沪教版数学高一下册-4.4 对数的概念及运算 练习
4.4对数概念及其运算
（1）对数的概念
引入
1、2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平 均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是 2002时的2倍？
2、解以下方程
10x=100
10x=400
已知底数和幂的值，求指数问题。 ab=N
一、对数的概念
如果 ab=N (a>0,a≠1)， 那么 数b就叫作以a为底N的对数
(2) lg100 (4) lg 10 lg 0.1
2
(6)2 log18 3 log18 2
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) (2)loga(M÷N)=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
解1.08x=2
1、21000是几位数
思考题
log 2 2 2
2、计算
2
log 2 5 4
2
log4 ( 3 2) 2
3
log9 ( 3 2) 2
log
( 2 1) 2 1
lg 0.06 (lg 6) 2 2 lg 6 1 log62 2 log6 3 log6 12
a 24 12 ，试用a表示 1 log24 2 3、已知
练习
Page 书本P10
1、判断下列式是否正确
(1) log 3 81 4; (2) log 2 [( 2) ( 4)] log 2 ( 2) log 2 ( 4); log 3 27 27 (3) log 3 log 3 3 1; log 3 9 9 (4)(log a x) 2 2 log a x ( a 0, a 1); log a x (5) log a n x ( a 0, a 1, n 2, n N ) n
沪教版高中数学高一下册第四章4.4对数的概念及其运算课件
四、换底公式
loga
N
logm N logm a
(a 0, a 1, m 0, m 1, N 0),
两个重要结论：
（1） log a b log b a 1；
（2） log am
bn
n m
log
a
b.
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（3）
log64
x
2 3
，求
x
log49
1 7
x
，求
x
。
log x
1 27
3 4
，求
x
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例题讲解
例 4、求下列各式中的 x 值：
（1）
lo g 3x3源自4；（2） log2
x
5 3
；
（3） log2 log3 log4 x 0 ；
二、对数的概念
定义：一般地，如果 aa 0, a 1的 b 次幂等于 N,
就是 ab N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数。 记作 log a N b
a 叫做对数的底数，N 叫做真数
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2
（3）lg0.01=-2；
（2） log 2 128=7；
（4）ln10=2.303。
例题讲解
例 3、求值：（1） log 1 x 3 ，求 x
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
对数的概念及练习(带解析)
4．3对数4．3.1对数的概念1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．1．log b N＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是() A．a b＝N B．b a＝N C．a N＝b D．b N＝aB解析：因为log b N＝a，所以b a＝N.2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B解析：∵a2＝M，∴log a M＝2.3．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3C．9 D．27D 解析：∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27. 4．ln 1＝________，lg 10＝________．0 1 解析：∵log a 1＝0，∴ln 1＝0.又log a a ＝1，∴lg 10＝1. 5．已知log x 16＝2，则x ＝________．4 解析：因为log x 16＝2，所以x 2＝16，所以x ＝±4.又x >0，且x ≠1，所以x ＝4.【例1】(1)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是________． (2)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.(1)(2，3)∪(3，＋∞) (2)10 解析：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．(2)因为4a ＝2，所以a ＝12.又lg x ＝a ，所以x ＝10a ＝10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式．(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6；(4)43＝64； (5)3－2＝19；(6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解：(1)24＝16.(2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27. (3)(3)6＝x . (4)log 464＝3. (5)log 319＝－2.(6)log 1416＝－2.【例2】求下列各式中的x 的值． (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719；(4)x ＝log 1216.解：(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝⎛⎭⎫1223＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.(4)由x ＝log 1216，可得⎝⎛⎭⎫12x＝16， ∴2－x ＝24，∴x ＝－4.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略(1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值． (2)若已知的式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值．1．已知log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016，则nm 等于( )A ．2 B.12 C ．10 D.110B 解析：因为log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016， 所以m ＝22.016，n ＝21.016，所以n m ＝21.01622.016＝12.2．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n ＝________． 43解析：因为log a 2＝m ，log a 3＝n ， 所以a m ＝2，a n ＝3， 所以a 2m －n ＝a 2m a n ＝223＝43.探究题1 求下列各式中x 的值． (1)log 5(log 3x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)ln[log 2(lg x )]＝0.解：(1)设t ＝log 3x ，则log 5t ＝0，∴t ＝1， 即log 3x ＝1，∴x ＝3.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵ln[log 2(lg x )]＝0，∴log 2(lg x )＝1， ∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.探究题2 若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． 解：∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3.∴x ＝43＝64. 同理求得y ＝16.∴x ＋y ＝80.1．利用对数的性质求解的两类问题(1)求多重对数式的值应由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内，逐步脱去“log ”后再求解． 2．性质a log a N ＝N 与log a a b ＝b 的作用(1)a log a N ＝N 能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式． (2)log a a b ＝b 能把以a 为底的指数转化为一个实数．1．计算下列各式的值． (1)2512log 54＝________．(2)31＋log32＝________．(1)4 (2)6 解析：(1)2512log 54＝(52)12log 54＝5 log 54＝4.(2)31＋log32＝3×3 log 32＝3×2＝6.2．求下列各式中的x . (1)ln 2x －ln x ＝0； (2)log 7[log 3(log 2x )]＝0.解：(1)因为ln 2x －ln x ＝0，所以ln x (ln x －1)＝0， 所以ln x ＝1或ln x ＝0， 所以x ＝e 或x ＝1.(2)由题意，log 3(log 2x )＝1，故log 2x ＝3， 所以x ＝23＝8.对数的概念练习 (30分钟 60分)1.(5分)在log3(m －1)中，实数m 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)D解析：由m－1>0得m>1，故选D.2．(5分)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5C解析：C不正确，由log39＝2可得32＝9.3．(5分)log(2＋1)(3－22)等于()A．－2 B．－4C．2 D．4A解析：3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.设log(2＋1)(3－22)＝t，则(2＋1)t＝3－22＝(2＋1)－2，∴t＝－2.4．(5分)若3x＝2，则x等于()A．log23B．log32C．32 D．23B解析：3x＝2⇔x＝log32.5．(5分)方程2log3x＝14的解是()A．x＝19 B．x＝33C．x＝3 D．x＝9A解析：∵2 log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝19.6．(5分)下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④C解析：①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x ＝e，则x＝ee.7.(5分)设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝________．107解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝3a3b＝107.8.(5分)已知f(log2x)＝x，则f12＝________．2解析：令log2x＝12，则x＝212＝2，即f12＝f(log22)＝2.9.(5分)已知x＝log23，则23x－2－3x2x－2－x＝________．919解析：由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝12x＝13，23x＝(2x)3＝33＝27，2－3x＝123x＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.10.(5分)求值．(1)912log34；(2)51＋log52.解：(1)912log34＝(32) 12log34＝3 log34＝4.(2)51＋log52＝5×5 log52＝5×2＝10.11.(10分)若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．解：∵log12x＝m，∴12m＝x，x2＝122m.∵log14y＝m＋2，∴14m＋2＝y，即y＝122m＋4，∴x2y＝122m122m＋4＝122m－（2m＋4）＝12－4＝16.。
沪教版数学高一下册-4.4 对数的概念及运算(第三课时)—换底公式 教案
第4章 幂函数、指数函数和对数函数对数的概念及运算（第三课时）—换底公式学习目标1、掌握换底公式及其应用；2、初步形成归纳、猜想的能力.学习过程引入：如何求解206.1=x 中的x ?分析：206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ； ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bN N a a b log log log =（0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 证明：换底公式：bN N a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 推论：b b a a a a a b log 1log log log ==； b b a a log log αββα=例题分析例1：计算下列各式的值：① 32log 3log 94⋅； ② 6log 18log )3(log 2626+； ③ 3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+；例2：已知a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示56log 42.例3：已知k =27log 12，试用k 表示16log 6.问题拓展例4：已知正数x 、y 、z 满足：z y x 643==，求证：y x z 2111=-巩固练习:归纳小结反思:今天学习了对数函数的换底公式,及其利用相关概念,进行运算,化简.是对数函数基本的性质.在作业中发现,不少学生不熟悉常用对数和自然对数,公式运用不大自如.特别是例三这个题型学生不会做,换底公式不大懂.。
沪教版数学高一下册-4.4.对数的概念及其运算-对数的概念 教案设计
4.4对数概念及其运算（一）学情分析：对数这一节主要介绍对数的概念，对数式与指数式的互化，对数的运算法则和换底公式。
对数概念的理解是本节教学的重点和难点，所以引入中采用了两种途径，一是由已知幂值求指数引出，体现出对数的产生是数学本身发展的需求；二是由课本例题（实际问题）引出，体现了对数的产生也是生产实际的需求。
针对我校学生的实际情况，课堂上采用了“读读、议议、讲讲、练练”的教学方法，使学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对定义的理解，为下一节学习对数运算法则打好基础。
教学目标：1、 理解对数的概念。
通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣；2、 理解指数式和对数式之间的关系，能熟练进行对数式和指数式的互化；3、 通过学生的交流，加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质；教学重点：对数的定义教学难点：对数概念以及对数符合的理解教学过程：一、 问题引入:若82=x ，则x= ;若72=x ，则x= ;已知底数和幂的值，求指数问题，依靠现有运算不能完全解决，因此要引入一种新的运算——对数。
今天我们就学习对数问题。
二、新课讲授：阅读课本114页至115页例题上面。
思考讲了几个概念，有什么疑问。
共同完成老师设计的学习笔记。
1、 对数的定义一般地，当10≠>a a 且时，若N a b =，则b 叫做以a 为底N 的对数， 记作：b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
练习1、根据对数的定义写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确。
问题1、如何理解“log ”和“N a log ”？符号“log ”与“+、”等符号一样表示一种运算。
“N a log ”是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N 三者的乘积； 读作以a 为底N 的对数。
注意a 的书写位置。
问题3、是否所有的实数都有对数？在对数式b N a =log 中，真数N 可以取哪些数？为什么？（结合指数式 ） ∵在指数式中，幂0>=b a N ∴在对数式中，真数N>0 负数与零没有对数问题4、根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，求1log a 和a a log (a>0且a ≠1)的值。
对数与对数运算知识点及例题解析
对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n ＝n mlog a M . ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形：log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化：（1）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例2、求下列各式中x 的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x =100=102，于是x=2； (4)由例3、若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数例5、求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b（2）原式=lg26=6lg2=6a（3）原式=lg2+lg3=a+b（4）原式=lg22+lg3=2a+b（5）原式=1-lg2=1-a（6）原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.例10、已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x，；方法二：.例12、求值：(1)；(2)；(3).解：(1)（2）；（3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，。
沪教版(上海)高中数学高一下册第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)复习课件
2.指数函数、对数函数
(1)要熟记这二个函数在不同条件下的图象，并能熟练地
由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成
轴对称图形。由图可“读”出指数函数和对数函数的主
要性质：
指数函数
对数函数
(1)定义域：R
(1)定义域：R＋
(2)值域：R＋
(2)值域：R
1
3 2
1
3
1
3
1
3 2
2b ＋2a b ＋a
1
3
1
a a－8b 13
3
3
3
＝
×a ×a b ＝a b.
a－8b
1
×
a
1
3
1
3
a －2b
1
3
1
3
×a b
1
3
32
(2)计算：2log32－log3 9 ＋log38－25log53.
32
解 原式＝log34－log3 ＋log38－52log53
C.log23＜log32＜log25
D.log23＜log25＜log32
解析 由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.
1
(2)已知 0＜a＜1，x＝loga 2＋loga 3，y＝ loga5，z＝loga 21
2
－loga 3，则( C )
A.x＞y＞z
B.z＞y＞x
C.y＞x＞z
D.z＞x＞y
解析 依题意，得 x＝loga 6，y＝loga 5，z＝loga 7.
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对数及对数函数学习目标：（一）对数1．对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：N a x=)1,0(≠>a a x a N 其中：是底数，是真数，是对数式N x a log =a N N a log 2、两个重要对数：常用对数：以10为底的对数；○1N lg 自然对数：以无理数为底的对数的对数．○2 71828.2=e N ln 3、对数式与指数式的互化xN a =log ⇔Na x =对数式指数式 对数底数← → 幂底数⇔a对数← → 指数真数←→ 幂x N 4、对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：；01log =a （3）底数的对数是1：； （4）对数恒等式：；1log =a a N aNa =log （5）．n a n a =log5、对数的运算法则：()()log log log a a a MN M NM N R =+∈+，()log log log aa a MNM N M N R =-∈+， ()()log log a n a N n NN R =∈+()log log a naN nN N R =∈+16、对数换底公式：log log log log (.)log b a a n e g N N bL N N e N L N N ====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810由换底公式推出一些常用的结论：（1） （2）log log log log a b a b b a b a ==11或·log log a m a nb mnb =（3） （4）log log a na nb b =loga m na mn=（二）对数函数（一）对数函数的概念1．定义：函数，且叫做对数函数其中是自变量，函数的定0(log >=a x y a )1≠a x 义域是（0，+∞）．（二）对数函数的图象和性质在同一坐标系中画出下列对数函数的图象○1（1） （2） x y 2log =xy 21log =（3） （4） x y 3log =xy 31log =○2一、选择题：1．3log 9log 28的值是（ ）A ．32 B ．1C ．23 D ．22．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（）A.23 B.45 C.0D.213．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+124.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1]D ．(－∞，1)5.已知f (e x )=x ，则f (5)等于（）A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e6．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或7．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ．8．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为．9．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值？10．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；11．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．。
高中沪教版高一年级第二学期领航者第四章4.4对数概念及其运算(1)
沪教版高一年级第二学期领航者第四章4.4对数概念及其运算（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．将下列指数式改为对数式：（1）2139-=改为对数式是__________； （2）128=__________； （3）2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭改为对数式是__________； （4）1327x -=改为对数式是__________.2．将下列对数式改为指数式：（1）3log 92=改为指数式是__________；（2）43log 4=改为指数式是__________； （3）lg0.0013=-改为指数式是__________；（4）ln 4x =-改为指数式是__________.3．当x 为何值时下列各式有意义?（1）3log (32)x -，则x ∈__________；（2）2log 3x ，则x ∈__________； （3）2log (1)x x -，则x ∈__________；（4）()2x x +，则x ∈__________.4．如果,x y R ∈，且2|4|(21)0x y y -+-=，则2log y x =__________.5．已知log 2log 1a b x x ==，，则log a =__________.二、单选题 6．若(1)log (1)1x x ++=，则x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x >-且0x ≠C ．x ∈RD ．0x ≠且1x ≠-7．下列命题中：①23log 1log 1=；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④log 1a=±.其中真命题的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．a2log (21)a a +的值是（） A ．-1B ．-2C ．0D ．12三、解答题9．计算：（1）11)；（2）()32log log 8；（3）若()22log 4x =，求x ；（4）若23log (1)3x -=，求x . 10．已知()221log 2311x x x --+=，求x 的值.11．一片森林中现有木材330000m ，如果木材每年增长5%，那么3年后这片森林中有木材多少3m ?12．已知3ln 2m e n ==，，求23m n e +的值.参考答案1．31log 29=-81log 2= 12log 42=- 271log 3x =- 【分析】利用指数式与对数式的等价关系，即log (01)x a a N x N a a =⇔=>≠且.【详解】（1）利用互化公式得：231132log 99-=⇔-=； （2）利用互化公式得：12818log 2=⇔= （3）利用互化公式得：212142log 42-⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭； （4）利用互化公式得：1327127log 3x x -=⇔-=. 【点睛】本题主要考查指数式与对数式互化公式的理解，考查基本运算求解能力.2．239=344= 3100.001-= 4e x -= 【分析】利用指数式与对数式的等价关系，即log (01)x a a N x N a a =⇔=>≠且. 【详解】（1）利用互化公式得：23log 9239=⇔=；（2）利用互化公式得：3443log 44=⇔=（3）利用互化公式得：3lg 0.0013100.001-=-⇔=；（4）利用互化公式得：4ln 4e x x -=-⇔=.【点睛】本题主要考查指数式与对数式互化公式的理解，考查基本运算求解能力.3．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(0,2)(2,)⋃+∞ (,1)(1,0)(0,1)-∞-- (1,2)(2,)⋃+∞【分析】对数式要有意义，则其底数需大于0且不等于1，真数需大于0.【详解】（1）因为22320(,)33x x x ->⇒>⇒∈+∞； （2）因为0102(0,2)(2,)22x x x x x >≠⇒>≠⇒∈⋃+∞且且； （3）因为2210,(,1)(1,0)(0,1)01,x x x x ->⎧⇒∈-∞-⋃-⋃⎨>≠⎩且； （4）因为20,(1,2)(2,)01,x x x ⎧+>⎪⇒∈⋃+∞>≠. 【点睛】本题考查对对数式的理解、考查简单不等式的解法.4．-2【分析】由一个数的绝对值与一个数的平方相加为0，可知两个数均为0，分别求出,x y 的值，再代入对数式求值.【详解】因为2|4|(21)0x y y -+-=，所以2,40,11210,4,2x x y y y x y =⎧-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎪⎩， 所以22221log log log 224y x -===-. 故填：2-.【点睛】本题考查一个数绝对值和一个数的平方之和为零，当且仅当两个数均为0这一初中知识，考查对数式的简单计算.5．3【分析】先把对数式转化成指数式，进而得到,a b 的关系，再代入对数式中求值.【详解】因为22log 2,log 1,,a b x x a a b x x b =⎧⎧=⇒⇒=⎨⎨==⎩⎩，，所以3log log log 3aa a a ===. 故填：3.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的化简求值，注意分数指数幂与根式的互化应用.6．B【分析】由对数式的底数需大于0且不等于1，真数需大于0，从而得到关于x 的不等式组.【详解】由(1)10,log (1)11011,x x x x x x ++>⎧+=⇒⇒>-≠⎨+≠⎩且. 故选B.【点睛】本题考查使对数有意义时，底数需大于0且不等于1，真数需大于0的知识点. 7．B【分析】对①，利用真数为1的对数值为0；对②，利用对数式的真数大于0；对③，如果底数为0的指数式是不能化为对数式的；对④，由对数式挖掘隐含条件01a a >≠且，从而求得对数值恒为1.【详解】对①，2323log 10,log 10log 1log 1==⇒=，故①正确；对②，对数式log a N 中的真数N 恒大于0，所以一个数如果不是正数，它就没有对数，故 ②正确；对③，因为200=，但它不能化成对数式，故③错误；对④，由对数式知01a a >≠且，所以1||log log log aa a a a ===，故④错误.故选B.【点睛】本题考查对数式有意义时，其底数和真数需满足的条件，考查对数式概念的理解和基本运算求解能力.8．A【分析】34+，得到34+的范围，进而得到a 的取值，再代入对数式求值.【详解】=，而23<<，则12<<，所以1a ==所以12log (21)1)1a a -+==+=-=. 故选A.【点睛】 本题考查用逼近法估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，考查对数式的运算求值.9．（1）-1（2）1（3）4或14（4）1±【分析】对（1）11互为倒数；对（2），先求2log 83=，再代入求对数值；对（3），先开平方得到2log 2x =±，再分两种情况求值；对（4），把对数式转化成指数式，再求解关于x 的方程.【详解】（1）1111l lo 1)-==-；（2）()()233233log log 8log log lo 12g 3===； （3）因为()2222log 4log 2log 2x x x =⇒==-或，所以2222x x -==或4x ⇒=或14x =. （4）因为23log (1)3x -=，所以323(1)x =-，所以(1)1x x =-=±=±.【点睛】本题考查对数的运算法则、指数式与对数式的互化、解指对数方程，考查对对数概念的理解和基本运算求解能力.10．2x =【分析】利用底数的对数值数1，求出x 的值，再进行验证.【详解】由()221log 2311x x x --+=2221231320x x x x x ⇒⇒-=-+-+=，解得：1x =（舍去）或2x =.【点睛】本题考查底数的对数值为1、对数式有意义等知识，考查基本运算求解能力.11．34728.75【分析】如果现有的木材量为a ，每年增长5%，则经过x 年后的木材量为(15%)x a ⋅+，将30000,3a x ==代入式子计算即可得答案.【详解】设现有的木材量为a 3m ，每年增长5%，则经过x 年后的木材量为(15%)xa ⋅+， 因为木材每年增长5%，所以3年后木材有333000034728.75(15%)m ⨯+=.【点睛】本题考查利用函数知识解决应用题，把数学知识运用到实际生活中去，体现建模思想的运用. 12．72【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.【详解】因为ln 22n n e =⇔=， 所以232233()()9872m n m n m n e e e e e +=⋅=⋅=⋅=.【点睛】本题考查对数式与指数式的互化，考查指数幂的运算法则，考查基本运算求解能力.。
高中沪教版高一年级第二学期领航者第四章4.4对数概念及其运算(3)
沪教版高一年级第二学期领航者第四章4.4对数概念及其运算（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．17log 349=________2．已知23log 3log 7m n ==，，试用m n 、表示42log 56=________. 3．已知1212log 7log 3m n ==，，试用m n 、表示28log 63=________.4．()2492log 3log 9log 3log n n +++⋅=________.5．设log a m 和log b m 是方程2430x x -+=的两根，则log a bm =________.二、单选题6．已知lg a 与lg b 互为相反数，则有（ ） A ．0a b +=B ．1ab =C ．1a b= D ．不同于A 、B 、C7．已知lg 2103b a ==，，则125log 可表示为（ ） A ．12aa b++B ．12aa b++C ．12aa b-+D ．12aa b-+8．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（ ）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =三、解答题9．ABC 的三边长分别是a b c 、、，且满足()22882log log 322abcc c b a c =⋅+-=，，试判断ABC 的形状，并写出推理过程.10．已知函数2()(lg 2)lg f x x m x n =+++满足()12f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x x ≥，求实数m n ，的值. 11．（1）已知x y 、、z 均为正数，2510x y z == ，求证：111x y z+=； （2）若正数a b c 、、满足346a b c ==.试猜想a b c 、、之间的一个等量关系（不必证明）.12．（1）用计算器分别计算下列各式的值（保留到0.001）：33log 0.7log 4lg3lg 2lg15lg62;3;6;15;4;0.7.（2）根据上述结果，猜想一个正确的结论并证明之.参考答案1．19【解析】 【分析】根据对数恒等式log a N a N =化简求值, 【详解】211117777log 32og 32log 3log (3)2111497()()(3)779l ---=====. 【点睛】本题主要考查了对数恒等式，对数的运算性质，属于中档题. 2．31mn mn m +++【分析】利用换底公式，可得23lg 3lg 7log 3log 7lg 2lg 3m n ====，，两式相乘可得2log 7mn =，将所求换底为2计算即可. 【详解】因为23log 3log 7m n ==，， 所以23lg 3lg 7log 3log 7lg 2lg 3m n ====，， 两式相乘可得，2lg 7log 7lg 2mn ==， 2224222222log 56log 7log 833log 56log 42log 6log 71+log 3log 71mn mn m mn+++====++++.【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，属于中档题. 3．21m nm n +-+【分析】根据已知，利用换底公式，都表示为以12为底数的对数，根据对数运算法则计算即可.【详解】1212121212281212121212log 63log 7log 9log 72log 32log 637log 28log 7log 3log 121log 123m nm n +++====-+-+⨯ 【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的运算法则，属于中档题. 4．32【分析】根据对数的运算法则化简求值. 【详解】因为22log 3log 3n n=， 所以()24922292log 3log 9log 3log 8(log 3log 3log 3)log 8n n n n +++⋅=+++⋅2log 3n =9log ⋅29log 3log 8=⋅2333log 3log 222=⋅=. 【点睛】本题主要考查了对数的运算法则，换底公式，属于中档题. 5．32±【分析】解一元二次方程，可求出log a m 和log b m ，利用换底公式化简即可求解. 【详解】因为log a m 和log b m 是方程2430x x -+=的两根，所以log 1,log 3log =3log 1a b a b m m m m ===或，， 所以log log 1113log =11log log log log 2log log og a b a m m b a bma b m m m aa bm m bm l m⋅====±---.【点睛】本题主要考查了换底公式，一元二次方程的根，属于中档题.6．B 【分析】lg a 与lg b 互为相反数可知其和为0，利用对数加法运算法则及对数性质即可求解.【详解】因为lg a 与lg b 互为相反数， 所以lg lg lg 0a b ab +==， 即1ab =.故选B. 【点睛】本题主要考查了对数加法的运算法则，对数的性质，属于容易题. 7．C 【分析】由103b=可得lg3b =，利用换底公式可得12lg 55lg12log =，代入即可求解. 【详解】 因为103b=， 所以lg3b =. 所以12lg 51lg 215lg12lg 32lg 22alog a b--===++，故选C. 【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的运算法则，属于中档题. 8．C 【分析】根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 【详解】 因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C. 【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题. 9．三角形ABC 为Rt ，推理见解析 【分析】根据指数及对数的运算化简，可得,,a b c 之间的关系，利用勾股定理可得三角形形状. 【详解】由()22882log log 322abcc c b a c =⋅+-=，可得： 3332222a b c b c +=⋅=，()2log 322c b a c ⋅-=33a b c =+，2324ab bc c -=，解得b c =-（舍），43b c =， 所以53a c =，得222a b c =+， 即三角形ABC 为Rt ∆. 【点睛】本题主要考查了指数，对数的运算，利用勾股定理确定三角形形状，属于中档题. 10．100m =，10n = 【分析】根据()12f -=-，可得10m n =，二次不等式()2f x x ≥对x ∈R 恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】由()12f -=-，可得lg1n m =-，即10mn=，10m n =. 因为()2f x x ≥对任意x ∈R 都成立， 所以()2lg lg 20f x x x m n x ++=≥-恒成立所以222=lg 4lg (1lg )4lg (1lg )0m n n n n ∆-=+-=-≤ 可得lg 1n =，所以10,100n m ==. 【点睛】本题主要考查了指数、对数的运算，二次不等式恒成立，属于中档题. 11．（1）证明见解析； （2）1112a b c+= 【分析】（1）2510x y z ==，取常用对数即可运算求值（2）根据（1）的特点可猜想 ；当2510⨯=时，有111x y z+=，故326⨯=时，也有此结论,故当2326a b c ==时，猜测1112a b c+=. 【详解】（1）由2510x y z ==，得lg 2lg5lg10xyz== ∴lg 2lg5x y z ==，∴lg 2lg 5zx z y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴1z z x y +=，即111x y z+=. （2）猜想：1112a b c+=. 【点睛】本题主要考查了对数的运算，归纳猜想的能力，属于中档题. 12．（1）见详解（2）log log c c b a a b =，证明见详解. 【分析】（1）利用计算器计算即可（2）由（1）猜想log log c c b a a b =，两边取以c 为底的对数即可证明. 【详解】（1）由计算器可得：1.392,1.392,8.226, 8.226,0.638,0.638. （2）由（1）猜想log log c c b a a b =， 证明如下：两边取以(0,1)c c c <≠的对数，可得：log log log log c c b a c c a b =所以log log log log c c c c b a a b = 等式显然成立. 【点睛】本题主要考查了科学计算器的使用，归纳猜想能力，对数的运算，属于难题.。
沪教版高一下册 对数函数的性质和图像同步练习题
对数函数的图像与性质知识点1：对数式的化简与求值 例1.计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg8+lg245.变式：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).知识点2：对数函数的性质例2.对于01a <<，给出下列四个不等式：①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a +>+；③111;aaaa++< ④111;aaaa++> 其中成立的是（ ）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④ 变式：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log,log ,1的大小关系是 （ ） A.log a bb bba1loglog 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.bb b ab a 1log 1log log << D.b bb a a b log 1log 1log <<例3.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.变式：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.一、选择题1．函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．[1，4) C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23.设a>1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<5.设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ） (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2） 6．设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．ca b 222>> B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 8．下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()x x f x a a -=+ (D) 2()2xf x ln x-=+9.函数y =的定义域是：（ ）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10.已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．2111．若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）A. 42B. 22C. 41D. 2113.已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a14.已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ）（A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）2115.函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞) 上单调递减 二、填空题16.函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ____________________________.17.函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ．18.设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19.若函数f(x) =1222--+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.三、解答题20.若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，求a 等于多少？21.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.参考答案例1. 解：（1）-1.（2）1.（3）21.变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）2.（3）45例2. 解：选D 。
高中数学新沪教版精品学案《对数概念及其运算》
对数概念及其运算【学习目标】1．理解对数的概念。
2．了解对数与指数的关系。
3．能够进行指数式与对数式的互化。
【学习重难点】1．对数的定义。
2．指数式与对数式的互化。
【学习过程】一、自主学习（一）自主探究。
探究一：对数定义：一般地，如果a=N （a>0，且a ≠1），那么数叫做以a 为底N 的_______，记作b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做_________。
例如：1642=216log 4=；100102=2100log 10=；01.0102=-201.0log 10-=。
思考：1．对数的定义中，为什么规定“10≠>a a 且”？_____________________________________________。
2．负数有对数吗？_____________________________________________。
探究对数基本性质：1．是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ _____________________________________________。
2．底数的取值范围),1()1,0(+∞U ；真数的取值范围),0(+∞。
探究二：对数与指数的间的关系。
当a>0，a ≠1时，请同学们填写下表中空白处的名称：探究三：两个重要对数。
（1）常用对数：以10为底的对数N 10log ，简记为_______，如：_______。
（2）自然对数：以e 为底的对数N e log ，简记为_______，如：_______。
二、探究1．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： （1）54=625；（2）=-2；（3）n10=2．303；（4）g100=。
2．求下列各式中的值：（1）og8=6；（2）g100=；（3）-n e 2=。
三、练习1．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： （1）3log 92=；（2）。
沪教版高一下册数学课件：对数的概念及运算
沪教版高一下册数学课件：对数的概念及运算
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对数的概念及运算ppt（沪教版高一下若2002年我国国民生产总值为亿元，如果
那么经过多少年国民生产总值
是2002年时的2倍？
（1）对数的底数必须大于0且不等于1；
（2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数；
（3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、
可负、可为零；
（4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。
为了简便，
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