5π12kπ2k ∈Z f (x)x =+5π12kπ2k ∈Z (2)f ()=A 23–√2sin(A −)=π33–√2A ∈(0,π)A −∈(−,)π3π32π3A −=π3π3A =2π3△ABC =+−2bc cos A a 2b 2c 2a =416=+−2bc cos =++bc b 2c 22π3b 2c 2−bc =16(b +c)2−16=bc ≤(b +c)2(b +c)24≤(b +c)2643b =c当且仅当“”时取等号.又，∴，∴ ,所以周长的最大值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法正弦函数的对称性余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解： ,由，∴的周期为由，，∴,，∴的对称轴方程为 ，.∵，∴ ，∵，∴∴，∴ 中，由余弦定理得，∵，∴，∴，∴，得：，当且仅当“”时取等号.又，∴，∴ ,b =c b,c >0b +c ≤83–√3a +b +c ≤4+83–√3△ABC 4+83–√3(1)f (x)=x +sin x cos x 3–√2sin 212=×+sin 2x 3–√21−cos 2x 214=sin 2x −cos 2x +143–√43–√4=sin(2x −)+12π33–√4T ==π2π2f (x)π2x −=+kππ3π2k ∈Z x =+5π12kπ2k ∈Z f (x)x =+5π12kπ2k ∈Z (2)f ()=A 23–√2sin(A −)=π33–√2A ∈(0,π)A −∈(−,)π3π32π3A −=π3π3A =2π3△ABC =+−2bc cos A a 2b 2c 2a =416=+−2bc cos =++bc b 2c 22π3b 2c 2−bc =16(b +c)2−16=bc ≤(b +c)2(b +c)24≤(b +c)2643b =c b,c >0b +c ≤83–√3a +b +c ≤4+83–√3+8–√所以周长的最大值为．21.【答案】解：由得，，即，所以.因为，所以；由正弦定理得.因为，所以，所以，所以.【考点】两角和与差的余弦公式余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用余弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，，即，所以.因为，所以；由正弦定理得△ABC 4+83–√3(1)a cos C +c =b 3–√2a ⋅+c =b +−a 2b 2c 22ab 3–√2+−=bc b 2c 2a 23–√cos A ==+−b 2c 2a 22bc 3–√2A ∈(0,π)A =π6(2)c −2b =2(sin C −2sin B)3–√3–√=2[sin(−B)−2sin B]3–√5π6=2[(cos B +sin B)−2sin B]3–√123–√2=2(cos B −sin B)3–√212=2cos(B +)π60<B <56<B +<ππ6π6−1<cos(B +)<π63–√2c −2b ∈(−2,)3–√3–√(1)a cos C +c =b 3–√2a ⋅+c =b +−a 2b 2c 22ab 3–√2+−=bc b 2c 2a 23–√cos A ==+−b 2c 2a 22bc 3–√2A ∈(0,π)A =π6(2)c −2b =2(sin C −2sin B)3–√3–√=2[sin(−B)−2sin B]3–√5π6=2[(cos B +sin B)−2sin B]3–√123–√22(cos B −sin B)–√.因为，所以，所以，所以.22.【答案】解：，所以的最小正周期，因为的对称轴方程为，令，得，的对称轴方程为．因为，所以，所以，所以当，即时，在上的最大值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】本题考查两角差的正弦公式、正弦函数的图象与性质．【解答】解：，所以的最小正周期，因为的对称轴方程为，令，得，的对称轴方程为．因为，所以，所以，=2(cos B −sin B)3–√212=2cos(B +)π60<B <56<B +<ππ6π6−1<cos(B +)<π63–√2c −2b ∈(−2,)3–√3–√（I ）f(x)=sin 2x cos −cos 2x sin =sin(2x −)π5π5π5f(x)T ==π2π2y =sin x x =kπ+，k ∈Z π22x −=+kπ，k ∈Z π5π2x =+kπ，k ∈Z 7π2012f(x)x =+kπ，k ∈Z 7π2012（II ）x ∈[0,]π22x ∈[0,π]2x −∈[−,]π5π54π52x −=π5π2x =7π20f(x)[0,]π21（I ）f(x)=sin 2x cos −cos 2x sin =sin(2x −)π5π5π5f(x)T ==π2π2y =sin x x =kπ+，k ∈Z π22x −=+kπ，k ∈Z π5π2x =+kπ，k ∈Z 7π2012f(x)x =+kπ，k ∈Z 7π2012（II ）x ∈[0,]π22x ∈[0,π]2x −∈[−,]π5π54π5=7π所以当，即时，在上的最大值为．23.【答案】（1）证明：，∵，∴．（2）解：设，∵，∴，，，，在中，，∴，∴∴．【考点】解三角形三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】（1）证明：，∵，∴．2x −=π5π2x =7π20f(x)[0,]π21−=1+cos A 21−cos B 2sin C 2sin B⇒cos A +cos B =⇒sin B cos A+sin C sin B sin B cos B =sin A cos B +cos A sin B ⇒cos B(sin A −sin B)=0A ≠B cos B =0⇒B =π2AC =8t(t >0)C =π3CE =5t EA =3AB =4t 3–√BC =4t △BCE cos C ==25+16−B t 2t 2E 22×5t ×4t 12BE =t 21−−√BE =t21−−√cos ∠ABE ==21+48−9t 2t 2t 22×t ×4t21−−√3–√57–√14−=1+cos A 21−cos B 2sin C 2sin B⇒cos A +cos B =⇒sin B cos A+sin C sin B sin B cos B =sin A cos B +cos A sin B ⇒cos B(sin A −sin B)=0A ≠B cos B =0⇒B =π2AC =8t(t >0)（2）解：设，∵，∴，，，，在中，，∴，∴∴．24.【答案】解：，则函数的最小正周期，由，，解得，，，则的单调递增区间为，；当时，，，则的值域为．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．【解答】AC =8t(t >0)C =π3CE =5t EA =3AB =4t 3–√BC =4t △BCE cos C ==25+16−B t 2t 2E 22×5t ×4t 12BE =t 21−−√BE =t21−−√cos ∠ABE ==21+48−9t 2t 2t 22×t ×4t 21−−√3–√57–√14(1)f(x)=2sin x sin(x +)π6=2sin x(sin x +cos x)=x +sinx cos x3–√2123–√sin 2=+sin 2x =+sin(2x −)(1−cos 2x)3–√2123–√2π3f(x)T ==π2π22kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π125π12k ∈Z f(x)[kπ−,kπ+]π125π12k ∈Z (2)x ∈[0,]π22x −∈[−,]π3π32π3sin(2x −)∈[−,1]π33–√2f(x)[0,1+]3–√2x 2x −π3(x)=2sin x sin(x +)π解：，则函数的最小正周期，由，，解得，，，则的单调递增区间为，；当时，，，则的值域为．25.【答案】解：（1）因为，单调增区间为．（2），，因为，所以，得，由余弦定理，得，而，所以的最大值是，此时．【考点】正弦函数的单调性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）因为，(1)f(x)=2sin x sin(x +)π6=2sin x(sin x +cos x)=x +sin x cos x 3–√2123–√sin 2=+sin 2x =+sin(2x −)(1−cos 2x)3–√2123–√2π3f(x)T ==π2π22kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π125π12k ∈Z f(x)[kπ−,kπ+]π125π12k ∈Z (2)x ∈[0,]π22x −∈[−,]π3π32π3sin(2x −)∈[−,1]π33–√2f(x)[0,1+]3–√2f(x)=sin(2x +)−13–√π3[kπ−,kπ+](k ∈Z)5π12π12f(B)=12sin(2B +)=π33–√2B ∈(0,π)2B +=π32π3B =π6cos B ==≥3–√2+−3a 2c 22ac 2ac −32acac ≤3(2+)3–√S =ac sin B ≤126+33–√4S 6+33–√4a =c f(x)=sin(2x +)−13–√π3kπ−,kπ+](k ∈Z)5π单调增区间为．（2），，因为，所以，得，由余弦定理，得，而，所以的最大值是，此时．26.【答案】证明：. 解：，令，，解得，，∴对称中心的坐标为，．令，，解得，，∴对称轴方程为，．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的对称性【解析】（1） . [kπ−,kπ+](k ∈Z)5π12π12f(B)=12sin(2B +)=π33–√2B ∈(0,π)2B +=π32π3B =π6cos B ==≥3–√2+−3a 2c 22ac 2ac −32acac ≤3(2+)3–√S =ac sin B ≤126+33–√4S 6+33–√4a =c (1)1−2sin 2x cos 2x2x −2x cos 2sin 2=2x +2x −2sin 2x cos 2x sin 2cos 22x −2x cos 2sin 2=(sin 2x −cos 2x)2(cos 2x +sin 2x)(cos 2x −sin 2x)==cos 2x −sin 2x cos 2x +sin 2x 1−tan 2x 1+tan 2x (2)f (x)=2sin(2x +)+1π62x +=kππ6k ∈Z x =−kπ2π12k ∈Z (−,1)kπ2π12k ∈Z 2x +=+kππ6π2k ∈Z x =+kπ2π6k ∈Z x =+kπ2π6k ∈Z ==1−2sin 2x cos 2x 2x −2x cos 2sin 22x +2x −2sin 2x cos 2x sin 2cos 22x −2x cos 2sin 2(sin 2x −cos 2x)2(cos 2x +sin 2x)(cos 2x −sin 2x)==cos 2−sin 2x cos 2x +sin 2x 1−tan 2x 1+tan 2x【解答】证明：. 解：，令，，解得，，∴对称中心的坐标为，．令，，解得，，∴对称轴方程为，．27.【答案】解：（1）由题意知，，且，．在时取得最大值，，，故，．由题意得解得∴．∵，∴，当或，即或时函数单调递增，∴函数在的单调递增区间为，．(1)1−2sin 2x cos 2x2x −2x cos 2sin 2=2x +2x −2sin 2x cos 2x sin 2cos 22x −2x cos 2sin 2=(sin 2x −cos 2x)2(cos 2x +sin 2x)(cos 2x −sin 2x)==cos 2x −sin 2x cos 2x +sin 2x 1−tan 2x 1+tan 2x (2)f (x)=2sin(2x +)+1π62x +=kππ6k ∈Z x =−kπ2π12k ∈Z (−,1)kπ2π12k ∈Z 2x +=+kππ6π2k ∈Z x =+kπ2π6k ∈Z x =+kπ2π6k ∈Z f ()=c =0π2∴f(x)=2a sin x cos x +2b xcos 2=a sin 2x +b(1+cos 2x)=a sin 2x +b cos 2x +b =sin(2x +φ)+b +a 2b 2−−−−−−√0<φ<πcos φ=a +a 2b 2−−−−−−√sin φ=b +a 2b 2−−−−−−√∵f(x)x =π6∴2×+φ=+2kπ，k ∈Z π6π2∴φ=+π62kπ，k ∈Z φ=π6∴f(x)=sin(2x +)+b +a 2b 2−−−−−−√π6 sin ==，π6b +a 2b 2−−−−−−√12f ()=+b =，π6+a 2b 2−−−−−−√52 b =，56=，+a 2b 2−−−−−−√53f(x)=sin(2x +)+53π6560≤x ≤π≤2x +≤π6π613π6≤2x +≤π6π6π2≤2x +≤3π2π613π60≤x ≤π6≤x ≤π2π3f(x)f(x)x ∈[0,π][0,]π6[,π]2π3(C)=sin(2C +)+=555（2）由（1）及条件得，．∵，∴，，∴．由余弦定理可得，．由正弦定理可得．是锐角三角形，∴，解得，，，，．的取值范围为．【考点】余弦定理三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题意知，，且，．在时取得最大值，，，故，f(C)=sin(2C +)+=53π65653∴sin(2C +)=π6120<C<π2<2C +<π6π67π6∴2C +=π65π6C =π3=+−2ab cos =+−ab c 2a 2b 2π3a 2b 2∴==2(+)−1++a 2b 2c 2+−a 2b 2c 22+2−ab a 2b 2ab a b b a ===b a sin B sin A sin(−A)2π3sin A +3–√2tan A 12∵△ABC 0<A<，π20<−A<2π3π2<A<π6π2∴tan A >3–√3∴<=+<212b a 3–√2tan A 12∴2≤+<b a a b 52∴3≤2(+)−1<4b a a b ∴++a 2b 2c 2+−a 2b 2c 2[3,4)f ()=c =0π2∴f(x)=2a sin x cos x +2b xcos 2=a sin 2x +b(1+cos 2x)=a sin 2x +b cos 2x +b =sin(2x +φ)+b +a 2b 2−−−−−−√0<φ<πcos φ=a +a 2b 2−−−−−−√sin φ=b +a 2b 2−−−−−−√∵f(x)x =π6∴2×+φ=+2kπ，k ∈Z π6π2∴φ=+π62kπ，k ∈Z φ=π6f(x)=sin(2x +)+b π．由题意得解得∴．∵，∴，当或，即或时函数单调递增，∴函数在的单调递增区间为，．（2）由（1）及条件得，．∵，∴，，∴．由余弦定理可得，．由正弦定理可得．是锐角三角形，∴，解得，，，，．的取值范围为．28.【答案】解析：（）先化简的解析式：由则函数的最小值，此时（2）中， ，故（正弦定理），再由知，故，于是从而的面积∴f(x)=sin(2x +)+b +a 2b 2−−−−−−√π6 sin ==，π6b +a 2b 2−−−−−−√12f ()=+b =，π6+a 2b 2−−−−−−√52 b =，56=，+a 2b 2−−−−−−√53f(x)=sin(2x +)+53π6560≤x ≤π≤2x +≤π6π613π6≤2x +≤π6π6π2≤2x +≤3π2π613π60≤x ≤π6≤x ≤π2π3f(x)f(x)x ∈[0,π][0,]π6[,π]2π3f(C)=sin(2C +)+=53π65653∴sin(2C +)=π6120<C<π2<2C +<π6π67π6∴2C +=π65π6C =π3=+−2ab cos =+−ab c 2a 2b 2π3a 2b 2∴==2(+)−1++a 2b 2c 2+−a 2b 2c 22+2−ab a 2b 2ab a b b a ===b a sin B sin A sin(−A)2π3sin A +3–√2tan A 12∵△ABC 0<A<，π20<−A<2π3π2<A<π6π2∴tan A >3–√3∴<=+<212b a 3–√2tan A 12∴2≤+<b a a b 52∴3≤2(+)−1<4b a a b ∴++a 2b 2c 2+−a 2b 2c 2[3,4)1f (x)f (x)=(x −x)−cos(2x +)=cos 2x +sin 2sin(2x +)3–√cos 2sin 2π23–√π30≤x ≤⇒≤2x +≤π2π3π34π3f (x)=2(−)=−3–√23–√x =π2△ABC A =,b =345∘2–√a =6sin B ===b sin A a 3sin 2–√45∘612b <a B <A =45∘B =30∘C =−A −B =180∘105∘△ABC =ab sin C =9(+1)1【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】略略29.【答案】解：令，得，∴在区间上单调递增，故的最小值为.，∵，∴，∴，即所求的函数的值域为.【考点】余弦函数的单调性S =ab sin C =9(+1)123–√(1)2kπ−π<x −<2kπ(k ∈Z)π42kπ−<x <2kπ+(k ∈Z)3π4π4f (x)(−,0)3π4m −3π4(2)y =+[f (x −)]π62[f (x +)]π22=(x −)+(x +)cos 25π12cos 2π4=+1+cos(2x −)5π621+cos(2x +)π22=1+(cos cos 2x +sin sin 2x −sin 2x)125π65π6=1−(cos 2x +sin 2x)123–√212=1−sin(2x +)12π3x ∈R sin(2x +)∈[−1,1]π3y =1−sin(2x +)∈[,]12π31232[,]1232三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：令，得，∴在区间上单调递增，故的最小值为.，∵，∴，∴，即所求的函数的值域为.30.【答案】解：由已知及正弦定理可得：，所以，即，因为,所以.又，故.(1)2kπ−π<x −<2kπ(k ∈Z)π42kπ−<x <2kπ+(k ∈Z)3π4π4f (x)(−,0)3π4m −3π4(2)y =+[f (x −)]π62[f (x +)]π22=(x −)+(x +)cos 25π12cos 2π4=+1+cos(2x −)5π621+cos(2x +)π22=1+(cos cos 2x +sin sin 2x −sin 2x)125π65π6=1−(cos 2x +sin 2x)123–√212=1−sin(2x +)12π3x ∈R sin(2x +)∈[−1,1]π3y =1−sin(2x +)∈[,]12π31232[,]1232(1)2sinC =sinA +2sinBcosA 3–√2(sinAcosB +sinBcosA)=sinA +2sinBcosA 3–√2sinAcosB =sinA 3–√sinA ≠0cosB =3–√20<B <πB =π6b在中，由正弦定理可得，所以，由知，所以，由余弦定理可得，，所以.【考点】解三角形余弦定理的应用正弦定理的应用三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知及正弦定理可得：，所以，即，因为,所以.又，故.在中，由正弦定理可得，所以，由知，所以，由余弦定理可得，，所以.(2)△ABC =a sinA b sinBasinB =bsinA =3–√(1)B =π6a =23–√=+−2accosB =19b 2a 2c 2b =19−−√(1)2sinC =sinA +2sinBcosA 3–√2(sinAcosB +sinBcosA)=sinA +2sinBcosA 3–√2sinAcosB =sinA 3–√sinA ≠0cosB =3–√20<B <πB =π6(2)△ABC =a sinA b sinB asinB =bsinA =3–√(1)B =π6a =23–√=+−2accosB =19b 2a 2c 2b =19−−√31.【答案】解：∵．∴的最小正周期.令，解得，∴的单调递增区间为．∵，∴，∴，∴的值域为，又在上有解，∴，即.【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法函数的单调性及单调区间由函数零点求参数取值范围问题【解析】（1）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；（2）先根据正弦函数的单调性求出的值域，再把方程有解转化为与的取值范围相同即可求实数的取值范围．【解答】解：∵．∴的最小正周期.令，(1)f(x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x 3–√=2sin(2x −)+1π3f(x)T =π2kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2(k ∈Z)kπ−≤x ≤kπ+π125π12(k ∈Z)f(x)[kπ−,kπ+]π125π12(k ∈Z)(2)x ∈[,]π4π22x −∈[,]π3π62π3sin(2x −)∈[,1]π312f(x)[2,3]f(x)−m =2x ∈[,]π4π2m +2∈[2,3]m ∈[0,1]f(x)f(x)m +2m (1)f(x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x 3–√=2sin(2x −)+1π3f(x)T =π2kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2(k ∈Z)π−≤x ≤kπ+5π解得，∴的单调递增区间为．∵，∴，∴，∴的值域为，又在上有解，∴，即.32.【答案】解：函数．化简可得：．由，．得：．∴函数的单调增区间为，．∵，即可得：，．∵，∴．由，且的面积为，即，∴．余弦定理：，可得：．∴．【考点】三角形求面积三角函数中的恒等变换应用【解析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；根据，求出，，且的面积为，求出，利用余弦定理可得的值．【解答】232kπ−≤x ≤kπ+π125π12(k ∈Z)f(x)[kπ−,kπ+]π125π12(k ∈Z)(2)x ∈[,]π4π22x −∈[,]π3π62π3sin(2x −)∈[,1]π312f(x)[2,3]f(x)−m =2x ∈[,]π4π2m +2∈[2,3]m ∈[0,1]f(x)=sin x cos(x +)π6f(x)=sin x cos x −x =sin 2x +cos 2x −=sin(2x +)−3–√212sin 23–√4141412π614(I)−+2kπ≤2x +≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+kπ≤x ≤+kππ3π6f(x)[−+kπ,+kπ]π3π6k ∈Z (II)f(C)=14sin(2C +)−=12π614142C +=+2kππ6π2k ∈Z 0<C <πC =π6a =2△ABC 3–√S =ab sin C =123–√b =23–√=+−2ab cos C c 2a 2b 2=4+12−4×2×=4c 23–√3–√2c =2(I)y =A sin(ωx +φ)(II)f(C)=14C a =2△ABC 3–√b c (x)=sin x cos(x +)π解：函数．化简可得：．由，．得：．∴函数的单调增区间为，．∵，即可得：，．∵，∴．由，且的面积为，即，∴．余弦定理：，可得：．∴．f(x)=sin x cos(x +)π6f(x)=sin x cos x −x =sin 2x +cos 2x −=sin(2x +)−3–√212sin 23–√4141412π614(I)−+2kπ≤2x +≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+kπ≤x ≤+kππ3π6f(x)[−+kπ,+kπ]π3π6k ∈Z (II)f(C)=14sin(2C +)−=12π614142C +=+2kππ6π2k ∈Z 0<C <πC =π6a =2△ABC 3–√S =ab sin C =123–√b =23–√=+−2ab cos Cc 2a 2b 2=4+12−4×2×=4c 23–√3–√2c =2。
2019人教A版高中数学必修三练习 第二章统计单元质量评估(含答案)
单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面抽样方法是简单随机抽样的是 ( D )A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C.某连队从200名战士中,挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)2.某企业有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现用分层抽样抽取30人,则各职称抽取人数分别为 ( B )A.5,10,15B.3,9,18C.3,10,17D.5,9,163.在一次数学测试中,有考生1 000名,现想了解这1 000名考生的数学成绩,从中抽取100名学生的数学成绩进行统计分析,在这个问题中,总体是指 ( B )A.1 000名考生B.1 000名考生的数学成绩C.100名考生的数学成绩D.100名考生4.如图是某校高一学生到校方式的条形统计图,根据图形可得出骑自行车人数占高一学生总人数的 ( B )A.20%B.30%C.50%D.60%5.用抽签法进行抽样有以下几个步骤:①把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条制作)②将总体中的个体编号;③从这个容器中逐个不放回地抽取号签,将取出号签所对应的个体作为样本;④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀;这些步骤的先后顺序应为 ( A )A.②①④③B.②③④①C.①③④②D.①④②③6.由观测的样本数据算得变量x与y满足线性回归方程=0.6x-0.5,已知样本平均数=5,则样本平均数的值为 ( C )A.0.5B.1.5C.2.5D.3.57.用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下列数据,读出的第三个样本编号是 ( B )18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 52 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 5337 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39A.841B.114C.014D.1468.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39,则在第1小组1～16中随机抽到的数是( B )A.5B.7C.11D.139.某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到的最小编号为3,则抽取的最大编号为( C )A.15B.18C.21D.2210.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后,画出了如图的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是( A )A.10B.2C.5D.1511.有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中各随机抽取了16台,记录上午8:00～11:00间各自的销售情况(单位:元),用茎叶图表示:设甲、乙的平均数分别为,,标准差分别为s1,s2,则 ( D )A.>,s1>s2B.>,s1<s2C.<,s1<s2D.<,s1>s212.某人对一个地区人均工资收入x与该地区人均消费水平y进行统计调查,y与x有相关关系,得到线性回归方程为y=0.66x+1.562(单位:百元).若该地区人均消费水平为7.675百元,估计该地区人均消费水平占人均工资收入的百分比约为 ( D )A.66%B.72.3%C.67.3%D.83%二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 1 800件.14.一个总体的60个个体编号为00,01,…,59,现需从中抽取一容量为8的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始,向右读取,直到取足样本,则抽取样本的号码是18,00,38,58,32,26,25,39.95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 15.若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,420,则抽取的21人中,编号在区间[241,360]内的人数是6.16.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得到了下表中的实验数据,计算得回归直线方程为=0.85x-0.25.由以上信息,可得表中c的值为6.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)某校高三的某次数学测试中,对其中100名学生的成绩进行分析,按成绩分组,得到的频率分布表如下:(1)求出频率分布表中①,②位置相应的数据.(2)为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛,学校决定在成绩较高的第3,4,5组中分层抽样取5名学生,则第4,5组每组各抽取多少名学生?【解析】(1)①处的数据为:15÷100=0.15,②处的数据为:0.35×100=35.(2)第三、四、五组中共有学生20+20+10=50人,故抽样比k==,故应从第四组中抽取20×=2人,应从第五组中抽取10×=1人.18.(12分)高一(3)班有学生60人,为了了解学生对目前高考制度的看法,现要从中抽取一个容量为10的样本,问此样本若采用简单随机抽样,将如何获得?试设计抽样方案. 【解析】抽签法:①将这60名学生按学号编号,分别为1,2, (60)②将这60个号码分别写在60张相同纸片上;③将这60张相同纸片揉成团,放到一个不透明的盒子里搅拌均匀;④抽出一张,记下上面的号码,然后再搅拌均匀,接着抽取第2张,记下号码.重复这个过程直到取到10个号码为止.这样,与这10个号码对应的10名学生就构成了一个简单的随机样本.19.(12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球,现随机抽样检查20只,测得每只球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下:40.02 40.00 39.98 40.00 39.9940.00 39.98 40.01 39.98 39.9940.00 39.99 39.95 40.01 40.0239.98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图.(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品,若这批乒乓球的总数为10 000只,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【解析】(1)10(2)因为抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只,所以合格率为×100%=90%,所以10 000×90%=9 000(只).即根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格只数为9 000.20.(12分)一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表:(1)作出散点图.(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程.(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为10个,那么,机器的转速应控制在什么范围内?(结果保留整数)附:线性回归方程=x+a中,=,=-.【解析】(1)散点图如图:(2)由题中数据列表如下:=12.5,=8.25,=660,x i y i=438,所以=≈0.73,=8.25-0.73×12.5=-0.875,所以=0.73x-0.875.(3)令0.73x-0.875≤10,解得x≤14.9≈15,故机器的运转速度应控制在15转/秒内.21.(12分)为缓解堵车现象,解决堵车问题,北京市交通局调查了甲、乙两个交通站的车流量,在2018年5月随机选取了14天,统计每天上午7:30～9:00间各自的车流量(单位:百辆)得到如图所示的茎叶图,根据茎叶图回答以下问题.(1)甲、乙两个交通站的车流量的中位数分别是多少?(2)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙?说明理由.(3)计算甲、乙两交通站的车流量在[10,40]之间的频率.【解析】(1)甲交通站的车流量的中位数为=56.5.乙交通站的车流量的中位数为=36.5.(2)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看,甲交通站更繁忙.(3)甲交通站的车流量在[10,40]之间的有4天,所以频率为=,乙交通站的车流量在[10,40]之间的有6天,所以频率为=.22.(12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260), [260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值.(2)求理科综合分数的众数和中位数.(3)在理科综合分数为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组学生中,用分层抽样的方法抽取11名学生,则理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取多少人? 【解析】(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,解得x=0.007 5,所以直方图中x的值为0.007 5.(2)理科综合分数的众数是=230,因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以理科综合分数的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,解得a=224,即中位数为224.(3)理科综合分数在[220,240)的学生有0.012 5×20×100=25(位),同理可求理科综合分数为[240,260),[260,280),[280,300]的学生分别有15位、10位、5位,故抽取比为=,所以从理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取25×=5人.关闭Word文档返回原板块。
2020-2021学年人教A版数学选修2-3教师用书：第1章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二
姓名，年级：时间：1.3。
2 “杨辉三角"与二项式系数的性质学习目标核心素养1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点）2。
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点）3。
理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1．杨辉三角的特点（1)在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上"两个数的和，即C错误!＝C错误!＋C错误!.2．二项式系数的性质（1)对称性：在(a＋b）n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C错误!＝C错误!,C错误!＝C错误!，…，C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值:当k＜错误!时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n;(2)C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1。
1．(1－2x）15的展开式中的各项系数和是( )A．1 B．－1C．215D．315B［令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1。
］2．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ）A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在（a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在（a＋b)9的展开式中,二项式系数最大的项为________________．70a4b4126a5b4与126a4b5［因为（a＋b）8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大，该项为C错误!a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C错误!a5b4＝126a5b4，C错误!a4b5＝126a4b5。
2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：第三章测评 Word版含解析
姓名，年级：时间：第三章测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.函数f （x ）=√x +1+12-x的定义域为( ） A.[—1,2)∪(2，+∞) B.(—1,+∞） C 。
［-1,2) D 。
［—1,+∞）{x +1≥0,2-x ≠0,解得x ≥-1,且x ≠2。
2如图,给出了奇函数f (x )的局部图象，那么f （1)等于( )A 。
-4 B.—2 C 。
2 D 。
43.函数y=x 53的图象大致是（ ）y=x 53=√x 53的定义域为R ，是奇函数,排除A 、C ；函数在第一象限内单调递增，且增长越来越快，在第一象限图象下凸，故选B 。
4已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h (单位:cm)与燃烧时间t （单位：小时）的函数关系用图象表示为（ )。
由题意得h=20-5t （0≤t ≤4)，故选B 。
5。
偶函数f(x)在［0,+∞）单调递增,若f（-2)=1,则f（x-2）≤1的x的取值范围是() A。
［0，2] B.[—2,2］C。
［0,4] D。
[-4，4]f（x)是偶函数，f(—2）=1,所以f(2）=1。
因为f（x—2）≤1,所以—2≤x-2≤2，解之得0≤x≤4.故选C.6下列选项中,两个函数表示同一个函数的是(）A。
y=xx，y=1B.y=（√x）2，y=｜x|C.f(x）=｜x|,g(x）=√x2D。
y=√(x-1)2，y=√(x-1)33。
y=xx的定义域为｛x|x≠0},y=1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B。
y=（√x)2的定义域为[0，+∞），y=｜x|的定义域为R,不是同一个函数；C。
f（x）=|x|与g(x）=√x2定义域和对应关系相同,故是同一个函数；D。
y=√(x-1)2=｜x—1|,y=√(x-1)33=x—1，解析式不同,不是同一个函数。
7已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p，第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C。
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单元质量评估(二)(第二章)(60分钟100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某班的78名同学已编号为1,2,3,…,78,为了解该班同学的作业情况,老师收取了学号能被6整除的13名同学的作业本,这里运用的抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.系统抽样法C.分层抽样法D.抽签法【解析】选B.本题的抽样方法是将78人按6人一组分为13组,从每组中抽取最后一人,故是系统抽样法.【补偿训练】(2016·长沙高一检测)①某学校高二年级共有526人,为了调查学生每天用于休息的时间,决定抽取10%的学生进行调查;②一次数学月考中,某班有10人在100分以上,32人在90～100分,12人低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道.就这三件事,恰当的抽样方法分别为( )A.分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B.系统抽样、系统抽样、简单随机抽样C.分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D.系统抽样、分层抽样、简单随机抽样【解析】选D.①中总体容量较多,抽取的样本容量较大,用系统抽样比较恰当;②中考试成绩各分数段之间的同学有明显的差异,应按分层抽样比较恰当;③中个体较少,按简单随机抽样比较恰当.2.(2016·惠州高一检测)在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的,且样本容量为140,则中间一组的频数为( )A.28B.40C.56D.60【解析】选B.设中间一组的频数为x,则其他8组的频数和为x,所以x+x=140,解得x=40.3.某全日制大学共有学生5600人,其中专科生有1300人、本科生有3000人、研究生有1300人,现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为280人,则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )A.65人,150人,65人B.30人,150人,100人C.93人,94人,93人D.80人,120人,80人【解析】选A.抽样比为=,所以专科生应抽取×1300=65(人),本科生应抽取×3000=150(人),研究生应抽取×1300=65(人).【补偿训练】将一个样本容量为100的数据分组,各组的频数如下:[17,19],1;(19,21],1;(21,23],3;(23,25],3;(25,27],18;(27,29],16;(29,31],28;(31,33],30.根据样本频率分布,估计小于或等于29的数据大约占总体的( )A.58%B.42%C.40%D.16%【解析】选B.依题意可得=42%.4.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且=2.347x-6.423;②y与x负相关且=-3.476x+5.648;③y与x正相关且=5.437x+8.493;④y与x正相关且=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选D.①中y与x负相关而斜率为正,不正确;④中y与x正相关而斜率为负,不正确.5.(2016·大连高一检测)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图,则下面结论中错误的一个是( )A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是24【解题指南】注意极差、众数、中位数的定义即可.【解析】选D.甲的极差是37-8=29;乙的众数显然是21;甲的平均数显然高于乙,即C成立;甲的中位数应该是23.6.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A.1B.8C.12D.18【解题指南】本题考查了频率分布直方图,先利用已知数据估计总体数据,然后再根据比例计算第三组数据有疗效的人数.【解析】选C.由图知,样本总数为N==50.设第三组中有疗效的人数为x,则=0.36,解得x=12.7.(2016·北京高一检测)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加上2所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差【解析】选D.设A样本数据为x i,根据题意可知B样本数据为x i+2,则依据统计知识可知A,B两样本中的众数、平均数和中位数都相差2,只有方差相同,即标准差相同.【补偿训练】1.如图所示,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为s A和s B,则( )A.>,s A>s BB.<,s A>s BC.>,s A<s BD.<,s A<s B【解析】选B.A中的数据都不大于B中的数据,所以<,但A中的数据比B中的数据波动幅度大,所以s A>s B.2.甲、乙两名同学在五次数学测试中的成绩统计用茎叶图表示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别用X甲,X乙表示,则下列结论正确的是( )A.X甲>X乙,甲比乙成绩稳定B.X甲>X乙,乙比甲成绩稳定C.X甲<X乙,甲比乙成绩稳定D.X甲<X乙,乙比甲成绩稳定【解析】选A.由茎叶图知,X甲=×(68+69+70+71+72)=70,X乙=×(63+68+69+69+71)=68,所以X甲>X乙,且甲比乙成绩稳定.8.(2016·太原高一检测)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【解析】选C.=(86+94+88+92+90)=90,=(88+93+93+88+93)=91,=[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8,=[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]=6.【补偿训练】如图1是某高三学生进入高中后的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是( )图1A.7B.8C.9D.10【解题指南】关键是弄清程序框图的含义,分析程序框图中各变量、各语句的作用.【解析】选D.根据程序框图所示的顺序,可知该程序的作用是累计14次考试中成绩超过90分的次数.根据茎叶图可得超过90分的次数为10,故选D.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)9.(2016·聊城高一检测)某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示,若130～140分数段的人数为90人,则90～100分数段的人数为________.【解析】由频率分布图知,设90～100分数段的人数为x,则=,所以x=720.答案:72010.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为________.【解析】甲班学生成绩的众数为85,结合茎叶图可知x=5;又因为乙班学生成绩的中位数是83,所以y=3,即x+y=5+3=8.答案:811.某企业五月中旬生产A,B,C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类别 A B C产品数量(件) 1 300样本容量130样本容量比C产品的样本容量多10,请你根据以上信息补全表格中的数据:________,________,________,________.(从左到右、从上到下依次填入)【解析】由产品B的数据可知该分层抽样的抽样比k==,设产品C的样本容量为x,则产品A的样本容量为(x+10),那么x+10+130+x=3000×,解之得x=80,所以产品A的样本容量为90,产品A的数量为90÷=900,产品C的数量为80÷=800.答案:900 800 90 80【误区警示】解答本题易出现如下两种错误一是对各层的量要区别清楚,特别是抽样比;二是对运算律理解不够,致使运算错误.12.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据:x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是________.【解析】因为==4.5,==3.5,所以=-=3.5-0.7×4.5=0.35.所以回归直线方程为=0.7x+0.35.答案:=0.7x+0.35三、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,求这组数据的平均数与方差.【解析】由于数据-1,0,4,x,7,14的中位数为5,所以=5,x=6.设这组数据的平均数为,方差为s2,由题意得=×(-1+0+4+6+7+14)=5,s2=×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=.14.(10分)(2016·大庆高一检测)为了了解小学生的体能情况,抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将取得数据整理后,画出频率分布直方图(如图).已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率.(2)参加这次测试的学生有多少人.(3)若次数在75次以上(含75次)为达标,试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少.【解析】(1)由累积频率为1知,第四小组的频率为1-0.1-0.3-0.4=0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人,则0.1x=5,所以x=50.即参加这次测试的学生有50人.(3)达标率为0.3+0.4+0.2=90%,所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.【补偿训练】如图是一个样本的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.(1)求样本容量.(2)若[12,15)一组的小长方形面积为0.06,求[12,15)一组的频数.(3)求样本在[18,33)内的频率.【解析】(1)由图可知[15,18)一组对应的纵轴数值为,且组距为3,所以[15,18)一组对应的频率为×3=.又已知[15,18)一组的频数为8,所以样本容量n==50.(2)[12,15)一组的小长方形面积为0.06,即[12,15)一组的频率为0.06,且样本容量为50,所以[12,15)一组的频数为50×0.06=3.(3)由(1)、(2)知[12,15)一组的频数为3,[15,18)一组的频数为8,样本容量为50,所以[18,33)内频数为50-3-8=39,所以[18,33)内的频率为=0.78.15.(10分)(2016·乌鲁木齐高一检测)某高中在校学生2000人,高一年级与高二年级人数相同并且都比高三年级多1人.为了响应市教育局“阳光体育”号召,该校开展了跑步和跳绳两项比赛,要求每人都参加而且只参加其中一项,各年级参与项目人数情况如下表:年级高一年级高二年级高三年级项目跑步 a b c跳绳x y z其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与跳绳的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意度,采用分层抽样从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二年级中参与跑步的同学应抽取多少人?【解析】全校参与跳绳的人数占总人数的,则跳绳的人数为×2000=800,所以跑步的人数为×2000=1200.又a∶b∶c=2∶3∶5,所以a=×1200=240,b=×1200=360,c=×1200=600.抽取样本为200人,即抽样比例为=,则在抽取的样本中,应抽取的跑步的人数为×1200=120,则跑步的抽取率为=,所以高二年级中参与跑步的同学应抽取360×=36(人).【补偿训练】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成绩.数学88 83 117 92 108 100 112物理94 91 108 96 104 101 106(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?【解析】(1)=100+=100,=100+=100,所以=142,所以=,从而>,所以物理成绩更稳定.(2)由于x与y之间具有线性相关关系,所以=0.5,=100-0.5×100=50.所以回归方程为y=0.5x+50.当y=115时,x=130.估计他的数学成绩大约是130分.16.(10分)某个体服装店经营某种服装,在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表:x 3 4 5 6 7 8 9y 66 69 73 81 89 90 91已知:=280,x i y i=3487.(1)求,.(2)画出散点图.(3)观察散点图,若y与x线性相关,请求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程.【解析】(1)==6,==≈79.86.(2)散点图如图所示.(3)观察散点图知,y与x线性相关.设回归直线方程为=x+.因为=280,x i y i=3487,=6,=,所以===4.75.=-6×4.75≈51.36.所以回归直线方程为=4.75x+51.36.【补偿训练】已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为了估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼各1000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,并将记录获取的数据制作成如图的茎叶图.(1)根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量.(2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重鱼的质量介于[0,4.5](单位:千克)之间,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.①估计池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数;②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数也比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.【解析】(1)根据茎叶图可知,鲤鱼与鲫鱼的平均数目分别为80,20.由题意知,池塘中鱼的总数目为1000÷=20000(条),则估计鲤鱼数目为20000×=16000(条),鲫鱼数目为20000-16000=4000(条).(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的质量在3千克以上(含3千克)的条数约为20000×(0.12+0.08+0.04)×0.5=2400(条).②设第二组鱼的条数为x,则第三、四组鱼的条数分别为x+7,x+14,则有x+x+7+x+14=100×(1-0.55),解得x=8,故第二、三、四组的频率分别为0.08,0.15,0.22,它们在频率分布直方图中的小矩形的高度分别为0.16,0.30,0.44,据此可将频率分布直方图补充完整(如图).③众数为2.25千克,平均数为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02(千克),所以鱼的总质量为2.02×20000=40400(千克).。