相似三角形判定定理证明

如何证明相似三角形判定定理
预备知识：
图1中，平行线等分线段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，则DE =EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE ，EF 所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，则
DE
EF
BC AB =
，命题可通过添加平行线转化成平行线等分线段定理.
由比例性质还可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF ED
AC CB = 相似三角形判定定理证明
图3，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC
析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC 得
AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EA
CB BF =，依题意知四边形DEFB 是平行四边形，DE=BF . 则
CB
DE
AC AE AB AD ==，命题获证. 图4，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC
作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可证△AD E ≌△AGH 此问题同图3
图5，在△ABC 与△A`B`C`中，
`
`````C A AC
C B BC B A AB == 求证：△ABC ∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴
`
```````C A E
A C
B DE B A D A == ∵
`
`````C A AC
C B BC B A AB ==，AB=A`
D ∴DE=BC ，A`E=AC
∴△A`D E ≌△A`B`C`
3
l
3
图3
B
图4
B
图5
图6
B
∴△ABC ∽△A`B`C` 图6，
`
```C A AC
B A AB =
，∠A =∠A`，求证：△ABC ∽△A`B`C` 在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴
`
`````C A E
A B A D A =
∵
`
```C A AC
B A AB =
，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`
∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`
图7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求证：
△ABC ∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`
∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B ∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`
图8，Rt △ACB 与Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A AC
B A AB = 求证：△AB
C ∽△A`B`C`
设`
```C A AC
B A AB ==k ，则AB=kA`B`,AC=kA`C`则 k `
``
`k ````k ``k ````22222
2==-=
-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC
则三边成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`
图7
B
图8
B。