第三节 直线的投影
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《直线的投影》课件
垂直线投影
当直线与投影面垂直时，其投影长度变为零，但角度保持不 变。
直线投影的相交与交叉
相交线投影
当两条直线相交时，它们的投影在投 影面上也相交，且交点与原直线上的 交点对齐。
交叉线投影
当两条直线在空间交叉但不相交时， 它们的投影在投影面上可能相交或平 行。
03
直线投影的应用
建筑图纸的绘制
建筑图纸是建筑设计和施工的基础，而直线的投影在建筑图 纸的绘制中起着至关重要的作用。通过正确的直线投影，建 筑师可以准确地表达建筑物的形状和结构，为施工提供准确 的指导。
斜投影是指光线与投影面不垂 直的投影方式，此时投影线与 投影面形成一定的角度。
02
直线投影的性质
直线投影的长度与角度
直线投影的长度
在投影面上，直线的投影长度等 于直线本身长度，保持不变。
直线投影的角度
直线的投影角度等于直线本身与 投影面的夹角，保持不变。
直线投影的平行与垂直
平行线投影
当直线与投影面平行时，其投影长度和角度都不变，形状也 不变。
利用作图法解题
作图法是一种直观的解题方法，通过 作图可以清晰地表达出问题中的几何 关系。在解决直线投影问题时，可以 利用作图法来帮助解题。
例如，在求解两条直线在投影面上的 夹角时，可以通过作图来表达两条直 线在空间中的位置关系和夹角，从而 推导出投影面上的夹角。
利用几何意义解题
直线的投影在几何上表示直线与投影面的交点形成的图形。利用这个几何意义，可以解决一些与直线 投影相关的问题。
使用直线连接投影点， 得到直线的投影。
判断可见性
根据直线与投影面的关 系，判断直线的投影在 可见性上是否存在变化
。
直线的截取与延长
第三章 直线的投影
度缩短。
长度缩短。
长度缩短。
§3-3 一般位置直线的实长及
其对投影面的夹角
由上节可知，在特殊位置直线的投影 中，至少有一个投影反映该线段的实长，线 段对各投影面的夹角也可在投影图中找到。
4
图 3-5 一般位置直线
而一般位置直线在各投影面上的投影既
不反映实长，也不反映对投影面的夹角
（见图 3-5）。下面介绍工程上求一般位
（1）直线垂直投影面，它的投 影成为一点；
（2）直线平行投影面，它的投 影反映实长；
（3）直线倾斜投影面，它的投 影不反映实长，而且缩短。
图 3-1 直线的投影
图 3-2 直线正投影的特性
1
二、点在直线上，点的投影一定在直线的投影上。
图 3-3 所示，过直线 AB 上一点 C 的投射线 Cc，必位 于平面 ABba 上，故 Cc 与 H 面交点 c，也必位于平面 ABba 与 H 面的交线 ab 上。
图 3-7 以水平投影为一直角边求线段实长
图 3-8 以正面投影为一直角边求线段实长
综上所述，在投影图上求线段实长的方法是：以线段在某个投影面上的投影为一直角边， 以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，形成的直角三角形的斜边就是所求线 段的实长，此斜边和投影长的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
10
（a）
（b）
（c）
（d） 图 3-20 判断两直线的相对位置
（a）
（b）
图 3-21 过 A 点作一直线与 BC 、DE 两直线相交
§3-6 直角投影定理
当互相垂直的两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面的投影必为直角；当互相垂 直的两直线都不平行于某投影面时，在该投影面的投影不反映直角；除此之外，当互相垂直 的两直线中有一条平行于某投影面时，在该投影面的投影又会如何呢？这就是现在要讨论的 一种情况，也是在作图时经常会遇到的，它是处理一般垂直问题的基础。
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
第3讲 直线的投影
（H ）
正垂线
（V ）
侧垂线
（W ）
投影面垂直线
立体图
投影图
Z
X
o
YW
YH Z
X
o
YW
YH Z
X
o
YW
YH
(3) 一般位置直线
V
Z
b
a
W
a
b
X
O
YW
b
H a
YH
投影特性：三个投影皆为倾斜直线，
均不反映实长、夹角.
归纳 直线相对于投影面的位置
一般位置线
投影面平行线
水平线： ∥H面 正平线： ∥V面 侧平线： ∥W面 投影面垂直线
直线的投影
直线的投影由两端点同名投影的连线确定
Z
b'
b"
a' X
a
o b
YH
a" YW
(1) 投影面的平行直线
Z
a b
a
b
a
b
A
a
B
X
o
YW
b
a
a
b
b
投影特性
1.在平行投影面上的投影反映实长
及与另两投影面的倾角
2.另两投影分别平行相应的投影轴
YH α=AB＾H β =AB＾V γ =AB＾W
Z 连线⊥Z
b′ c″ b″
P11
a″ d″
YW
b
d
YH 交叉 两直线
Z
a′ c′ a″ c″
b′
X
a
d′ d″ d
b″ YW
b
c
YH 交叉 两直线
11-1
正垂线
（V ）
侧垂线
（W ）
投影面垂直线
立体图
投影图
Z
X
o
YW
YH Z
X
o
YW
YH Z
X
o
YW
YH
(3) 一般位置直线
V
Z
b
a
W
a
b
X
O
YW
b
H a
YH
投影特性：三个投影皆为倾斜直线，
均不反映实长、夹角.
归纳 直线相对于投影面的位置
一般位置线
投影面平行线
水平线： ∥H面 正平线： ∥V面 侧平线： ∥W面 投影面垂直线
直线的投影
直线的投影由两端点同名投影的连线确定
Z
b'
b"
a' X
a
o b
YH
a" YW
(1) 投影面的平行直线
Z
a b
a
b
a
b
A
a
B
X
o
YW
b
a
a
b
b
投影特性
1.在平行投影面上的投影反映实长
及与另两投影面的倾角
2.另两投影分别平行相应的投影轴
YH α=AB＾H β =AB＾V γ =AB＾W
Z 连线⊥Z
b′ c″ b″
P11
a″ d″
YW
b
d
YH 交叉 两直线
Z
a′ c′ a″ c″
b′
X
a
d′ d″ d
b″ YW
b
c
YH 交叉 两直线
11-1
第3章 直线的投影【画法几何】.
1、水平投影ab反映实长， 并反映倾角β 、γ
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
3第三章 直线的投影
直观图 直线的迹点及其作图方法
投影图
特殊位置直线的投影 §3.2 特殊位置直线的投影 特殊位置直线包括投影面平行线和投影面垂直线。和一个投影面平行， 特殊位置直线包括投影面平行线和投影面垂直线。和一个投影面平行，而与另两投 影面倾斜的直线，叫投影面平行线；和一个投影面垂直， 影面倾斜的直线，叫投影面平行线；和一个投影面垂直，而与另两投影面平行的直 叫投影面垂直线。 线，叫投影面垂直线。 1．投影面平行线：（ ） ．投影面平行线：（1） ：（ 正平线（ 正平线（∥V、∠H、 、 、 ；（2） ∠W）的投影；（ ）水 ）的投影；（ 平线（ 平线（∥H、∠V、∠W） 、 、 ） 的投影；（ ；（3） 的投影；（ ）侧平线 （∥W、∠V、∠H）的 、 、 ） 投影。 投影。 投影特性： 直线在所平 投影特性：a.直线在所平 行的投影面上的投影反映 实长和直线对另两投影面 的倾角； 其它两面投影 的倾角；b.其它两面投影 平行于相应的投影轴， 平行于相应的投影轴，且 长度缩短。 长度缩短。
例：按给定的投影轴求作 、 两点的辅助投影， 点 的正面投影 及点 的水平投影 。
[例]按指定投影轴求作 、 两点的 面投影 、 ， 面投影 、 。(二次投影变换）
2、直线的投影变换 、 a.将一般位置直线变换成投影面平行线（只需一次变换） 将一般位置直线变换成投影面平行线（只需一次变换） 将一般位置直线变换成投影面平行线
例 已知两交叉直线 、 的 面和 面投影，求作它们 的 面投影，分别标出三对重影点的三面投影符号，并表 明可见性。
例（相交直线）： 相交直线）：
[例]作水平线
与
、
、 都相交。
垂直相交两直线一边平行于投影面的投影（直角的投影） §3.5 垂直相交两直线一边平行于投影面的投影（直角的投影） 投影特性（直角投影定理）：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时， ）：垂直相交的两直线 投影特性（直角投影定理）：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时， 则两直线在该投影面上的投影相交成直角。反之， 则两直线在该投影面上的投影相交成直角。反之，相交两直线在某一投影面的投影 相交成直角，且两直线中有一直线平行于投影面时，则该两直线在空间必垂直相交。 相交成直角，且两直线中有一直线平行于投影面时，则该两直线在空间必垂直相交。
03直线的投影
AB
b’
|zA-zB|
a’
|Ya-Yb Za-Zb|
ab a b
AB |zA-zB|
ab a
b ab
直线上的点
特性： 1）从属性：若点在直线 上，则点的各个投影必在 直线的各同面投影上。 2）定比性：属于线段上 的点分割线段之比等于其 投影之比。即：A C: C B =
a c : c b= ac : cb = ac : c b
b YH
倾角概念的介绍
直线与其在投影面上投影之间的夹角，称为该直线 与该投影面之间的倾角。 空间直线与H、V、W投影面之间的夹角分别称之为、 、 。 B
倾角
A
a
b
P
投影面平行线
平行于一个投影面，而与另两面倾斜（注意）
正平线：平行于V面，与另两面倾斜；
水平线：平行于H面，与另两面倾斜； 侧平线：平行于W面，与另两面倾斜。
例题：判断点K是否在直线AB上。 a’ a”
k’
k” b”
b’ a
k
b 因k不在a b上，故点K不在AB上。 另一判断法?
例题：已知线段AB的投影图，试将其分成2﹕1两段的分点C。 c
b’
a’
X
b
c
a
两直线的相对位置
1、两直线平行 2、两直线相交 3、两直线交叉
4、两直线垂直
两直线平行的投影特性
a(b)
YH
正垂线投影特性
ab
z b a
X
O
YW
b
投影特性：1、ab 积聚成一点； 2、abOX ；abOZ； 3、ab=ab =AB。
a
YH
侧垂线投影特性
a b Z ab
b’
|zA-zB|
a’
|Ya-Yb Za-Zb|
ab a b
AB |zA-zB|
ab a
b ab
直线上的点
特性： 1）从属性：若点在直线 上，则点的各个投影必在 直线的各同面投影上。 2）定比性：属于线段上 的点分割线段之比等于其 投影之比。即：A C: C B =
a c : c b= ac : cb = ac : c b
b YH
倾角概念的介绍
直线与其在投影面上投影之间的夹角，称为该直线 与该投影面之间的倾角。 空间直线与H、V、W投影面之间的夹角分别称之为、 、 。 B
倾角
A
a
b
P
投影面平行线
平行于一个投影面，而与另两面倾斜（注意）
正平线：平行于V面，与另两面倾斜；
水平线：平行于H面，与另两面倾斜； 侧平线：平行于W面，与另两面倾斜。
例题：判断点K是否在直线AB上。 a’ a”
k’
k” b”
b’ a
k
b 因k不在a b上，故点K不在AB上。 另一判断法?
例题：已知线段AB的投影图，试将其分成2﹕1两段的分点C。 c
b’
a’
X
b
c
a
两直线的相对位置
1、两直线平行 2、两直线相交 3、两直线交叉
4、两直线垂直
两直线平行的投影特性
a(b)
YH
正垂线投影特性
ab
z b a
X
O
YW
b
投影特性：1、ab 积聚成一点； 2、abOX ；abOZ； 3、ab=ab =AB。
a
YH
侧垂线投影特性
a b Z ab
第三章 基要素的投影-直线
点、直线的相对位置－直线上点-点分割线段成定比 b b
Z
b
c
a
C
B
b c” a a X
c
O b c a YH
c
a YW
A c a
b
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 点分割线段成定比，则分割两线段的各个同面投影之 比等于其两线段之比—定比性。
Z
a b
X B
a(b)
b
O
YW
a(b) Y
YH
投影特性：1． ab 积聚 成一点 2． abOX ; ab OYW 3． ab = ab = AB
直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－正垂线 b a(a b) A B X a b O a Z a b X O YW b a a (( b ) Z
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
b
b
对于特殊位置直线，只有 两个同名投影互相平行，空间 d 直线不一定平行。 b
a
c
d a 如何判断？
求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
方法二： 若 AB∥CD， 则有：a‘b’∥c‘d’， ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’， ab∥dc， 所以 AB与CD是不平行。
求出侧面投影
例2：判断图中两条直线是否平行。
a s c
X
a’s’
b
d
a s
b
c d
s’b’
b0
s0
a s : s b= as : sb
第3章 直线的投影【画法几何】.
d˝
b˝
O
Yw
YH
两条平行的投影面垂直线
A C
B
D
a (b)
c (d)
ac=AB和CD的距离
例3－7：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影
c′ a′ d′
c″
a″ d″
b′ b″
d
b
c
a
二、两直线相交
a’
A c’
d’
k’
D
b’
K
C
B
a
ck
d b
1、两直线相交，则它们的同名投影必相交，并且交点的投影符合点的投影规律
2、其他两个投影平行于相应的投影轴，并且 小于实长。
三、 投影面垂直线
(一)含义：垂直于投影面的直线称为投 影面垂直线
垂直于H面的直线称为铅垂线 垂直于V面的直线称为正垂线 垂直于W面的直线称为侧垂线
(二) 铅垂线的投影特性 （1）铅垂线
铅垂线的投影特 性
1、水平投影积聚为 一点a(b)
2、正面投影a’b’垂直 于ox轴，侧面投影 a”b”垂直于OYw轴， 且都反映实长。
b˝
a´
d´
c a
a˝ d˝
d b
AB和CD相交
c´
c˝
b´
b˝
a´
d´
d a
d˝ a˝
c b
AB和CD不相交
例3－8：已知三条直线A、B、C，作直线DE平行直线C，并与 直线A、B交于D、E点
e´ b´ d´
c´
a´
ad
c
e
b
三、两直线交叉
空间既不平行又不相交的两直线为交叉直线(异面直线)
《直线的投影》课件
尺度
表示投影图与实际物体之间的比例关系，是制图时 必不可少的基本元素。例如，“1：100”表示实际长 度为1厘米的线段在图上的表示长度为1米。
直线投影的主要应用领域
1 建筑设计
投影法在建筑设计中得到广泛应用，如建筑 平面图、立面图等。
2 机械制图
机械零件的制图采用的就是正交投影法，通 过正面、侧面、后面投影图来表示三维零件 的全貌。
直线投影在电子工程中的应用
通过直线投影，电子工程师可以在不需要细节3D表示的情况下，快速精确地进行电路板的布局和定位，保证 电路板生产的全过程。
直线投影在艺术设计中的应用
直线投影在现代建筑和艺术设计中得到了广泛应用，它强调形态的简洁、准确、科技感，体现出现代艺术设计 与数学的关联性。
直线投影的优点和局限性
3 地理测量
4 电子工程
进行地图绘制时，经常采用大地坐标系，根 据这个坐标系得到的结果即为大地直线投影。
将电路板立体图像投影至平面上，方便进行 电路板生产和布线。
如何应用直线投影解决实际问题？
在物体制图时，如果要制作与该物体三维结构相关的平面图，那么使用直线投影就是比较好的选择，它可以帮 助工程师、设计师、绘图员等解决设计和生产中的问题。
《直线的投影》PPT课件
直线的投影是一种重要的工程学概念，我们将会深入研究投影原理和实际应 用。
什么是直线的投影？
直线投影是指将一个物体上各个点的坐标通过一个固定方向线投射到另一个 平面上，生成这些点在该平面上的映像。它是建筑、机械、电子、地理测量 和其他领域中最常用的绘图方式之一。
投影的定义和基本概念介绍
优点
• 概念简单 • 图形清晰整洁 • 容易取得尺寸和形状的数值信息 • 在建筑、机械、电子等领域得到广泛应用
机械制图3直线的投影
a
V
＝
A
a'1 V1
＝
＝
V X
ax
H
＝
. ax1
a'1
X
a
H V1 X1
旧投影体系 X —VH
ax
＝
ax1
a
H
X1
新投影体系 X1 —HV1
A点的两个投影：a， a
A点的两个投影：a 1，a
★新投影体系仍然遵守投影的 一般规律：
24
aa 1 X1
a'1ax1 = aax
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
“交点”是两直线上的一对重影点，可用于判别其空间位置。
16
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
交叉二直线的空间位置的判别
利用前面讲述的重影点进行判别， 到另外两个投 影上去找遮挡关系
1′
c
′
3′(4′)
●
● ●
2′
a′
X a
●4
● ●
c 3 1(2)
换H面行吗？
旧投影到旧轴的距离。
同时求出直线AB的实长及与H面的夹角α。
Of course！
27
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
a
XV H
a
b
b
.
H X1 V1
(b'1) a●'1
V1
V
b′
a
B ●(b'1) a′1
投影的长度均比空间线段短，即都 不反映空间线段的实长。
直线的投影
d 为所求。
b
例题5 判断两直线重影点的可见性
1’ 3’(4’) 2’
4 1(2) 3
五、换面法以及直线在换面法中的 基本情况
1、换面法的基本概念 2、投影变换的基本作图方法 3、直线在换面法中的基本情况
非机类
非机类
1、 换面法的基本概念(辅助投影法)
在原有投影面的基础上，保留一个 投影面，用垂直于被保留的投影面的 新投影面更换另一投影面，组成一个 新的两投影面体系，使几何形体在新 投影面体系中对新投影面处于便利解 题的特殊位置，在新投影面体系中作 图求解。
AB
a’
XV
b’
H
a
例5 已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影
AB
作图
1. 将AB变换为 水平线(X1∥a’b’) 2. 利用AB的实 长及点的投影规 律求出b1 3. 求出b
讨论
a’ XV
H a
a1 b1
另一解b1
b’
B?
b
3、直线在换面法中的基本情况
（1） 一次换面可将一般位置直线变换成 投影面平行线；新投影轴应平行于直线原 有的投影。 （2） 一次换面可将投影面平行线变换成 投影面垂直线；新投影轴应垂直于直线所 保留的反映真长的投影。 （3） 二次换面可将一般位置直线变换成 投影面垂直线。
b′
b′
b′
α
a′
a′
a′
a
α
b (a)
a
b (b)
a
α
b (c)
例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
a′
x a b
例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
3.直线的投影
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
⒉ 直线的分类
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面倾斜
X
a b Y
O
YW
X
YH
正面投影积聚为一点；水 平投影及侧面投影平行于 OY轴，且反映实长。
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha b YH a b Z a(b)
A X
X
O
YW
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
a'
a
直角三角形法
（求直线的实长及对侧面的夹角γ ） a a
γ
ΔX
AB ΔX
b
b
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、 实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可 确定另外两个。
解题时，直角三角形画在任何位置都不影响 解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。
β
ΔZAB
AB
AB
⑶ 一般位置直线
a b a b a b
三个投影都不反映空间线段的实长，比实长短； 不反映与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴 都倾斜。
二、求一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求其实长 及倾角是画法几何问题中的经常遇见的 基本问题之一，也是工程实践中经常需 要解决的问题。 求直线（线段）实长及倾角的方法：
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侧垂线（ 侧垂线（ ⊥Ｗ面、// Ｖ面、// Ｈ面）
Z a′ b′ a″b″ A X O a a b Y b YH B X O YW a′ b′ Z a″b″
投影特性：1、侧面投影 a″b″ 积聚 成一点 、 2 、 ab // OX ; a′b′ // OX； ab ⊥ OYH ; a′b′⊥ OZ 2012年5月14日星期一 = a′b′ =AB 反映实长。 3 、 ab
垂直于一个投影面 平行于另外两个投影面。 垂直线分 平行于另外两个投影面。 三种： 三种：
铅垂线⊥Ｈ面 铅垂线⊥
正垂线⊥Ｖ面 正垂线⊥
侧垂线⊥Ｗ面 侧垂线⊥
2012年5月14日星期一
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铅垂线（ 铅垂线（ ⊥Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面） Ｖ Ｗ
Z a′ A b′ X O B a(b) Y a(b) YH a″ a′ b′ X b″ O Z a″ b″ YW
a′ XA a
a″ O b Y
a′ X a b O
b″ YW YH
2012年5月14日星期一
16
从属于V 从属于 投影面的铅垂线
Z a″ a′
a′ A
Z
a″
X
B b′ O a(b)
b″ X
b′ O a(b) Y
b″ YW
YH
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2012年5月14日星期一
从属于OX轴的直线 从属于 轴的直线
Z Z
2012年5月14日星期一
b′ c′ X O a′ a c b
cb ac
B C
b
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例6 已知K点在直线AB上，试求作K点的H面
投影。
a′
b′ X a O
b
2012-5-14
二、直线的迹点
直线和投影面的交点叫迹点。 直线和水平面的交点叫水平迹点，通常用M (m，m‘，m”)表示 ， ， 和正面的交点叫正面迹点， N (n，n`，n”) ， ， 和侧面的交点叫侧面迹点。 L (l，l`，l”) ， ， 在两投影面系中的直线，最多只有两个迹点 。迹点是 直线和投影面的共有点，它的投影同时具有直线上的点和 投影面内的点的投影特性。根据这些特点可以求迹点的投 影。
2012年5月14日星期一
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2
Z
b′ B a′ a〞 b X A a Y b〞
, b , a x a
z
,, b ,, a
O
y
W
b 作图： 1. 作出直线上两 点的投影 2. 用直线分别连 接其各同面投影。 接其各同面投影。
2012年5月14日星期一
y
H
直线的三面投影
3
二、直线相对于一个投影面的的投影特性
Ａ
２ １ c
b
a
X
a′ A a c b c
O
一、直线上点的投影特性 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上， 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上， 并且符合点的投影特性。 并且符合点的投影特性。 直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。 直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。
14
投影面垂直线的投影特性： 投影面垂直线的投影特性： （1）直线所垂直的投影面上的投影 ） 积聚一点， 积聚一点，有积聚性 （2）其它两面投影反映实长， ）其它两面投影反映实长， 且垂直于相应的投影轴
2012年5月14日星期一
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从属于V 从属于 面的直线
Z B b′ b″ b′ Z a″
b′ B Z| a′ X A a AB O α bo b X b |zB-zA | a |zB-zA| ab
22
b′ AB a′ |zB-zA| ab
α
α
AB
α
2012年5月14日星期一
ห้องสมุดไป่ตู้
2 求直线的实长及对正面投影面的夹角β 角
b′ B a′ X |YA-YB| A a AB C b AB
β
b′
β
2012年5月14日星期一 20
§3-2 一般位置线段的实长 及其对投影面的倾角
直角三角形法求解实长、倾角。 直角三角形法求解实长、倾角。 1 2 3 求直线的实长及对水平投影面的夹角α角 求直线的实长及对正面投影面的夹角β角 求直线的实长及对侧面投影面的夹角γ角
2012年5月14日星期一
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1 求直线的实长及对水平投影面的夹角α角
X
b′ β a′
AB实长 α a b O
X
O a α
a b0 b
b
AB实长
2012年5月14日星期一
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例：已知EF=30 ，试完成如图所示的e’f’
f'
e'
X
f
△Z
α e
2012年5月14日星期一
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27
例 已知正平线AB＝30mm、 α ＝30°、AB距Ｖ面20mm、 A点在B点的右上方，试作该直线的两面投影。
d b
2012年5月14日星期一
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37
试判断K点是否在直线 试判断 点是否在直线EF上。 点是否在直线
e′ k′ f′ X e k f 直接判断
2012-5-14
Z V e′ k′ f′ O X e k f Y E K F
O
e″ k″ f″
例题5 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。 V b′ c′ a′ X A a c H
2012年5月14日星期一
5
投影面平行线
平行于一个投影面 平行线分三种： 倾斜于另外两个投影面。
水平线//Ｈ 水平线//Ｈ面 //
正平线//Ｖ面 正平线//Ｖ //
侧平线//Ｗ面 侧平线//Ｗ //
2012年5月14日星期一
6
倾斜Ｖ 水平线 （ // Ｈ面、倾斜Ｖ和Ｗ面）
z
Z
a′
b′
a″
b″
a′
a
,
, e
f
,
E点在AB直线上 点 直线上 a e f b F点不在AB直线上 点不在 直线上 点不 10
34
2012年5月14日星期一
例2 已知点C在AB上，求c’，c’’。
b′ c′ a′
X
Z
b〞 c〞 a〞
O c a
YW
b
YH
2012年5月14日星期一
35
如图： 例3 求点C 使AC：CB=1：4 解：因AC：CB=1：4 根据直线上点的投影特性可 得ac：cb=a’c’：c’b’=1：4 这样只要将ab a’b’ 分成5等 分后取一份即可求得c，c’ 。
第三章
直线的投影
直线的投影 各种位置直线的投影特性 线段的实长及倾角 直线上点的投影 两直线的相对位置 直角投影定理
2012年5月14日星期一 1
第三章 直线的投影 §3-1 直线的投影
一、直线投影图的画法
直线的空间位置是由线上任意两点决定的。画直线的 投影时，可根据 “直线的投影一般还是直线”的性质，在 直线上任取两点，画出该点的投影后，再将其同面投影连 接起来即为直线的投影。 同面投影： 同面投影：几何形体在同一投影面上的投影。 比较A、B两点坐标值，可知AB的空间位置。
2012年5月14日星期一 9
投影面平行线的投影特性 投影面平行线的投影特性 （1）直线在所平行的投影面上的投影表达实长 ） （2）其它投影平行于相应的投影轴 ） （3）表达实长的投影与投影轴所夹的角等于空间 ） 直线对相应投影面的倾角。 直线对相应投影面的倾角。
2012年5月14日星期一
10
投影面垂直线
β γ α
2012年5月14日星期一
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一般位置直线的投影特性
Z b′ B a′ X A a b″ X a′ O b b a″ Y a Y b″ Y b′ Z a″
β γ
O
α
投影特性：1、a b、 a′b′、a″ b″均小于实长 、 、 与三个投影面都 2 、a b、a′b′、a″ b″均倾斜于投影轴 倾斜的直线称为 、 3 、不反映 α 、 β 、γ 实角 一般位置直线。
Z Z b′ b′ γ a′ B a″ α γ X A X O b″ O a′ α a″ YW b″
a
b Y
a
b YH
投影特性： 1、水平和侧面投影比实长短，ab || OX ; a″ b″|| OZ 水平和侧面投影比实长短， 反映实长,倾斜于OX OX轴 2、a′ b′=AB 反映实长,倾斜于OX轴，反映α、γ角
利用上述性质，可以在直线上求点和分割线段成定比。
2012年5月14日星期一 32
Z
b′ B c′ a′ C X A a c Y a c c〞 a〞 b
X
b′ b〞 c′ a′
Z
b〞 c〞 a〞
O
YW
b
YH
2012年5月14日星期一
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例1 判断 E、F点是不是在直线 上。 点是不是在直线AB上 、 点是不是在直线 , b
X
a′ A a
b′ BO O a″(b″) b Y
X a′ a
b′ b
a″(b″) O
YW
YH
2012年5月14日星期一
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一般位置直线
倾斜于三个 投影面的直线。 投影面的直线。 直线与它的 水平投影、正面 水平投影、 投影、 投影、侧面投影 的夹角， 的夹角，分别称 为该直线对投影 为该直线对投影 Ｈ、Ｖ、Ｗ的 面Ｈ、Ｖ、Ｗ的 倾角， 倾角，用α、β、γ 表示。 表示。
b′ a′
b a
2012年5月14日星期一
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例题 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b′ |zB-zA|