沪教版数学高一下册-4.4 对数的概念及运算 练习
4.4对数概念及其运算

(1)对数的概念
引入
1、2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平 均增长率为8%,那么经过多少年国民生产总值是 2002时的2倍?
2、解以下方程
10x=100
10x=400
已知底数和幂的值,求指数问题。 ab=N
一、对数的概念
如果 ab=N (a>0,a≠1), 那么 数b就叫作以a为底N的对数
(2) lg100 (4) lg 10 lg 0.1
2
(6)2 log18 3 log18 2
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) (2)loga(M÷N)=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM
解1.08x=2
1、21000是几位数
思考题
log 2 2 2
2、计算
2
log 2 5 4
2
log4 ( 3 2) 2
3
log9 ( 3 2) 2
log
( 2 1) 2 1
lg 0.06 (lg 6) 2 2 lg 6 1 log62 2 log6 3 log6 12
a 24 12 ,试用a表示 1 log24 2 3、已知
练习
Page 书本P10
1、判断下列式是否正确
(1) log 3 81 4; (2) log 2 [( 2) ( 4)] log 2 ( 2) log 2 ( 4); log 3 27 27 (3) log 3 log 3 3 1; log 3 9 9 (4)(log a x) 2 2 log a x ( a 0, a 1); log a x (5) log a n x ( a 0, a 1, n 2, n N ) n
沪教版高中数学高一下册第四章4.4对数的概念及其运算课件

四、换底公式
loga
N
logm N logm a
(a 0, a 1, m 0, m 1, N 0),
两个重要结论:
(1) log a b log b a 1;
(2) log am
bn
n m
log
a
b.
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(3)
log64
x
2 3
,求
x
log49
1 7
x
,求
x
。
log x
1 27
3 4
,求
x
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例题讲解
例 4、求下列各式中的 x 值:
(1)
lo g 3x3源自4;(2) log2
x
5 3
;
(3) log2 log3 log4 x 0 ;
二、对数的概念
定义:一般地,如果 aa 0, a 1的 b 次幂等于 N,
就是 ab N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数。 记作 log a N b
a 叫做对数的底数,N 叫做真数
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2
(3)lg0.01=-2;
(2) log 2 128=7;
(4)ln10=2.303。
例题讲解
例 3、求值:(1) log 1 x 3 ,求 x
对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题1、定义:对数是指用一个数b(b>0且不等于1)作为底数,将一个正数a表示成幂b的指数的形式,即a=b^x(x为实数),则x称为以b为底a的对数,记作logb a。
2、性质:①logb 1=0(b>0且不等于1)②logb b=1(b>0且不等于1)③logb (mn)=logb m+logb n(m>0,n>0,b>0且不等于1)④logb (m/n)=logb m-logb n(m>0,n>0,b>0且不等于1)⑤logb m^k=klogb m(m>0,b>0且不等于1,k为任意实数)3、对数的运算性质:①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b(b>0,且不等于1,c>0,且不等于1)4、换底公式:XXX b(b>0,且不等于1,c>0,且不等于1)5、对数的其他运算性质:①logb a=logb c,则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数:常用对数:以10为底数的对数,记作XXX。
自然对数:以自然常数e(e≈2.)为底数的对数,记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围:1)log2(x-5)≥0;(2)log(x-1)-log(x+2)0.改写为:1)x≥5;2)x>1且x<2;3)x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化:1)log2 16=4;(2)log1/27=-3;(3)log3 1/2= -1/log2 3;(4)53=125;(5)2^-1=1/2;(6)(1/3)^x=9.改写为:1)2^4=16;2)1/27=3^-3;3)3^-1/2=2/log2 3;4)5^3=125;5)2^-1=1/2;6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式:1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z;2)loga (xy)=loga x+loga y;3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z;4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案

1.对数的概念一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N =b ,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R );④log am M n =nm log a M (m ,n ∈R ,且m ≠0).(2)对数的性质①a log a N =__N __;②log a a N =__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a Nlog a b (a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x =1时,y =0当0<x <1时,y <0 (4)当x >1时,y >0 当0<x <1时,y >0 (6)在(0,+∞)上是增函数(7)在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线__y =x __对称. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .( × ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ).( × )(3)函数y =log 2x 及y =log 133x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) (5)函数y =ln 1+x 1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( √ )(6)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝⎛⎭⎫1a ,-1,函数图象只在第一、四象限.( √ )1.(2015·湖南改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号).①奇函数,且在(0,1)上是增函数; ②奇函数,且在(0,1)上是减函数; ③偶函数,且在(0,1)上是增函数; ④偶函数,且在(0,1)上是减函数. 答案 ①解析 易知函数定义域为(-1,1),f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,又f (x )=ln 1+x 1-x=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-2x -1,由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数.2.设a =log 1312,b =log 1323,c =log 343,则a ,b ,c 的大小关系是________.答案 c <b <a解析 ∵a =log 1312=log 32,b =log 1323=log 332,c =log 343.log 3x 是定义域上的增函数,2>32>43,∴c <b <a .3.函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是________.(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )=lg(|x |-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为R .又当x >1时,函数单调递增,所以只有②正确.4.(2015·浙江)若a =log 43,则2a +2-a =________. 答案4 33解析 2a+2-a =4log 32+4log 32-=3log log 322+=3+33=4 33. 5.(教材改编)若log a 34<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞) 解析 当0<a <1时,log a 34<log a a =1,∴0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =________.(2)lg 5+lg 20的值是________. 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. ∴m =10.(2)原式=lg 100=lg 10=1.思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64=________.(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m +n =________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式=1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+(1-log 63)(1+log 63)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.(2)∵log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3, ∴a 2m +n =(a m )2·a n =22×3=12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是________.(填序号)(2)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是____________.答案 (1)③ (2)(22,1) 解析 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除①、②; 又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除④.故③正确.(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0<a <1时,画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0,12上的图象, 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12, 即2<log a 12,则a >22,所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22,1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.(1)已知lg a +lg b =0,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=-log b x 的图象可能是________.(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是____________. 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a +lg b =0,∴ab =1,∵g (x )=-log b x 的定义域是(0,+∞),故排除①. 若a >1,则0<b <1,此时f (x )=a x 是增函数,g (x )=-log b x 是增函数,②符合,排除④.若0<a <1,则b >1,g (x )=-log b x 是减函数,排除③,故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略).由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c ,则-lg a =lg b =-12c +6,∴lg a +lg b =0,∴ab =1,∴abc =c .由图知10<c <12,∴abc ∈(10,12).题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则a ,b ,c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a =log 36=1+log 32,b =1+log 52,c =1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是__________. 答案 (12,1)解析 由题意得a >0,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1, 同时2a >1,所以a >12.综上,a ∈(12,1).命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. ∴3-2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0,∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a (3-a )=1,即⎩⎨⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.(1)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为__________. (3)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(-1,0)∪(1,+∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5,3>2,∴log 33<log 32<log 33,log 51<log 52<log 55,log 23>log 22, ∴12<a <1,0<b <12,c >1,∴c >a >b . (2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,log 12(-a )>log 2(-a ),解得a >1或-1<a <0.2.比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是__________. (2)设a =log 2π,b =log 12π,c =π-2,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5,=,=,=a b c 则a ,b ,c 大小关系为__________.思维点拨 (1)可根据幂函数y =x 0.5的单调性或比商法确定a ,b 的大小关系,然后利用中间值比较a ,c 大小.(2)a ,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式.解析 (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b <a <1;根据对数函数y =log 0.3x 的单调性,可得log 0.30.2>log 0.30.3=1,即c >1.所以b <a <c . (2)∵a =log 2π>log 22=1,b =log 12π=log 21π<log 21=0,0<c =1π2<1,∴b <c <a .(3)c =(15)3log 0.3=53log 0.3-=5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示.由图象知:log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33=1,且103<3.4,∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44=1,log 3103>1,∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y =5x 为增函数, ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6,故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.[方法与技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时,log a b >0; 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时,log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a <1和a >1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y =1交点的横坐标进行判定. [失误与防范]1.在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M α=αlog a |M |(α∈N *,且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)1.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x 12-=________.答案24解析 由条件知,log 3(log 2x )=1,∴log 2x =3, ∴x =8,∴x12-=24. 2.已知x =ln π,y =log 52,z =e 12-,则x ,y ,z 的大小关系为____________.答案 y <z <x解析 ∵x =ln π>ln e ,∴x >1. ∵y =log 52<log 55,∴0<y <12.∵z =e12-=1e >14=12,∴12<z <1.综上可得,y <z <x .3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +1, x ≤0,log 2x , x >0,则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是__________.答案 (-1,0]∪(2,+∞)解析 当x ≤0时,3x +1>1⇒x +1>0,∴-1<x ≤0;当x >0时,log 2x >1⇒x >2,综上所述:-1<x ≤0或x >2.4.设f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是__________. 答案 (-1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a =-1,∴f (x )=lg 1+x 1-x,定义域为(-1,1). 由f (x )<0,可得0<1+x 1-x<1,∴-1<x <0. 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x -2)=f (x +2),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +15,则f (log 220)=________.答案 -1解析 由f (x -2)=f (x +2),得f (x )=f (x +4),因为4<log 220<5,所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-f (log 245)=-(224log 5+15)=-1. 6.(2015·安徽)lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=________. 答案 -1解析 lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=lg 52+lg 22-2 =lg ⎝⎛⎭⎫52×4-2=1-2=-1.7.设函数f (x )满足f (x )=1+f (12)log 2x ,则f (2)=_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32.8.(2015·福建)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是_____________________________________.答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3+log a 2≥4,∴1<a ≤2. 9.已知函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,求a 的取值范围.解 函数y =log 12(x 2-ax +a )是由函数y =log 12t 和t =x 2-ax +a 复合而成.因为函数y =log 12t 在区间(0,+∞)上单调递减,而函数t =x 2-ax +a 在区间(-∞,a 2)上单调递减,又因为函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2,(2)2-2a +a ≥0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22,a ≤2(2+1),即22≤a ≤2(2+1).10.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2.(1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间[0,32]上的最大值.解 (1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,a ≠1),∴a =2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >0,3-x >0,得x ∈(-1,3), ∴函数f (x )的定义域为(-1,3).(2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数;当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.(2015·陕西改编)设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝⎛⎭⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则p 、q 、r 的大小关系是____________.答案 p =r <q解析 ∵0<a <b ,∴a +b 2>ab , 又∵f (x )=ln x 在(0,+∞)上为增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2>f (ab ),即q >p . 又r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b )=ln ab =p , 故p =r <q .12.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则f ⎝⎛⎭⎫13,f ⎝⎛⎭⎫12,f (2)的大小关系是______________.答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2-x )=f (x )知f (x )的图象关于直线x =2-x +x 2=1对称,又当x ≥1时,f (x )=ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大,∵|2-1|>|13-1|>|12-1|, ∴f (12)<f (13)<f (2). 13.若函数f (x )=lg(-x 2+8x -7)在区间(m ,m +1)上是增函数,则m 的取值范围是__________. 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤4,-m 2+8m -7≥0,解得1≤m ≤3, 所以答案应填[1,3].14.已知函数f (x )=ln x 1-x,若f (a )+f (b )=0,且0<a <b <1,则ab 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0,14 解析 由题意可知ln a 1-a +ln b 1-b =0, 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-a ×b 1-b =0,从而a 1-a ×b 1-b=1,化简得a +b =1,故ab =a (1-a )=-a 2+a =-⎝⎛⎭⎫a -122+14, 又0<a <b <1,∴0<a <12,故0<-⎝⎛⎭⎫a -122+14<14. 15.设x ∈[2,8]时,函数f (x )=12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0,且a ≠1)的最大值是1,最小值是-18,求a 的值.解 由题意知f (x )=12(log a x +1)(log a x +2) =12(log 2a x +3log a x +2)=12(log a x +32)2-18. 当f (x )取最小值-18时,log a x =-32. 又∵x ∈[2,8],∴a ∈(0,1).∵f (x )是关于log a x 的二次函数,∴函数f (x )的最大值必在x =2或x =8时取得.若12(log a 2+32)2-18=1,则a =2-13, 此时f (x )取得最小值时,x =1332(2)=--2∉[2,8],舍去.若12(log a 8+32)2-18=1,则a =12,此时f(x)取得最小值时,x=(12)32=22∈[2,8],符合题意,∴a=12.。
对数的概念及练习(带解析)

4.3对数4.3.1对数的概念1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念:(2)底数a的范围是a>0,且a≠1.2.常用对数与自然对数3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1=0(a>0,且a≠1).(3)log a a=1(a>0,且a≠1).1.log b N=a(b>0,b≠1,N>0)对应的指数式是() A.a b=N B.b a=N C.a N=b D.b N=aB解析:因为log b N=a,所以b a=N.2.若a2=M(a>0,且a≠1),则有()A.log2M=a B.log a M=2 C.log22=M D.log2a=M B解析:∵a2=M,∴log a M=2.3.若log3x=3,则x=()A.1 B.3C.9 D.27D 解析:∵log 3x =3,∴x =33=27. 4.ln 1=________,lg 10=________.0 1 解析:∵log a 1=0,∴ln 1=0.又log a a =1,∴lg 10=1. 5.已知log x 16=2,则x =________.4 解析:因为log x 16=2,所以x 2=16,所以x =±4.又x >0,且x ≠1,所以x =4.【例1】(1)对数式log (x -2)(x +2)中实数x 的取值范围是________. (2)已知4a =2,lg x =a ,则x =________.(1)(2,3)∪(3,+∞) (2)10 解析:(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x +2>0,x -2>0,x -2≠1,解得x >2,且x ≠3,所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).(2)因为4a =2,所以a =12.又lg x =a ,所以x =10a =10.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式.(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.将下列指数式与对数式互化: (1)log 216=4;(2)log 1327=-3;(3)log 3x =6;(4)43=64; (5)3-2=19;(6)⎝⎛⎭⎫14-2=16.解:(1)24=16.(2)⎝⎛⎭⎫13-3=27. (3)(3)6=x . (4)log 464=3. (5)log 319=-2.(6)log 1416=-2.【例2】求下列各式中的x 的值. (1)log x 27=32;(2)log 2x =-23;(3)x =log 2719;(4)x =log 1216.解:(1)由log x 27=32,可得x 32=27,∴x =2723=(33)23=32=9.(2)由log 2x =-23,可得x =2-23,∴x =⎝⎛⎭⎫1223=314=322.(3)由x =log 2719,可得27x =19,∴33x =3-2,∴x =-23.(4)由x =log 1216,可得⎝⎛⎭⎫12x=16, ∴2-x =24,∴x =-4.利用指数式与对数式的互化求变量值的策略(1)若已知的式子为指数式,则直接利用指数运算求值. (2)若已知的式子为对数式,则先把对数式化为指数式,再求值.1.已知log 2m =2.016,log 2n =1.016,则nm 等于( )A .2 B.12 C .10 D.110B 解析:因为log 2m =2.016,log 2n =1.016, 所以m =22.016,n =21.016,所以n m =21.01622.016=12.2.已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m -n =________. 43解析:因为log a 2=m ,log a 3=n , 所以a m =2,a n =3, 所以a 2m -n =a 2m a n =223=43.探究题1 求下列各式中x 的值. (1)log 5(log 3x )=0; (2)log 3(lg x )=1; (3)ln[log 2(lg x )]=0.解:(1)设t =log 3x ,则log 5t =0,∴t =1, 即log 3x =1,∴x =3.(2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =3,∴x =103=1 000. (3)∵ln[log 2(lg x )]=0,∴log 2(lg x )=1, ∴lg x =2,∴x =102=100.探究题2 若log 2[log 3(log 4x )]=log 3[log 4(log 2y )]=0,求x +y 的值. 解:∵log 2(log 3(log 4x ))=0,∴log 3(log 4x )=1,∴log 4x =3.∴x =43=64. 同理求得y =16.∴x +y =80.1.利用对数的性质求解的两类问题(1)求多重对数式的值应由内到外,如求log a (log b c )的值,先求log b c 的值,再求log a (log b c )的值.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内,逐步脱去“log ”后再求解. 2.性质a log a N =N 与log a a b =b 的作用(1)a log a N =N 能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式. (2)log a a b =b 能把以a 为底的指数转化为一个实数.1.计算下列各式的值. (1)2512log 54=________.(2)31+log32=________.(1)4 (2)6 解析:(1)2512log 54=(52)12log 54=5 log 54=4.(2)31+log32=3×3 log 32=3×2=6.2.求下列各式中的x . (1)ln 2x -ln x =0; (2)log 7[log 3(log 2x )]=0.解:(1)因为ln 2x -ln x =0,所以ln x (ln x -1)=0, 所以ln x =1或ln x =0, 所以x =e 或x =1.(2)由题意,log 3(log 2x )=1,故log 2x =3, 所以x =23=8.对数的概念练习 (30分钟 60分)1.(5分)在log3(m -1)中,实数m 的取值范围是( ) A .R B .(0,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)D解析:由m-1>0得m>1,故选D.2.(5分)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.100=1与lg 1=0B.27-13=13与log2713=-13C.log39=2与912=3D.log55=1与51=5C解析:C不正确,由log39=2可得32=9.3.(5分)log(2+1)(3-22)等于()A.-2 B.-4C.2 D.4A解析:3-22=2-22+1=(2)2-22+12=(2-1)2=12+12=(2+1)-2.设log(2+1)(3-22)=t,则(2+1)t=3-22=(2+1)-2,∴t=-2.4.(5分)若3x=2,则x等于()A.log23B.log32C.32 D.23B解析:3x=2⇔x=log32.5.(5分)方程2log3x=14的解是()A.x=19 B.x=33C.x=3 D.x=9A解析:∵2 log3x=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=19.6.(5分)下列四个等式:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=10,则x=10;④若ln x=e,则x=e2.其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④C解析:①lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③若lg x=10,则x=1010;④若ln x =e,则x=ee.7.(5分)设a=log310,b=log37,则3a-b=________.107解析:∵a=log310,b=log37,∴3a=10,3b=7,∴3a-b=3a3b=107.8.(5分)已知f(log2x)=x,则f12=________.2解析:令log2x=12,则x=212=2,即f12=f(log22)=2.9.(5分)已知x=log23,则23x-2-3x2x-2-x=________.919解析:由x=log23,得2x=3,∴2-x=12x=13,23x=(2x)3=33=27,2-3x=123x=127,∴23x-2-3x2x-2-x=27-1273-13=272-13×27-9=72872=919.10.(5分)求值.(1)912log34;(2)51+log52.解:(1)912log34=(32) 12log34=3 log34=4.(2)51+log52=5×5 log52=5×2=10.11.(10分)若log12x=m,log14y=m+2,求x2y的值.解:∵log12x=m,∴12m=x,x2=122m.∵log14y=m+2,∴14m+2=y,即y=122m+4,∴x2y=122m122m+4=122m-(2m+4)=12-4=16.。
沪教版数学高一下册-4.4 对数的概念及运算(第三课时)—换底公式 教案

第4章 幂函数、指数函数和对数函数对数的概念及运算(第三课时)—换底公式学习目标1、掌握换底公式及其应用;2、初步形成归纳、猜想的能力.学习过程引入:如何求解206.1=x 中的x ?分析:206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ;206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ; ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测:bN N a a b log log log =(0a >且1a ≠,0>b 且1≠b ,0>N ) 证明:换底公式:bN N a a b log log log = (0a >且1a ≠,0>b 且1≠b ,0>N ) 推论:b b a a a a a b log 1log log log ==; b b a a log log αββα=例题分析例1:计算下列各式的值:① 32log 3log 94⋅; ② 6log 18log )3(log 2626+; ③ 3log 13log 15.132+; ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+;例2:已知a =3log 2,b =7log 3,试用a 、b 表示56log 42.例3:已知k =27log 12,试用k 表示16log 6.问题拓展例4:已知正数x 、y 、z 满足:z y x 643==,求证:y x z 2111=-巩固练习:归纳小结反思:今天学习了对数函数的换底公式,及其利用相关概念,进行运算,化简.是对数函数基本的性质.在作业中发现,不少学生不熟悉常用对数和自然对数,公式运用不大自如.特别是例三这个题型学生不会做,换底公式不大懂.。
沪教版数学高一下册-4.4.对数的概念及其运算-对数的概念 教案设计

4.4对数概念及其运算(一)学情分析:对数这一节主要介绍对数的概念,对数式与指数式的互化,对数的运算法则和换底公式。
对数概念的理解是本节教学的重点和难点,所以引入中采用了两种途径,一是由已知幂值求指数引出,体现出对数的产生是数学本身发展的需求;二是由课本例题(实际问题)引出,体现了对数的产生也是生产实际的需求。
针对我校学生的实际情况,课堂上采用了“读读、议议、讲讲、练练”的教学方法,使学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对定义的理解,为下一节学习对数运算法则打好基础。
教学目标:1、 理解对数的概念。
通过具体实例引出对数的概念,使学生感受到数学源于实际生活,激发学生的学习兴趣;2、 理解指数式和对数式之间的关系,能熟练进行对数式和指数式的互化;3、 通过学生的交流,加深对数概念理解,增强学生数学交流能力,培养学生倾听、接受别人意见的优良品质;教学重点:对数的定义教学难点:对数概念以及对数符合的理解教学过程:一、 问题引入:若82=x ,则x= ;若72=x ,则x= ;已知底数和幂的值,求指数问题,依靠现有运算不能完全解决,因此要引入一种新的运算——对数。
今天我们就学习对数问题。
二、新课讲授:阅读课本114页至115页例题上面。
思考讲了几个概念,有什么疑问。
共同完成老师设计的学习笔记。
1、 对数的定义一般地,当10≠>a a 且时,若N a b =,则b 叫做以a 为底N 的对数, 记作:b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
练习1、根据对数的定义写出几个对数式,同桌之间互相检查写法是否正确。
问题1、如何理解“log ”和“N a log ”?符号“log ”与“+、”等符号一样表示一种运算。
“N a log ”是一个整体,表示以a 为底N 的对数,不表示log 、a 、N 三者的乘积; 读作以a 为底N 的对数。
注意a 的书写位置。
问题3、是否所有的实数都有对数?在对数式b N a =log 中,真数N 可以取哪些数?为什么?(结合指数式 ) ∵在指数式中,幂0>=b a N ∴在对数式中,真数N>0 负数与零没有对数问题4、根据对数的定义以及对数式和指数式的关系,求1log a 和a a log (a>0且a ≠1)的值。
对数与对数运算知识点及例题解析

对数与对数运算知识点及例题解析1、对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>. 2、以10为底的对数叫做常用对数,log 10N 记作lg N .3、以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,logeN 记作ln N4、对数的性质: (1)log 10,log 1a a a ==(2)对数恒等式①a log aN =N ;②log a a N =N (a >0,且a ≠1).5、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN +=②减法:log log log a a a M M N N-= ③数乘:log log ()na a n M M n R =∈⑤log a m M n =n mlog a M . ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且特殊情形:log a b =1log b a,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d .类型一、指数式与对数式互化及其应用例1、将下列指数式与对数式互化:(1);(2);(3);(4);(5);(6).思路点拨:运用对数的定义进行互化. 解:(1);(2);(3);(4);(5);(6).例2、求下列各式中x 的值:(1) (2) (3)lg100=x (4)思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.解:(1);(2);(3)10x =100=102,于是x=2; (4)由例3、若x=log43,则(2x-2-x)2等于( )A.94B.54C.103D.43解由x=log43,得4x=3,即2x=3,2-x=33,所以(2x-2-x)2=⎝⎛⎭⎪⎫2332=43.类型二、利用对数恒等式化简求值例4、求值:解:.总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数例5、求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.解:.类型三、积、商、幂的对数例6、已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解:(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a例7、(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解:(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.例8、已知3a=5b=c,,求c的值.解:由3a=c得:同理可得.例9、设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:.证明:.例10、已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:.证明:∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即 .类型四、换底公式的运用例11、(1)已知log x y=a,用a表示;(2)已知log a x=m,log b x=n,log c x=p,求log abc x.解:(1)原式=;(2)思路点拨:将条件和结论中的底化为同底.方法一:a m=x,b n=x,c p=x,;方法二:.例12、求值:(1);(2);(3).解:(1)(2);(3)法一:法二:.总结升华:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用例13、求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解:(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)例14、已知:log23=a,log37=b,求:log4256=?解:∵∴,。